典例題型：
1．（2021?西安模擬）如圖，點(diǎn)A（﹣2，0），B（0，1），以線段AB為邊在第二象限作矩形ABCD，雙曲線y=kx（k＜0）經(jīng)過點(diǎn)D，連接BD，若四邊形OADB的面積為6，則k的值是 ﹣16 ．
【點(diǎn)睛】過D作DM⊥x軸于M，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和判定求出DM＝2AM．設(shè)AM＝x，則DM＝2x．根據(jù)三角形的面積求出x，即可求出DM和OM，得出答案即可．
【詳解】解：∵點(diǎn)A（﹣2，0），B（0，1），
∴OA＝2，OB＝1，
過D作DM⊥x軸于M，則∠DMA＝90°．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝90°，
∴∠DMA＝∠DAB＝∠AOB＝90°，
∴∠DAM+∠BAO＝90°，∠DAM+∠ADM＝90°，
∴∠ADM＝∠BAO，
∴△DMA∽△AOB，
∴DMAM=AOBO=21=2，
即DM＝2MA，
設(shè)AM＝x，則DM＝2x，
∵四邊形OADB的面積為6，
∴S梯形DMOB﹣S△DMA＝6，
∴12（1+2x）（x+2）-12?2x?x＝6，
解得：x＝2，
則AM＝2，OM＝4，DM＝4，
即D點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣4，4），
∴k＝﹣4×4＝﹣16，
故答案為﹣16．
2．（2021?建昌縣一模）如圖，直線y＝x+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，與反比例函數(shù)y=kx（x＜0）交于點(diǎn)C，點(diǎn)D（1，a）在直線y＝x+2上，連接OD，OC，若∠COD＝135°，則k的值為 8 ．
【點(diǎn)睛】作CH⊥x軸于H，如圖，先利用一次函數(shù)解析式確定B（0，2）、A（﹣2，0），D（1，3），則BD=2，再證明△OAB為等腰直角三角形得到∠OAB＝∠ABO＝45°，接著證明∴△BOD∽△ACO，則利用相似比得到AC＝22，于是利用△ACH為等腰直角三角形求出CH＝AH=22AC＝2，從而得到C（﹣4，﹣2），然后根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)確定k的值．
【詳解】解：作CH⊥x軸于H，如圖，
當(dāng)x＝0時(shí)，y＝x+2＝2，則B（0，2）；
當(dāng)y＝0時(shí)，x+2＝0，解得x＝2，則A（﹣2，0），
當(dāng)x＝1時(shí)，y＝x+2＝3，則D（1，3），
∴BD=12+(3-2)2=2，
∵OA＝OB＝2，
∴△OAB為等腰直角三角形，
∴∠OAB＝∠ABO＝45°，
∴∠OBD＝∠OAC＝135°，∠CBH＝45°，
∵∠COD＝135°，
∴∠BOD＝∠ACO，
∴△BOD∽△ACO，
∴ACOB=OABD，即AC2=22，解得AC＝22，
∵△ACH為等腰直角三角形，
∴CH＝AH=22AC＝2，
∴C（﹣4，﹣2），
把C（﹣4，﹣2）代入y=kx得k＝﹣4×（﹣2）＝8．
故答案為8．
3．（2021?綏陽縣一模）如圖，雙曲線y=kx經(jīng)過Rt△BOC斜邊上的點(diǎn)A，且滿足AOBO=12，與BC交于點(diǎn)D，S△BOD＝24，則k＝ 16 ．
【點(diǎn)睛】作AE⊥x軸，易得S△AOE＝S△DOC，從而求出S四邊形BAEC＝S△BOD＝24，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，求出S△AOE＝8，即可求出k的值．
【詳解】解：作AE⊥x軸，
則S△AOE＝S△DOC=12k，
∴S四邊形BAEC＝S△BOD＝24，
∵AE⊥x軸，∠OCB＝90°，
∴△AOE∽△BOC，
∴S△AOES△BOC=（OAOB）2=14，
∴S△AOE＝8，
∴k＝16．
故答案為：16．
4．（2021?長沙模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△OAB的頂點(diǎn)A在x軸正半軸上，OC是△OAB的中線，點(diǎn)B，C在反比例函數(shù)y=2x（x＞0）的圖象上，則△OAB的面積等于 3 ．
【點(diǎn)睛】過點(diǎn)B、點(diǎn)C作x軸的垂線，垂足為D，E，則BD∥CE，得出CEBD=AEAD=ACAB=12，設(shè)CE＝x，則BD＝2x，根據(jù)反比例函數(shù)的解析式表示出OD=1x，OE=2x，OA=3x，然后根據(jù)三角形面積公式求解即可．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)B、點(diǎn)C作x軸的垂線，垂足為D，E，則BD∥CE，
∴CEBD=AEAD=ACAB，
∵OC是△OAB的中線，
∴CEBD=AEAD=ACAB=12，
設(shè)CE＝x，則BD＝2x，
∴C的橫坐標(biāo)為2x，B的橫坐標(biāo)為1x，
∴OD=1x，OE=2x，
∴DE＝OE﹣OD=1x，
∴AE＝DE=1x，
∴OA＝OE+AE=3x，
∴S△OAB=12OA?BD=12×3x×2x＝3．
故答案為3．
5．（2021?興安盟模擬）如圖，雙曲線y=kx經(jīng)過Rt△OMN斜邊上的點(diǎn)A，與直角邊MN相交于點(diǎn)B，已知OA＝2AN，△OAB的面積為6，則k的值是 725 ．
【點(diǎn)睛】過A點(diǎn)作AC⊥x軸于點(diǎn)C，易得△OAC∽△ONM，則OC：OM＝AC：NM＝OA：ON，而OA＝2AN，即OA：ON＝2：3，設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b），得到N點(diǎn)坐標(biāo)為（32a，32b），由點(diǎn)A與點(diǎn)B都在y=kx圖象上，根據(jù)反比例函數(shù)的坐標(biāo)特點(diǎn)得B點(diǎn)坐標(biāo)為（32a，32b），由OA＝2AN，△OAB的面積為6，△NAB的面積為3，則△ONB的面積＝6+3＝9，根據(jù)三角形面積公式得12NB?OM＝9，即12×（32b-23b）×32a＝9，化簡得ab=725，即可得到k的值．
【詳解】解：過A點(diǎn)作AC⊥x軸于點(diǎn)C，如圖，
則AC∥NM，
∴△OAC∽△ONM，
∴OC：OM＝AC：NM＝OA：ON，
而OA＝2AN，即OA：ON＝2：3，
設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b），則OC＝a，AC＝b，
∴OM=32a，NM=32b，
∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（32a，32b），
∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為32a，設(shè)B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y，
∵點(diǎn)A與點(diǎn)B都在y=kx圖象上，
∴k＝ab=32a?y，
∴y=23b，即B點(diǎn)坐標(biāo)為（32a，23b），
∵OA＝2AN，△OAB的面積為6，
∴△NAB的面積為3，
∴△ONB的面積＝6+3＝9，
∴12NB?OM＝9，即12×（32b-23b）×32a＝9，
∴ab=725，
∴k=725．
故答案為：725．
6．（2021?浙江自主招生）如圖，點(diǎn)A在雙曲線y=kx（k＞0）上，過點(diǎn)A作AB⊥x軸，垂足為點(diǎn)B，分別以點(diǎn)O和點(diǎn)A為圓心，大于12OA的長為半徑作弧，兩弧相交于D，E兩點(diǎn)，作直線DE交x軸于點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)F（0，2），連接AC．若AC＝1，則k的值為 3225 ．
【點(diǎn)睛】如圖，設(shè)OA交CF于K．利用面積法求出OA的長，再利用相似三角形的性質(zhì)求出AB、OB即可解決問題．
【詳解】解：如圖，設(shè)OA交CF于K．
由作圖可知，CF垂直平分線段OA，
∴OC＝CA＝1，OK＝AK，
在Rt△OFC中，CF=OF2+OC2=5，
在Rt△OFC中，OK=1×25=255，
∴OA=455，
由△FOC∽△OBA，可得OFOB=OCAB=CFOA，
∴2OB=1AB=5455，
∴OB=85，AB=45，
∴A(85，45)，
∴k=3225．
故答案為：3225
7．（2021?棗莊）如圖，一次函數(shù)y＝kx+b（k、b為常數(shù)，k≠0）的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，且與反比例函數(shù)y=nx（n為常數(shù)，且n≠0）的圖象在第二象限交于點(diǎn)C．CD⊥x軸，垂足為D，若OB＝2OA＝3OD＝12．
（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；
（2）記兩函數(shù)圖象的另一個(gè)交點(diǎn)為E，求△CDE的面積；
（3）直接寫出不等式kx+b≤nx的解集．
【點(diǎn)睛】（1）根據(jù)三角形相似，可求出點(diǎn)C坐標(biāo)，可得一次函數(shù)和反比例函數(shù)解析式；
（2）聯(lián)立解析式，可求交點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）根據(jù)數(shù)形結(jié)合，將不等式轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)和反比例函數(shù)圖象關(guān)系．
【詳解】解：（1）由已知，OA＝6，OB＝12，OD＝4
∵CD⊥x軸
∴OB∥CD
∴△ABO∽△ACD
∴OAAD=OBCD
∴610=12CD
∴CD＝20
∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（﹣4，20）
∴n＝xy＝﹣80
∴反比例函數(shù)解析式為：y=-80x
把點(diǎn)A（6，0），B（0，12）代入y＝kx+b得：
0=6k+bb=12
解得：k=-2b=12
∴一次函數(shù)解析式為：y＝﹣2x+12
（2）當(dāng)-80x=-2x+12時(shí)，解得
x1＝10，x2＝﹣4
當(dāng)x＝10時(shí)，y＝﹣8
∴點(diǎn)E坐標(biāo)為（10，﹣8）
∴S△CDE＝S△CDA+S△EDA=12×20×10+12×8×10=140
（3）不等式kx+b≤nx，從函數(shù)圖象上看，表示各個(gè)象限一次函數(shù)圖象不高于反比例函數(shù)圖象，
∴由圖象得，不等式kx+b≤nx的解集﹣4≤x＜0或x≥10．

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