第十八講 空間向量基本定理【知識梳理】1、共線向量定理：兩個空間向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在唯一的實數(shù)x，使a＝xb.2、共面向量定理：如果兩個向量a，b不共線，則向量c與向量a，b共面的充要條件是，存在唯一的一對實數(shù)x，y，使c＝xa＋yb.3、空間向量分解定理：如果三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在一個唯一的有序實數(shù)組x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc. 【考點剖析】考點一  共線定理、共面定理【例1-1】已知＝(1，－2，1)，＝(－1，2，－1)，則＝（    ）A．(2，－4，2) B．(－2，4，－2)C．(－2，0，－2) D．(2，1，－3)【答案】A【詳解】解析：．故選：A【例1-2】如圖在平行六面體中，與的交點記為．設，，，則下列向量中與相等的向量是（    ）A． B．C． D．【答案】B【詳解】．故選：B.【跟蹤訓練1】已知三棱錐中，點為棱的中點，點為的重心，設，，，則向量（    ）A． B．C． D．【答案】A【詳解】連接并延長交于點，連接，則為的中點，且，，，為的中點，.故選：A.【跟蹤訓練2】如圖所示，在正方體中，點是側面的中心，若，求（    ）A．1 B． C．2 D．【答案】C【詳解】，故，，，則．故選：C.【跟蹤訓練3】在空間四邊形中，，且，則（    ）A． B．C． D．【答案】C【詳解】.故選：C.   考點二　共線定理、共面定理的應用【例2】 已知E，F，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點，用向量方法求證：(1)E，F，G，H四點共面；(2)BD∥平面EFGH.【解析】證明　(1)連接BG，則＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋，由共面向量定理知E，F，G，H四點共面.(2)因為＝－＝－＝(－)＝，因為E，H，B，D四點不共線，所以EH∥BD.又EH?平面EFGH，BD?平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.規(guī)律方法　(1)證明空間三點P，A，B共線的方法①＝λ(λ∈R)；②對空間任一點O，＝x＋y(x＋y＝1).(2)證明空間四點P，M，A，B共面的方法①＝x＋y；②對空間任一點O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)；③∥(或∥或∥).(3)三點共線通常轉化為向量共線，四點共面通常轉化為向量共面，線面平行可轉化為向量共線、共面來證明.  【過關檢測】1．如圖，已知空間四邊形，其對角線為分別是的中點，點在線段上，且使，用向量表示向量為（    ）A．B．C．D．【答案】A【詳解】.因為分別為的中點，所以所以.故選：A.2．如圖：在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點.若，，，則下列向量中與相等的向量是（    ）A． B．C． D．【答案】A【詳解】，，，，故選：A.3．已知向量，，是空間中的一個單位正交基底．規(guī)定向量積的行列式計算：，其中行列式計算表示為，若向量，，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：由題意得：，故選：C．4．在三棱錐中，，N為中點，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【詳解】連接，所以，因為，所以，所以.故選：B.5．在平行六面體中，，，，E是的中點，用，，表示為（    ）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：如圖示：，結合圖象得：，故選：A.6．如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，且，，，，分別為，上的點，且，，（    ）A．1 B． C．2 D．【答案】B【詳解】∵，，∴，又，，∴．7．在正方體中，點為棱的中點，點為棱的中點，若，則（   ）A． B． C． D．【答案】A【詳解】如圖所示：，，又因為，所以，所以，故選：A8．下列能使向量，，成為空間的一個基底的關系式是（    ）A． B．C． D．【答案】C【詳解】對于A：由，可得M，A，B，C四點共面，即共面，所以選項A無法構成基底，選項C可以構成基底；對于B：因為，由平面向量基本定理，可得共面，無法構成基底，故B錯誤；同理選項D中，共面，故D錯誤.故選：C9．如圖，在三棱錐中，是的中點，若，，，則等于（    ）A． B．C． D．【答案】C【詳解】，因此，.故選：C.10．已知矩形，為平面外一點，且平面，，分別為，上的點，且，，，則的值為(    )A． B． C． D．【答案】B【詳解】平面，且為矩形，以為空間向量的一個基底，因，，， 又，由空間向量基本定理知，，.11．已知，，三點不共線，對平面外的任一點，若點滿足.（1）判斷，，三個向量是否共面；（2）判斷點是否在平面內.【詳解】（1）由題意，知：，∴，即，故共面得證.（2）由（1）知：共面且過同一點.所以四點共面，從而點在平面內.12．如圖，在三棱錐中，G是的重心（三條中線的交點），P是空間任意一點.（1）用向量表示向量，并證明你的結論；（2）設，請寫出點P在的內部（不包括邊界）的充分必要條件（不必給出證明）.【詳解】解析（1）.證明如下：.（2）若，點P在的內部（不包括邊界），的充分必要條件是：，且.  

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