第六講 函數(shù)的奇偶性和周期性-2022年新高二年級(jí)數(shù)學(xué)暑假精品課程（人教A版2019）練習(xí)題

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第六講 函數(shù)的奇偶性和周期性【基礎(chǔ)知識(shí)】1.函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點(diǎn)奇函數(shù)設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)?/span>D，如果對(duì)D內(nèi)的任意一個(gè)x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，則這個(gè)函數(shù)叫做奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱偶函數(shù)設(shè)函數(shù)y＝g(x)的定義域?yàn)?/span>D，如果對(duì)D內(nèi)的任意一個(gè)x，都有－x∈D，且g(－x)＝g(x)，則這個(gè)函數(shù)叫做偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱2.函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)：對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期.(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.[微點(diǎn)提醒]1.(1)如果一個(gè)奇函數(shù)f(x)在原點(diǎn)處有定義，即f(0)有意義，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)＝f(|x|).2.奇函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.3.函數(shù)周期性常用結(jié)論對(duì)f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a>0).(2)若f(x＋a)＝，則T＝2a(a>0).(3)若f(x＋a)＝－，則T＝2a(a>0).4.對(duì)稱性的三個(gè)常用結(jié)論(1)若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱.(2)若對(duì)于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱.(3)若函數(shù)y＝f(x＋b)是奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)關(guān)于點(diǎn)(b，0)中心對(duì)稱.【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一　函數(shù)的奇偶性及應(yīng)用【典例1-1】下列四個(gè)函數(shù)中既是奇函數(shù)，又是增函數(shù)的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【詳解】對(duì)于A，定義域?yàn)?/span>，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以不具奇偶性，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?/span>，，所以為非奇非偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?/span>，，所以不是增函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，定義域?yàn)?/span>，因?yàn)?/span>，所以是奇函數(shù)，，令為增函數(shù)，也是增函數(shù)，所以是增函數(shù).故D正確.故選：D.【典例1-2】已知函數(shù)為上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，；若，，，則（    ）A． B．C． D．【答案】D【詳解】當(dāng)時(shí)，，由奇函數(shù)的性質(zhì)知，，，函數(shù)單調(diào)遞減；又，，則由函數(shù)單減知，故選：D【跟蹤訓(xùn)練1】偶函數(shù)滿足，且在時(shí)，，則（    ）A． B．1 C． D．【跟蹤訓(xùn)練2】設(shè)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，(為常數(shù))，則不等式的解集為（    ）A． B． C． D．【跟蹤訓(xùn)練3】設(shè)是奇函數(shù)，若函數(shù)圖象與函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則的值域?yàn)椋?/span>    ）A． B．C． D．考點(diǎn)二  函數(shù)的周期性及其應(yīng)用【典例2-1】已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，且滿足，且，，則（    ）．A．2021 B．1 C．0 D．【答案】C【詳解】令，則，故，故，（舍）令，則，故．∴，即，故的周期為4，即是周期函數(shù)．∴．故選：C．【典例2-2】已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，則，可得，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則，所以，，所以，，即，故函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則，故，其它三個(gè)選項(xiàng)未知.故選：B.【跟蹤訓(xùn)練1】已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，滿足，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（    ）A．2 B．3 C．4 D．5【跟蹤訓(xùn)練2】已知是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足，則（    ）A． B．0 C．1 D．2【跟蹤訓(xùn)練3】已知定義在上的奇函數(shù)滿足．當(dāng)時(shí)，，則（    ）A．3 B． C． D．5考點(diǎn)三  函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用【典例3-1】已知某函數(shù)的部分圖象大致如圖所示，則下列函數(shù)中最合適的函數(shù)是（    ）A． B．C． D．【答案】D【詳解】解：對(duì)于A：，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，則，故為奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，，且，即為偶函數(shù)，滿足條件；故選：D【典例3-2】函數(shù)的部分圖象大致為（    ）A． B．C． D．【答案】A【詳解】根據(jù)題意，，必有，則有，在區(qū)間上，有，排除C，在區(qū)間上，，，，排除BD.故選：A.【跟蹤訓(xùn)練1】已知為奇函數(shù)且對(duì)任意，，若當(dāng)時(shí)，，則（    ）A． B．0 C．1 D．2【跟蹤訓(xùn)練2】已知是定義在上的偶函數(shù)，那么的最大值是（    ）A．1 B． C． D．【跟蹤訓(xùn)練3】已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，滿足，且當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（    ）A．2 B．3 C．4 D．5【真題演練】1．（2021·全國高考真題（文））設(shè)是定義域?yàn)?/span>R的奇函數(shù)，且.若，則（    ）A． B． C． D．2．（2021·全國高考真題（理））設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>R，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．若，則（    ）A． B． C． D．3．（2021·全國高考真題（文））下列函數(shù)中是增函數(shù)的為（    ）A． B． C． D．4．（2021·浙江高考真題）已知函數(shù)，則圖象為如圖的函數(shù)可能是（    ）A． B．C． D．5．（2021·全國高考真題）已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則（    ）A． B． C． D．  【過關(guān)檢測(cè)】1．給定函數(shù)對(duì)于用表示中的較小者，記為，則的最大值為（    ）A． B． C． D．2．已知函數(shù)在定義域上單調(diào)，且，則的值為（    ）A．3 B．1 C．0 D．﹣13．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù).當(dāng)時(shí)，則不等式的解集為（    ）A． B． C． D．4．已知定義在（0，+∞）上的函數(shù)滿足，則下列不等式一定正確的是（    ）A． B．C． D．5．我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說．“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休．”在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，有時(shí)可憑借函數(shù)的圖象分析函數(shù)解析式的特征已知函數(shù)在的大致圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式可能為（    ）A． B．C． D．6．我國著名數(shù)學(xué)家華羅先生曾說：數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難人微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休.在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來琢廊函數(shù)的圖象特征，函數(shù)的圖象大致是（    ）A． B．C． D．7．對(duì)于函數(shù)y＝f（x），其定義域?yàn)?/span>D，如果存在區(qū)間[m，n]?D，同時(shí)滿足下列條件：①f（x）在[m，n]上是單調(diào)函數(shù)；②當(dāng)f（x）的定義域?yàn)?/span>[m，n]時(shí)，值域也是[m，n]，則稱區(qū)間[m，n]是函數(shù)f（x）的“K區(qū)間”.若函數(shù)f（x）＝﹣a（a＞0）存在“K區(qū)間”，則a的取值范圍為（    ）A． B． C． D．（，1]8．已知實(shí)數(shù)，，滿足，則，，的大小關(guān)系為（    ）A． B．C． D．9．已知實(shí)數(shù)，，滿足且，若，則（    ）A． B．C． D．10．若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，對(duì)任意恒成立，則（    ）A．B．C．D．