2022屆湖南省長沙市雅禮中學高三下學期月考（七）數(shù)學試題一、單選題1．已知集合，，則（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先解一元二次不等式與指數(shù)不等式得到集合、，再根據(jù)交集的定義計算可得；【詳解】解：由可得，可得，所以集合，，所以.故選：C.2．已知復數(shù)，則（       ）A．5 B． C． D．2【答案】C【解析】先求出，再根據(jù)復數(shù)模的求法即可求得結果【詳解】由復數(shù)，得，所以.故選：C.3．函數(shù)的圖像可能是（ ）A． B．C． D．【答案】D【分析】先判斷函數(shù)奇偶性，可排除C選項，再由特殊值驗證，即可得出結果.【詳解】由可得其定義域為，又，所以函數(shù)是偶函數(shù)；因為偶函數(shù)關于軸對稱，所以可排除C選項；又，所以AB選項錯誤，D正確；故選：D.【點睛】本題主要考查函數(shù)圖像的識別，屬于基礎題型.4．設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，則當Sn取最小值時，n等于(　　)A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A【詳解】分析：條件已提供了首項，故用“a1，d”法，再轉化為關于n的二次函數(shù)解得．解答：解：設該數(shù)列的公差為d，則a4+a6=2a1+8d=2×（-11）+8d=-6，解得d=2，所以Sn=-11n+×2=n2-12n=(n-6)2-36，所以當n=6時，Sn取最小值．故選A點評：本題考查等差數(shù)列的通項公式以及前n項和公式的應用，考查二次函數(shù)最值的求法及計算能力．5．如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E是棱CC1的中點，則平面AD1E與平面ABCD的交線與直線C1D1所成角的正切值為（       ）A． B． C． D．2【答案】A【分析】先找到平面AD1E與平面ABCD的交線，再利用異面直線的定義找到交線與直線C1D1所成角，求解即可.【詳解】延長與直線相交于F，連接,則平面與平面的交線為，又∵∴為平面與平面的交線與直線所成角，∵是棱的中點，且∥，∴，∴.故選：A.6．現(xiàn)行普通高中學生在高一時面臨著選科的問題，學校抽取了部分男?女學生意愿的一份樣本，制作出如下兩個等高堆積條形圖：根據(jù)這兩幅圖中的信息，下列哪個統(tǒng)計結論是不正確的（       ）A．樣本中的女生數(shù)量多于男生數(shù)量B．樣本中有兩理一文意愿的學生數(shù)量多于有兩文一理意愿的學生數(shù)量C．樣本中的男生偏愛兩理一文D．樣本中的女生偏愛兩文一理【答案】D【解析】由等高堆積條形圖逐項判斷即可.【詳解】解：由條形圖知女生數(shù)量多于男生數(shù)量，故A正確；有兩理一文意愿的學生數(shù)量多于有兩文一理意愿的學生數(shù)量，故B正確；男生偏愛兩理一文，故C正確；女生中有兩理一文意愿的學生數(shù)量多于有兩文一理意愿的學生數(shù)量，故D錯誤.故選：D.7．下圖上半部分為一個油桃園.每年油桃成熟時，園主都需要雇傭人工采摘，并沿兩條路徑將采摘好的油桃迅速地運送到水果集散地處銷售.路徑1：先集中到處，再沿公路運送；路徑2：先集中到處，再沿公路運送.園主在果園中畫定了一條界線，使得從該界線上的點出發(fā)，按這兩種路徑運送油桃至處所走路程一樣遠.已知，，若這條界線是曲線的一部分，則曲線為（       ）A．圓 B．橢圓 C．拋物線 D．雙曲線【答案】D【分析】根據(jù)題意得到，進而得到，結合雙曲線的定義，即可求解.【詳解】由題意，從界線上的點出發(fā)，經(jīng)到與經(jīng)到，所走的路程是一樣的，即，所以，又由，所以，又由，根據(jù)雙曲線的定義可知曲線為雙曲線的一部分.故選：D.8．已知函數(shù)是定義域為的偶函數(shù)，且是奇函數(shù)，當時，有，若函數(shù)的零點個數(shù)為5，則實數(shù)取值范圍是（       ）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】函數(shù)的零點個數(shù)為5等價于與的圖像交點的個數(shù)為5，然后作出函數(shù)圖象，數(shù)形結合即可得出結果.【詳解】∵偶函數(shù)，，是奇函數(shù)，得，即，，得，，即與的圖像交點的個數(shù)，因為，即為與的圖像交點的個數(shù)，因為的圖像為半圓，故由圖像可知斜率應該在與之間或為，或，故選：C.【點睛】函數(shù)零點的求解與判斷方法：(1)直接求零點：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點．(2)零點存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結合函數(shù)的圖象與性質(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點．(3)利用圖象交點的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖象，看其交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．二、多選題9．設分別是雙曲線的左、右焦點，且，則下列結論正確的是（       ）A．B．t的取值范圍是C．到漸近線的距離隨著t的增大而減小D．當時，C的實軸長是虛軸長的3倍【答案】BC【分析】由，得到，可判定A錯誤；由且，可判定B正確；由到漸近線的距離等于虛半軸長為，可判定C正確；當時，求得雙曲線的實軸和虛軸承，可判定D錯誤.【詳解】由題意，雙曲線，可得，因為，可得，解得，所以A錯誤；因為雙曲線焦點在x軸上，由且，得t的取值范圍是，所以B正確；因為到漸近線的距離等于虛半軸長為，其在上單調(diào)遞減，所以C正確；當時，雙曲線C的實軸長為，虛軸長為4，其中實軸長是虛軸長的倍，所以D錯誤.故選：BC.10．如圖為某省高考數(shù)學卷近三年難易程度的對比圖（圖中數(shù)據(jù)為分值）．根據(jù)對比圖，其中正確的為（       ）數(shù)學近三年難易程度對比A．近三年容易題分值逐年增加B．近三年中檔題分值所占比例最高的年份是年C．年的容易題與中檔題的分值之和占總分的以上D．近三年難題分值逐年減少【答案】AC【分析】根據(jù)近三年高考數(shù)學卷中容易題、中檔題、難題分值的數(shù)據(jù)的變化可判斷ABD選項的正誤；計算出年的容易題與中檔題的分值之和可判斷C選項的正誤.【詳解】對于A選項，由圖可知，近三年容易題分值逐年增加，A選項正確；對于B選項，由圖可知，近三年中檔題分值所占比例最高的年份是年，B選項錯誤；對于C選項，由圖可知，年的容易題與中檔題的分值之和為，所占比例為，C選項正確；對于D選項，由圖可知，近三年難題分值先增后減，D選項錯誤.故選：AC.11．如圖，已知長方體ABCD?A1B1C1D1中，四邊形ABCD為正方形，AB=2，AA1=，E，F分別為AB，BC的中點．則（       ）A．A1E⊥DFB．點A1、E、F、C1四點共面C．直線C1D與平面BB1C1C所成角的正切值為D．三棱錐E?C1DF的體積為【答案】BCD【分析】對于A，假設，得到平面，再由長方體性質判斷；對于B，連接，，，根據(jù)E，F分別為，的中點，證明即可； 對于C，根據(jù)平面，得到為直線與平面所成角求解判斷； 對于D，連接，，利用等體積法，由求解判斷.【詳解】對于A，假設，由題意知平面，平面，，又，平面，由長方體性質知與平面不垂直，故假設不成立，故A錯誤；對于B，連接，，，由于E，F分別為，的中點，，又由長方體，知，，所以點、E、F、四點共面，故B正確；對于C，由題意可知平面，為直線與平面所成角，在直角中，，，則，故C正確；對于D，連接，，，則，利用等體積法知：，故D正確.故選：BCD.12．若實數(shù)，則下列不等式中一定成立的是（       ）A．B．C．D．【答案】ABD【分析】構造函數(shù)，利用導數(shù)可確定的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性可依次判斷出ABC的正誤；構造函數(shù)，利用導數(shù)可確定單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性可確定D正確.【詳解】對于A，設，則，當時，恒成立，在上單調(diào)遞減，，，，即，，A正確；對于B，由A知，在上恒成立，在上單調(diào)遞減，，，，即，，即，，B正確；對于C，若，則，即；由A知，當時，；當時，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，若，此時與大小關系不確定，即與大小關系不確定，C錯誤；對于D，設，則；令，則，當時，，即在上單調(diào)遞增，當時，，此時，在上單調(diào)遞減，，，，即，，D正確.故選：ABD.三、填空題13．若則_________．【答案】【分析】利用誘導公式、二倍角正弦公式，將目標式子化成關于的表達式，再進行求值；【詳解】原式.故答案為.【點睛】本題考查誘導公式、二倍角正弦公式、同角三角函數(shù)的基本關系，考查基本運算求解能力，求解時要靈活地運用1的代換，能使問題的求解更簡潔.14．在的展開式中，的系數(shù)是___________.【答案】-15【分析】利用二項展開式的通項公式可求的系數(shù).【詳解】的展開式的通項公式為，令，則，故的系數(shù)為，故答案為：.15．某盒中裝有10只乒乓球，其中6只新球，4只舊球，不放回地依次摸出2個球使用，在第一次摸出新球的條件下，第二次也取到新球的概率為_______．【答案】【分析】直接利用條件概率公式計算得到答案.【詳解】記第一次摸出新球為事件A，第二次取到新球為事件B，則.故答案為：.【點睛】本題考查了條件概率的計算，意在考查學生的計算能力和應用能力.四、雙空題16．如圖，酒杯的形狀為倒立的圓錐.杯深，上口寬，水以的流量倒入杯中，則當水深為時，時刻________，水升高的瞬時變化率_________.【答案】          【解析】計算出當水深為時，水的體積，然后除以流速可得出時刻的值，設水的深度為，求出關于的函數(shù)表達式，利用導數(shù)可求得當水深為時，水升高的瞬時變化率.【詳解】當水深為時，酒杯中水面的半徑為，此時水的體積為，由題意可得，可得；設水的深度為，水面半徑為，則，則，由題意可得，，，當時，.故答案為：；.【點睛】本題考查變化的快慢與變化率，正確解答本題關鍵是得出高度關于時間的函數(shù)關系，然后利用導數(shù)求出高度為時刻的導數(shù)值，即得出此時的變化率，本題是一個應用題求解此類題，正確理解題意很關鍵．由于所得的解析式復雜，解題時運算量較大，要認真解題避免因為運算出錯導致解題失?。?/span>五、解答題17．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足.（1）求角A的大??；（2）求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理求出，又，即可求出A；（2）由余弦定理及三角形內(nèi)角和定理把原文太轉化為求在上的范圍，利用三角函數(shù)即可求解.【詳解】（1）由，結合正弦定理可得：整理得：，即又，所以，又，故.（2）由余弦定理知：，再結合內(nèi)角和定理：從而又因為，故，從而即的取值范圍為.【點睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理實現(xiàn)“邊化角”，二是利用余弦定理實現(xiàn)“角化邊”；求最值也是一種常見類型，主要方法有兩類，一是找到邊之間的關系，利用基本不等式求最值，二是轉化為關于某個角的函數(shù)，利用函數(shù)思想求最值.18．已知正項數(shù)列，其前項和為．（1）求數(shù)列的通項公式：（2）設，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）Sn前后兩項作差消去，求得an的前后兩項關系，從而求得an的通項公式；（2）由（1）求得bn，對n分奇數(shù)，偶數(shù)兩種情況討論，分組求和求得數(shù)列前n項和.【詳解】解：（1）由已知，①所以有，②②-①，得，即，∴，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列．又，∴．所以（2）由（1）得，當n為奇數(shù)時，當n為偶數(shù)時，綜上所述，【點睛】方法點睛：（1）通過an+1=Sn+1-Sn得到an前后兩項的關系，從而求得通項公式；（2）對于含有(-1)n的問題可以討論n的奇偶性，即可去掉該項，然后按照分組求和的方法求得數(shù)列前n項和.19．如圖，在多面體中，是正方形，，M為棱的中點．（1）求證：平面平面；（2）若平面，，求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）連接，交于點N，連接，由三角形中位線定理可得，再由線面平行的判定定理可得平面，由已知條件可得四邊形為平行四邊形，則有，再由線面平行的判定定理可得平面，從而由線面平行的判定定理可證得結論；（2）由已知條件可得兩兩垂直，所以分別以為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，利用空間向量求解即可【詳解】解析：（1）證明：如圖，連接，交于點N，∴N為的中點，連接，由M為棱的中點，則．∵面，面，∴平面．∵，∴四邊形為平行四邊形，∴．又平面，平面，∴平面，又，∴平面平面．（2）∵平面是正方形∴分別以為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，設，則設平面的法向量為，則∵平面平面，又∴平面，∴平面的法向量為．，由圖可知二面角為鈍角，∴二面角的余弦值為．【點睛】關鍵點點睛：此題考查面面平行的判定，考查二面角的求法，解題的關鍵是建立空間直角坐標系，利用空間向量求解即可，考查推理能力和計算能力，屬于中檔題20．第24屆冬奧會將于2022年2月在中國北京市和張家口巿聯(lián)合舉行．某城市為傳播冬奧文化，舉行冬奧知識講解員選技大賽．選手需關注活動平臺微信公眾號后，進行在線答題，滿分為200分．經(jīng)統(tǒng)計，有40名選手在線答題總分都在內(nèi)．將得分區(qū)間平均分成5組，得到了如圖所示的頻率分布折線圖．（1）請根據(jù)頻率分布折線圖，畫出頻率分布直方圖，并估計這40名選手的平均分；（2）根據(jù)大賽要求，在線答題總分不低于190分的選手進入線下集訓，線下集訓結束后，進行兩輪考核．第一輪為筆試，考試科目為外語和冰雪運動知識，每科的筆試成績從高到低依次有，，，四個等級．兩科均不低于，且至少有一科為，才能進入第二輪面試，第二輪得到“通過”的選手將獲得“冬奧知識講解員”資格．已知總分高于195分的選手在每科筆試中取得，，，的概率分別為，，，；總分不超過195分的選手在每科筆試中取得，，，的概率分別為，，，；若兩科筆試成績均為，則無需參加“面試”，直接獲得“冬奧知識講解員”資格；若兩科筆試成績只有一個，則要參加面試，總分高于195分的選手面試“通過”的概率為，總分不超過195分的選手面試“通過”的概率為．若參加線下集訓的選手中有2人總分高于195分，求恰有兩名選手獲得“冬奧知識講解員”資格的概率．【答案】（1）頻率分布直方圖見解析；平均分為；（2）．【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖畫法和中位數(shù)的計算公式，即可求解；（2）求得總分不低于190分的選手有人，其中有2人總分高于195分，2人總分不高于195分，結合獨立事件的概率計算公式，即可求解.【詳解】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的中位數(shù)的計算公式，可得數(shù)據(jù)的平均分為：．頻率分布直方圖如圖所示：（2）由題意，可得總分不低于190分的選手有人，其中有2人總分高于195分，2人總分不高于195分，設高于195分的選手獲得“冬奧知識講解員”資格為事件，不超過195分的選手獲得“冬奧知識講解員”資格為事件，則，，故．21．已知橢圓的焦距為，經(jīng)過點．（1）求橢圓C的標準方程；（2）設O為坐標原點，在橢圓短軸上有兩點M，N滿足，直線分別交橢圓于A，B．，Q為垂足．是否存在定點R，使得為定值，說明理由．【答案】（1）；（2）存在；答案見解析．【分析】（1）利用，橢圓經(jīng)過點列出方程，解出a,b,c即可.（2）設出直線方程為，聯(lián)立橢圓方程解出點M，N的坐標，題中可得l與m關系式，求出直線AB過定點，結合圖形特點得中點R滿足為定值，即可求出定值及點R坐標.【詳解】（1）由題意可知，又橢圓經(jīng)過點知解得，所以；（2）設直線方程, 與橢圓C交于，得 ,直線，即因此M坐標為，同理可知由知：化簡整理得則整理：若則直線，過點P不符合題意若則直線符合題意直線過點于是為定值且為直角三角形且為斜邊所以中點R滿足為定值此時點R的坐標為.【點睛】（1）注意題目條件的利用，解方程的準確性;（2）根據(jù)直線AB的特點來確定PD為定值，以及PD的中點R滿足題目要求，要注意應用圖形的幾何特征.22．已知函數(shù)．(1)判斷的單調(diào)性，并比較20202021與20212020的大小；(2)若函數(shù)，其中，判斷的零點的個數(shù)，并說明理由．【答案】(1)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，(2)1個零點，理由詳見解析【分析】（1）求出，由，求出的單調(diào)區(qū)間，由函數(shù)在單調(diào)遞減，可得，進而得到.（2）由題意得，，當時，求出的單調(diào)性，根據(jù)零點存在定理可得出結論；當時，先求出的單調(diào)性，得出的極值，分析其極值符號，再根據(jù)零點存在定理可得出結論.【詳解】(1)已知的定義域為，，當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即，所以，即，所以.(2)，所以：.當時，，，所以在上單調(diào)遞增，由，，可知當時，存在，，即函數(shù)有且僅有1個零點.當時，，注意到，所以：時，，在上單調(diào)遞增；時，，在上單調(diào)遞減；時，，在上單調(diào)遞增.所以在上有極小值，有極大值.一方面，注意到，所以存在唯一的，.另一方面，設，，則：， 故在上單調(diào)遞增，所以：，所以在上恒小于0，在上恒小于0，即在上不存在零點.綜上所述：當時，有且僅有1個零點.【點睛】本題考查導數(shù)的應用問題，屬于難題．導數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學中重要的知識點，對導數(shù)的應用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結合思想的應用． 

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