2022-2023學(xué)年浙江省杭州市第十四中學(xué)高二下學(xué)期階段性測(cè)試（期中）數(shù)學(xué)試題含解析

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2022-2023學(xué)年浙江省杭州市第十四中學(xué)高二下學(xué)期階段性測(cè)試（期中）數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，則的值為（    ）A． B．1 C． D．0【答案】B【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，代入計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，所以.故選：B2．計(jì)算的值是（    ）A．70 B．245 C．1050 D．1680【答案】B【分析】由排列數(shù)，組合數(shù)定義可得答案.【詳解】.故選：B3．函數(shù)的大致圖象為（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出函數(shù)的定義域，分析函數(shù)的奇偶性以及該函數(shù)在區(qū)間上的函數(shù)值符號(hào)，結(jié)合排除法可得出合適的選項(xiàng).【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，且，，所以，函數(shù)為偶函數(shù)，排除BC選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，則，排除D選項(xiàng).故選：A.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)圖象的辨識(shí)可從以下方面入手：（1）從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；（2）從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．（3）從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；（4）從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性；（5）函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象.4．設(shè)圓：，若直線在軸上的截距為，則與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（    ）A． B． C． D．以上都有可能【答案】C【分析】利用直線過定點(diǎn)，判斷定點(diǎn)在圓內(nèi)即可．【詳解】解：直線在軸上的截距為，直線過定點(diǎn)，，點(diǎn)在圓內(nèi)，直線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為個(gè)．故選：．5．由倫敦著名建筑事務(wù)所Steyn Studio設(shè)計(jì)的南非雙曲線大教堂驚艷世界，該建筑是數(shù)學(xué)與建筑完美結(jié)合造就的藝術(shù)品．若將如圖所示的大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線（，）下支的一部分，且此雙曲線的一條漸近線為，下焦點(diǎn)到下頂點(diǎn)的距離為1，則該雙曲線的方程為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程寫出漸近線方程，由已知漸近線方程得到，又下焦點(diǎn)到下頂點(diǎn)的距離為1，得到 關(guān)系，結(jié)合解出 即可.【詳解】因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，又雙曲線的一條漸近線為，所以 即 ，又下焦點(diǎn)到下頂點(diǎn)的距離為1，所以，結(jié)合解得，，故選：A．6．第十九屆亞運(yùn)會(huì)在杭州舉行，某項(xiàng)目比賽期間需要安排3名志愿者完成5項(xiàng)工作，每人至少完成一項(xiàng)，每項(xiàng)工作由一人完成，則不同的安排方式共有多少種（    ）A．25 B．100 C．150 D．300【答案】C【分析】根據(jù)題意先考慮工作的分組情況，再利用部分平均分組的方法計(jì)算即可.【詳解】由題意可得該5項(xiàng)工作可以分為1、1、3三組或1、2、2三組兩種情況，對(duì)于1、1、3三組，有種分法；對(duì)于1、2、2三組，有分法；故將五項(xiàng)工作分成三組有10+15=25種分法，安排到3人有種安排方式.故選：C7．已知是數(shù)列的前n項(xiàng)和，，，當(dāng)數(shù)列的前n項(xiàng)和取得最大值時(shí)，n的值為（    ）A．30 B．31 C．32 D．33【答案】C【分析】由遞推式得到，結(jié)合等差中項(xiàng)知為等差數(shù)列，進(jìn)而寫出其通項(xiàng)公式并判斷單調(diào)性，最后判斷上各項(xiàng)的符號(hào)，即可確定前n項(xiàng)和取得最大值時(shí)n的值.【詳解】①，則②，②－①得：，即，則數(shù)列為等差數(shù)列，且，由得：，則公差，所以，數(shù)列單調(diào)遞減，而，，，......，設(shè)，當(dāng)時(shí)，，且，，當(dāng)時(shí)，恒成立，顯然，，即數(shù)列的前32項(xiàng)和最大.故選：C8．設(shè)對(duì)于曲線上任一點(diǎn)處的切線，總存在曲線上一點(diǎn)處的切線，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題設(shè)兩曲線任意一點(diǎn)切線斜率分別為、，根據(jù)垂直關(guān)系及指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)的性質(zhì)確定、的范圍，進(jìn)而判斷包含關(guān)系，即可求參數(shù)范圍.【詳解】由，則的切線斜率為，由，則的切線斜率為，而兩曲線上總存在切線、有，即，而，即，故，所以，解得，即.故選：D 二、多選題9．箱子中有6個(gè)大小、材質(zhì)都相同的小球，其中4個(gè)紅球，2個(gè)白球．每次從箱子中隨機(jī)的摸出一個(gè)球，摸出的球不放回．設(shè)事件A表示“第1次摸球，摸到紅球”，事件B表示“第2次摸球，摸到紅球”則下列結(jié)論正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】AD【分析】利用條件概率及全概率公式進(jìn)行求解.【詳解】，A正確；，由全概率公式可知：所以BC錯(cuò)誤，D正確.故選：AD10．下列說法正確的是（    ）A．若數(shù)列是等差數(shù)列，且，則B．若是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，則成等差數(shù)列C．若是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，則成等比數(shù)列D．若是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，且（其中是非零常數(shù)，），則為零【答案】BD【分析】根據(jù)題意，由等差數(shù)列的通項(xiàng)與求和公式，以及等比數(shù)列的通項(xiàng)與求和公式，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】對(duì)于A，取數(shù)列為常數(shù)列，對(duì)任意的，都有，故錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則，同理，所以，所以成等差數(shù)列，故正確；對(duì)于C，設(shè)，則，，所以此數(shù)列不是等比數(shù)列，故錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?/span>，所以此數(shù)列為首項(xiàng)是，公比為的等比數(shù)列，則，所以，所以，故正確.故選:BD11．如圖，已知ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，DE，分別是ABAC，的中點(diǎn)，將ADE沿著DE翻折，使點(diǎn)A到點(diǎn)P處，得到四棱錐P?BCED，則（    ）A．翻折過程中，直線BC始終與平面PDE平行B．存在某個(gè)點(diǎn)P位置，滿足平面PDE⊥平面PBCC．翻折過程中，該四棱錐的體積有最大值為3D．當(dāng)時(shí)，該四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)所在球的表面積為【答案】ACD【分析】A選項(xiàng)，通過說明可判斷選項(xiàng)正誤；B選項(xiàng)，如圖建立以DE中點(diǎn)F為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，利用平面PDE法向量與平面PBC法向量互相垂直可判斷選項(xiàng)正誤；C選項(xiàng)，易知當(dāng)平面PDE⊥平面DBCE時(shí)，四棱錐體積最大，計(jì)算體積即可判斷選項(xiàng)正誤；D選項(xiàng)，結(jié)合B選項(xiàng)分析與可得P坐標(biāo)，后算出四邊形DBCE外接圓圓心坐標(biāo)，球心坐標(biāo)，即可得相應(yīng)球表面積.【詳解】A選項(xiàng)，注意到在翻折過程中，始終有又平面PDE，平面PDE，則BC始終與平面PDE平行，故A正確；B選項(xiàng)，取DE中點(diǎn)為F，BC中點(diǎn)為G，連接AF，PF，FG. 如圖建立以F為原點(diǎn)，AF所在直線為y軸，FD所在直線為x軸，過P點(diǎn)且與平面DBCE垂直直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系.由題可得，且翻折過程中，P點(diǎn)在yOz平面上，設(shè)，則，由題.則.,.設(shè)平面PDE法向量為，則，取.設(shè)平面PBC法向量為，則，取.因平面PDE⊥平面PBC，則不存在，則不存在相應(yīng)的P點(diǎn)，使PDE⊥平面PBC，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，易知當(dāng)平面PDE⊥平面DBCE時(shí)，四棱錐體積最大，此時(shí)為底面對(duì)應(yīng)高，則，其中，.則，故C正確.D選項(xiàng)，因，，則可得..設(shè)四邊形DBCE外接圓圓心坐標(biāo)為，由題知其在y軸上，則.因，則，.則外接球球心O在過且與平面DBCE垂直的直線上，設(shè)為.又，則，.則外接球半徑為：.故外接球表面積為.故D正確.故選：ACD12．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且（，2，…），則（    ）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，只需判斷；對(duì)于B選項(xiàng)，通過通項(xiàng)公式可求得；對(duì)于C選項(xiàng)，將條件轉(zhuǎn)化為，舉出反例即可判斷；對(duì)于D選項(xiàng)，將數(shù)列放縮成等比數(shù)列求和，即可判斷.【詳解】由條件，兩邊同時(shí)除以，得，∴，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，∴，∴，對(duì)于A選項(xiàng)，∵，∴，∴，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B，，所以B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，，等價(jià)于，因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，，∴，又，∴，∴，故D選項(xiàng)正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由，得，是解決本題得關(guān)鍵. 三、填空題13．二項(xiàng)式的展開式的常數(shù)項(xiàng)等于_____________．【答案】【分析】在二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式中，令的冪指數(shù)等于，求出的值，即可求得常數(shù)項(xiàng).【詳解】二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為：，令，求得，所以展開式的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：14．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則______．【答案】【分析】根據(jù)概率之和為1，求得，再利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性得，即可求得答案.【詳解】解：因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)殡S機(jī)變量服從正態(tài)分布，所以，所以.故答案為：0.6.15．如圖為我國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽（約3世紀(jì)初）在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)驗(yàn)證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在提供種不同的顏色給其中個(gè)小區(qū)域涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不同，則，區(qū)域涂同色的概率為_____________．【答案】【分析】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理求出所有的涂色種數(shù)，再求出，區(qū)域涂同色情況，最后利用古典概型的概率公式計(jì)算可得.【詳解】依題意分4步進(jìn)行分析：①，對(duì)于區(qū)域，有6種顏色可選；②，對(duì)于區(qū)域，與區(qū)域相鄰，有5種顏色可選；③，對(duì)于區(qū)域，與、區(qū)域相鄰，有4種顏色可選；④，對(duì)于區(qū)域、，若與顏色相同，區(qū)域有4種顏色可選，若與顏色不相同，區(qū)域有3種顏色可選，區(qū)域有3種顏色可選，則區(qū)域、有種選擇，綜上可得不同的涂色方案有種.其中與顏色相同的有種，所以，區(qū)域涂同色的概率.故答案為：16．已知不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為___________.【答案】【分析】先將不等式變形為，再構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性可得，，再分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為，然后求出函數(shù)的最小值，即解出．【詳解】由題意，不等式可變形為，得對(duì)任意恒成立.設(shè)，則對(duì)任意恒成立，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，，因?yàn)榍髮?shí)數(shù)的最小值，所以考慮的情況，此時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以要使，只需，兩邊取對(duì)數(shù)，得上，由于，所以.令，則，令，得，易得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以，所以實(shí)數(shù)的最小值為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：求解不等式問題的關(guān)鍵：（1）適當(dāng)變形，靈活轉(zhuǎn)化，結(jié)合題設(shè)條件，有時(shí)需要對(duì)不等式進(jìn)行“除法”變形，從而分離參數(shù)，有時(shí)需要進(jìn)行移項(xiàng)變形，可使不等式兩邊具有相同的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)；（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解，若分離參數(shù)，則直接構(gòu)造函數(shù)，并借助導(dǎo)數(shù)加以求解，若轉(zhuǎn)化為不等式兩邊具有相同的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，則可根據(jù)該結(jié)構(gòu)特點(diǎn)構(gòu)造函數(shù)，并借助導(dǎo)數(shù)加以求解. 四、解答題17．已知平面向量，，函數(shù)．(1)求的單調(diào)增區(qū)間．(2)在△ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，若，，求△ABC周長(zhǎng)的取值范圍．【答案】(1)(2) 【分析】(1)利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求出，再通過二倍角與輔助角公式化簡(jiǎn)，帶入三角函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間即可求得；(2)代入已知條件，余弦定理可以獲得邊之間的關(guān)系，再結(jié)合基本不等式即可求得周長(zhǎng)的取值范圍.【詳解】（1），所以令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為;（2）因?yàn)?/span>，即，解得，即，因?yàn)?/span>A為三角形的內(nèi)角，所以，又因?yàn)?/span>，所以，即即，解得，又因?yàn)?/span>a，b，c是的邊，所以，故△ABC周長(zhǎng).所以周長(zhǎng)的取值范圍是.18．如圖所示，在三棱柱中，底面是正三角形，側(cè)面是菱形，點(diǎn)在平面的射影為線段的中點(diǎn)，過點(diǎn)，，的平面與棱交于點(diǎn)．(1)證明：四邊形是矩形；(2)求平面和平面夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）先根據(jù)線面平行的判定定理，性質(zhì)定理證出四邊形是平行四邊形，再由條件可證得平面，于是，從而四邊形是矩形；（2）由（1）知，，兩兩垂直，以，，所在直線分別為軸?軸?軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，再分別求出平面，平面的一個(gè)法向量，然后根據(jù)二面角的向量公式即可求出．【詳解】（1）連接，，在三棱柱中，側(cè)面為平行四邊形，所以，因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面，因?yàn)?/span>平面，且平面平面，所以，因此，因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以為中點(diǎn)，所以，所以四邊形為平行四邊形，在正中，因?yàn)?/span>是的中點(diǎn)，所以，由題可知平面，平面，所以，，因?yàn)?/span>，平面，所以平面，又平面，所以，故四邊形為矩形.（2）由（1）知，，兩兩垂直，以，，所在直線分別為軸?軸?軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則.在中，，，所以.于是，，，，，，.設(shè)平面的法向量為，由，得，取.設(shè)平面的法向量為，由，得，取.設(shè)平面和平面夾角為，則，故平面和平面夾角的余弦值為.19．甲、乙兩個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員互不影響地在同一位置投球，命中率分別為與，且乙投球2次均未命中的概率為.（Ⅰ）求乙投球的命中率；（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，兩人共命中的次數(shù)記為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）的分布列為0123的數(shù)學(xué)期望【詳解】試題分析：對(duì)于問題（I）由題目條件并結(jié)合間接法，即可求出乙投球的命中率；對(duì)于問題（II），首先列出兩人共命中的次數(shù)的所有可能的取值情況，再根據(jù)題目條件分別求出取各個(gè)值時(shí)所對(duì)應(yīng)的概率，就可得到的分布列．試題解析：（I）設(shè)“甲投球一次命中”為事件，“乙投球一次命中”為事件.由題意得解得或（舍去），所以乙投球的命中率為.（II）由題設(shè)知（I）知，，，，可能取值為故，，的分布列為 【解析】1、概率；2、離散型隨機(jī)變量及其分布列. 20．已知函數(shù)，對(duì)任意，都有．(1)求的值．(2)數(shù)列滿足：，求數(shù)列前項(xiàng)和．(3)若，證明：【答案】(1)(2)(3)證明見解析 【分析】（1）依題意令，即可得解；（2）令可得，再利用倒序相加法得到，從而得到，最后利用錯(cuò)位相減法計(jì)算可得；（3）利用放縮法得到，利用裂項(xiàng)相消法計(jì)算可得.【詳解】（1）因?yàn)閷?duì)任意，都有，令，所以，所以.（2）因?yàn)?/span>，令，則，①，又②，兩式相加得：，所以．，所以③，④，③④可得，，所以；（3）由（2）可知，所以，所以，所以.21．已知橢圓，，為左、右焦點(diǎn)，直線過交橢圓于，兩點(diǎn)．(1)若直線垂直于軸，求；(2)當(dāng)時(shí)，在軸上方時(shí)，求、的坐標(biāo)；(3)若直線交軸于，直線交軸于，是否存在直線，使得，若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)，(3)存在，或 【分析】（1）由題意方程求得右焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)一步求得，的坐標(biāo)，則可求；（2）設(shè)，由，利用數(shù)量積為0求得與的方程，再由在橢圓上，得與的另一方程，聯(lián)立即可求得的坐標(biāo)．得到直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立即可求得的坐標(biāo)；（3）設(shè)，，，，直線，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，結(jié)合，得，再由直線的方程：，得縱坐標(biāo)，由直線的方程：，得的縱坐標(biāo)，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，得，解得值，從而得到直線方程．【詳解】（1）解：依題意，，當(dāng)軸時(shí)，將代入，解得，則，，所以；（2）解：設(shè)，，，，所以，，又在橢圓上，滿足，即，，解得，即．所以直線，聯(lián)立，解得或，所以；（3）設(shè)，，，，直線，則，．聯(lián)立，得．則，．由直線的方程：，得縱坐標(biāo)；由直線的方程：，得的縱坐標(biāo)．若，即，，，，代入根與系數(shù)的關(guān)系，得，解得．存在直線或滿足題意．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解析幾何中與弦長(zhǎng)相關(guān)的三角形面積常有兩種求法：（1），其中為弦長(zhǎng)，為另一頂點(diǎn)到直線的距離；（2）面積等于水平寬與鉛垂高積的一半.22．已知函數(shù)，.(1)討論的單調(diào)性；(2)設(shè)函數(shù)，試判斷在內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】(1)在區(qū)間，上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增(2)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2 【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)區(qū)間即可.（2）首先將題意轉(zhuǎn)化為根的個(gè)數(shù)，設(shè)，再分類討論與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，令，得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間，上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.（2）令，得.設(shè)，所以.①當(dāng)時(shí)，可知，則，所以，又，，所以，從而在上單調(diào)遞減，又，，由零點(diǎn)存在定理及的單調(diào)性，得在上有一個(gè)零點(diǎn).②當(dāng)時(shí)，，由（1）知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以時(shí)，函數(shù)，則.所以，則恒成立.所以在上無零點(diǎn).③當(dāng)時(shí)，，，則在上單調(diào)遞增.又，，所以在上存在一個(gè)零點(diǎn).綜上，在內(nèi)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，即在內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.