圓的基本性質(zhì)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　命題點1　圓的相關(guān)概念及基本性質(zhì)1．(2021·福建)如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB＝CD，A為的中點，∠BDC＝60°，則∠ADB等于（    ）A．40° B．50°C．60° D．70°　　　　2．(2021·江蘇淮安)如圖，點A，B，C在⊙O上，∠ACB＝54°，則∠ABO的度數(shù)是（    ）A．54°         B．27°        C．36°       D．108°3．(2021·江蘇揚州)如圖，由邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，點A，B，C都在格點上，以AB為直徑的圓經(jīng)過點C，D，則sin∠ADC的值為（    ）A． B．C． D．　　　　4．(2021·貴州安順)如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接正三角形，點O是圓心，點D，E分別在邊AC，AB上，若DA＝EB，則∠DOE的度數(shù)是            度．5．(2021·黑龍江牡丹江)AB是⊙O的弦，OM⊥AB，垂足為M，連接OA.若△AOM中有一個角是30°，OM＝2，則弦AB的長為           ．命題點2　圓內(nèi)接四邊形6．(2021·江蘇鹽城)如圖，在⊙O中，點A在上，∠BOC＝100°.則∠BAC＝           °.　　　　7．(2021·河北)有一題目：“已知：點O為△ABC的外心，∠BOC＝130°，求∠A.”嘉嘉的解答為畫△ABC以及它的外接圓O，連接OB，OC.如圖，由∠BOC＝2∠A＝130°，得∠A＝65°.而淇淇說：“嘉嘉考慮的不周全，∠A還應(yīng)有另一個不同的值．”下列判斷正確的是（    ）A．淇淇說的對，且∠A的另一個值是115°B．淇淇說的不對，∠A就得65°C．嘉嘉求的結(jié)果不對，∠A應(yīng)得50°D．兩人都不對，∠A應(yīng)有3個不同值課后練習(xí)1．(2021·安徽)已知點A，B，C在⊙O上，則下列命題為真命題的是（    ）A．若半徑OB平分弦AC，則四邊形OABC是平行四邊形B．若四邊形OABC是平行四邊形，則∠ABC＝120°C．若∠ABC＝120°，則弦AC平分半徑OBD．若弦AC平分半徑OB，則半徑OB平分弦AC2．(2021·山東煙臺)量角器測角度時擺放的位置如圖所示，在△AOB中，射線OC交邊AB于點D，則∠ADC的度數(shù)為（    ）A．60° B．70°C．80° D．85°　　3．(2021·山東泰安)如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直徑，AD＝8，則AC的長為（    ）A．4 B．4C． D．2 4．(2021·山東濟寧)如圖，在四邊形ABCD中，以AB為直徑的半圓O經(jīng)過點C，D.AC與BD相交于點E，CD2＝CE·CA，分別延長AB，DC相交于點P，PB＝BO，CD＝2.則BO的長是            _．5．(2021·浙江衢州)如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，AB＝10，AC＝6，連接OC，弦AD分別交OC，BC于點E，F，其中點E是AD的中點． (1)求證：∠CAD＝∠CBA.(2)求OE的長．          6．(2021·江蘇南京)如圖，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一點，⊙O經(jīng)過點A，C，D，交BC于點E，過點D作DF∥BC，交⊙O于點F.求證：(1)四邊形DBCF是平行四邊形．(2)AF＝EF.                 7．(2021·四川雅安)如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ABC＝60°，對角線BD平分∠ADC. (1)求證：△ABC是等邊三角形．(2)過點B作BE∥CD交DA的延長線于點E，若AD＝2，DC＝3，求△BDE的面積．          圓的基本性質(zhì)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　命題點1　圓的相關(guān)概念及基本性質(zhì)1．(2021·福建)如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB＝CD，A為的中點，∠BDC＝60°，則∠ADB等于(　A　)A．40° B．50°C．60° D．70°　　　　2．(2021·江蘇淮安)如圖，點A，B，C在⊙O上，∠ACB＝54°，則∠ABO的度數(shù)是(　C　)A．54°         B．27°        C．36°       D．108°3．(2021·江蘇揚州)如圖，由邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，點A，B，C都在格點上，以AB為直徑的圓經(jīng)過點C，D，則sin∠ADC的值為(　A　)A． B．C． D．　　　　4．(2021·貴州安順)如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接正三角形，點O是圓心，點D，E分別在邊AC，AB上，若DA＝EB，則∠DOE的度數(shù)是__120__度．5．(2021·黑龍江牡丹江)AB是⊙O的弦，OM⊥AB，垂足為M，連接OA.若△AOM中有一個角是30°，OM＝2，則弦AB的長為__12或4__．命題點2　圓內(nèi)接四邊形6．(2021·江蘇鹽城)如圖，在⊙O中，點A在上，∠BOC＝100°.則∠BAC＝__130__°.　　　　7．(2021·河北)有一題目：“已知：點O為△ABC的外心，∠BOC＝130°，求∠A.”嘉嘉的解答為畫△ABC以及它的外接圓O，連接OB，OC.如圖，由∠BOC＝2∠A＝130°，得∠A＝65°.而淇淇說：“嘉嘉考慮的不周全，∠A還應(yīng)有另一個不同的值．”下列判斷正確的是(　A　)A．淇淇說的對，且∠A的另一個值是115°B．淇淇說的不對，∠A就得65°C．嘉嘉求的結(jié)果不對，∠A應(yīng)得50°D．兩人都不對，∠A應(yīng)有3個不同值1．(2021·安徽)已知點A，B，C在⊙O上，則下列命題為真命題的是(　B　)A．若半徑OB平分弦AC，則四邊形OABC是平行四邊形B．若四邊形OABC是平行四邊形，則∠ABC＝120°C．若∠ABC＝120°，則弦AC平分半徑OBD．若弦AC平分半徑OB，則半徑OB平分弦AC2．(2021·山東煙臺)量角器測角度時擺放的位置如圖所示，在△AOB中，射線OC交邊AB于點D，則∠ADC的度數(shù)為(　C　)A．60° B．70°C．80° D．85°　　3．(2021·山東泰安)如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直徑，AD＝8，則AC的長為(　B　)A．4 B．4C． D．2 4．(2021·山東濟寧)如圖，在四邊形ABCD中，以AB為直徑的半圓O經(jīng)過點C，D.AC與BD相交于點E，CD2＝CE·CA，分別延長AB，DC相交于點P，PB＝BO，CD＝2.則BO的長是__4__．5．(2021·浙江衢州)如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，AB＝10，AC＝6，連接OC，弦AD分別交OC，BC于點E，F，其中點E是AD的中點． (1)求證：∠CAD＝∠CBA.(2)求OE的長．解：(1)證明：∵AE＝DE，OC為⊙O的半徑，∴＝，∴∠CAD＝∠CBA.(2)∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°.∵AE＝DE，∴OC⊥AD，∴∠AEC＝90°，∴∠AEC＝∠BCA.由(1)知∠CAE＝∠ABC，∴△AEC∽△BCA，∴＝，∴＝，∴CE＝3.6.∵OC＝AB＝5，∴OE＝OC－CE＝5－3.6＝1.4.6．(2021·江蘇南京)如圖，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一點，⊙O經(jīng)過點A，C，D，交BC于點E，過點D作DF∥BC，交⊙O于點F.求證：(1)四邊形DBCF是平行四邊形．(2)AF＝EF.解：(1)證明：∵AC＝BC，∴∠BAC＝∠B.∵DF∥BC，∴∠ADF＝∠B.∵∠BAC＝∠CFD，∴∠ADF＝∠CFD，∴BD∥CF.∵DF∥BC，∴四邊形DBCF是平行四邊形．(2)如圖，連接AE.∵∠ADF＝∠B，∠ADF＝∠AEF，∴∠AEF＝∠B.∵四邊形AECF是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠ECF＋∠EAF＝180°.∵BD∥CF，∴∠ECF＋∠B＝180°，∴∠EAF＝∠B，∴∠AEF＝∠EAF，∴AF＝EF.7．(2021·四川雅安)如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ABC＝60°，對角線BD平分∠ADC. (1)求證：△ABC是等邊三角形．(2)過點B作BE∥CD交DA的延長線于點E，若AD＝2，DC＝3，求△BDE的面積．解：(1)證明：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠ABC＋∠ADC＝180°.∵∠ABC＝60°，∴∠ADC＝120°.∵DB平分∠ADC，∴∠ADB＝∠CDB＝60°，∴∠ACB＝∠ADB＝60°，∠BAC＝∠CDB＝60°，∴∠ABC＝∠BCA＝∠BAC，∴△ABC是等邊三角形．(2)∵BE∥CD，∠ADC＝120°，∴∠E＝180°－∠ADC＝60°，∠EBD＝∠CDB＝60°，∴∠E＝∠EBD＝∠EDB，∴△BED為等邊三角形，∴BE＝BD.∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABC＝60°，∴∠EBD＝∠ABC，∴∠EBD－∠ABD＝∠ABC－∠ABD，即∠EBA＝∠DBC.∵AB＝BC，∴△EBA≌△DBC(SAS)，∴AE＝DC＝3，∴DE＝AE＋AD＝3＋2＝5.如圖，過點B作BM⊥DE于點M.易知BM＝DE＝×5＝，∴S△BDE＝DE·BM＝×5×＝. 

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