第十七講空間向量的數(shù)量積運(yùn)算-2022年新高二年級數(shù)學(xué)暑假精品課程（人教A版2019）練習(xí)題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

第十七講空間向量的數(shù)量積運(yùn)算【知識梳理】1、數(shù)量積及相關(guān)概念①兩向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，作＝a，＝b，則∠AOB叫做向量a與b的夾角，記作〈a，b〉，其范圍是[0，π]，若〈a，b〉＝，則稱a與b互相垂直，記作a⊥b.②非零向量a，b的數(shù)量積a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.2、空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律：①結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交換律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一　數(shù)量積的線性運(yùn)算　【例1】如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1，點(diǎn)E，F，G分別是AB，AD，CD的中點(diǎn)，計(jì)算：(1)·；(2)·；【解析】　設(shè)＝a，＝b，＝c.則|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，(1)＝＝c－a，＝－a，＝b－c，·＝·(－a)＝a2－a·c＝，(2)·＝(＋＋)·(－)＝·(－)＝·(－)＝·(c－a)＝＝.規(guī)律方法　1.利用數(shù)量積解決問題的兩條途徑：一是根據(jù)數(shù)量積的定義，利用模與夾角直接計(jì)算；二是利用坐標(biāo)運(yùn)算.2.空間向量的數(shù)量積可解決有關(guān)垂直、夾角、長度問題.(1)a≠0，b≠0，a⊥b?a·b＝0；(2)|a|＝；(3)cos〈a，b〉＝. 考點(diǎn)二　數(shù)量積的相關(guān)應(yīng)用【例題2-1】在棱長為1的正方體中，若點(diǎn)E是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)M是底面ABCD內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則線段AM的長的最小值為（）A． B． C．1 D．【答案】B【詳解】如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，，所以，由可得，即，所以線段AM的長的最小值為．故選：B．【例題2-2】三棱錐中，和都是等邊三角形，，，為棱上一點(diǎn)，則的值為（）A． B．1 C． D．與點(diǎn)位置關(guān)系【答案】A【詳解】如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，和都是等邊三角形，，，面，面，，在中，，，由余弦定理，.故選：A【跟蹤訓(xùn)練1】正四面體的棱長為1，點(diǎn)是該正四面體內(nèi)切球球面上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)到的距離為（）A． B． C． D．【跟蹤訓(xùn)練2】已知是長方體外接球的一條直徑，點(diǎn)在長方體表面上運(yùn)動(dòng)，長方體的棱長分別是1，1，，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【跟蹤訓(xùn)練3】如圖所示正三棱錐中，是上一點(diǎn)，，且，，則三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．【過關(guān)檢測】1．已知E，F，G，H分別為空間四邊形ABCD各邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，若對角線BD＝2，AC＝4，則EG2＋HF2的值是（）A．5 B．10C．12 D．不能確定2．如圖，面，為矩形，連接????，下面各組向量中，數(shù)量積不一定為零的是（）A．與 B．與C．與 D．與3．在棱長為1的正四面體中，點(diǎn)滿足，點(diǎn)滿足，當(dāng)最短時(shí)，（）A． B． C． D．4．已知，是夾角為60°的兩個(gè)單位向量，則與的夾角為（）A．60° B．120°C．30° D．90°5．已知非零向量不平行，且，則與之間的關(guān)系是（）A．垂直B．同向共線C．反向共線D．以上都可能6．已知，均為單位向量，它們的夾角為60°，那么等于（）A． B． C． D．47．若向量，且，則實(shí)數(shù)（）A．2 B． C． D．8．在正方體中，棱長為，點(diǎn)為棱上一點(diǎn)，則的最小值為（）A． B． C． D．9．在正四面體中，棱長為1，且D為棱的中點(diǎn)，則的值為（）A． B． C． D．10．已知四棱柱的底面是矩形，，則（）A． B． C． D．11．如圖所示，已知是所在平面外一點(diǎn)，，求證：在平面上的射影是的垂心．12．如圖，在平行四邊形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠BAD＝120°，PA⊥平面ABCD，且PA＝6．求PC的長．13．在空間四邊形OABC中，連接AC，OB，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求向量與所成角的余弦值．14．如圖，已知四面體ABCD的所有棱長都等于a，E，F，G分別是棱AB，AD，DC的中點(diǎn)．求：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．

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