專題6.15 平行四邊形-動點問題（專項練習）-2021-2022學年八年級數(shù)學下冊基礎知識專項講練（北師大版）-試卷下載-教習網(wǎng)

?專題6.15 平行四邊形-動點問題（專項練習）
一、單選題
1．（2019·合肥一六八中學九年級月考）如圖，點為平行四邊形的邊上一動點，過點作直線垂直于，且直線與平行四邊形的另一邊交于點．當點從勻速運動時，設點的運動時間為，的面積為，能大致反映與函數(shù)關系的圖象是（）

A． B．
C． D．
2．如圖在中，，，為邊上一動點（不與，重合），以、為一組鄰邊作平行四邊形，平行四邊形的對角線的最小值是（）
A．1 B．2 C．3 D．4

3．如圖，平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點，P是邊DC上的動點，G，H分別是PE，PF的中點，已知DC=10cm，則GH的長是（）

A．7cm B．6cm C．5cm D．4cm
4．（2021·河南師大附中九年級）如圖，直線m經(jīng)過點B且平行于AC，點P為直線m上的一動點，連接PC，PA，隨著點P在直線m上移動，則下列說法中一定正確的是（）

A．與全等 B．與的周長相等
C．與的面積相等 D．四邊形ACBP是平行四邊形
5．（2019·天津八年級期末）如圖，中，對角線，相交于，，、、分別是、、的中點，下列結(jié)論：①；②四動形是平行四邊形；③；④平分.其中正確的是（）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
6．（2019·浙江八年級期中）在平面直角坐標系中，平行四邊形ABCD的坐標分別為A（-1，0）、B（0，2）、C（3，2）、D（2，0），點P是AD邊上的一個動點，若點A關于BP的對稱點為，則C的最小值為（）

A． B． C． D．1
7．（2019·江蘇八年級期末）如圖，在中，，，，為上的動點，連接，以、為邊作平行四邊形，則長的最小值為（）

A． B． C． D．
8．（2019·浙江八年級期中）將一副三角尺如圖拼接：含30°角的三角尺(△ABC)的長直角邊與含45°角的三角尺(△ACD)的斜邊恰好重合．已知AB=，P、Q分別是AC、BC上的動點,當四邊形DPBQ為平行四邊形時，平行四邊形DPBQ的面積是（）

A． B． C． D．
9．（2018·全國九年級單元測試）如圖，Rt△AOB，∠AOB=90°，BO=2， AO=4.動點Q從點O出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度向B運動，同時動點M從A點出發(fā)以每秒2個單位長度的速度向O運動，設運動的時間為t秒(0＜t＜2)．過點Q作OB的垂線交線段AB于點N，則四邊形OMNQ的形狀是( )

A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．無法確定
10．（2019·湖北八年級期末）如圖，已知平行四邊形，，，，點是邊上一動點，作于點，作（在右邊）且始終保持，連接、，設，則滿足（）

A． B．
C． D．
二、填空題
11．（2020·渠縣瑯琊中學九年級月考）如圖，在中，，，，點是邊上一動點，以為對角線的所有平行四邊形中，對角線最小的值是_____．

12．（2019·濟南外國語學校八年級期末）如圖，已知平行四邊形，，是邊的中點，是邊上一動點，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至，連接，，，，則的最小值是____．

13．（2021·山東八年級期末）如圖，在中，，，點D是AB上一動點，以AC為對角線的所有平行四邊形ADCE中，DE的最小值是________．

14．（2019·江門市第二中學九年級）如圖，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，動點M從點D出發(fā)，按折線D﹣C﹣B﹣A﹣D方向以2cm/s的速度運動，動點N從點D出發(fā)，按折線D﹣A﹣B﹣C﹣D方向以1cm/s的速度運動．若動點M、N同時出發(fā)，相遇時停止運動，若點E在線段BC上，且BE=3cm，經(jīng)過_____秒鐘，點A、E、M、N組成平行四邊形．

15．（2018·陜西九年級期中）如圖，在平行四邊形中，，，，為邊上的一個動點（不與、重合），過作直線的垂線，垂足為，則面積的最大值為__________．

16．（2020·浙江九年級月考）如圖，在平行四邊形中，，，，是邊的中點，是邊上的一動點，將沿所在直線翻折得到，連接，則長度的最小值是________.

17．如圖，在平面直角坐標系中，已知點A的坐標為，點C的坐標為，四邊形是平行四邊形，點D、E份別在邊、上，且，．動點P、Q在的一組鄰邊上，以點D、E、P、Q為項點的四邊形是平行四邊形時，其面積為_________．

18．（2020·全國八年級課時練習）如圖，平行四邊形中，，，點是對角線上一動點，點是邊上一動點，連接、，則的最小值是______．

19．（2020·四川電子科大實驗中學九年級期中）如圖，四邊形是平行四邊形，，，，點、是邊上的動點，且，則四邊形周長的最小值為______．

20．（2019·四川省成都市七中育才學校八年級期中）如圖，在中，，，為邊上一動點，以A、為邊作平行四邊形，則對角線的最小值為__________．

21．（2020·浙江八年級期末）如圖，已知在平行四邊形ABCD中，AB=8，BC=20，∠A=60°，P是邊AD上一動點，連結(jié)PB，將線段PB繞著點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PQ，若點Q恰好落在平行四邊形ABCD的邊上，那么AP的值是____．

22．（2020·陜西九年級）如圖，在平行四邊形中，為的中點，是邊上不與點重合的一個動點，將沿折疊，得到連接則周長的最小值為___．

23．（2020·陜西西北工業(yè)大學附屬中學九年級月考）如圖，在平行四邊形中，，，，點在線段上一動點，連接，將沿著翻折，得，連接、．則面積的最小值為______．

24．（2020·河南九年級）如圖，,點G為邊BC上一點，且，點E為AB上一動點，將沿折疊，當點B的對應點F落在平行四邊形的邊上時，線段的長為_______．

25．（2020·武漢市晴川初級中學九年級月考）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝45°，點E為射線AD上一動點，連接BE，將BE繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BF，連接AF，則AF的最小值是_____．

三、解答題
26．（2020·內(nèi)蒙古九年級月考）在四邊形中，；點從點出發(fā)，以的速度向點運動；點從點同時出發(fā)，以的速度向點運動．規(guī)定其中一個動點到達端點時另一個動點也停止運動．從運動開始．何時圖中會出現(xiàn)平行四邊形？點最近距離為多少？

27．（2019·河南九年級期中）如圖，在平行四邊形中，，，且于點，點分別是邊上的動點，且.
①求證：四邊形是平行四邊形；
②當為何值時，四邊形是矩形？

28．（2019·蘇州市景范中學校八年級期中）如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸、軸分別交于點，，點的坐標為，過點作于點，點為軸正半軸上的一動點，且滿足，連接，以，為邊作平行四邊形，如果平行四邊形為正方形，求的值__________．

29．（2020·銀川市第三中學九年級月考）如圖，在平行四邊形中，，將平行四邊形沿過點的直線折疊，使點落到邊上的點處，折痕交邊于點．
（1）求證：四邊形是菱形；
（2）若點是直線上的一個動點，請作出使為最小值的點，并計算．

30．（2020·湖北八年級期末）點O為△ABC內(nèi)一動點，D，E，F(xiàn)，G分別為AB，AC，OB，OC中點．求證：四邊形DEFG為平行四邊形．

31．（2019·永城市第五初級中學八年級期中）如圖，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，動點M從點D出發(fā)，按折線 DCBAD方向以2cm/s的速度運動，動點N從點D出發(fā)，按折線 DABCD方向以1cm/s的速度運動.
(1)若動點M、N同時出發(fā)，經(jīng)過幾秒鐘兩點相遇?
(2)若點E在線段BC上，且BE=3cm，若動點M、N同時出發(fā)，相遇時停止運動，經(jīng)過幾秒鐘，點A、E、M、N組成平行四邊形?

32．（2018·廣東八年級期末）如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，過B作BE⊥AD交AD于點E，AB＝13cm，BC＝21cm，AE＝5cm．動點P從點C出發(fā)，在線段CB上以每秒1cm的速度向點B運動，動點Q同時從點A出發(fā)，在線段AD上以每秒2cm的速度向點D運動，當其中一個動點到達端點時另一個動點也隨之停止運動，設運動的時間為t(秒)
(1)當t為何值時，四邊形PCDQ是平行四邊形？
(2)當t為何值時，△QDP的面積為60cm2？
(3)當t為何值時，PD＝PQ？

33．（2016·山東八年級期末）（2015秋?高青縣期末）如圖，已知平行四邊形ABCD．
（1）請按下列要求畫圖，取CD的中點G，點E是邊AD上的動點，連接EG并延長，與BC的延長線交于點F，連結(jié)CE，DF；
（2）求證：四邊CEDF是平行四邊形．

34．（2019·山東九年級月考）平行四邊形中，對角線，相交于點，若、是上兩動點，、分別從、兩點同時以的相同的速度向、運動
四邊形是平行四邊形嗎？說明你的理由．
若，，當運動時間為多少時，以、、、為頂點的四邊形為矩形．

35．（2019·廣東九年級）如圖所示，為平行四邊形，，，，且，點為直線上一動點，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．
（1）求平行四邊形的面積；
（2）當點，，三點共線時，設與相交于點，求線段的長；
（3）求線段的長度的最小值．

36．（2018·廣東廣州市第二中學八年級期中）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，DE⊥BC于點E，且DE=，AD=18，∠C=60°；
（1）BC=________
（2）若動點P從點D出發(fā)，速度為2個單位/秒，沿DA向點A運動，同時，動點Q從點B出發(fā)，速度為3個單位/秒，沿BC向點C運動，當一個動點到達端點時，另一個動點同時停止運動，設運動的時間為t秒。
①t=_______秒時，四邊形PQED是矩形；
②t為何值時，線段PQ與四邊形ABCD的邊構成平行四邊形；
③是否存在t值，使②中的平行四邊形是菱形？若存在，請求出t值，若不存在，請說明理由。

參考答案
1．C
【解析】當點N在AD上時，可得前半段函數(shù)圖象為開口向上的拋物線的一部分；當點N在DC上時，MN長度不變，可得后半段函數(shù)圖象為一條線段．
解：設∠A＝，點M運動的速度為a，則AM＝at，
當點N在AD上時，MN＝tan×AM＝tan?at，
此時S＝×at×tan?at＝tan×a2t2，
∴前半段函數(shù)圖象為開口向上的拋物線的一部分，
當點N在DC上時，MN長度不變，
此時S＝×at×MN＝a×MN×t，
∴后半段函數(shù)圖象為一條線段，
故選：C．
【點撥】本題主要考查了動點問題的函數(shù)圖象，用圖象解決問題時，要理清圖象的含義即會識圖．函數(shù)圖象是典型的數(shù)形結(jié)合，圖象應用信息廣泛，通過看圖獲取信息，不僅可以解決生活中的實際問題，還可以提高分析問題、解決問題的能力．
2．C
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，，，故取最小值時，也取最小值，根據(jù)“在連接直線外一點與直線上各點的線段中，垂線段最短”，故當時，取最小值，再根據(jù)所對的直角邊是斜邊的一半即可求出從而可求出此時的.
解：∵四邊形是平行四邊形
∴，
∴當取最小值時，也取最小值，
根據(jù)“在連接直線外一點與直線上各點的線段中，垂線段最短”
∴當時，取最小值
∵
∴此時
此時
故的最小值
故選C.

【點撥】此題考查的是平行四邊形的性質(zhì)和最值，掌握垂線段最短和所對的直角邊是斜邊的一半是解決此題的關鍵.
3．C
【分析】連接，先證明出四邊形是平行四邊形，再證明是的中位線，進而求出的長度．
解：連接，

四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AD=BD，AD∥BC，
∵E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點，
∴AE=BF，
∴四邊形是平行四邊形，
∴AB=EF=10cm，
∵G，H分別是PE，PF的中點，
∴是的中位線，
∴=EF=×10=5cm，
故選C．
【點撥】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及三角形中位線定理的知識，解題的關鍵是證明出GH是△PEF的中位線，此題難度不大．
4．C
【分析】由全等三角形和平行四邊形的判定，以及同底等高三角形的面積相等，可以得出正確的選項．
解：選項A，因為點A，B，C是定點，而點P是直線m上的動點，所以與不一定全等，故A錯誤；
選項B，的周長是定值，而的周長隨著點P位置的變化而變化，所以B錯誤；
選項C，由于與都可以看作是以AC為底邊的三角形，且直線m平行于AC，可由平行線間的距離處處相等知道與屬于同底等高的三角形，故二者面積相等，所以選項C正確；
選項D，由于P是動點，點A，B，C，是定點，所以BP不總是等于AC，而平行四邊形的對邊應該相等，所以選項D錯誤．
故選：C．
【點撥】本題是考查全等三角形和平行四邊形的判定，以及同底等高三角形的面積相等的，屬于中等難度的題目．
5．B
【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得OB=BC，由等腰三角形的性質(zhì)可判斷①正確，由直角三角形的性質(zhì)和三角形中位線定理可判斷③錯誤，由BG=EF，BG∥EF∥CD可證四邊形BEFG是平行四邊形，可得②正確．由平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可判斷④正確．
【詳解】解：如圖，

∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴BO=DO=BD，AD=BC，AB=CD，
又∵BD=2AD，
∴OB=BC=OD=DA，且點E 是OC中點，
∴BE⊥AC，
故①正確，
∵E、F分別是OC、OD的中點，
∴EF∥CD，EF=CD，
∵點G是Rt△ABE斜邊AB上的中點，
∴GE=AB=AG=BG
∴EG=EF=AG=BG，無法證明GE=GF，
故③錯誤，
∵BG=EF，BG∥EF∥CD
∴四邊形BEFG是平行四邊形
故②正確，
∵EF∥CD∥AB，
∴∠BAC=∠ACD=∠AEF，
∵AG=GE，
∴∠GAE=∠AEG，
∴∠AEG=∠AEF，
∴AE平分∠GEF，故④正確；
故選B．
【點撥】本題考查了菱形的判定，平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理等知識，靈活運用相關的性質(zhì)定理、綜合運用知識是解題的關鍵．
6．B
【分析】由軸對稱的性質(zhì)可知BA=BA′，在△BA′C中由三角形三邊關系可知A′C≥BC-BA′，則可求得答案．
解：∵平行四邊形ABCD的坐標分別為A（-1，0）、B（0，2）、C（3，2）、D（2，0），
∴AB= ＝，BC=3，
∵若點A關于BP的對稱點為A'，
∴BA′=BA=，
在△BA′C中，由三角形三邊關系可知A′C≥BC-BA′，
∴A′C≥3-，即A′C的最小值為3-，
故選：B．
【點撥】本題考查平行四這形及軸對稱的性質(zhì)，利用三角形的三邊關系得到A′C≥BC-BA′是解題的關鍵．
7．D
【分析】由勾股定理可知是直角三角形，由垂線段最短可知當DE⊥AB時，DE有最小值，此時DE與斜邊上的高相等，可求得答案．
解：如圖：

∵四邊形是平行四邊形，
∴CE∥AB，
∵點D在線段AB上運動，
∴當DE⊥AB時，DE最短，
在中，，，，
∴AC2+BC2=AB2，
∴是直角三角形，
過C作CF⊥AB于點F，
∴DE=CF=，
故選：D．
【點撥】
本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，確定出DE最短時D點的位置是解題的關鍵.
8．D
【分析】由于四邊形DPBQ為平行四邊形，則BC∥DP，即DP⊥AC，P為AC中點，作出平行四邊形，再利用平行線的距離相等可知：PC就是□DPBQ的邊PD所對應的高，代入面積公式求出面積即可．求得面積．
解：當點P運動到邊AC中點（如圖），即CP=時，
以D，P，B，Q為頂點的平行四邊形的頂點Q恰好在邊BC上．
∵四邊形DPBQ為平行四邊形，
∴BC∥DP，

∵∠ACB=90°，
∴∠DPC=90°，即DP⊥AC．
而在Rt△ABC中，AB=4，BC=2，
∴根據(jù)勾股定理得：AC=6，
∵△DAC為等腰直角三角形，
∴DP=CP=AC=3，
∵BC∥DP，
∴PC是平行四邊形DPBQ的高，
∴S平行四邊形DPBQ=DP?CP==9．
故選D.
【點撥】本題是四邊形的綜合題，考查了一副三角板所形成的四邊形的邊和角的關系；根據(jù)動點P的運動路線確定其所形成的邊和角的關系，利用三角函數(shù)和勾股定理求邊和角的大小，得出結(jié)論．
9．B
【解析】

由題意得，AM=2t.OM=4-2t,OQ=t,BQ=2-t.
, , , .
由勾股定理得
.
，， .
，，， , ∴四邊形OMNQ是平行四邊形. ∵∠AOB=90°,∴四邊形OMNQ是矩形.
故選B.
10． D
11．【分析】：設PE=x，則PB=x，PF=3x，AP=6-x，由此先判斷出，然后可分析出當點P與點B重合時，CF+DF最??；當點P與點A重合時，CF+DF最大.從而求出m的取值范圍.
【詳解】

如上圖：設PE=x，則PB=x，PF=3x，AP=6-x
∵
∴
由AP、PF的數(shù)量關系可知，

如上圖，作交BC于M，所以點F在AM上.
當點P與點B重合時，CF+DF最小.此時可求得

如上圖，當點P與點A重合時，CF+DF最大.此時可求得
∴
故選：D
【點撥】此題考查幾何圖形動點問題，判斷出，然后可分析出當點P與點B重合時，CF+DF最??；當點P與點A重合時，CF+DF最大是解題關鍵.
11．
【分析】由平行四邊形的對角線互相平分可知，，，根據(jù)垂線段最短可知，當取最小值時，最短，此時，由三角形中位線定理即可求出答案．
解：在中，，
，
四邊形是平行四邊形，
，，
當取最小值時，最短，此時，
是的中位線，
，
．
故答案為：．
【點撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形中位線定理以及垂線段最短，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關鍵．
12．
【分析】如圖，作交于，連接、、作于，首先證明，因為，即可推出當、、共線時，的值最小，最小值．
解：如圖，作交于，連接、、作于．

是等腰直角三角形，
，
，
，
，

，
，

，，
，，
，
，
，
當、、共線時，的值最小，
最小值，
在中，，

，
在中，．

故答案為：．
【點撥】本題考查了四邊形的動點問題，掌握當、、共線時，的值最小，最小值是解題的關鍵．
13．2
【分析】平行四邊形ADCE的對角線的交點是AC的中點O，當OD⊥AB時，OD最小，即DE最小，根據(jù)直角三角形勾股定理即可求解．
解：如圖

∵平行四邊形ADCE的對角線的交點是AC的中點O，又AB=AC=4
∴OC=OA=AC=2
當OD⊥AB時，OD最小，即DE最小．
∵OD⊥BA，∠BAC=45°，
∴∠AOD=45°
∴△ADO為等腰直角三角形
在Rt△ADO由勾股定理可知
OD= AO=
∴DE=2OD=2
故答案為：2．
【點撥】本題考查了勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)，即平行四邊形對角線互相平分，正確理解DE最小值的條件是關鍵．
14．
【分析】根據(jù)t的值討論M、N的位置，根據(jù)平行四邊形的判定定理即可求解．
解：如圖，

在直角△ABE中，AE==5cm．
設運動的時間是t秒．
當0＜t＜2時，M在CD上，N在DA上，
若平行四邊形是AEMN，
則AE∥MN且AE=MN，而AE=MN不可能成立；
當t=2時，M在C點，DN=4cm，
此時，AN≠EC，
則不能構成平行四邊形；
當2＜t＜4.5時，M在BC上，
則EM=BC+CD-BE-2t=9-2t，AN=8-t，
當9-2t=8-t時，
解得：t=1（舍去），
當4.5＜t＜6時，M在BC上，
則EM=2t-（BC+CD-BE）=2t-9，AN=8-t，
當2t-9=8-t時，
解得：t=，
此時四邊形AMEN是平行四邊形；
當6＜t＜8時，M在AB上，N在AD上，
不能構成平行四邊形；
當t=8時，Q與A重合，不能構成平行四邊形形．
綜上所述：經(jīng)過秒鐘，點A、E、M、N組成平行四邊形．
故答案為：．
【點撥】本題考查了平行四邊形的判定定理；熟練掌握平行四邊形的判定方法，正確對t的范圍進行討論是解決問題的關鍵．
15．
【解析】延長與的延長線交于點
設則

，
面積的最大值為

故答案為：
16．4
【分析】根據(jù)題意，在N的運動過程中A′在以M為圓心、AD為直徑的圓上的弧AD上運動，當A′C取最小值時，由兩點之間線段最短知此時M、A′、C三點共線，得出A′的位置，進而利用銳角三角函數(shù)關系求出A′C的長即可．
解：如圖，連接MC；過點M作ME⊥CD，交CD的延長線于點E．

∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC=2，CD=AB=6，
∵點M為AD的中點，∠A=45°，
∴DM=MA=，∠MDE=∠A=45°，
∴ME=DE=DM=1，
∴CE=CD+DE=6+1=7，
由勾股定理得：CM2=ME2+CE2，
∴CM==；
由翻折變換的性質(zhì)得：MA′=MA=，
顯然，當折線MA′C與線段MC重合時，線段A′C的長度最短，
此時A′C=MC-MA′=5-=4，
故答案為：4．
【點撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、勾股定理、解直角三角形等幾何知識點；解題的方法是作輔助線，得出A′點位置．
17．或或
【分析】過點C作CH⊥OA于點H，由題意易得，，則有，然后分①點P在OC上，點Q在BC上，②點Q在OC上，點P在OA上，③點Q在OA上，點P在AB上，進而根據(jù)平信四邊形的性質(zhì)及面積計算公式進行求解即可．
解：過點C作CH⊥OA于點H，如圖所示：

∵點A的坐標為，點C的坐標為，
∴，，，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∵，，
∴，即點H與點D重合，
由動點P、Q在的一組鄰邊上，以點D、E、P、Q為項點的四邊形是平行四邊形時，則可分：
①點P在OC上，點Q在BC上，如圖所示：

∴點O與點P重合，
∴；
當DE為對角線時，如圖所示：

則；
②點Q在OC上，點P在OA上，如圖所示：

∴點C、Q重合，
∴；
③點Q在OA上，點P在AB上，如圖所示：

∴點B、P重合，
∴；
綜上所述：當動點P、Q在的一組鄰邊上，以點D、E、P、Q為項點的四邊形是平行四邊形時，其面積為或或；
故答案為或或．
【點撥】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關鍵．
18．
【解析】過點B作BF'⊥CD，交AC于點E'，則BE+EF的最小值為BF'的長；在Rt△BCF'中，BC=2，∠BCF'=60°，即可求解.
解：過點B作BF'⊥CD，交AC于點E'，則BE+EF的最小值為BF'的長；

∵∠BAD=60°，AD=2，
∴在Rt△BCF'中，BC=2，∠BCF'=60°，
∴BF'=.
故答案為.
【點撥】本題考查最短距離問題；利用垂線段最短將BE+EF的最小值轉(zhuǎn)化為垂線段的長是解題的關鍵．
19．
【分析】根據(jù)題意，將點沿向右平移2個單位長度得到點，作點關于的對稱點，連接，交于點，在上截取，連接，，此時四邊形的周長為，則當點、、三點共線時，四邊形的周長最小，進而計算即可得解．
解：如下圖，將點沿向右平移2個單位長度得到點，作點關于的對稱點，連接，交于點，在上截取，連接，，
∴，，
此時四邊形的周長為，
當點、、三點共線時，四邊形的周長最小，
，，，
經(jīng)過點，
，
，
，
，
，
，
四邊形周長的最小值為，
故答案為：．

【點撥】
本題主要考查了四邊形周長的最小值問題，涉及到含的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等，熟練掌握相關軸對稱作圖方法以及線段長的求解方法是解決本題的關鍵．
20．
【分析】以PA，PC為鄰邊作平行四邊形PAQC，由平行四邊形的性質(zhì)可知O是AC中點，PQ最短也就是PO最短，所以應該過O作A?B的垂線PO，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可求出PQ的最小值．
【詳解】

解：∵四邊形APCQ是平行四邊形，
∴AO=CO，OP=OQ，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴過點O作OP′⊥AB于P′，
∵∠BAC=45°
∴∠AP′O是等腰直角三角形，
∵AO=AC=4，
∴OP′=
∴PQ的最小值
=?2OP′=?
故答案為：
【點撥】本題考查平行四邊形的性質(zhì)和垂線段最短．找到最短線段是解決本題的關鍵．
21．6+2或4．
【分析】如圖1中，當點落在上時，作于，交的延長線于．設．如圖2，當點落在上時，如圖3中，當點落在直線上時，作于，于．則四邊形是矩形，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)以及三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．
解：如圖1中，當點落在上時，作于，交的延長線于．設．

在中，，，
，，
將線段繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
如圖2，當點落在上時，

將線段繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，
，
，
在中，，，
；
如圖3中，當點落在直線上時，作于，于．則四邊形是矩形．

在中，，，
，，
，
是等腰直角三角形，，
，
，（不合題意舍去），
綜上所述，的值是或，
故答案為：或．
【點撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、勾股定理、解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題．
22．
【分析】的周長=FA'+BF+BA'=AF+BF+BA'=AB+BA'=10+BA'，推出當BA'最小時，的周長最小，由此即可求解．
解：如圖，作于點，連接，

∵，
，
，
，
，
由翻折可知，
的周長，
當?shù)拈L度最小時，的周長最小，
，
，
的最小值為，
的周長的最小值為．
故答案為：．
【點撥】此題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，翻折不變性，勾股定理，含30度直角三角形的性質(zhì)等，靈活運用性質(zhì)是解題關鍵．
23．4.
【分析】根據(jù)翻折的性質(zhì)可以得到，所以判斷點的運動軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，過作，由于，而是定值，所以要使面積最小只能是的取值最小，當三點共線時，的取值最小，結(jié)合三角函數(shù)求出，繼而求出，即可求得面積的最小值；
【詳解】是由沿著翻折得到的

點的運動軌跡是以為圓心，以為半徑的圓
過作

要使面積最小，只能是的取值最小
當三點共線時，的取值最小
,,

此時，，即面積的最小值為4

故答案是：4.
【點撥】本題主要結(jié)合平行四邊形內(nèi)部的翻折以及動點問題，準確的判斷出的運動軌跡是求解本題的關鍵.
24．
【分析】分兩種情況：①當F在AB上時，由折疊的性質(zhì)可知：∠BEG=90°；然后求得∠BGE=30°，最后根據(jù)30°所對的邊是斜邊的一半即可；②當F在AB上時，過A作AH⊥BG．先求出AG、BH的長，然后根據(jù)折疊的性質(zhì)得到FG=BG=2，∠EFG=60°；再證明四邊形AFGH是矩形,得到HG=BG-BH=2-2；再根據(jù)等角對等邊得到AE=AF=2-2,最后根據(jù)線段的和差解答即可．
解：如圖：當F在AB上時，由折疊的性質(zhì)可知：∠BEG=90°
∵∠B=60°
∴∠BGE=30°
∵BG=2
∴BE==．

如圖：當F在AB上時，過A作AH⊥BG，
∵∠B=60°，AB=4
∴AH=AB·sin∠B=4×=2,∠BAH=30°
∴BH==2
由折疊的性質(zhì)可得FG=BG=2，∠EFG=60°，
∴AH//FG，即FG⊥AD,∠AFE=30°
∵平行四邊形ABCD
∴AD∥BC
∴四邊形AFGH是矩形, ∠BAF=180°-∠B=120°
∵HG=BG-BH=2-2
∴AF=HG=2-2，∠AEF=180°-∠EAF-∠AFE=30°
∴∠AEF=∠AFE
∴AE=AF=2-2
∴BE=AB-AE=4-(2-2)=6-2．

故答案為或6-2．
【點撥】
本題考查了折疊的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)、等腰三角形等知識，掌握分類討論思想和靈活運用所學知識是解答本題的關鍵．
25．
【分析】如圖，以AB為邊向下作等邊△ABK，連接EK，在EK上取一點T，使得AT＝TK，再證明△ABF△KBE，可得AF＝EK；然后根據(jù)垂線段最短可知，當KE⊥AD時，KE的值最小，最后解直角三角形求出EK即可．
解：如圖，以AB為邊向下作等邊△ABK，連接EK，在EK上取一點T，使得AT＝TK．

∵BE＝BF，BK＝BA，∠EBF＝∠ABK＝60°，
∴∠ABF＝∠KBE，
∴△ABF△KBE（SAS），
∴AF＝EK，
∴要求AF最小值，即求EK最小值，
又∵K為定點，求EK最小值，即求K到直線AD的最小值，
∴當KE⊥AD時，KE的值最小，此時AF最小，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴ADBC，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝135°，
∵∠BAK＝60°，
∴∠EAK＝75°，
∵∠AEK＝90°，
∴∠AKE＝15°，
∵TA＝TK，
∴∠TAK＝∠AKT＝15°，
∴∠ATE＝∠TAK+∠AKT＝30°，
設AE＝a，則AT＝TK＝2a，ET＝a，
在Rt△AEK中，
∵AK2＝AE2+EK2，
∴a2+（2a+a）2＝22，
∴（8+4）a2＝4，
∴a2＝＝，
∴a＝＝＝，
∴EK＝(2+)a＝(2+)×＝，
又∵AF＝EK，
∴AF的最小值為；
故答案為．
【點撥】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、垂線段最短、勾股定理等知識，正確添加常用輔助線、構造全等三角形是解答本題的關鍵．
26．或；．
【分析】設經(jīng)過t s時，AP=BQ，結(jié)合題意此時四邊形ABQP為平行四邊形．根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)列方程即可得到結(jié)論，當PD=CQ時，四邊形PQCD為平行四邊形，利用平行四邊形的性質(zhì)列方程求解，P，Q兩點之間最短時，從而可得答案．
解：當四邊形為平行四邊形時，

當四邊形為平行四邊形時，

綜上：當或的時候出現(xiàn)平行四邊形．
兩點最短時，
此時四邊形為矩形，所以之間的最短距離為．

【點撥】
本題考查的是平行四邊形的判定與性質(zhì)，掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵．
27．①證明見解析；②.
【分析】
（1）根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等可得AB∥CD，AB=CD，再求出BE=DF，然后根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明；
（2）過D作DE⊥AB于E，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠ADE=30°，再根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得AE=AD．
(1)證明：四邊形ABCD是平行四邊形

四邊形DEBF為平行四邊形.
(2)當時，四邊形DEBF為矩形. 理由是：
過點D作于點 E

在中，

AD⊥DB，∠ADB=90°
在中，

當時，，
即平行四邊形DEBF是矩形.
【點撥】本題考查了矩形的判定，平行四邊形的判定與性質(zhì)，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，熟記各性質(zhì)與矩形的判定方法是解題的關鍵．
28．或
【分析】分兩種情況討論：當點C在OB上時和當點C在BO的延長線上時，同樣需要過點E作于點M，由正方形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)可求OD的長，即可求出m的值．
【詳解】當點C在OB上時，過點E作于點M，

，
，
．
，
，
．
，
，
．
∵四邊形DEFA是正方形，
，
．
，
，
；
當點C在BO的延長線上時，過點E作于點M，

同理可得．
，
，
，
綜上所述，m的值為或．
故答案為：或．
【點撥】本題主要考查正方形的性質(zhì),等腰直角三角形的性質(zhì)和一元一次方程的應用，分情況討論是解題的關鍵．
29．（1）見解析；（2）作圖見解析，
【分析】
（1）利用翻折變換的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)得出，進而利用平行四邊形的判定方法得出四邊形是平行四邊形，進而求出四邊形是平行四邊形，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，然后又菱形的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）由四邊形是平行四邊形，得到是菱形，推出與關于對稱，連接交于，則的長即為的最小值，過作于，解直角三角形得到，，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．
解：證明：（1）將沿過點的直線折疊，使點落到邊上的點處，
，，，
，
，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，
四邊形是平行四邊形，
，，
，，
四邊形是平行四邊形；
，
，，
，
是菱形；
（2）四邊形是菱形，
與關于對稱，
連接交于，則的長即為的最小值，
過作于，
，
，
，
，，
，
，
的最小值為．

【點撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，最短距離問題，勾股定理，菱形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關鍵．
30．見解析
【分析】易證DE是△ABC的中位線，GF是△OBC的中位線，得出DE∥BC，DE=BC，GF∥BC，GF=BC，則DE∥GF，DE=GF，即可得出結(jié)論．
【詳解】
解：證明：∵D，E，F(xiàn)，G分別為AB，AC，OC，OB中點，
∴DE是△ABC的中位線，GF是△OBC的中位線，
∴DE∥BC，DE=BC，GF∥BC，GF=BC，
∴DE∥GF，DE=GF，
∴四邊形DEFG為平行四邊形．
【點撥】本題考查了平行四邊形的判定、三角形中位線定理等知識；熟練掌握三角形中位線定理和平行四邊形的判定是解題的關鍵．
31．（1）8秒（2）第2秒或6秒時，點A、E、M、N組成平行四邊形
【解析】（1）根據(jù)相遇問題的等量關系列出方程求解即可；
（2）分點M在點E的右邊和左邊兩種情況，根據(jù)平行四邊形對邊相等，利用AN=ME列出方程求解即可．
試題解析：（1）設t秒時兩點相遇，
根據(jù)題意得，t＋2t＝2（4＋8），解得t＝8，
答：經(jīng)過8秒兩點相遇；
（2）①如圖1，點M在E點右側(cè)時，當AN＝ME時，四邊形AEMN為平行四邊形，得：8－t＝9－2t，解得t＝1，
∵t＝1時，點M還在DC上，∴t＝1舍去；
②如圖2，點M在E點左側(cè)時，當AN＝ME時，四邊形AEMN為平行四邊形，
得：8－t＝2t－9，解得t＝，
所以，經(jīng)過秒鐘，點A、E、M、N組成平行四邊形.

【點撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，相遇問題的等量關系，熟記各性質(zhì)并列出方程是解題的關鍵．
32．(1)當t＝7時，四邊形PCDQ是平行四邊形；(2)當t＝時，△QDP的面積為60cm2；(3)當t＝，PD＝PQ．
【分析】
（1）根據(jù)題意用t表示出CP=t，AQ=2t，根據(jù)平行四邊形的判定定理列出方程，解方程即可；
（2）根據(jù)三角形的面積公式列方程，解方程得到答案；
（3）根據(jù)等腰三角形的三線合一得到DH=DQ，列方程計算即可．
【詳解】
(1)由題意得，CP＝t，AQ＝2t，
∴QD＝21﹣2t，
∵AD∥BC，
∴當DQ＝PC時，四邊形PCDQ是平行四邊形，
則21﹣2t＝t，
解得，t＝7，
∴當t＝7時，四邊形PCDQ是平行四邊形；
(2)在Rt△ABE中，BE＝＝12，
由題意得，×(21﹣2t)×12＝60，
解得，t＝，
∴當t＝時，△QDP的面積為60cm2；
(3)作PH⊥DQ于H，DG⊥BC于G，則四邊形HPGD為矩形，

∴PG＝HD，
由題意得，CG＝AE＝5，
∴PG＝t﹣5，
當PD＝PQ，PH⊥DQ時，DH＝DQ，即t﹣5＝(21﹣2t)，
解得，t＝，
則當t＝時，PD＝PQ．
【點撥】本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)和判定、等腰三角形的性質(zhì)，掌握平行四邊形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關鍵．
33．見解析
【解析】（1）根據(jù)題意畫出圖形即可；
（2）由平行四邊形的性質(zhì)證出∠FCG=∠EDG，由ASA證明△CFG≌△DEG，得出對應邊相等EG=FG，由平行四邊形的判定方法即可得出結(jié)論．
（1）解：如圖所示：

（2）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠FCG=∠EDG，
∵G是CD的中點，
∴CG=DG，
在△CFG和△DEG中，，
∴△CFG≌△DEG（ASA），
∴EG=FG，
又∵CG=DG，
∴四邊CEDF是平行四邊形．
考點：平行四邊形的判定與性質(zhì)．
34．(1)見解析;(2) t為2s時.
【分析】（1）由平行四邊形ABCD中，可得OA=OC，OB=OD，又由若E、F是AC上兩動點，E、F分別從A、C兩點同時以2cm/s的相同的速度向C、A運動，易得AE=CF，即可得OE=OF，則可判定四邊形DEBF是平行四邊形；
（2）由四邊形DEBF是平行四邊形，可得當EF=BD時，四邊形DEBF為矩形，即可得方程：18-2t-2t=10，繼而求得答案．
解：四邊形是平行四邊形．
理由：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∵、是上兩動點，、分別從、兩點同時以的相同的速度向、運動，
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形；
根據(jù)題意得：或，
∵四邊形是平行四邊形，
∴當時，四邊形為矩形．
即或，
∴或，
解得：，
∴當運動時間為時，四邊形為矩形．
【點撥】此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)以及矩形的判定，正確應用矩形的判定方法得出EF=BD是解題關鍵．
35．（1）300；（2）；（3）
【分析】（1）如圖所示，過點作交的延長線于點，先根據(jù)現(xiàn)有條件求出AK，然后即可求出平行四邊形的面積；
（2）如圖所示，延長到使得，先證明得出，，，再證明，得出即可求出BG；
（3）如圖所示，作點關于直線的對稱點，連接、、，以為圓心，為半徑作圓，根據(jù)已知推出點在與直線夾角為且經(jīng)過點的直線上運動，設直線與交于點，直線與直線交于點，直線與直線交于點，過點作于，當點與重合時，取得最小值，易得，然后證明為等腰三角形，求出，
，，，，根據(jù)得出即可求出答案．
【詳解】
（1）如圖所示，過點作交的延長線于點，

，
，
，，
，
，
平行四邊形的面積為；
（2）如圖所示，延長到使得，

，
，，
，
，
又，，
由，
，
，
，
，，
，
由（1）得，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）如圖所示，作點關于直線的對稱點，連接、、，以為圓心，為半徑作圓，

，
點、在上，
，
，
點在與直線夾角為且經(jīng)過點的直線上運動，
設直線與交于點，直線與直線交于點，直線與直線交于點，過點作于，
當點與重合時，取得最小值，
易得，
，
又，
，
為等腰三角形，
，
由（2）得，，
，
又，
，
在中，，
由，
，
，
，
即的長度的最小值是．
【點撥】本題是四邊形綜合題，考查了平行四邊形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理等知識，正確作出輔助線，熟練運用幾何圖形的性質(zhì)是解題的關鍵．
36．（1）26；（2）①；②當t=或時，，線段PQ與四邊形ABCD的邊構成平行四邊形；③不存在t值，使②中的平行四邊形是菱形，理由詳見解析.
【分析】（1）先在Rt△DEC中利用特殊三角函數(shù)值可求CE，進而可求CD，再利用等腰梯形的性質(zhì)可求BC；（2）①先畫圖，由于四邊形PQED是矩形，那么矩形的對邊相等，于是PD=QE，再根據(jù)路程=速度×時間，可得2t=26-4-3t，進而可求t；②有兩種情況：（i）是PQ與AB構成平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，對邊相等，可得AP=BQ，再根據(jù)路程=速度×時間，可得3t=18-2t，進而可求t；（ii）是PQ與CD構成平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，對邊相等，可得PD=CQ，再根據(jù)路程=速度×時間，可得2t=26-3t，進而可求t；③根據(jù)②中的兩種情況，分別求出BQ、DP的值，再與鄰邊AB、CD比較，從而可判斷不存在t值，使②中的平行四邊形是菱形．
【詳解】
∵DE⊥BC，
∴∠DEC=90°，
又∵∠C=60°，
∴CE==4，∠EDC=30°，
∴CD=2CE=8，
∵AD∥BC，AB=CD，
∴四邊形ABD是等腰梯形，
∴BC=2CE+AD=8+18=26；
故答案為：26；
（2）①設運動時間為t時，四邊形PQED是矩形，如圖，

∵四邊形PQED是矩形，
∴PD=QE，
∴2t=26-4-3t，
解得t=；
故答案為：；
②有兩種情況：
（i）設運動時間為t時，線段PQ與AB構成平行四邊形，如圖，

∵四邊形ABQP是平行四邊形，
∴AP=BQ，
∴3t=18-2t，
解得t=，
（ii）設運動時間為t時，線段PQ與CD構成平行四邊形，如圖，

∵四邊形PQCD是平行四邊形，
∴PD=CQ，
∴2t=26-3t，
解得t= ，
綜上，當t=或時，，線段PQ與四邊形ABCD的邊構成平行四邊形；
③不存在t值，使②中的平行四邊形是菱形，
（i）當t=時，BQ=3t= ，
而AB=CD=8，
所以BQ≠AB，
∴四邊形ABQP不是菱形，
（ii）當t=時，DP=2t=，
而AB=CD=8，
所以DP≠AB，
∴四邊形PQCD不是菱形．
【點撥】本題考查了平行四邊形、菱形的判定和性質(zhì)，等腰梯形的性質(zhì)，解題的關鍵是畫出相關的圖，根據(jù)圖找出等量關系，進而求出t．

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