一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 設全集，集合，，則（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，則的值為（ ）
A. B. C. D.
3. 某種活性細胞的存活率與存放溫度之間具有線性相關關系，樣本數據如下表所示：
經計算，回歸直線的斜率為-3.2，若這種活性細胞的存放溫度為，則其存活率的預報值為（ ）
A. 32% B. 33% C. 34% D. 35%
4. 已知雙曲線，若對任意實數，直線與至多有一個交點，則的離心率為（ ）
A. B. C. D.
5. 已知函數，則（ ）
A. B. -6 C. D. -3
6. 中國古代數學瑰寶《九章算術》中記載了一種稱為“曲池”的幾何體，該幾何體為上、下底面均為扇環(huán)形的柱體（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）.現有一個如圖所示的曲池，其中底面，底面扇環(huán)所對的圓心角為，的長度為的長度的3倍，，，則該曲池的體積為（ ）
A. B. C. D.
7. 考察下列兩個問題：①已知隨機變量，且，，記；②甲、乙、丙三人隨機到某3個景點去旅游，每人只去一個景點，設表示“甲、乙、丙所去的景點互不相同”，表示“有一個景點僅甲一人去旅游”，記，則（ ）
A. B. C. D.
8. 在中，角的邊長分別為，點為的外心，若，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 如圖所示，用一個與圓柱底面成角的平面截圓柱，截面是一個橢圓.若圓柱的底面圓半徑為2，，則（ ）
A. 橢圓的長軸長等于4
B. 橢圓的離心率為
C. 橢圓的標準方程可以是
D. 橢圓上的點到一個焦點的距離的最小值為
10. 已知是定義在上的偶函數，且對任意，有，當時，，則（ ）
A. 是以4為周期的周期函數
B.
C. 函數有3個零點
D. 當時，
11. 已知函數的部分圖象如圖所示，把函數圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的倍，得到函數的圖象，則（ ）
A. 為偶函數
B. 的最小正周期是
C. 的圖象關于直線對稱
D. 在區(qū)間上單調遞減
12. 如圖，棱長為2的正方體的內切球球心為，分別是棱的中點，在棱上移動，則（ ）
A. 對于任意點，平面
B. 存在點，使平面
C. 直線的被球截得的弦長為
D. 過直線的平面截球所得截面圓面積的最小值為
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 已知復數滿足，則_________（用代數式表示）.
14. 《數術記遺》是《算經十書》中的一部，相傳是漢末徐岳所著.該書記述了我國古代14種算法，分別是：積算（即籌算）、太乙算、兩儀算、三才算、五行算、八卦算、九宮算、運籌算、了知算、成數算、把頭算、龜算、珠算和計數.某中學研究性學習小組有甲、乙、丙、丁四人，該小組擬全部收集九宮算、運籌算、了知算、成數算和把頭算等5種算法的相關資料，要求每人至少收集其中一種，且每種算法只由一個人收集，但甲不收集九宮算和了知算的資料，則不同的分工收集方案共有__________種.
15. 已知直線過點，且與圓相交于兩點，設，若點在圓上，則直線的傾斜角為__________.
16. 已知函數.
（1）若對任意實數，恒成立，則的取值范圍是___________；
（2）若存在實數，使得，則的取值范圍是___________.
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.（本小題滿分10分）
在中，已知.
（1）求角的值；
（2）設的平分線交邊于，若，，求的面積.
18.（本小題滿分12分）
在數列中，已知，.
（1）求數列的通項公式；
（2）設，為數列的前項和，求滿足的正整數的最小值.
19.（本小題滿分12分）
如圖，在三棱錐中，側面底面，，是邊長為2的正三角形，，分別是的中點，記平面與平面的交線為.
（1）證明：直線平面；
（2）設點在直線上，直線與平面所成的角為，異面直線與所成的角為，求當為何值時，.
20.（本小題滿分12分）
某社區(qū)消費者協會為了解本社區(qū)居民網購消費情況，隨機抽取了100位居民作為樣本，就最近一年來網購消費金額，網購次數和支付方式等進行了問卷調查.經統(tǒng)計，這100位居民的網購消費金額均在區(qū)間內（單位：千元），按分成6組，其頻率分布直方圖如圖所示.
（1）估計該社區(qū)居民最近一年來網購消費金額的中位數；
（2）將一年來網購消費金額在20千元以上稱為“網購迷”，補全下面的2×2列聯表，并判斷有多大把握認為“網購迷與性別有關系”；
（3）調查顯示，甲、乙兩人每次網購采用的支付方式相互獨立，兩人網購時間與次數也互不影響.統(tǒng)計最近一年來兩人網購的總次數與支付方式，所得數據如下表所示：
將頻率視為概率，若甲、乙兩人在下周內各自網購2次，記兩人采用支付寶支付的次數之和為，求的數學期望.
附：觀測值公式：.
臨界值表：
21.（本小題滿分12分）
已知拋物線的焦點為，直線分別與軸交于點，與拋物線交于點，且.
（1）求拋物線的方程；
（2）如圖，設點都在拋物線上，若是以為斜邊的等腰直角三角形，求的最小值.
22.（本小題滿分12分）
已知函數，其中為常數.
（1）設為的導函數，當時，求函數的極值；
（2）設點，，曲線在點處的切線的斜率分別為，直線的斜率為，證明：.
參考答案
一、選擇題
1. D 【解析】由題設，，則，選D.
2. A【解析】
，選A.
3. C 【解析】設回歸直線方程為，由表中數據可得，.因為回歸直線經過樣本點中心，則.所以當時，，選C.
4. B 【解析】據題意，直線與雙曲線的漸近線平行或重合，則，
即，從而，所以的離心率，選B.
5. A【解析】因為，則，
所以，選A.
6. B 【解析】設所在圓的半徑為，所在圓的半徑為，因為，則.
因為，則，所以該曲池的體積，選B.
7. C 【解析】由，解得，則.
又，所以，選C.
8. D【解析】取的中點，則，
所以
.
因為，則，即.
所以，選D.
二、選擇題
9. BCD【解析】設橢圓的半長軸長為，半短軸長為，半焦距為，則，得.
又，則，得.所以橢圓的長軸長等于8，離心率為，橢圓的標準方程可以是，橢圓上的點到焦點的距離的最小值為，選BCD.
10. ACD 【解析】因為，則.又為偶函數，則，從而，所以是周期為4的周期函數，A正確.
因為的周期為4，則，，所以，B錯誤；
作函數和的圖象，由圖可知，兩個函數圖象有3個交點，C正確；
當時，，則，D正確.
選ACD.
11. BC 【解析】 由圖知，，則，即，因為，所以.
因為為的零點，則，得.由圖知，，
則，所以，，從而.
由題設，，
則為非奇非偶函數，的最小正周期.
當時，，則的圖象關于直線對稱.
當時，，不單調，選BC.
12. BD 【解析】
正方體內切球的球心即正方體的中心，且球半徑，
當與重合時，平面，平面，此時直線與平面相交，A錯誤；
當為的中點時，，，則平面，所以；
同理，，所以平面，即平面，B正確；
取的中點，由對稱性可知，，則.
因為，，則，
所以直線的被球截得的弦長為，C錯誤；
設截面圓半徑為，球心到截面的距離為，則.
因為，則，所以截面圓面積，D正確，選BD.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 【解析】.
14. 126 【解析】據題意，甲可收集1種或2種資料.
第一類，甲收集1種，則乙、丙、丁中有一人收集2種，另兩人各收集1種，有種；
第二類，甲收集2種，則乙、丙、丁每人各收集1種，有種.
所以不同的分工收集方案種數共有108+18=126種.
15. 30°或150°【解析】因為，，則四邊形為菱形，所以.
設為垂足，因為點在圓上，則.
設直線的方程為，由，得，即，所以直線的傾斜角為30°或150°.
16.（1）；（2）
【解析】（1）由，得，設，則，
當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，所以.因為恒成立，則，所以的取值范圍是.
（2）據題意，有兩個不同零點，則直線與函數的圖象有兩個不同交點，
因為當時，；當時，；當時，，由圖可知，的取值范圍是.
四、解答題
17. 【解析】（1）設角的對邊分別為，由已知及正弦定理，得，
即，
由余弦定理，得，則，即.
因為，所以.
（2）因為為的平分線，則，又，
由，得，即.
在中，由余弦定理，得，
因為，則，即，因為，則，
所以的面積.
18. 【解析】（1）解法一：因為，則，即，
即，所以數列為常數列.
因為，則，所以數列的通項公式是.
解法二： 因為，則，即.
當時，
，得，
又滿足上式，所以數列的通項公式是.
（2）由題設，，設為奇數，則.
當為奇數時，.
由，得，則.
當為偶數時，.
由，得，則.
綜上分析，的最小值為67.
19.【解析】（1）因為分別是的中點，則，
從而平面.
因為平面，平面平面，則，
因為平面平面，平面平面，，則平面，
所以直線平面.
（2）
因為平面，則.又，則.因為為正三角形，為的中點，則.從而平面.連接，則，
因為，，則，
在中，，在中，.
因為，則，得.
所以當時，.
解法二：以為原點，直線為軸，直線為軸，過點且垂直于平面的直線為軸，
建立空間直角坐標系，則點，，
從而，.
設平面的法向量，則，
取，得.
設點，則，所以，
.
因為，則，得，所以當時，.
20.【解析】（1）在直方圖中，從左至右前3個小矩形的面積之和為，
后2個小矩形的面積之和為，所以中位數位于區(qū)間內.
設直方圖的面積平分線為，則，得，
所以該社區(qū)居民網購消費金額的中位數估計為17.5千元.
（2）由直方圖知，網購消費金額在20千元以上的頻數為，所以“網購迷”共有35人，由列聯表知，其中女性有20人，則男性有15人.
因為非網購迷人數共有100-35=65，其中男性45人，則女性有20人，所以補全的2×2列聯表如下：
因為，查表得，
所以有97.5%的把握認為“網購迷與性別有關系”.
（3）解法一：由表知，甲、乙兩人每次網購采用支付寶支付的概率分別為.
設甲、乙兩人采用支付寶支付的次數分別為，據題意，，.
所以，，
因為，則，所以的數學期望為.
解法二： 設甲、乙兩人采用支付寶支付的次數分別為，則.因為的可能取值為0，1，2，則的可能取值為0，1，2，3，4.
由表知，甲、乙兩人每次網購采用支付寶支付的概率分別為.
則，
，
=，
，
，
所以，即的數學期望為.
21.【解析】設點，由已知，則，即.
因為，則，所以拋物線的方程是.
（2）設點，直線的斜率為，
因為，則直線的斜率為.
因為，則，得，①
因為，則，即，②
因為，則，即③
將②③代入①，得，即，則，
所以
因為，則，又，則，從而，當且僅當時取等號，所以的最小值為32.
22.【解析】（1）當時，，，則.
，
則當時，；當時，，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，的極小值為，且無極大值.
（2）由題設，，，
則，
又，則所證不等式化為，
因為，，
則
.
令，，因為，則，，
所以在上單調遞增，從而，即，
因為，則
，
從而，所以.
存放溫度
10
4
-2
-8
存活率
20
44
56
80
男
女
合計
網購迷
20
非網購迷
45
合計
100
網購總次數
支付寶支付次數
銀行卡支付次數
微信支付次數
甲
80
40
16
24
乙
90
60
18
12
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
A
C
B
A
B
C
D
BCD
ACD
BC
BD
男
女
合計
網購迷
15
20
35
非網購迷
45
20
65
合計
60
40
100

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