A．24°B．26°C．48°D．66°
2．（2022?阜新）如圖，A，B，C是⊙O上的三點，若∠C＝35°，則∠ABO的度數(shù)是（ ）
A．35°B．55°C．60°D．70°
3．（2022?巴中）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD交AB于點E，，∠CDB＝30°，AC＝2，則OE＝（ ）
A．B．C．1D．2
4．（2022?蘭州）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，CD是⊙O的直徑，∠ACD＝40°，則∠B＝（ ）
A．70°B．60°C．50°D．40°
5．（2022?牡丹江）如圖，BD是⊙O的直徑，A，C在圓上，∠A＝50°，∠DBC的度數(shù)是（ ）
A．50°B．45°C．40°D．35°
6．（2022?聊城）如圖，AB，CD是⊙O的弦，延長AB，CD相交于點P．已知∠P＝30°，∠AOC＝80°，則的度數(shù)是（ ）
A．30°B．25°C．20°D．10°
7．（2022?營口）如圖，點A，B，C，D在⊙O上，AC⊥BC，AC＝4，∠ADC＝30°，則BC的長為（ ）
A．4B．8C．4D．4
8．（2022?廣元）如圖，AB是⊙O的直徑，C、D是⊙O上的兩點，若∠CAB＝65°，則∠ADC的度數(shù)為（ ）
A．25°B．35°C．45°D．65°
命題點2 垂徑定理及其推論
類型一 垂徑定理及其推論有關(guān)的計算
9．（2022?云南）如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為E．若AB＝26，CD＝24，則∠OCE的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
19．（2022?安徽）已知⊙O的半徑為7，AB是⊙O的弦，點P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，則OP＝（ ）
A．B．4C．D．5
11．（2022?瀘州）如圖，AB是⊙O的直徑，OD垂直于弦AC于點D，DO的延長線交⊙O于點E．若AC＝4，DE＝4，則BC的長是（ ）
A．1B．C．2D．4
12．（2022?荊門）如圖，CD是圓O的弦，直徑AB⊥CD，垂足為E，若AB＝12，BE＝3，則四邊形ACBD的面積為（ ）
A．36B．24C．18D．72
13．（2022?日照）一圓形玻璃鏡面損壞了一部分，為得到同樣大小的鏡面，工人師傅用直角尺作如圖所示的測量，測得AB＝12cm，BC＝5cm，則圓形鏡面的半徑為 ．
14．（2022?長沙）如圖，A、B、C是⊙O上的點，OC⊥AB，垂足為點D，且D為OC的中點，若OA＝7，則BC的長為 ．
15．（2022?黑龍江）如圖，在⊙O中，弦AB垂直平分半徑OC，垂足為D，若⊙O的半徑為2，則弦AB的長為 ．
16．（2022?鹽城）證明：垂直于弦AB的直徑CD平分弦以及弦所對的兩條?。?br>類型二 垂徑定理的實際應(yīng)用
17．（2022?青海）如圖是一個隧道的橫截面，它的形狀是以點O為圓心的圓的一部分，如果C是⊙O中弦AB的中點，CD經(jīng)過圓心O交⊙O于點D，并且AB＝4m，CD＝6m，則⊙O的半徑長為 m．
18．（2022?自貢）一塊圓形玻璃鏡面碎成了幾塊，其中一塊如圖所示，測得弦AB長20厘米，弓形高CD為2厘米，則鏡面半徑為 厘米．
19．（2022?宜昌）石拱橋是我國古代人民勤勞和智慧的結(jié)晶（如圖1），隋代建造的趙州橋距今約有1400年歷史，是我國古代石拱橋的代表．如圖2是根據(jù)某石拱橋的實物圖畫出的幾何圖形，橋的主橋拱是圓弧形，表示為．橋的跨度（弧所對的弦長）AB＝26m，設(shè)所在圓的圓心為O，半徑OC⊥AB，垂足為D．拱高（弧的中點到弦的距離）CD＝5m．連接OB．
（1）直接判斷AD與BD的數(shù)量關(guān)系；
（2）求這座石拱橋主橋拱的半徑（精確到1m）．
命題點3 圓內(nèi)接四邊形
20．（2022?長春）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，若∠BCD＝121°，則∠BOD的度數(shù)為（ ）
A．138°B．121°C．118°D．112°
21．（2022?淮安）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，若∠AOC＝160°，則∠ABC的度數(shù)是（ ）
A．80°B．100°C．140°D．160°
22．（2022?株洲）如圖所示，等邊△ABC的頂點A在⊙O上，邊AB、AC與⊙O分別交于點D、E，點F是劣弧上一點，且與D、E不重合，連接DF、EF，則∠DFE的度數(shù)為（ ）
A．115°B．118°C．120°D．125°
23．（2022?雅安）如圖，∠DCE是⊙O內(nèi)接四邊形ABCD的一個外角，若∠DCE＝72°，那么∠BOD的度數(shù)為 ．
24．（2022?威海）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，連接AC，BD，延長CD至點E．
（1）若AB＝AC，求證：∠ADB＝∠ADE；
（2）若BC＝3，⊙O的半徑為2，求sin∠BAC．
25．（2022?湖北）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，點E為AB的中點，連接CE交BD于點F，延長CE交⊙O于點G，連接BG．
（1）求證：FB2＝FE?FG；
（2）若AB＝6，求FB和EG的長．
第二十講 圓的基本性質(zhì)
命題點1 圓周角定理及其推論有關(guān)的計算
1．（2022?朝陽）如圖，在⊙O中，點A是的中點，∠ADC＝24°，則∠AOB的度數(shù)是（ ）
A．24°B．26°C．48°D．66°
【答案】C
【解答】解：∵點A是的中點，
∴，
∴∠AOB＝2∠ADC＝2×24°＝48°．
故選：C．
2．（2022?阜新）如圖，A，B，C是⊙O上的三點，若∠C＝35°，則∠ABO的度數(shù)是（ ）
A．35°B．55°C．60°D．70°
【答案】B
【解答】解：連接OA，
∵∠C＝35°，
∴∠AOB＝2∠C＝70°，
∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO＝（180°﹣∠AOB）＝55°．
故選：B．
3．（2022?巴中）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD交AB于點E，，∠CDB＝30°，AC＝2，則OE＝（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【解答】解：如圖，連接BC，
∵AB為⊙O的直徑，，
∴AB⊥CD，
∵∠BAC＝∠CDB＝30°，，
∴AE＝AC?cs∠BAC＝3，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴，
∴OA＝2，
∴OE＝AE﹣OA＝1．
故選：C．
4．（2022?蘭州）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，CD是⊙O的直徑，∠ACD＝40°，則∠B＝（ ）
A．70°B．60°C．50°D．40°
【答案】C
【解答】解：∵CD是⊙O的直徑，
∴∠CAD＝90°，
∴∠ACD+∠D＝90°，
∵∠ACD＝40°，
∴∠ADC＝∠B＝50°．
故選：C．
5．（2022?牡丹江）如圖，BD是⊙O的直徑，A，C在圓上，∠A＝50°，∠DBC的度數(shù)是（ ）
A．50°B．45°C．40°D．35°
【答案】C
【解答】解：∵BD是⊙O的直徑，
∴∠BCD＝90°，
∵∠D＝∠A＝50°，
∴∠DBC＝90°﹣∠D＝40°．
故選：C．
6．（2022?聊城）如圖，AB，CD是⊙O的弦，延長AB，CD相交于點P．已知∠P＝30°，∠AOC＝80°，則的度數(shù)是（ ）
A．30°B．25°C．20°D．10°
【答案】C
【解答】解：連接BC，
∵∠AOC＝80°，
∴∠ABC＝40°，
∵∠P＝30°，
∴∠BCD＝10°，
∴的度數(shù)是20°．
故選：C．
7．（2022?營口）如圖，點A，B，C，D在⊙O上，AC⊥BC，AC＝4，∠ADC＝30°，則BC的長為（ ）
A．4B．8C．4D．4
【答案】A
【解答】解：連接AB，如圖所示，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°．
∵∠ADC＝30°，
∴∠ABC＝∠ADC＝30°．
∴在Rt△ABC中，
tan∠ABC＝，
∴BC＝．
∵AC＝4，
∴BC＝＝4．
故選：A．
8．（2022?廣元）如圖，AB是⊙O的直徑，C、D是⊙O上的兩點，若∠CAB＝65°，則∠ADC的度數(shù)為（ ）
A．25°B．35°C．45°D．65°
【答案】A
【解答】解：∵AB是直徑，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝65°，
∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝25°，
∴∠ADC＝∠ABC＝25°，
故選：A
命題點2 垂徑定理及其推論
類型一 垂徑定理及其推論有關(guān)的計算
9．（2022?云南）如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為E．若AB＝26，CD＝24，則∠OCE的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，AB⊥CD，
∴CE＝DE＝CD＝12，
∵AB＝26，
∴OC＝13．
∴cs∠OCE＝．
故選：B．
19．（2022?安徽）已知⊙O的半徑為7，AB是⊙O的弦，點P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，則OP＝（ ）
A．B．4C．D．5
【答案】D
【解答】解：如圖，過點O作OC⊥AB于點C，連接OB，
則OB＝7，
∵PA＝4，PB＝6，
∴AB＝PA+PB＝10，
∵OC⊥AB，
∴AC＝BC＝5，
∴PC＝PB﹣BC＝1，
在Rt△OBC中，根據(jù)勾股定理得：
OC2＝OB2﹣BC2＝72﹣52＝24，
在Rt△OPC中，根據(jù)勾股定理得：
OP＝＝＝5，
故選：D．
11．（2022?瀘州）如圖，AB是⊙O的直徑，OD垂直于弦AC于點D，DO的延長線交⊙O于點E．若AC＝4，DE＝4，則BC的長是（ ）
A．1B．C．2D．4
【答案】C
【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠C＝90°，
∵OD⊥AC，
∴點D是AC的中點，
∴OD是△ABC的中位線，
∴OD∥BC，且OD＝BC，
設(shè)OD＝x，則BC＝2x，
∵DE＝4，
∴OE＝4﹣x，
∴AB＝2OE＝8﹣2x，
在Rt△ABC中，由勾股定理可得，AB2＝AC2+BC2，
∴（8﹣2x）2＝（4）2+（2x）2，
解得x＝1．
∴BC＝2x＝2．
故選：C．
12．（2022?荊門）如圖，CD是圓O的弦，直徑AB⊥CD，垂足為E，若AB＝12，BE＝3，則四邊形ACBD的面積為（ ）
A．36B．24C．18D．72
【答案】A
【解答】解：如圖，連接OC，
∵AB＝12，BE＝3，
∴OB＝OC＝6，OE＝3，
∵AB⊥CD，
在Rt△COE中，EC＝，
∴CD＝2CE＝6，
∴四邊形ACBD的面積＝．
故選：A．
13．（2022?日照）一圓形玻璃鏡面損壞了一部分，為得到同樣大小的鏡面，工人師傅用直角尺作如圖所示的測量，測得AB＝12cm，BC＝5cm，則圓形鏡面的半徑為 ．
【答案】cm
【解答】解：連接AC，
∵∠ABC＝90°，且∠ABC是圓周角，
∴AC是圓形鏡面的直徑，
由勾股定理得：AC＝＝＝13（cm），
所以圓形鏡面的半徑為cm，
故答案為：cm．
14．（2022?長沙）如圖，A、B、C是⊙O上的點，OC⊥AB，垂足為點D，且D為OC的中點，若OA＝7，則BC的長為 ．
【答案】7
【解答】解：∵OA＝OC＝7，且D為OC的中點，
∴OD＝CD，
∵OC⊥AB，
∴∠ODA＝∠CDB＝90°，AD＝BD，
在△AOD和△BCD中，
∴△AOD≌△BCD（SAS），
∴BC＝OA＝7．
故答案為：7．
15．（2022?黑龍江）如圖，在⊙O中，弦AB垂直平分半徑OC，垂足為D，若⊙O的半徑為2，則弦AB的長為 ．
【答案】2
【解答】解：連接OA，由AB垂直平分OC，得到OD＝OC＝1，
∵OC⊥AB，
∴D為AB的中點，
則AB＝2AD＝2＝2＝2．
故答案為：2．
16．（2022?鹽城）證明：垂直于弦AB的直徑CD平分弦以及弦所對的兩條?。?br>【解答】如圖，CD為⊙O的直徑，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M．
求證：AM＝BM，，．
證明：連接OA、OB，
∵OA＝OB，
∴△OAB是等腰三角形，
∵AB⊥CD，
∴AM＝BM，∠AOC＝∠BOC，
∴，
類型二 垂徑定理的實際應(yīng)用
17．（2022?青海）如圖是一個隧道的橫截面，它的形狀是以點O為圓心的圓的一部分，如果C是⊙O中弦AB的中點，CD經(jīng)過圓心O交⊙O于點D，并且AB＝4m，CD＝6m，則⊙O的半徑長為 m．
【答案】
【解答】解：連接OA，如圖，設(shè)⊙O的半徑為rm，
∵C是⊙O中弦AB的中點，CD過圓心，
∴CD⊥AB，AC＝BC＝AB＝2m，
在Rt△AOC中，∵OA＝rm，OC＝（6﹣r）m，
∴22+（6﹣r）2＝r2，
解得r＝，
即⊙O的半徑長為m．
故答案為：．
18．（2022?自貢）一塊圓形玻璃鏡面碎成了幾塊，其中一塊如圖所示，測得弦AB長20厘米，弓形高CD為2厘米，則鏡面半徑為 厘米．
【答案】26
【解答】解：如圖，點O是圓形玻璃鏡面的圓心，連接OC，則點C，點D，點O三點共線，
由題意可得：OC⊥AB，AC＝AB＝10（厘米），
設(shè)鏡面半徑為x厘米，
由題意可得：x2＝102+（x﹣2）2，
∴x＝26，
∴鏡面半徑為26厘米，
故答案為：26．
19．（2022?宜昌）石拱橋是我國古代人民勤勞和智慧的結(jié)晶（如圖1），隋代建造的趙州橋距今約有1400年歷史，是我國古代石拱橋的代表．如圖2是根據(jù)某石拱橋的實物圖畫出的幾何圖形，橋的主橋拱是圓弧形，表示為．橋的跨度（弧所對的弦長）AB＝26m，設(shè)所在圓的圓心為O，半徑OC⊥AB，垂足為D．拱高（弧的中點到弦的距離）CD＝5m．連接OB．
（1）直接判斷AD與BD的數(shù)量關(guān)系；
（2）求這座石拱橋主橋拱的半徑（精確到1m）．
【解答】解：（1）∵OC⊥AB，
∴AD＝BD；
（2）設(shè)主橋拱半徑為R，由題意可知AB＝26，CD＝5，
∴BD＝AB＝13，
OD＝OC﹣CD＝R﹣5，
∵∠ODB＝90°，
∴OD2+BD2＝OB2，
∴（R﹣5）2+132＝R2，
解得R＝19.4≈19，
答：這座石拱橋主橋拱的半徑約為19m．
命題點3 圓內(nèi)接四邊形
20．（2022?長春）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，若∠BCD＝121°，則∠BOD的度數(shù)為（ ）
A．138°B．121°C．118°D．112°
【答案】C
【解答】解：∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∴∠A＝180°﹣121°＝59°，
∴∠BOD＝2∠A＝2×59°＝118°，
故選：C．
21．（2022?淮安）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，若∠AOC＝160°，則∠ABC的度數(shù)是（ ）
A．80°B．100°C．140°D．160°
【答案】B
【解答】解：∵∠AOC＝160°，
∴∠ADC＝∠AOC＝80°，
∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝180°﹣80°＝100°，
故選：B．
22．（2022?株洲）如圖所示，等邊△ABC的頂點A在⊙O上，邊AB、AC與⊙O分別交于點D、E，點F是劣弧上一點，且與D、E不重合，連接DF、EF，則∠DFE的度數(shù)為（ ）
A．115°B．118°C．120°D．125°
【答案】C
【解答】解：四邊形EFDA是⊙O內(nèi)接四邊形，
∴∠EFD+∠A＝180°，
∵等邊△ABC的頂點A在⊙O上，
∴∠A＝60°，
∴∠EFD＝120°，
故選：C．
23．（2022?雅安）如圖，∠DCE是⊙O內(nèi)接四邊形ABCD的一個外角，若∠DCE＝72°，那么∠BOD的度數(shù)為 ．
【答案】144°
【解答】解：∵∠DCE＝72°，
∴∠BCD＝180°﹣∠DCE＝108°，
∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，
∴∠A＝180°﹣∠BCD＝72°，
由圓周角定理，得∠BOD＝2∠A＝144°，
故答案為：144°．
24．（2022?威海）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，連接AC，BD，延長CD至點E．
（1）若AB＝AC，求證：∠ADB＝∠ADE；
（2）若BC＝3，⊙O的半徑為2，求sin∠BAC．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠ADE＝∠ABC，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ACB＝∠ADB，
∴∠ADB＝∠ADE；
（2）解：連接CO并延長交⊙O于點F，連接BF，
則∠FBC＝90°，
在Rt△BCF中，CF＝4，BC＝3，
∴sinF＝＝，
∵∠F＝∠BAC，
∴sin∠BAC＝．
25．（2022?湖北）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，點E為AB的中點，連接CE交BD于點F，延長CE交⊙O于點G，連接BG．
（1）求證：FB2＝FE?FG；
（2）若AB＝6，求FB和EG的長．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝BC，
∴．
∴∠DBA＝∠G．
∵∠EFB＝∠BFG，
∴△EFB∽△BFG，
∴，
∴FB2＝FE?FG；
（2）解：連接OE，如圖，
∵AB＝AD＝6，∠A＝90°，
∴BD＝＝6．
∴OB＝BD＝3．
∵點E為AB的中點，
∴OE⊥AB，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC⊥AB，∠DBA＝45°，AB＝BC，
∴OE∥BC，OE＝BE＝AB．
∴．
∴，
∴，
∴BF＝2；
∵點E為AB的中點，
∴AE＝BE＝3，
∴EC＝＝3．
∵AE?BE＝EG?EC，
∴EG＝．

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