?專項(xiàng)2.6解答（20道）（期末篇）
姓名：___________考號：___________分?jǐn)?shù)：___________

（考試時(shí)間：100分鐘 滿分：120分）
1．在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，交反比例函數(shù)圖像于點(diǎn)．

（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若四邊形為平行四邊形，求直線的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在（2）問的條件下，直接寫出關(guān)于的不等式的解集．
【答案】（1）；（2）；（3）或
【分析】
（1）根據(jù)一次函數(shù)的解析式，令求解即可；
（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，設(shè)出B的坐標(biāo)，再根據(jù)反比例函數(shù)解析式求出B的坐標(biāo)，然后結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)，得到P的坐標(biāo)，最后利用待定系數(shù)法求解即可；
（3）對原不等式進(jìn)行變形，然后結(jié)合函數(shù)與不等式之間的聯(lián)系判斷取值范圍即可．
【詳解】
（1）對于一次函數(shù)，
令，得：，
解得：，
∴的坐標(biāo)為；
（2）∵AB⊥x軸，
∴A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，即B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2，
將代入反比例函數(shù)解析式，
得：，
∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為，AB=4，
∵四邊形為平行四邊形，
∴AB=OP，即：P的坐標(biāo)為，
將代入直線解析式，
得：，解得：，
∴一次函數(shù)的解析式為；
（3）要求的解集，即為求不等式的解集，
令，，
即為求所對應(yīng)的自變量的取值范圍，
由（2）可知，此時(shí)即為直線OB的解析式，
如圖，根據(jù)對稱性，直線OB與雙曲線的交點(diǎn)為，，
∴所對應(yīng)的自變量的取值范圍為或，
∴不等式的解集為或．

【點(diǎn)睛】
本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合問題，理解函數(shù)與不等式之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．
2．云南是全國第二大芒果產(chǎn)區(qū)，云南芒果風(fēng)味獨(dú)特，品質(zhì)優(yōu)良，已成為具有區(qū)域特色的傳統(tǒng)優(yōu)勢產(chǎn)業(yè)．某芒果加工廠承擔(dān)出口芒果的加工任務(wù)，有一批芒果需要裝入某一規(guī)格的芒果禮盒，而這種芒果禮盒的來源有兩種方案可供選擇．
方案一：從禮盒加工廠訂購，購買所需費(fèi)用（單位：元）與禮盒數(shù)（單位：盒）滿足如圖1所示的函數(shù)關(guān)系．
方案二：由芒果加工廠租賃機(jī)器，自己加工制作這種芒果禮盒，所需費(fèi)用（包括租賃機(jī)器的費(fèi)用和生產(chǎn)禮盒的費(fèi)用）（單位：元）與禮盒數(shù)（單位：盒）滿足如圖2所示的函數(shù)關(guān)系．
根據(jù)圖象回答下列問題：

（1）方案一中每個禮盒的價(jià)格是__________元．
（2）請分別求出、與的函數(shù)關(guān)系式；
（3）如果你是決策者，你認(rèn)為應(yīng)該選擇哪種方案更省錢？并說明理由．
【答案】（1）5；（2）（且為整數(shù)）；（且為整數(shù)）；（3）當(dāng)時(shí)，選擇方案一所需費(fèi)用低；當(dāng)時(shí)，兩種方案都可以，所需費(fèi)用相同；當(dāng)時(shí)，選擇方案二所需費(fèi)用低；理由見解析
【分析】
（1）根據(jù)圖象用總價(jià)÷數(shù)量求解禮盒單價(jià)；
（2）分別利用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式；
（3）根據(jù)題意列不等式及方程計(jì)算求解．
【詳解】
解：（1）方案一中每個禮盒的價(jià)格是1000÷200=5元
故答案為：5．
（2）設(shè)，將（200，1000）代入解析式，解得
∴（且為整數(shù)），
設(shè)，將（0，2000），（500，3700）代入解析式
，解得
∴（且為整數(shù)）．
（3）令，即，解得：，
故當(dāng)時(shí)，，選擇方案一所需費(fèi)用低；
令，即，解得：，
故當(dāng)時(shí)，，兩種方案都可以，所需費(fèi)用相同；
令，即，解得：，
故當(dāng)時(shí)，，選擇方案二所需費(fèi)用低．
【點(diǎn)睛】
本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，利用一次函數(shù)性質(zhì)解決生活中的實(shí)際問題，準(zhǔn)確列式計(jì)算是解題關(guān)鍵．
3．某超市銷售一款果凍，4月底以22元/千克購入200千克，5月10日再以22.5元/千克購入120千克．下表是這些果凍的銷售記錄，圖象是其銷售利潤（元）與銷售量（千克）之間的函數(shù)關(guān)系．
時(shí)間
銷售記錄
5月1日至7日
售價(jià)25元/千克，一共售出150千克
5月8日至9日
“五一”長假結(jié)束，這兩天以成本價(jià)促銷
5月10日至20日
售價(jià)25元/千克，全部售完，共獲利780元

請根據(jù)上述信息，解答問題：
（1）5月1日至7日，該超市銷售這款果凍共獲利多少元？
（2）求5月10日至5月20日期間銷售利潤（元）與銷售量（千克）之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出的取值范圍．
【答案】（1）450元；（2）．
【分析】
（1）由函數(shù)的圖象可知，由此可得5月1日至7日，該超市銷售這款果凍150千克，根據(jù)售價(jià)和購入即可求解；
（2）根據(jù)銷售利潤求出點(diǎn)B的橫坐標(biāo)，可得B（190，450），設(shè)5月10日至5月20日期間銷售利潤y（元）與銷售量x（千克）之間的函數(shù)關(guān)系式為，由點(diǎn) A、B的坐標(biāo)代入即可求解．
【詳解】
解：（1）依題意得，5月1日至7日，該超市銷售這款果凍共獲利：（元）
答：5月1日至7日，該超市銷售這款果凍共獲利450元．
（2）5月10日至5月20日期間銷售4月底購入果凍獲得的利潤：（780-450）-120×（25-22.5）=30（元），
5月10日至5月20日期間銷售4月底購入果凍的數(shù)量：30÷（25-22）=10（千克），
∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)：200-10=190，
設(shè)5月10日至5月20日期間銷售利潤y（元）與銷售量x（千克）之間的函數(shù)關(guān)系式為，
把（190，450）和（320，780）代入得，
得，
解得：
∴5月10日至5月20日銷售利潤（元）與銷售量（千克）之間的函數(shù)關(guān)系式為：．
【點(diǎn)睛】
本題考查了一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
4．一次函數(shù)y＝x+2的圖像與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，以AB為邊在第二象限內(nèi)作等邊△ABC．

（1）求C點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）在第二象限內(nèi)有一點(diǎn)M（m，1），使S△ABM＝S△ABC，求M點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）將△ABC沿著直線AB翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處；再將△ABE繞點(diǎn)E順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)15°，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，過點(diǎn)F作FG⊥y軸于G．求△EFG的面積．
【答案】（1），；（2），；（3）2
【分析】
（1）先求得A、的坐標(biāo)，然后可得到，依據(jù)含直角三角形的性質(zhì)可得到，則，然后依據(jù)勾股定理求得的長，從而可得到點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）過點(diǎn)作，則．設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入求得的值，然后將代入的解析式可求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)；
（3）先求出，進(jìn)而表示出，，用勾股定理建立方程求出，最后用面積公式即可得出結(jié)論．
【詳解】
解：（1）當(dāng)時(shí)，，
．
當(dāng)時(shí)，．
，．
，，
，．
為等邊三角形，
．
．
，．
（2）如圖，過點(diǎn)作．

，
．
設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：，解得．
直線的解析式為．
將代入的解析式得：，解得：，
，．
（3）如圖，
由（1）知，，，
，
為等邊三角形，
，
由折疊知，，
由旋轉(zhuǎn)知，，，
取上取一點(diǎn)使，，連接，

，
設(shè)，
，，
，
，
在中，根據(jù)勾股定理得，，
，

【點(diǎn)睛】
本題是一次函數(shù)的綜合題，主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、三角形的面積、軸對稱路徑最短問題，構(gòu)造出特殊直角三角形是解本題的關(guān)鍵．
5．在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)與一次函數(shù)相交于A（3，2）、B（－2，n）兩點(diǎn)．
（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）過P（p，0）（P≠0）作垂直于x軸的直線，與反比例函數(shù)交于點(diǎn)C，與一次函數(shù)交于點(diǎn)D，若，直接寫出p的值．

【答案】（1）；；（2）p＝2或－1
【分析】
（1）把A點(diǎn)的坐標(biāo)代入可計(jì)算m的值，然后確定點(diǎn)B的坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法即可求得一次函數(shù)的解析式；
（2）通過面積之比與高之比的關(guān)系，求得，可得關(guān)系式，解出即可得到答案．
【詳解】
解：（1）∵反比例函數(shù)與一次函數(shù)相交于A（3，2）、B（－2，n）兩點(diǎn)
∴將A（3，2）代入反比例函數(shù)中得m＝6
∴反比例函數(shù)的表達(dá)式是
將B（－2，n）代入反比例函數(shù)中得n＝－3
將A（3，2）、B（－2，－3）代入一次函數(shù)中得
，解得
∴一次函數(shù)的表達(dá)式是．
（2）∵，
∴,
即，
解得：，，
經(jīng)檢驗(yàn)，成立，
∴p＝2或－1．
【點(diǎn)睛】
本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，三角形的面積等，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
6．2020年為做好“精準(zhǔn)扶貧”工作，某地第一次花費(fèi)16000元購買了高原沃柑育苗若干株，為“加快產(chǎn)業(yè)扶貧，打贏脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)”，決定再次花費(fèi)32000元購買同種高原沃柑育苗，第二次購買每株育苗價(jià)格比第一次每株育苗價(jià)格降低了，結(jié)果比第一次多買了1000株，求第一次購買每株高原沃柑育苗多少元？
【答案】24元
【分析】
設(shè)第一次購買每株高原沃柑育苗x元，則第二次購買每株高原沃柑育苗（1-20%）x元，利用數(shù)量=總價(jià)÷單價(jià)，結(jié)合第二次比第一次多買了1000株，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論．
【詳解】
解：設(shè)第一次購買每株高原沃柑育苗x元，則第二次購買每株高原沃柑育苗（1-20%）x元，
依題意得：
解得：x=24，
經(jīng)檢驗(yàn)，x=24是原方程的解，且符合題意．
答：第一次購買每株高原沃柑育苗24元．
【點(diǎn)睛】
本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．
7．（1）解不等式組：；
（2）解分式方程：．
【答案】（1）0＜x≤4；（2）x=
【分析】
（1）首先解每個不等式，然后確定兩個不等式的解集的公共部分，就是不等式組的解集，然后確定解集中的整數(shù)解即可．
（2）首先去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，然后解整式方程求得方程的解，最后進(jìn)行檢驗(yàn)即可．
【詳解】
解：（1），
解①得：x≤4，
解②得：x＞0，
∴不等式組的解集是：0＜x≤4；
（2）去分母得：x（x+2）-1=x2-4
即：2x=-3，
解得：x=，
經(jīng)檢驗(yàn)：x=是原方程的解．
故原方程的解是：x=．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了分式方程的解法，要注意：（1）解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要驗(yàn)根．
8．在今年的3月12日第43個植樹節(jié)期間，某校組織師生開展了植樹活動，在活動之前，學(xué)校決定購買甲、乙兩種樹苗，已知用800元購買甲種樹苗的棵數(shù)與用680元購買乙種樹苗的棵數(shù)相同，乙種樹苗比甲種樹苗每棵少6元．
（1）求甲種樹苗每棵多少元；
（2）若準(zhǔn)備用7600元購買甲、乙兩種樹苗共200棵，則至少要購買乙種樹苗多少棵？
【答案】（1）甲種樹苗每棵40元；（2）至少要購買乙種樹苗67棵．
【分析】
（1）設(shè)甲種樹苗每棵x元，則乙種樹苗每棵（x-6）元．根據(jù)“用800元購買甲種樹苗的棵數(shù)與用680元購買乙種樹苗的棵數(shù)相同”列出分式方程求解即可；
（2）設(shè)購買乙種樹苗的y棵，則購買甲種樹苗的（200-y）棵，根據(jù)總費(fèi)用不超過7600元列出不等式求解即可．
【詳解】
解：（1）設(shè)甲種樹苗每棵元，則乙種樹苗每棵元，
依題意列方程得，，
，
解得，
經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的根，
答：甲種樹苗每棵40元．
（2）設(shè)購買乙種樹苗棵，則購買甲種樹苗棵，
，
，
∵為整數(shù)
∴的最小值為67
答：至少要購買乙種樹苗67棵．
【點(diǎn)睛】
本題考查了分式方程的應(yīng)用及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到等量關(guān)系，難度不大．
9．某書店為了迎接“讀書節(jié)”決定購進(jìn)兩種新書，相關(guān)信息如下：
種別
種
種
進(jìn)價(jià)（元）
18
12
備注
1.用不超過16800元購進(jìn)兩種圖書共1000；
2.種圖書不少于600本；
（1）已知種圖書的標(biāo)價(jià)是種圖書標(biāo)價(jià)的1.5倍，若顧客用540元購買圖書，能單獨(dú)購買種圖書的數(shù)量恰好比單獨(dú)購買種圖書的數(shù)量少10本，請求出兩種圖書的標(biāo)價(jià)；
（2）經(jīng)市場調(diào)查后，陳經(jīng)理發(fā)現(xiàn)他們高估了“讀書節(jié)”對圖書銷售的影響，便調(diào)整了銷售方案，種圖書每本標(biāo)價(jià)降低元銷售，種圖書價(jià)格不變，那么書店應(yīng)如何進(jìn)貨才能獲得最大利潤？
【答案】（1）種圖書的標(biāo)價(jià)為27元，種圖書的標(biāo)價(jià)為18元；（2）當(dāng)時(shí)，A種圖書購進(jìn)800本，種圖書購進(jìn)200本時(shí)，利潤最大；當(dāng)時(shí)，購進(jìn)A、B兩種圖書共1000本，A種圖書在600到800本之間，總利潤不變，均為6000元；當(dāng)時(shí)，A種圖書購進(jìn)600本，種圖書購進(jìn)400本時(shí)，利潤最大．
【分析】
（1）先設(shè)出兩種圖書的標(biāo)價(jià)，再根據(jù)購買A種圖書的數(shù)量恰好比單獨(dú)購買B種圖書的數(shù)量少10本，建立分式方程，解方程并檢驗(yàn)即可；
（2）先設(shè)出購進(jìn)每種圖書的數(shù)量，通過題中“備注”中的條件列出一元一次不等式組求出A種圖書的數(shù)量應(yīng)不少于600，不多于800本，再通過其利潤表達(dá)式建立其關(guān)于m的關(guān)系式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)分類討論得出如何進(jìn)貨才能獲得最大利潤．
【詳解】
解：（1）設(shè)種圖書的標(biāo)價(jià)為元，則A種圖書的標(biāo)價(jià)為元，
根據(jù)題意可得，
化簡得：，解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)：是原分式方程的解，且符合題意，
則A種圖書的標(biāo)價(jià)為：（元），
答：A種圖書的標(biāo)價(jià)為27元，種圖書的標(biāo)價(jià)為18元；
（2）設(shè)購進(jìn)A種圖書本，種圖書本，總利潤為元，A種圖書的標(biāo)價(jià)為元，
由題意得：解得：，
則總利潤

故當(dāng)時(shí)，時(shí)，總利潤最大，
即A種圖書購進(jìn)800本，種圖書購進(jìn)200本時(shí)，利潤最大；
當(dāng)時(shí)，，無論值如何變化，總利潤均為6000元，
即購進(jìn)A、B兩種圖書共1000本，A種圖書在600到800本之間，總利潤不變，均為6000元；
當(dāng)時(shí)，時(shí)，總利潤最大，
即A種圖書購進(jìn)600本，種圖書購進(jìn)400本時(shí)，利潤最大．
【點(diǎn)睛】
本題綜合考查了分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用等知識，要求學(xué)生能正確理解題意，找出題中的數(shù)量關(guān)系，建立方程或不等式求出未知的量或得到其取值范圍，本題涉及到了分類討論的思想方法等．
10．某服裝店老板到廠家選購、兩種品牌的羽絨服，品牌羽絨服每件進(jìn)價(jià)比品牌羽絨服每件進(jìn)價(jià)多200元，若用10000元購進(jìn)種羽絨服的數(shù)量是用7000元購進(jìn)種羽絨服數(shù)量的2倍．
（1）求、兩種品牌羽絨服每件進(jìn)價(jià)分別為多少元？
（2）若品牌羽絨服每件售價(jià)為800元，B品牌羽絨服每件售價(jià)為1200元，服裝店老板決定一次性購進(jìn)、兩種品牌羽絨服共80件，在這批羽絨服全部出售后所獲利不低于28000元，則最少購進(jìn)品牌羽絨服多少件？
【答案】（1）品牌羽絨服每件進(jìn)價(jià)為500元，品牌羽絨服每件進(jìn)價(jià)為700元；（2）最少購進(jìn)品牌羽絨服20件．
【分析】
（1）設(shè)品牌羽絨服每件進(jìn)價(jià)為元，則品牌羽絨服每件進(jìn)價(jià)為元，根據(jù)數(shù)量＝總價(jià)÷單價(jià)，結(jié)合用10000元購進(jìn)種羽絨服的數(shù)量是用7000元購進(jìn)種羽絨服數(shù)量的2倍，即可得出關(guān)于的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)購進(jìn)品牌羽絨服件，則購進(jìn)品牌羽絨服（80﹣y）件，利用總利潤=每件的利潤×銷售數(shù)量，結(jié)合這批羽絨服全部出售后所獲利利不低于28000元，即可得出關(guān)于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出結(jié)論．
【詳解】
解：（1）設(shè)品牌羽絨服每件進(jìn)價(jià)為元，則品牌羽絨服每件進(jìn)價(jià)為元，
依題意得：，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意，
∴．
答：品牌羽絨服每件進(jìn)價(jià)為500元，品牌羽絨服每件進(jìn)價(jià)為700元；
（2）設(shè)購進(jìn)品牌羽絨服件，則購進(jìn)品牌羽絨服件，
依題意得：，
解得：．
答：最少購進(jìn)品牌羽絨服20件．
【點(diǎn)睛】
本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．
11．如圖，四邊形為菱形，延長使得，延長使得，延長使得，延長使得，連接，．
（1）求證：四邊形是平行四邊形．
（2）猜想：四邊形是哪種特殊的四邊形？并證明你的猜想．

【答案】（1）見詳解；（2）四邊形是矩形，理由見詳解．
【分析】
（1）由題意易得PM=NQ，PMNQ，進(jìn)而可得BM=ND，然后問題可求證；
（2）由題意易證△BNM≌△NCD，∠BNM=90°，進(jìn)而可得∠C=90°，然后問題可求證．
【詳解】
證明：（1）∵四邊形為菱形，
∴PM=NQ，BMND，
∵，，
∴BM=ND，
∴四邊形是平行四邊形；
（2）∵四邊形是平行四邊形，
∴BMND，BM=ND，ADBC，
∴∠NBM=∠CND，
∵，
∴△BNM≌△NCD（SAS），
∴，
∵，DM=BN,
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴，
∴由三角形內(nèi)角和可得，即，
∴，
∴四邊形是矩形．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查矩形的判定、菱形的性質(zhì)及平行四邊形的判定，熟練掌握矩形的判定、菱形的性質(zhì)及平行四邊形的判定是解題的關(guān)鍵．
12．如圖，在菱形ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，過B，C兩點(diǎn)分別作AC，BD的平行線，相交于點(diǎn)E．
（1）求證：四邊形BOCE是矩形；
（2）連接EO交BC于點(diǎn)F，連接AF，若∠ABC=60°，AB=2，求AF的長．

【答案】（1）見解析；（2）
【分析】
（1）根據(jù)平行四邊形的判定得出四邊形BOCE是平行四邊形，根據(jù)菱形的性質(zhì)求出∠BOC=90°，再根據(jù)矩形的判定得出即可；
（2）根據(jù)菱形和等邊三角形的性質(zhì)求出BF=AB=1，根據(jù)勾股定理求出AF．
【詳解】
解：（1）∵BE∥AC，EC∥BD，
∴四邊形BOCE是平行四邊形．
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD．
∴∠BOC=90°．
∴四邊形BOCE是矩形．
（2）∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形．
∵四邊形BOCE是矩形，
∴BF=BC=AB=1．
∴∠AFB=90°．
∴AF=．

【點(diǎn)睛】
本題考查了菱形的性質(zhì)，矩形的判定，平行四邊形的判定，勾股定理等知識點(diǎn)，掌握相關(guān)的性質(zhì)定理正確推理計(jì)算是解題關(guān)鍵．
13．如圖，的對角線、相交于點(diǎn)O，且．

（1）求證：；
（2）求證：．
【答案】（1）見解析；（2）見解析
【分析】
（1）由平行四邊形的性質(zhì)得出OB=OD，由SAS證明△BOE≌△DOF即可；
（2）由（1）的結(jié)論證明∠OBE=∠ODF，即可得出BE∥DF．
【詳解】
證明：（1）∵的對角線、相交于點(diǎn)O，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）由（1），
∴∠OBE=∠ODF，
∴BE∥DF．
【點(diǎn)睛】
本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的判定；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
14．已知，點(diǎn)E在正方形ABCD的AB邊上（不與點(diǎn)A，B重合），BD是對角線，延長AB到點(diǎn)F，使BF＝AE，過點(diǎn)E作BD的垂線，垂足為M，連接AM，CF．
（1）根據(jù)題意補(bǔ)全圖形，并證明MB＝ME；
（2）①用等式表示線段AM與CF的數(shù)量關(guān)系，并證明；
②直接用等式表示線段AM，BM，DM之間的數(shù)量關(guān)系．

【答案】（1）見解析；（2）①，證明見解析；②
【分析】
（1）證是等腰直角三角形即可得；
（2）①先證得，由知，證得，，由知是等腰直角三角形，從而得；②連接，證四邊形是平行四邊形得，由，知，結(jié)合，得，從而得出答案．
【詳解】
解：（1）如圖所示，

四邊形是正方形，是對角線，
，
，
是等腰直角三角形，
；
（2）①如圖所示，連接、，
是等腰直角三角形，
，，
，
又，
，
，
，
，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
即；
②，理由如下：
如圖，連接，
，
，
又且，
，，
四邊形是平行四邊形，
，
，，
，
又，，
，
則．
【點(diǎn)睛】
本題是四邊形的綜合問題，解題的關(guān)鍵是掌握正方形的性質(zhì)、全等三角形與等腰直角三角形及平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識點(diǎn)．
15．在矩形ABCD中，連接AC，AC的垂直平分線交AC于點(diǎn)O，分別交AD、BC于點(diǎn)E、F，連接CE和AF．
（1）求證：四邊形AECF為菱形；
（2）若AB＝4，BC＝8，求菱形AECF的面積．


【答案】（1）見解析；（2）20
【分析】
（1）根據(jù)推出：；根據(jù)全等得出，推出四邊形是平行四邊形，再根據(jù)即可推出四邊形是菱形；
（2）根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得出，設(shè)，推出，，在中，由勾股定理得出方程，求出即可．
【詳解】
解：（1）證明：是的垂直平分線，
，，
四邊形是矩形，
，
，
在和中，
，
；

又，
四邊形是平行四邊形，
又
平行四邊形是菱形；
（2）設(shè)，
是的垂直平分線，
，，
在中，由勾股定理得：，
，
解得．
，
菱形的周長為20．

【點(diǎn)睛】
本題考查了勾股定理，矩形性質(zhì)，平行四邊形的判定，菱形的判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)等知識點(diǎn)的綜合運(yùn)用，用了方程思想．
16．隨著手機(jī)APP技術(shù)的迅猛發(fā)展，春節(jié)期間人們的娛樂方式比以往有很多改變．某校數(shù)學(xué)興趣小組為了解某社區(qū)居民對各類APP的使用情況，針對給出的四類APP（看電影或電視、刷抖音、聊天、其他）對社區(qū)內(nèi)部分居民進(jìn)行了抽樣調(diào)查（每人必選且只能選擇其中一項(xiàng)）．根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如圖所示的不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請你根據(jù)圖中信息解答下列問題：

（1）參與抽樣調(diào)查的總?cè)藬?shù)是_______．
（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖．
（3）若小明和小紅兩人在四類APP中隨機(jī)選擇一類進(jìn)行使用，則小明和小紅恰好選擇同一類APP的概率為多少？
【答案】（1）40人；（2）補(bǔ)全圖形見解析；（3）小明和小紅恰好選擇同一類APP的概率為．
【分析】
（1）由A類型人數(shù)及其所占百分比可得被調(diào)查的總?cè)藬?shù)；
（2）總?cè)藬?shù)乘以B類型人數(shù)所占百分比求出其人數(shù)，再根據(jù)四個類型人數(shù)之和等于總?cè)藬?shù)求出C類型人數(shù)即可補(bǔ)全圖形；
（3）畫樹狀圖列出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．
【詳解】
解：（1）參與抽樣調(diào)查的總?cè)藬?shù)為10÷25%＝40（人），
故答案為：40人；
（2）B類型的人數(shù)為40×30%＝12（人），
則C類型人數(shù)為40﹣（10+12+14）＝4（人），
補(bǔ)全圖形如下：

（3）畫樹狀圖如下：

由樹狀圖知，共有16種等可能結(jié)果，其中小明和小紅恰好選擇同一類APP的有4種結(jié)果，
∴小明和小紅恰好選擇同一類APP的概率為．
【點(diǎn)睛】
此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
17．在一個不透明的盒子里，裝有四個分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4的小球，它們的形狀、大小、質(zhì)地等完全相同，小明先從盒子里隨機(jī)取出一個小球，記下數(shù)字為x，放回盒子搖勻后，再由小華隨機(jī)取出一個小球，記下數(shù)字為y．
（1）用列表法或畫樹形圖表示出的所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；
（2）求小明、小華各取一次小球所確定的點(diǎn)落在反比例函數(shù)的圖象上的概率．
【答案】（1）見解析；（2）
【分析】
（1）依據(jù)題意先用列表法或畫樹狀圖法分析所有等可能的出現(xiàn)結(jié)果．
（2）根據(jù)概率公式求出該事件的概率即可解答．
【詳解】
解：（1）列表如下：
y
x
1
2
3
4
1
（1，1）
（1，2）
（1，3）
（1，4）
2
（2，1）
（2，2）
（2，3）
（2，4）
3
（3，1）
（3，2）
（3，3）
（3，4）
4
（4，1）
（4，2）
（4，3）
（4，4）
（2）∵有16種情況，且每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等．其中落在反比例函數(shù)的圖象上有2種，即點(diǎn)（2，3），（3，2）
∴．
【點(diǎn)睛】
此題考查概率的求法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P=．
18．紅嶺中學(xué)最近要舉辦藝術(shù)節(jié)，節(jié)目分別有：A舞蹈、B戲劇、C唱歌、D漫畫與書法．下面隨機(jī)抽取部分同學(xué)調(diào)查最喜愛哪項(xiàng)節(jié)目，得到如圖兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．

請你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息，解答下列問題：
（1）本次一共調(diào)查了　 　名同學(xué)．
（2）請補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖，在扇形統(tǒng)計(jì)圖中A類型節(jié)目所對應(yīng)的圓心角為　 　度．
（3）在本次調(diào)查訪問中，小明和小亮從“舞蹈”、“戲劇”、“唱歌”，選出一種自己最喜歡的節(jié)目．請用樹狀圖或列表法求出兩人恰好選擇同一種節(jié)目的概率．
【答案】（1）200；（2）見解析，108°；（3）樹狀圖見解析，
【分析】
（1）由B類人數(shù)除以所占百分比即可；
（2）求出D類、A類人數(shù)，即可解決問題；
（3）畫樹狀圖，再由概率公式求解即可．
【詳解】
解：（1）56÷28%＝200（名），
即本次一共調(diào)查了200名同學(xué)，
故答案為：200；
（2）D類人數(shù)為：200×20%＝40（名），
則A類人數(shù)為200﹣56﹣44﹣40＝60（名），
∴360°×＝108°，
即在扇形統(tǒng)計(jì)圖中A類型節(jié)目所對應(yīng)的圓心角為108°，
故答案為：108，
補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如下：

（3）把“舞蹈”、“戲劇”、“唱歌”分別記為A、B、C，
畫樹狀圖如下：

共有9個等可能的結(jié)果，小明和小亮兩人恰好選擇同一種節(jié)目的結(jié)果有3個，
∴小明和小亮兩人恰好選擇同一種節(jié)目的概率為．
【點(diǎn)睛】
本題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．注意樹狀圖法與列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；注意概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．也考查了扇形統(tǒng)計(jì)圖和條形統(tǒng)計(jì)圖．
19．如圖是一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤分成3個大小相同的扇形，顏色分為紅、綠兩種顏色．指針的位置固定，轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤停止后，其中的某個扇形會恰好停在指針?biāo)傅奈恢茫ㄖ羔樦赶騼蓚€扇形的交線時(shí)，當(dāng)作指向右邊的扇形）利用畫樹狀圖或列表的方法，求小明同學(xué)自由轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤兩次，每次停止后，指針都指向紅色的概率．

【答案】
【分析】
利用畫樹狀圖或列表的方法可得所有的等可能的結(jié)果與指針兩次都指向紅色的結(jié)果數(shù)，從而可得答案．
【詳解】
解：解法一，根據(jù)題意，畫樹狀圖如下：

解法二，根據(jù)題意，列表如下：
第一次
第二次
紅1
紅2
綠
紅1
紅1，紅1
紅2，紅1
綠，紅1
紅2
紅1，紅2
紅2，紅2
綠，紅2
綠
紅1，綠
紅2，綠
綠，綠
由樹狀圖（表格）可以看出，所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果共有9種，其中指針都指向紅色的情況有4種，所以P（指針都指向紅
【點(diǎn)睛】
本題考查的是利用畫樹狀圖的方法或列表的方法求解簡單隨機(jī)事件的概率，掌握畫樹狀圖與列表法是解題的關(guān)鍵．
20．隨著延時(shí)服務(wù)的全面展開，某校組織了豐富多彩的社團(tuán)活動，小紅和小明分別打算從以下四個社團(tuán)：、3D制作打印，、趣味數(shù)學(xué)，、文學(xué)欣賞，、樂高機(jī)器人中，選擇一個社團(tuán)參加．
（1）小紅選擇趣味數(shù)學(xué)的概率為　?。?br /> （2）用畫樹狀圖或列表的方法求小紅和小明選擇同一個社團(tuán)的概率．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）直接由概率公式求解即可；
（2）畫樹狀圖，共有16種等可能的結(jié)果，其中小紅和小明選同一個社團(tuán)的有4種結(jié)果，再由概率公式求解即可．
【詳解】
解：（1）小紅選擇趣味數(shù)學(xué)的概率為，
故答案為：；
（2）畫樹狀圖如下：

共有16種等可能的結(jié)果，其中小紅和小明選同一個社團(tuán)的有4種結(jié)果，
∴P（小明和小紅選擇同一個社團(tuán)）=．
【點(diǎn)睛】
本題考查了用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時(shí)要注意此題是放回試驗(yàn)還是不放回試驗(yàn)．用到的知識點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．


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