2021-2022學(xué)年湖北省襄陽市第五中學(xué)高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．設(shè)集合、是全集的兩個子集，則“”是“”的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】作出韋恩圖，數(shù)形結(jié)合，即可得出結(jié)論.【詳解】如圖所示，，同時.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查集合關(guān)系及充要條件，注意數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.2．已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（    ）A．10 B．11 C．13 D．21【答案】B【分析】利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出．【詳解】解：正實(shí)數(shù)滿足，則，，即：，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時取等號，所以的最小值為11.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)的應(yīng)用，同時考查轉(zhuǎn)化思想和計算能力．3．若為不等式的解集，則的解集為A．或 B．C． D．或【答案】D【分析】為為不等式的解集，所以和是方程的兩根，從而解得，進(jìn)而可得解.【詳解】因?yàn)?/span>為不等式的解集，所以和是方程的兩根，所以，，所以，，所以不等式即，解得或，故不等式的解集為或，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次不等式的解法，一元二次不等式與一元二次函數(shù)的關(guān)系，屬于中檔題.4．已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（    ）A． B．  C． D．【答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù)，容易判斷為奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增，進(jìn)而將原不等式轉(zhuǎn)化為，最后根據(jù)單調(diào)性求得答案.【詳解】設(shè)，，則，即為奇函數(shù)，容易判斷在R上單調(diào)遞增（增+增），又可化為，，所以a >1－2a，∴ a >．故選：A.5．已知定義域?yàn)?/span>R的函數(shù)在單調(diào)遞增，且為偶函數(shù)，若，則不等式的解集為（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)為偶函數(shù)分析可得函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及特殊值分析可得，解可得的取值范圍，即可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，又由函數(shù)在，單調(diào)遞增且f(3)，則，解可得：，即不等式的解集為；故選：D．6．已知平行四邊形中，點(diǎn)E，F分別在邊上，連接交于點(diǎn)M，且滿足，則（    ）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)，得到，再由E，F，M三點(diǎn)共線求解.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，所以．因?yàn)?/span>E，F，M三點(diǎn)共線，所以．故選：B7．函數(shù)的圖象（    ）A．關(guān)于原點(diǎn)對稱 B．關(guān)于點(diǎn)對稱C．關(guān)于軸對稱 D．關(guān)于直線對稱【答案】B【分析】利用三角恒等變換公式確定函數(shù)的解析式，利用函數(shù)的性質(zhì)確定對稱中心或?qū)ΨQ軸即可求解.【詳解】,令得，所以函數(shù)的對稱中心為，對于A，不存在使得，所以圖象不關(guān)于原點(diǎn)對稱，A錯誤；對于B， 時對稱中心為，B正確；令得，所以函數(shù)的對稱軸為，不存在使得或，所以圖象不關(guān)于軸對稱，不關(guān)于直線對稱，C,D錯誤.故選:B.8．函數(shù)的值域?yàn)椋?/span>    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】分和且兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)且時，利用二倍角公式和輔助角公式進(jìn)行化簡，然后利用三角函數(shù)的性質(zhì)可得到值域【詳解】當(dāng)時，，，所以；當(dāng)且時，，所以，因?yàn)?/span>且，所以且，所以所以，綜上所述，函數(shù)的值域?yàn)?/span>故選：B 二、多選題9．給出以下四個結(jié)論，其中所有正確結(jié)論的序號是（    ）A．若函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，則函數(shù)的定義域是；B．函數(shù)（其中，且）的圖象過定點(diǎn)；C．當(dāng)時，冪函數(shù)的圖象是一條直線；D．若，則的取值范圍是.【答案】ABD【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，復(fù)合函數(shù)的定義域判斷各選項．【詳解】A．函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，即，則，∴函數(shù)中的取值范圍，即定義域?yàn)?/span>，即定義域是，A正確；B．令，則，∴圖象過定點(diǎn)．B正確；C．中，它的圖象是直線上去掉點(diǎn)，不是直線，C錯；D．時，，不合題意，時，，，∴．D正確．故選：ABD．【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查函數(shù)的定義域，掌握指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．10．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（    ）A．若的最小正周期是，則B．當(dāng)時，的對稱中心的坐標(biāo)為C．當(dāng)時，D．若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則【答案】AD【解析】根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)，采用整體換元法依次討論各選項即可得答案.【詳解】解:對于A選項，當(dāng)的最小正周期是，即：，則，故A選項正確；對于B選項，當(dāng)時，，所以令，解得：，所以函數(shù)的對稱中心的坐標(biāo)為，故B選項錯誤；對于C選項，當(dāng)時，，，，由于在單調(diào)遞增，故，故C選項錯誤；對于D選項，令，解得： 所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：，因?yàn)?/span>在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，解得：，另一方面，，，所以，即，又因?yàn)?/span>，所以，故，故D選項正確.故選：AD【點(diǎn)睛】本題考查正切函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于整體換元法的靈活應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.其中D選項的解決先需根據(jù)正切函數(shù)單調(diào)性得，再結(jié)合和得，進(jìn)而得答案.11．已知的內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，下列四個命題中正確的命題是    （    ）A．若，則一定是等邊三角形B．若，則一定是等腰三角形C．若，則一定是等腰三角形D．若，則一定是銳角三角形【答案】AC【分析】對于A．利用正弦定理證明△ABC是等邊三角形，故A正確；對于B，利用正弦定理化簡得△ABC為等腰三角形或直角三角形，故B錯誤；對于C，利用正弦定理和三角恒等變換化簡得△ABC是等腰三角形，故C正確；對于D，利用余弦定理化簡得角C為銳角，但△ABC不一定是銳角三角形，故D錯誤．【詳解】對于A．若，則，，即，即△ABC是等邊三角形，故A正確；對于B，若，則由正弦定理得，，則或，即或，則△ABC為等腰三角形或直角三角形，故B錯誤；對于C，若，則即，則△ABC是等腰三角形，故C正確；對于D，△ABC中，∵，∴，所以角C為銳角，但△ABC不一定是銳角三角形，故D錯誤．故選：AC．12．在給出的下列命題中，正確的是（    ）A．已知為的外心，邊長為定值，則為定值．B．中，已知，則且則C．為為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則動點(diǎn)的軌跡必通過的重心．D．為的垂心，，則．【答案】ABD【分析】由三角形的外心的性質(zhì)和向量數(shù)量積的性質(zhì)計算，即可判斷A；由向量的運(yùn)算推得AD為角平分線，利用三角形的面積公式運(yùn)算，即可判斷B；設(shè)線段BC的中點(diǎn)為D，由向量的中點(diǎn)表示和向量數(shù)量積的性質(zhì)，即可判斷C；由三角形的垂心性質(zhì)和向量的夾角公式計算，即可判斷D.【詳解】A：O為的外心，邊AB、AC長為定值，為定值，故A正確；B：在中，已知，由，可得D在的平分線上，又，可得D、B、C三點(diǎn)共線，即AD為角平分線，由得，得，故B正確；C：如圖，設(shè)線段BC的中點(diǎn)為D，則，因?yàn)?/span>，即，所以，得，所以且平分BC，所以動點(diǎn)M的軌跡必通過的外心，故C錯誤；D：由H為的垂心，得，有，同理，所以，設(shè)，因?yàn)?/span>，所以，有，所以，同理可得，所以，故D正確.故選：ABD 三、填空題13．設(shè)向量與的夾角為，定義與的“向量積”，是一個向量，它的模等于，若，，則______．【答案】2【分析】分別計算兩個向量的模長及夾角，代入計算即可.【詳解】，，則，則，則,故答案為：214．在中，角，，所對的邊分別為，，，已知，則______．【答案】【分析】先由正弦定理得，再結(jié)合題中條件得，最后利用余弦定理可求得，結(jié)合可得.【詳解】在中，由正弦定理可得，，又由題知，所以，整理得，，在中，由余弦定理得，，所以，又，所以.故答案為：.15．若向量,,則的最大值為________.【答案】3【詳解】試題分析：根據(jù)題意，由于向量,,則可知=，那么化為單一函數(shù)可知，可知最大值為3，故填寫3.【解析】向量的數(shù)量積點(diǎn)評：解決的關(guān)鍵是對于向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算以及數(shù)量積的性質(zhì)的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題． 四、雙空題16．在中，角，，所對的邊分別為，b，c.已知向量，且.D為邊上一點(diǎn)，且.則_______，面積的最大值為________.【答案】          【分析】由計算可得，進(jìn)而得出，因?yàn)?/span>，所以，，在和中分別計算和的表達(dá)式，然后利用可得，由余弦定理可得，兩式結(jié)合可得，由不等式的知識可得，進(jìn)而可得，最后利用三角形面積計算公式可得出面積的最大值.【詳解】由可得，，利用余弦二倍角公式和邊化角可得：，即，利用積化和公式可得：，即，又，所以；因?yàn)?/span>，所以，，在中，，在中，，又，所以有，即，①又，②將②代入①得，，又，所以，即，由，，可得：，所以.所以面積的最大值為.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題主要考查解三角形，考查兩角積化和公式的應(yīng)用，考查三角形面積公式的應(yīng)用，考查基本不等式的應(yīng)用，考查邏輯思維能力和計算能力，屬于中檔題. 五、解答題17．已知復(fù)數(shù)滿足.（1）求；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由復(fù)數(shù)的模定義求得，移項可得，再由共軛復(fù)數(shù)定義得結(jié)論；（2）由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則計算．【詳解】解：（1）∵，∴，∴，∴，∴.（2）由（1）得，.18．已知函數(shù) 的部分圖像如圖所示.(1)求的解析式；(2)設(shè)為銳角，，求的值.【答案】（1）；（2）.【詳解】試題分析：（1）根據(jù)函數(shù)圖象求出，和的值即可；（2）利用兩角和差的余弦公式和正弦公式進(jìn)行化簡求解．試題解析：(1)由圖可得,.(2)為鈍角，，.點(diǎn)睛：本題主要考查利用的圖象特征，由函數(shù)的部分圖象求解析式，理解解析式中的意義是正確解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．為振幅，有其控制最大、最小值，控制周期，即，通常通過圖象我們可得和,稱為初象，通常解出，之后，通過特殊點(diǎn)代入可得，用到最多的是最高點(diǎn)或最低點(diǎn).19．已知函數(shù)是偶函數(shù)（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若函數(shù)沒有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍（3）若函數(shù)，的最大值為0，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）；（2）；（3）5.【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)定義得，再根據(jù)對數(shù)性質(zhì)求的值；（2）令，可看作函數(shù)的圖象與直線無交點(diǎn)，再求的值域可得答案；（3）化簡后，再轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，，根據(jù)對稱軸與定義區(qū)間位置關(guān)系討論最值取法，最后根據(jù)最大值為0解實(shí)數(shù)的值即可．【詳解】（ 1）∵是偶函數(shù)，∴，即對任意恒成立，∴，∴．（2）由（1）知，函數(shù)沒有零點(diǎn)，即方程無實(shí)數(shù)根．令，則函數(shù)的圖象與直線無交點(diǎn)，∵ ，又，∴，∴的取值范圍是，的取值范圍是（3）由題意，的最大值為0，令，，，①當(dāng)，即時，，；②當(dāng)，即時，，（舍去）．綜上可知，實(shí)數(shù)．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)零點(diǎn)問題．解題方法是把零點(diǎn)個數(shù)轉(zhuǎn)化為方程解的個數(shù)，再轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)個數(shù)，由圖象觀察所需條件求得結(jié)論．考查了分析問題、解決問題的能力．20．在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)向量，，．(1)若，求的值；(2)設(shè)，，且，求的值．【答案】(1)(2) 【分析】(1)利用向量的模長公式.(2)利用向量平行的坐標(biāo)形式求解.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，，，所以，且. 因?yàn)?/span>，所以，即，   所以，即．（2）因?yàn)?/span>，所以．依題意，．因?yàn)?/span>，所以． 化簡得，，所以．因?yàn)?/span>，所以．所以，即．21．在中，角的對邊分別為，且.(1)求A的值；(2)若，，當(dāng)的周長最小時，求的值；(3)若，，且的面積為，求的長度.【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）由正弦定理化簡得到，利用輔助角公式得到，結(jié)合角A的范圍，求出A；（2）利用余弦定理，基本不等式求出周長最小值及此時的值；（3）由面積公式得到，結(jié)合正弦定理得到，求出，由余弦定理求出答案.【詳解】（1）由及正弦定理，得，因?yàn)?/span>，且，所以，即，因?yàn)?/span>，所以；（2）由余弦定理，得，將代入，整理，得，因?yàn)?/span>，所以的周長為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以當(dāng)的周長最小時，；（3）由的面積為，得，所以①，又，所以，，由正弦定理，得，②由①②可得，因?yàn)?/span>，所以，在中，由余弦定理，得，所以.22．對于函數(shù)，且的定義域?yàn)?/span>，．（1）求實(shí)數(shù)的值，使函數(shù)為奇函數(shù)；（2）在（1）的條件下，令，求使方程，有解的實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）在（1）的條件下，不等式對于任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）；（3）當(dāng)時，；當(dāng)時，；【分析】（1）先利用求得，再驗(yàn)證即可；（2）求得此時函數(shù)，由此得解；（3）令，當(dāng)時，問題等價為對恒成立即可，當(dāng)時，問題等價為對恒成立，由此得解．【詳解】（1）由得，，事實(shí)上，當(dāng)時，，此時，故當(dāng)時，函數(shù)為奇函數(shù)；（2）依題意，，當(dāng)，時，顯然函數(shù)為增函數(shù)，故，為使方程，有解，則即可；（3）易知，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，原不等式成立即為（3），故只要即可，令，則，，，對恒成立即可，由得，由得，；同理，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，故只要即可，對恒成立即可，可得；綜上可知，當(dāng)時，；當(dāng)時，；【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用，考查不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍，考查邏輯推理能力及運(yùn)算能力，屬于中檔題． 

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