?專題 18.35 特殊平行四邊形動點問題專題訓練（鞏固篇）
（專項練習）
一、單選題
1．如圖，在平行四邊形ABCD中，∠DAB＝120°，AB＝4，AD＝2，點O為對稱中心，點M從點A出發(fā)沿AB向點B運動，到點B停止運動，連接MO并延長交CD于點N，則四邊形AMCN形狀的變化依次為（ ）

A．平行四邊形→正方形→平行四邊形→矩形→平行四邊形
B．平行四邊形→菱形→平行四邊形→矩形→平行四邊形
C．平行四邊形→矩形→菱形→正方形→平行四邊形
D．平行四邊形→菱形→正方形→矩形→平行四邊形
2．在平面直角坐標系中，長方形OACB的頂點O在坐標原點，頂點A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，OA＝3，OB＝4，D為邊OB的中點，若E為x軸上的一個動點，當△CDE的周長最小時，求點E的坐標（ ）

A．（一3，0） B．（3，0） C．（0，0） D．（1，0）
3．如圖，甲?乙兩動點分別從正方形ABCD的頂點A?C同時沿正方形的邊開始移動，甲點依順時針方向環(huán)行，乙點依逆時針方向環(huán)行，若乙的速度是甲的速度的4倍，則它們第2017次相遇在邊( )


A．AB上 B．BC上 C．CD上 D．DA上
4．如圖，正方形的四個頂點均在坐標軸上，且，點從點出發(fā)，在正方形的邊上沿上的方向以每秒個單位長度的速度運動，在的上方作等腰直角三角形，且，則第2019秒時，點的坐標為（ ）

A． B． C． D．
5．如圖，矩形ABCD中，AB＝10，AD＝4，點E從D向C以每秒1個單位的速度運動，以AE為一邊在AE的右下方作正方形AEFG．同時垂直于CD的直線MN也從C向D以每秒2個單位的速度運動，當經(jīng)過（ ）秒時，直線MN和正方形AEFG開始有公共點

A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
6．如圖1，在矩形中，點為邊的中點，動點沿折線從點開始運動到點．設運動的路程為，的面積為， 與之間的函數(shù)關系的圖象如圖2所示，當時，的值是（ ）

A． B． C． D．
7．在平面直角坐標系中，長為2的線段（點D在點C右側）在x軸上移動，，連接、，則的最小值為（ ）

A． B． C． D．
8．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝12cm，點P在AD邊上以每秒1cm的速度從點A向點D運動，點Q在BC邊上，以每秒4cm的速度從點C出發(fā)，在CB間往返運動，兩個點同時出發(fā)，當點P到達點D時停止（同時點Q也停止），在這段時間內(nèi)，線段PQ平行于AB的次數(shù)是（　?。?br />
A．2 B．3 C．4 D．5
9．如圖，平面直角坐標系xOy中，點A在第一象限，B（2，0），∠AOB＝60°，∠ABO＝90°．在x軸上取一點P（m，0），過點P作直線l垂直于直線OA，將OB關于直線l的對稱圖形記為O′B′，當O′B′和過A點且平行于x軸的直線有交點時，m的取值范圍為（　?。?br />
A．m≥4 B．m≤6 C．4＜m＜6 D．4≤m≤6
10．如圖，在菱形中，，，點是線段上一動點，點是線段上一動點，則的最小值（ ）

A． B． C． D．
11．如圖，在正方形中，，延長到點，使，連接，動點從點出發(fā)以每秒1個單位長度的速度沿向終點運動．設點的運動時間為秒.當和全等時，的值為（ ）

A．3 B．5 C．7 D．3或7
12．如圖所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，點D從點C出發(fā)沿CA方向以4cm/s的速度向點A勻速運動，同時點E從點A出發(fā)沿AB方向以2cm/s的速度向點B勻速運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動，設點D，E運動的時間是ts（0＜t≤15），過點D作DF⊥BC于點F，連接DE，EF，若四邊形AEFD為菱形，則t的值為（ ）

A．20 B．15 C．10 D．5
13．如圖①，點從菱形的頂點出發(fā)，沿以的速度勻速運動到點．圖②是點運動時，的面積（）隨著時間（）變化的關系圖象，則菱形的邊長為（ ）

A． B． C． D．


二、填空題
14．如圖．在正方形的邊上有一點，連接．點從正方形的頂點出發(fā)，沿以的速度勻速運動到點．圖是點運動時，的面積隨時間變化的函數(shù)圖象．

（1）正方形的邊長為______．
（2）當時，的值為______．
15．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，且，，P，Q分別從A，C同時出發(fā)，以的速度由向運動，Q以2cm/s的速度由C出發(fā)在射線CB上運動，設運動時間為x秒，當___時，以A、B、Q、P為頂點的四邊形是平行四邊形．

16．如圖，在矩形中，是上一點，是上一動點，連接，取的中點，連接，當線段取得最小值時，線段的長度是_________．

17．我們知道：四邊形具有不穩(wěn)定性．如圖，在平面直角坐標系中，邊長為2的正方形ABCD的邊AB在x軸上，AB的中點是坐標原點O，固定點A，B，把正方形沿箭頭方向推，使點D落在y軸正半軸上點處，點E為x軸上一動點，當取最小值時，點E的坐標為____．

18．如圖，在邊長為8厘米的正方形中，動點在線段上以2厘米/秒的速度由點向點運動，同時動點在線段上以1厘米/秒的速度由點向點運動，當點到達點時整個運動過程立即停止．設運動時間為1秒，當時，的值為______．

19．如圖，在中，，，點D是AB上一動點，以AC為對角線的所有平行四邊形ADCE中，DE的最小值是________．

20．如圖，中，AB=7，BC=5，CH⊥AB于點H，CH=4， 點P從點D出發(fā)， 以每秒1個單位長度的速度沿DC-CH向點H運動，到點H停止，設點P的運動時間為t

（1）AH=__________．
（2）若△PBC是等腰三角形， 則t的值為__________．
21．如圖，△?中，∠，∠，，點是上的一個動點，點關于，的對稱點分別是和F，四邊形是平行四邊形，則四邊形的面積的最小值是________．

22．如圖，正方形的邊長是16，點在邊上，，點是邊上不與點、重合的一個動點，把沿折疊，點落在處，若恰為等腰三角形，則的長為______．

23．如圖，在平行四邊形中，點在上，，點是的中點，若點以1厘米/秒的速度從點出發(fā)，沿向點運動；點同時以2厘米/秒的速度從點出發(fā)，沿向點運動，點運動到停止運動，點也同時停止運動，當點運動時間是_____秒時，以點為頂點的四邊形是平行四邊形．

24．如圖，已知矩形ABCD中，AB=6，AD=10，動點P從點D出發(fā)，在邊DA上以每秒1個單位的速度向點A運動，連接CP，作點D關于直線PC的對稱點E，設點P的運動時間為t(x)，當P，E，B三點在同一直線上時對應t的值為　 ?。?br />
25．如圖，?ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠B＝60°，點P是四邊形上的一個動點，則當△PBC為直角三角形時，BP的長為_____．


三、解答題
26．如圖，在平行四邊形中，，．．點在上由點向點出發(fā)，速度為每秒；點在邊上，同時由點向點運動，速度為每秒．當點運動到點時，點，同時停止運動．連接，設運動時間為秒．
（1）當為何值時，四邊形為平行四邊形？
（2）設四邊形的面積為，求與之間的函數(shù)關系式．
（3）當為何值時，四邊形的面積是四邊形的面積的四分之三？求出此時的度數(shù)．
（4）連接，是否存在某一時刻，使為等腰三角形？若存在，請求出此刻的值；若不存在，請說明理由．

27．如圖，在長方形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，點P從A點出發(fā)沿A-B-C-D移動，且點P的速度是2cm/s，設運動的時間為t秒，若點P與點A、點D連線所圍成的三角形PAD的面積表示為S1．
（1）當t=2秒時，求S1 =______cm2；
（2）當S1=12cm2時，則t=______秒；
（3）如圖2，若在點P運動的同時，點Q也從C點同時出發(fā)，沿C-B運動，速度為1cm/s，若點Q與點C、點D連線所圍成的三角形QCD的面積表示為S2，當|S1－S2|=18時，求t的值．

28．如圖，在中，，，．點從點出發(fā)沿方向以每秒2個單位長的速度向點勻速運動，同時點從點出發(fā)沿方向以每秒1個單位長的速度向點勻速運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．設點、運動的時間是秒（）．過點作交于點，連接、．
（1）求證；
（2）四邊形能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應的值；如果不能，說明理由．
（3）當為何值時，為直角三角形？請說明理由．


























參考答案
1．B
【分析】
根據(jù)OM與OA的位置關系，數(shù)量關系，兩個方面去判斷
【詳解】
如圖，連接AC，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA=OC，AM∥NC，
∴∠MAO=∠NCO，∠AMO=∠CNO，
∴△MAO≌△NCO，
∴MO=NO，
∴四邊形ANCM是平行四邊形，
當∠AOM=90°時，
四邊形ANCM是菱形，
當∠AOM＞90°，且OA≠OM時，
四邊形ANCM是平行四邊形，
當∠AOM＞90°，且OA=OM時，
四邊形ANCM是矩形，
當∠AOM＞90°，且OA≠OM時，
四邊形ANCM是平行四邊形，
∴選B．

【點撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，菱形的判定，矩形的判定，熟練掌握對角線與四邊形的形狀之間的關系是解題的關鍵．
2．D
【分析】
由于C、D是定點，則CD是定值，如果△CDE的周長最小，即DE＋CE有最小值．為此，作點D關于x軸的對稱點D′，當點E在線段CD′上時，△CDE的周長最小．
【詳解】
如圖，作點D關于x軸的對稱點D′，連接CD′與x軸交于點E，連接DE．
若在邊OA上任取點E′與點E不重合，連接CE′、DE′、D′E′
由DE′＋CE′＝D′E′＋CE′＞CD′＝D′E＋CE＝DE＋CE，
∴△CDE的周長最小．
∵OB＝4，D為邊OB的中點，
∴OD＝2，
∴D（0，2），
∵在長方形OACB中，OA＝3，OB＝4，D為OB的中點，
∴BC＝3，D′O＝DO＝2，D′B＝6，
∵OE∥BC，
∴Rt△D′OE∽Rt△D′BC，
∴，
即：，即：OE＝1，
∴點E的坐標為（1，0）
故選：D．

【點撥】此題主要考查軸對稱??最短路線問題，解決此類問題，一般都是運用軸對稱的性質(zhì)，將求折線問題轉化為求線段問題，其說明最短的依據(jù)是：兩點之間線段最短．
3．C
【分析】
第一次相遇行走路程為2a,第二次路程為4a…第n次還是4a,而他們的速度和為5v，求每次甲走的路程，甲第一次走的路程為S1=，第二次走的路程為S2=，第n次走的路程為Sn =，然后求出甲一共走的路程被一周4a除看有多少圈，最后考慮余下的圈數(shù)乘以一周4a即可．
【詳解】
設正方形的邊長為a，甲的速度為v,則乙的速度為4v，
第一次相遇時間為t1，第二次相遇時間為t2，第n次相遇時間為tn，
甲第一次走的路程為S1，第二次走的路程為S2，第n次走的路程為Sn，
4vt1+vt1=2a，
t1=，S1=v?t1=，
4vt2+vt2=4a，
t2=，S2= v?t2=，
4vt3+vt3=4a，
t3=，S3= v?t3=，
…
tn=，Sn= v?tn=，
S=S1+S2+…+Sn=++…+=，
當n=2017時，
S=，
S÷4a=403.3圈，
0.3×4a=1.2a，
第2017次相遇在CD上距離D為0.2a．
故選擇：C．
【點撥】本題考查相遇地點問題，關鍵是以甲還是乙為考查對象，然后計算他們走的總路程，被一周4a除看余數(shù)，掌握路程時間與速度關系，確定好每次走的路程，第一次2a，以后都是4a才能得以解決問題．
4．D
【分析】
根據(jù)A點坐標可得正方形ABCD的邊長，且P點運行2019秒，可得P點最后運動到BC中點，即點P坐標為(1,1),且PEF為等腰直角三角形，可得F點坐標．
【詳解】
解：在正方形ABCD中，A點坐標(-2,0),
∴正方形ABCD邊長AB=，
又∵點P沿著A-B-C-D-A的方向，以每秒個單位長度運動2019秒，
∴點P所經(jīng)過路程為，此時P點運動到BC中點，
∴點P坐標為(1,1),點E坐標為(-3,0),且PEF為等腰直角三角形，
∴點F坐標為(-4,4)，
故選：D．
【點撥】本題考察了特殊平行四邊形中的動點問題及坐標系中點坐標的描述，解題的關鍵在于判斷出點P在運動了2019秒后停止的位置．
5．A
【分析】
首先過點F作FQ⊥CD于點Q，證明△ADE≌△EQF，進而得出AD=EQ，得出當直線MN和正方形AEFG開始有公共點時：DQ+CM≥10進而求出即可．
【詳解】
解：過點F作FQ⊥CD于點Q，

∵在正方形AEFG中，∠AEF=90°，AE=EF，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠DAE+∠1=90°，
∴∠DAE=∠2，
在△ADE和△EQF中，

∴△ADE≌△EQF（AAS），
∴AD=EQ=4，
當直線MN和正方形AEFG開始有公共點時,此時時間為t,則有DQ+CM≥10，
∴t+4+2t≥10，
解得：t≥2，
故當經(jīng)過2秒時．直線MN和正方形AEFG開始有公共點．
故選：A．
【點撥】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形、矩形的性質(zhì)，熟練掌握正方形的四邊相等且每個角為90°，矩形的四個角為90°；通過三角形全等將EQ轉化為AD，可以表示出DQ+CM的長；本題有動點運動問題，要會表示動點的路程：時間×速度．
6．A
【分析】
根據(jù)題意，當點F在線段BC上時，y=3不變，當點F由C到D時，y逐漸變小，然后列出方程組，求出BC和CD的長度，即可求出答案．
【詳解】
解：根據(jù)題意，可知
當點F在線段BC上時，y=3不變，
∵點E是AD的中點，則
，
∴，
當點F由C到D時，y逐漸變小，則有
，
∵
∴，，
當時，點F在CD上，則，
∴，
∴；
故選：A．
【點撥】本題考查動點問題的函數(shù)圖象，矩形的性質(zhì)，解題的關鍵是理解題意，學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．
7．B
【分析】
作A（0，2）關于x軸的對稱點A’（0，-2），再過A’作A’E∥x軸且A’E=CD=2，連接BE交x軸與D點，過A’作A’C∥DE交x軸于點C，得到四邊形CDEA’為平行四邊形，故可知AC+BD最短等于BE的長，再利用勾股定理即可求解．
【詳解】
作A（0，2）關于x軸的對稱點A’（0，-2）
過A’作A’E∥x軸且A’E=CD=2，故E（2，-2）
連接BE交x軸與D點
過A’作A’C∥DE交x軸于點C，
∴四邊形CDEA’為平行四邊形，
此時AC+BD最短等于BE的長，
即AC+BD=A’C+BD=DE+BD=BE==
故選B．

【點撥】此題主要考查最短路徑的求解，解題的關鍵是熟知直角坐標系、平行四邊形的性質(zhì)．
8．C
【分析】
當QP∥AB時，由AP∥BQ可得到ABQP為平行四邊形，然后依據(jù)矩形的性質(zhì)可得到AP＝BQ，然后求得AP＝BQ的次數(shù)即可．
【詳解】
解：當QP∥AB時，
∵在在矩形ABCD，AD∥BC，
∴四邊形ABQP為平行四邊形，
∴AP＝BQ，
∵點P運動的時間＝12÷1＝12秒，
∴點Q運動的路程＝4×12＝48cm．
∴點Q可在BC間往返4次．
∴在這段時間內(nèi)PQ與AB有4次平行．
故選：C．
【點撥】本題考查了平行四邊形的判定．注意能求出符合條件的所有情況是解此題的關鍵，注意掌握分類討論思想的應用．
9．D
【分析】
根據(jù)題意可以作出合適的輔助線，然后根據(jù)題意，利用分類討論的方法可以計算出m的兩個極值，從而可以得到m的取值范圍．
【詳解】
解：如圖所示，

當直線l垂直平分OA時，O′B′和過A點且平行于x軸的直線有交點，
∵點A在第一象限，B（2，0），∠AOB＝60°，∠ABO＝90°，
∴∠BAO＝30°，OB＝2，
∴OA＝4，
∵直線l垂直平分OA，點P（m，0）是直線l與x軸的交點，
∴OP＝4，
∴當m＝4；
作BB″∥OA，交過點A且平行于x軸的直線與B″，
當直線l垂直平分BB″和過A點且平行于x軸的直線有交點，
∵四邊形OBB″O′是平行四邊形，
∴此時點P與x軸交點坐標為（6，0），
由圖可知，當OB關于直線l的對稱圖形為O′B′到O″B″的過程中，點P符合題目中的要求，
∴m的取值范圍是4≤m≤6，
故選：D．
【點撥】本題考查坐標與圖形的變化?對稱，解答本題的關鍵是明確題意，作出合適的輔助線，利用數(shù)形結合的思想解答．
10．D
【分析】
先作點E關于AC的對稱點點G，再連接BG，過點B作BH⊥CD于H，運用勾股定理求得BH和GH的長，最后在Rt△BHG中，運用勾股定理求得BG的長，即為PE+PF的最小值．
【詳解】
解：作點E關于AC的對稱點點G，連接PG、PE，則PE=PG，CE=CG=2，
連接BG，過點B作BH⊥CD于H，則∠BCH=∠CBH=45°，

∵四邊形ABCD是菱形，
∴
∴Rt△BHC中，BH=CH= ，
∴HG=HC-GC=3-2=1，
∴Rt△BHG中，BG= ，
∵當點F與點B重合時，PE+PF=PG+PB=BG（最短），
∴PE+PF的最小值是．
故選：D．
【點撥】本題以最短距離問題為背景，主要考查了菱形的性質(zhì)與軸對稱的性質(zhì)，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，一般情況要作點關于某直線的對稱點．注意：如果兩個圖形關于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線．
11．D
【分析】
分兩種情況，①當點P在BC邊上時，②當點P在AD邊上時，找出對應的邊列式計算即可.
【詳解】
當點在邊上時，在與中，
，
∴．
由題意得，
∴．
當點在上時，在與中，
，
∴，
由題意得，解得．
當點在上時，不滿足條件．
∴當?shù)闹禐?或7時，和全等．
故選D．
【點撥】本題考查的是正方形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)，能夠分情況討論是解題的關鍵.
12．C
【解析】
【分析】
利用t分別表示出CD和AE的長，根據(jù)四邊形AEFD為菱形可得AD=AE，列方程求出t值即可.
【詳解】
∵點D和點E的速度分別為4cm/s和2cm/s，
∴CD=4t，AE=2t，
∵四邊形AEFD為菱形，
∴AD=AE，即60-4t=2t，
解得：t=10，
故選C.
【點撥】本題考查菱形的性質(zhì)，用t分別表示出CD和AE的長并熟練掌握菱形的四條邊都相等的性質(zhì)是解題關鍵.
13．C
【分析】
根據(jù)圖②可以發(fā)現(xiàn)點E運動5秒后△ABE的面積停止了變化，且為最大面積，由此結合圖①，當點E在CD上運動時，△ABE面積最大，從而得出AC=5，CD=，然后根據(jù)△ABE最大面積為2得出△ABC面積為2，所以菱形ABCD面積為4，從而再次得出△ABC的高為4，然后進一步利用勾股定理求出菱形邊長即可.
【詳解】

如圖，過C點作AB垂線，交AB于E，
由題意得：△ABC面積為2，AC=5，DC=，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=DC=BC=,
∴△ABC面積==2，
∴CE=4，
∴在Rt△AEC中，AE==3，
∴BE=，
∴在Rt△BEC中，，
即，
解得：.
∴菱形邊長為.
故選：C.
【點撥】本題主要考查了菱形與三角形動點問題的綜合運用，熟練掌握相關性質(zhì)是解題關鍵.
14．
【分析】
（1）抓住關鍵點，函數(shù)圖象最高點的縱坐標為8，得△APE的最大面積為8，此時P、D重合，y＝AD?AB＝8，即可求解；
（2）先抓住關鍵點，知道點P到終點時，△APE的面積是6，此時P、C重合，y＝EC?AB＝6，得EC＝3，根據(jù)圖象分析當x＝7時，點P在CD上，且PD＝3，再求△APE的面積．
【詳解】
解：（1）設正方形的邊長為a，
由圖象可知，當P、D重合時，△APE的面積為8，
∴y＝AD?AB＝8，
∴a2＝8，
解得：a＝4（?4舍去），
∴正方形的邊長為4，
故答案為：4；
（2）當點在點時，，
解得：，即，，
當x＝7時，點P在CD邊上，如圖，

y＝S正方形ABCD?S△ABE?S△PEC?S△APD
＝4×4?×4×1?×3×1?×4×3＝，
故答案為：．
【點撥】本題考查的是動點圖象問題，解決此類問題關鍵是：弄清楚不同時間段，函數(shù)圖象和圖形的對應關系，進而求解．
15．2或6
【分析】
以A、B、Q、P為頂點的四邊形是平行四邊形．分情況分析，當點Q位于B點右側時，有，當點Q位于點B左側時，有，據(jù)此回答即可．
【詳解】
解：運動時間為x秒，
，
當Q位于B點右邊時，
四邊形ABQP為平行四邊形，
，
，
；
當Q位于B點左側時，
四邊形AQBP為平行四邊形時，
,，
，
解得：；
故答案為：2或6．
【點撥】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)列出關于x的方程是解題的關鍵，注意分類討論．
16．5
【分析】
過點P作PM∥FE交AD于M，則FE為△APM的中位線，，當時，PM最短，EF最短，在Rt△PMD中可求得PD的長度．
【詳解】
解：過點P作PM∥FE交AD于M，如圖，

∵F為AP的中點， ，
∴FE為△APM的中位線，
∴ ，
當EF取最小值時，即PM最短，
當時，PM最短，
此時 ，
∵，
在 中，，
∴當線段EF取得最小值時，線段PD的長度是5，
故答案為：5．
【點撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，垂線段的性質(zhì)和三角形中位線定理，構造三角形中位線，利用垂線段最短是解決本題的關鍵PM⊥AD．
17．
【分析】
首先根據(jù)題意作圖找到點的位置，然后由正方形性質(zhì)得到，再利用勾股定理得到 ，進而得到點的坐標，最后利用待定系數(shù)法可得到直線 的解析式，求出點的坐標即可．
【詳解】
解：作關于軸對稱的點，連接 與軸的交點即為所求點．


∵軸垂直平分，
∴
∴
即當動點在點的位置時，的值最小
∵，
∴，
∴，，
∴直線的函數(shù)解析式為：，
∴點的坐標為．
故答案為．
【點撥】本題考查了最短距離問題、正方形的性質(zhì)、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等知識點，準確的找到點所在的位置是解決本題的關鍵．
18．
【分析】
由“ASA”可證△ABQ≌△DAP，可得AP＝BQ，列出方程可求t的值．
【詳解】
∵四邊形ABCD是正方形
∴AD＝AB，∠B＝∠BAD＝90°
∵AQ⊥DP
∴∠QAD＋∠ADP＝90°，且∠DAQ＋∠BAQ＝90°，
∴∠BAQ＝∠ADP，且∠B＝∠BAD＝90°，AD＝AB
∴△ABQ≌△DAP（ASA）
∴AP＝BQ
∴2t＝8?t
∴t＝，
故答案為：．
【點撥】本題考查了全等三角形判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，一元一次方程的應用，證明△ABQ≌△DAP是本題的關鍵．
19．2
【分析】
平行四邊形ADCE的對角線的交點是AC的中點O，當OD⊥AB時，OD最小，即DE最小，根據(jù)直角三角形勾股定理即可求解．
【詳解】
解：如圖


∵平行四邊形ADCE的對角線的交點是AC的中點O，又AB=AC=4
∴OC=OA=AC=2
當OD⊥AB時，OD最小，即DE最?。?br /> ∵OD⊥BA，∠BAC=45°，
∴∠AOD=45°
∴△ADO為等腰直角三角形
在Rt△ADO由勾股定理可知
OD= AO=
∴DE=2OD=2
故答案為：2．
【點撥】本題考查了勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)，即平行四邊形對角線互相平分，正確理解DE最小值的條件是關鍵．
20．4 2或
【分析】
（1）由已知得CH⊥AB，CH，BC已知，由勾股定理可求BH，由AB已知，故AH=AB-HB即可，
（2）由點P在折線DC—CH上運動，△PBC是等腰三角形，分兩種情況，點P在DC上，當CP=BC時即可，點P在CH上，在Rt△BHP中，用勾股定理可求．
【詳解】
（1）∵CH⊥AB于點H，CH=4， BC=5，
由勾股定理得CH2+BH2=BC2，BH=，
∵AB=7，
AH=AB-BH=7-3=4，
（2） 點P從點D出發(fā)， 以每秒1個單位長度的速度沿DC-CH向點H運動，到點H停止
①當點P在DC上時，△PBC是等腰三角形，由于BP>PC，BP>BC，只有當CP=BC時，滿足條件，DP=t，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴DC=AB=7，PC=DC-DP=7-t，即7-t=5，t=2，

②當點P在CH上時，PCS2,
當|S1－S2|=18時，則36-3t=18，t2=6；
③當點P在CD邊上時，如下圖：

S1 = ，S2 =，
此時無法判斷S1與S2的大小,
當S1－S2=18時，則144-12t-3t=18,t3=8.4（舍去）
當S2－S1=18時，則3t-（144-12t）=18,t4=10.8
答：t的值為2或6或10.8秒．
【點撥】本題是三角形綜合題，考查矩形的性質(zhì)，三角形面積，絕對值的性質(zhì)等知識，解題關鍵是運用分類討論的思想．
28．（1）見解析；（2）能，當時，四邊形AEFD為菱形；（3）當秒或4秒時，△DEF為直角三角形．
【分析】
（1）利用已知用未知數(shù)表示出DF，AE的長，進而得出AE＝DF；
（2）首先得出四邊形AEFD為平行四邊形，進而利用菱形的判定與性質(zhì)得出AE＝AD時，求出t的值，進而得出答案；
（3）分三種情況討論：①當∠EDF＝90°時；②當∠DEF＝90°時；③當∠EFD＝90°時，分別分析得出即可．
【詳解】
解：（1）在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝2t，
∴DF＝CD＝t．
又∵AE＝t，
∴AE＝DF．
（2）四邊形AEFD能夠成為菱形．理由如下：
∵∠B＝90°，∠C＝30°，
∴AC＝2AB＝10．
由勾股定理得，BC＝5，
∴AB＝5，AC＝10．
∴AD＝AC﹣DC＝10﹣2t．
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF．
又∵AE＝DF，
∴四邊形AEFD為平行四邊形．
若使四邊形AEFD為菱形，則需AE＝AD，
即t＝10﹣2t，
解得：．
即當時，四邊形AEFD為菱形．
（3）當秒或4秒時，△DEF為直角三角形，理由如下：
分情況討論：
?當∠EDF＝90°時，AD＝2AE，即10﹣2t＝2t，
∴．
②∠DEF＝90°時，
四邊形AEFD為平行四邊形．
則
AD＝AE，即10﹣2t＝t，
∴t＝4．
③∠EFD＝90°時，此種情況不存在．
故當秒或4秒時，△DEF為直角三角形．
【點撥】本題主要考查了平行四邊形的判定、菱形的判定與性質(zhì)、勾股定理、直角三角形的性質(zhì)等知識，在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．解題關鍵是熟練掌握相關知識．

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