2021-2022學(xué)年浙江省杭州市桐廬中學(xué)高一上學(xué)期12月階段性測(cè)試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．的值是（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值．【詳解】解：，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，給角求值，“負(fù)化正、大化小、小化銳、銳求值”．2．用二分法求方程的近似解時(shí)，可以取的一個(gè)區(qū)間是（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)并判斷其單調(diào)性，借助零點(diǎn)存在性定理即可得解.【詳解】，令，在上單調(diào)遞增，并且圖象連續(xù)，，，在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，所以可以取的一個(gè)區(qū)間是.故選：B3．已知扇形的周長(zhǎng)為，扇形圓心角的弧度數(shù)是，則扇形的面積為（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)公式以及周長(zhǎng)得出半徑，再由公式得出面積.【詳解】設(shè)扇形的半徑為，弧長(zhǎng)為，因?yàn)樯刃蔚闹荛L(zhǎng)為，所以，即，故扇形的面積為.故選：C4．已知，，，則（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】結(jié)合指數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分別確定的范圍,進(jìn)而可比較大小得選項(xiàng).【詳解】解:，，，故.故選：B.5．下列函數(shù)中，以為周期且在區(qū)間(，)單調(diào)遞增的是A．f(x)=│cos 2x│ B．f(x)=│sin 2x│C．f(x)=cos│x│ D．f(x)= sin│x│【答案】A【分析】本題主要考查三角函數(shù)圖象與性質(zhì)，滲透直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)．畫出各函數(shù)圖象，即可做出選擇．【詳解】因?yàn)?/span>圖象如下圖，知其不是周期函數(shù)，排除D；因?yàn)?/span>，周期為，排除C，作出圖象，由圖象知，其周期為，在區(qū)間單調(diào)遞增，A正確；作出的圖象，由圖象知，其周期為，在區(qū)間單調(diào)遞減，排除B，故選A．【點(diǎn)睛】利用二級(jí)結(jié)論：①函數(shù)的周期是函數(shù)周期的一半；②不是周期函數(shù)；6．在一次數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中，某同學(xué)運(yùn)用圖形計(jì)算器集到如下一組數(shù)據(jù)：1234580.51.52.082.52.853.5 在四個(gè)函數(shù)模型（a，b為待定系數(shù)）中，最能反映x，y函數(shù)關(guān)系的是（       ）A． B．C． D．【答案】C【解析】根據(jù)選項(xiàng)中函數(shù)的遞增特征進(jìn)行判斷即可.【詳解】根據(jù)數(shù)據(jù)可以知道：當(dāng)自變量每增加1時(shí)，y的增加是不相同的，所以不是線性增加，排除A；當(dāng)自變量增加到8時(shí)，y的增加也不是很多，所以不符合指數(shù)的增加特征，排除B；當(dāng)x增加時(shí)，y是緩慢增加，并沒(méi)有靠近一常數(shù)的特征，所以排除D.故選：C7．函數(shù)在區(qū)間（，）內(nèi)的圖象是( 　 )A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：函數(shù)y=tanx+sinx-|tanx-sinx|=   分段畫出函數(shù)圖象如D圖示，故選D．8．已知函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，，是其圖象上的兩點(diǎn)，那么 的解集為（       ）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意可得，，所要解的不等式等價(jià)于，再利用單調(diào)性脫掉，可得，再結(jié)合正弦函數(shù)的圖象即可求解.【詳解】由可得，因?yàn)?/span>，是函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，所以，，所以，因?yàn)?/span>是定義在上的增函數(shù)，可得，解得：，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可得，所以原不等式的解集為，故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵點(diǎn)是將要解得不等式轉(zhuǎn)化為利用單調(diào)性可得.二、多選題9．下列關(guān)于函數(shù)的說(shuō)法正確的是（       ）A．在區(qū)間上單調(diào)遞增 B．最小正周期是C．圖像關(guān)于成中心對(duì)稱 D．圖像關(guān)于直線成軸對(duì)稱【答案】BC【分析】由正切函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，又正切函數(shù)在和上單調(diào)遞增，但在上不是單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤；函數(shù)的周期為，故B正確；由可知，當(dāng)時(shí)，，即其圖像關(guān)于成中心對(duì)稱，故C正確；因?yàn)檎泻瘮?shù)無(wú)對(duì)稱軸，故D錯(cuò)誤；故選：BC10．下列化簡(jiǎn)正確是（       ）A．若，則B．C．D．【答案】AB【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系逐一證明即可.【詳解】，故A正確；，故B正確；，故C錯(cuò)誤；，故D錯(cuò)誤；故選：AB11．已知實(shí)數(shù)，滿足等式，則下列不等式可能成立的是（       ）A． B． C． D．【答案】AD【分析】作出函數(shù)與函數(shù)的圖像，分，兩種情況求解.【詳解】作出函數(shù)與函數(shù)的圖像，如圖，當(dāng)時(shí)，根據(jù)圖像得，故A選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，根據(jù)圖像得，故D選項(xiàng)正確；故選：AD.12．一半徑為4米的水輪如圖所示，水輪圓心O距離水面2米，已知水輪每60秒逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(shí)（圖中點(diǎn)）開(kāi)始計(jì)時(shí)，則（       ）A．點(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)需要20秒B．當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動(dòng)155秒時(shí)，點(diǎn)P距離水面2米C．當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動(dòng)50秒時(shí)，點(diǎn)P在水面下方，距離水面2米D．點(diǎn)P距離水面的高度h（米）與t（秒）的函數(shù)解析式為【答案】ABC【解析】設(shè)點(diǎn)P距離水面的高度h（米）和時(shí)間t（秒）的函數(shù)解析式為,根據(jù)題意，求出的值，對(duì)照四個(gè)選項(xiàng)一一驗(yàn)證.【詳解】設(shè)點(diǎn)P距離水面的高度h（米）和時(shí)間t（秒）的函數(shù)解析式為，由題意得：解得：∴.故D錯(cuò)誤；對(duì)于A.令h=6，即，解得：t=20，故A對(duì)；對(duì)于B令t =155，代入，解得：h=2，故B對(duì)；對(duì)于C. 令t =50，代入，解得：h= -2，故C 對(duì).故選：ABC【點(diǎn)睛】(1)多項(xiàng)選擇題是2020年高考新題型，需要要對(duì)選項(xiàng)一一驗(yàn)證；(2)在實(shí)際問(wèn)題中求三角函數(shù)解析式的方法：①求A通常用最大值或最小值；②求ω通常用周期；③求φ通常利用函數(shù)上的點(diǎn)代入即可求解.三、填空題13．若，則________【答案】【分析】先求出，再利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算公式化簡(jiǎn)求值.【詳解】，從而，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算和換底公式，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.14．已知，，則 __________ .【答案】【分析】根據(jù)，可判斷的符號(hào)，再將平方結(jié)合平方關(guān)系即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)?/span>，所以，即，因?yàn)?/span>，所以，所以.故答案為：.15．設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，若對(duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.【答案】【分析】根據(jù)題意可得，利用函數(shù)的單調(diào)性可得，整理得到對(duì)上恒成立，設(shè)，進(jìn)而列出不等式組，解之即可.【詳解】因?yàn)?/span>是定義在R上的偶函數(shù)，且對(duì)恒有，所以，因?yàn)?/span>時(shí)，，所以，又函數(shù)在上得到遞增，所以，兩邊同時(shí)平方，得，即，令，即對(duì)恒小于或等于0，所以，即，解得.即b的取值范圍為.故答案為：四、雙空題16．已知角終邊上一點(diǎn)，______，____________.【答案】          4【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求出，再由計(jì)算.【詳解】，則故答案為：；417．若，則___________，_________.【答案】          【分析】分析所求值的角與已知值的角的關(guān)系，借助三角函數(shù)誘導(dǎo)公式即可作答.【詳解】因，則；.故答案為：；五、解答題18．已知函數(shù).若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為.（1）求函數(shù)的解析式；（2）求出在上的單調(diào)遞增區(qū)間.【答案】（1）；（2）和.【分析】（1）根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個(gè)量的值，即可得出函數(shù)的解析式；（2）由可計(jì)算出的取值范圍，利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性可求得函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】（1）由題意知，若，則，所以，又因?yàn)?/span>，所以，得，所以；（2）因?yàn)?/span>，所以，正弦函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞增區(qū)間為和，此時(shí)即或，得或，所以在上的遞增區(qū)間為和.19．2020年初，新冠肺炎疫情襲擊全國(guó)，對(duì)人民生命安全和生產(chǎn)生活造成嚴(yán)重影響在黨和政府強(qiáng)有力的抗疫領(lǐng)導(dǎo)下，我們控制住了疫情接著我們一方面防止境外疫情輸入，另一方面逐步復(fù)工復(fù)產(chǎn)，減輕經(jīng)濟(jì)下降對(duì)企業(yè)和民眾帶來(lái)的損失為降低疫情影響，某廠家擬在2020年舉行某產(chǎn)品的促銷活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查測(cè)算，該產(chǎn)品的年銷售量即該廠的年產(chǎn)量萬(wàn)件與年促銷費(fèi)用m萬(wàn)元滿足（k為常數(shù)），如果不搞促銷活動(dòng)，則該產(chǎn)品的年銷售量只能是2萬(wàn)件已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬(wàn)元，每生產(chǎn)一萬(wàn)件該產(chǎn)品需要再投入16萬(wàn)元，廠家將產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品元（1）將2020年該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬(wàn)元表示為年促銷費(fèi)用m萬(wàn)元的函數(shù)；（2）該廠家2020年的促銷費(fèi)用投入多少萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大？【答案】（1）；（2）3萬(wàn)元.【解析】（1）根據(jù)題意，時(shí)，，求出，由利潤(rùn)銷售收入固定成本投入成本促銷費(fèi)用，即可求解. （2）由（1）的表達(dá)式，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】解：由題意知，當(dāng)時(shí)，萬(wàn)件，則，解得，．因?yàn)槊考a(chǎn)品的銷售價(jià)格為元，所以2020年的利潤(rùn)．由（1）可知，令，所以，由在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增，所以在取得最小值，即，所以，所以，故該廠家2020年的促銷費(fèi)用投入3萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大為29萬(wàn)元．20．已知函數(shù)的最小值為，且.（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）求函數(shù)的最大值，并求此時(shí)x的取值集合.【答案】（1）；（2）最大值5，.【解析】（1）先將代入化簡(jiǎn)可得，再令，，，討論二次函數(shù)對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系即可求得最小值，令即可求解；（2）由（1）可得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得時(shí)取得最大值，進(jìn)而可求得此時(shí)x的取值集合.【詳解】（1）由題意得：，令，則.所以，，①當(dāng)時(shí)，即；在單調(diào)遞增，，所以不成立；②當(dāng)，即；，整理可得：，解得：或（舍去）；③當(dāng)時(shí)，即，在單調(diào)遞減，，解得：，不滿足，不成立，綜上所述：.（2）當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?/span>，所以當(dāng)，即，時(shí)，.綜上，當(dāng)的取值集合為時(shí)，函數(shù)y的最大值為5．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是將表述為關(guān)于的函數(shù)，再換元令，得到關(guān)于的二次函數(shù)，討論對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系求出.21．已知，函數(shù).（1）設(shè)，若對(duì)任意，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過(guò)2，求a的最小值；（2）若關(guān)于x的方程的解集中恰好只有一個(gè)元素，求a的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）按照復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性分析方法分析的單調(diào)性，求出最值，建立關(guān)于a的不等式.再利用恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求最值問(wèn)題求解.（2）化簡(jiǎn)方程，轉(zhuǎn)化為二次方程在某范圍內(nèi)只有一個(gè)解，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分析a的取值范圍.【詳解】解：由題意得（1）因?yàn)?/span>在上為減函數(shù)，所以又因?yàn)?/span>在為增函數(shù)，所以所以在恒成立，即在恒成立，即在恒成立，等價(jià)為在的最小值大于等于0，因?yàn)?/span>在為增函數(shù)，所以即，所以的最小值為.（2）方程，即可轉(zhuǎn)化為，且②當(dāng)即時(shí)，，符合題意；②當(dāng)即時(shí)，，（i）當(dāng)時(shí)，符合題意（ii）當(dāng)時(shí)，且時(shí)，要滿足題意，則有或無(wú)解綜上可得，的取值范圍.【點(diǎn)睛】二次函數(shù)、二次方程與二次不等式統(tǒng)稱“三個(gè)二次”，它們常結(jié)合在一起，有關(guān)二次函數(shù)的問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合，密切聯(lián)系圖象是探求解題思路的有效方法．一般從：①開(kāi)口方向；②對(duì)稱軸位置；③判別式；④端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)四個(gè)方面分析． 

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