專題03  基本不等式訓練題評講中的考點、題型、知識與技巧點撥總結(jié)利用基本不等式求最值時，要反復強調(diào)以下這三個條件： （1）“一正”；（2）“二定”；（3）“三相等”。 如第1題。“和與積”互相轉(zhuǎn)化，是基本不等式使用的重要思維和技巧。如第2題和第3題，可利用此題，引導學生觀察和總結(jié)這個互化規(guī)律。“1”的代換綜合型，就是構(gòu)造分母，盯著分母，把分母看做整體，分離構(gòu)造分母（也可以換元解決）是最常見的一種技巧。如第4題第5題。注意這個式子中體現(xiàn)出來的因式分解思維：。如第6題。實際上是“有和有積因式分解”型、“有和有積有（無）常數(shù)”這個模型，這類題比較難的，就是條件和結(jié)論中的“和”系數(shù)不一樣。   專題集訓題選1.已知，且，則的最小值為（    ）A．9 B．10 C．11 D．【答案】A【分析】利用“乘1法”將問題轉(zhuǎn)化為求的最小值，然后展開利用基本不等式求解．【詳解】，，又，且，，當且僅當，解得，時等號成立，故的最小值為9．故選：A．2.（多選題）已知正數(shù)a，b滿足，則（    ）A．的最小值為2 B．的最小值為4C．的最小值為8 D．的最小值為8【答案】BD【分析】先利用基本不等式求得判斷B；再結(jié)合對勾函數(shù)的性質(zhì)判斷A；利用基本不等式取等號條件判斷C,D.【詳解】對于B，因為a，b都是正數(shù)，，當且僅當，即時，等號成立，故，即的最小值為4，故B正確；對于A，由選項B知，結(jié)合對勾函數(shù)性質(zhì)知，故A錯誤；對于C，，前一個等號成立的條件是，即，而后一個等號成立的條件是，即，等號不具有傳遞性，故，故C錯誤；對于D，，兩個等號成立的條件都是，即，等號具有傳遞性，故，故D正確；故選：BD3.（多選題）下列關(guān)于基本不等式的說法正確的是（    ）A．若，則的最大值為B．函數(shù)的最小值為2C．已知，，，則的最小值為D．若正數(shù)數(shù)x，y滿足，則的最小值是3【答案】AC【分析】根據(jù)均值不等式求最值，注意驗證等號成立的條件.【詳解】因為，所以，，當且僅當即時，等號成立 ，故A正確；函數(shù)，當且僅當，即時，等號成立，故B錯誤；因為，，，所以，當且僅當，即時，等號成立，故C正確；由可得，，當且僅當，即時等號成立，故D錯誤.故選：AC4.若 ，則有（    ）A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值【答案】A【分析】將給定函數(shù)化簡變形，再利用均值不等式求解即得.【詳解】因，則，于是得，當且僅當，即時取“=”，所以當時，有最大值.故選：A5.若正數(shù)、滿足，則的最小值為________.【答案】【分析】由可得，將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】已知正數(shù)、滿足，則，所以，，當且僅當時，等號成立.因此，的最小值為.故答案為：.6.已知，，且，則的最大值為（    ）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】由已知條件可得，令，，可得，，，進一步可得，最后利用基本不等式求出最大值即可.【詳解】，，配湊得：，兩邊同時除以4得：，即，令，，則，，，所以（當且僅當即時，等號成立）.故選：C.7.已知實數(shù)，滿足，則的最小值是______【答案】【分析】將所求代數(shù)式變形為，然后利用基本不等式可求最小值.【詳解】,,,當且僅當時，即當時，等號成立，因此的最小值為.故答案為：8.設(shè)，則取得最小值時，的值為（    ）A． B．2 C．4 D．【答案】A【分析】轉(zhuǎn)化條件為原式，結(jié)合基本不等式即可得解.【詳解】，當且僅當，即，，時，等號成立.故選：A.9.設(shè)，，是三個正實數(shù)，且，則的最大值為______.【答案】3【分析】由得到，代入轉(zhuǎn)化為，令，，得到，利用基本不等式求解.【詳解】因為，所以，所以，令，所以，當且僅當，即時，取等號，所以所以的最大值為3。故答案為：310.若實數(shù)滿足，則的最大值為________.【答案】【分析】已知條件可化為，故可設(shè)，從而目標代數(shù)式可化為，利用基本不等式可求其最大值.【詳解】由，得，設(shè)，其中.則，從而，記，則，不妨設(shè)，則,當且僅當，即時取等號，即最大值為.故答案為：.11.已知且，則的最小值為___________.【答案】【分析】令，，將已知條件簡化為；將用表示，分離常數(shù)，再使用“乘1法”轉(zhuǎn)化后利用基本不等式即可求得最小值．【詳解】解：令，，因為，所以，則，，所以,所以，當且僅當，即，，即時取“”，所以的最小值為.故答案為：.12.若正實數(shù)滿足，則的最小值為___________.【答案】【分析】由已知等量關(guān)系得，代入目標式化簡得，應(yīng)用基本不等式求最小值即可.【詳解】由且知：，∴當且僅當時等號成立，即時等號成立.故答案為：13.已知，，且，則的最大值為____．【答案】【分析】由，，利用均值不等式得，解得的取值范圍，進而求得的最大值.【詳解】由，，得，即又，當且僅當，即時，取等，故，解得或（舍）故，即的最大值為，故答案為：.14.已知，則的最小值為________.【答案】【分析】利用可把變形為，該式可進一步變形為，利用基本不等式可求的最小值，從而得到所求的最小值.【詳解】由題意得，所以，即，消去，得.記，注意到， 則，當且僅當即時等號成立，所以最小值為.故答案為：.15.已知實數(shù)，滿足，，且，則的最小值為________．【答案】5【分析】設(shè)，，則，可得，展開后利用基本不等式求解即可.【詳解】設(shè)，，則，且，當且僅當，即時取等號．此時，有解．故答案為：5.16.設(shè)正數(shù)a，b滿足， ，則的最大值是________.【答案】18【分析】變形已知，利用基本不等式構(gòu)造，由化簡可得解.【詳解】，，，當且僅當即 或時等號成立.故答案為：1817.已知正數(shù)滿足：，則的最小值是_____________．【答案】2.【分析】將等式兩邊同時乘以，然后利用基本求解出，同時分析取的條件是否滿足.【詳解】因為，所以，所以，所以，所以，取等號時，所以，所以，當時，符合條件，所以.故答案為：.18.若對任意的，對任意的，不等式恒成立，求的最大值.【答案】33【分析】設(shè)，對討論，分，，，判斷的單調(diào)性，求得最值，由不等式的性質(zhì)和不等式的解法，可得所求最大值．【詳解】設(shè)，當時，，可得的最小值為 ，最大值為，由題意可得，即為，則 ；當時，，可得的最小值為，最大值為，由題意可得，即為，則．當即時，在遞減，可得的最大值為，最小值為，由題意可得，即為，則，由，可得無最大值．綜上可得的最大值為．19.已知a，b，c均為正實數(shù)，且滿足.證明：（1）；（2）.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）首先推得，再由條件轉(zhuǎn)化為的式子，運用基本不等式可得結(jié)論；（2）運用基本不等式推得，，，再相加即可得到所求結(jié)論．【詳解】（1）由，，均為正實數(shù)，且滿足，，可得，當且僅當時取得等號．則，當且僅當，時取得等號．（2）由，，均為正實數(shù)，且滿足，，當且僅當取得等號，同理可得，當且僅當取得等號，同理可得，當且僅當取得等號，上面三式相加可得（當且僅當時取得等號）．20.已知函數(shù)f（x）＝|2x﹣1|+2|x+1|．（1）求不等式f（x）≤5的解集；（2）若存在實數(shù)x0，使得f（x0）≤5+m﹣m2成立的m的最大值為M，且實數(shù)a，b滿足a3+b3＝M，證明：0＜a+b≤2．【答案】(1) ;(2)證明見解析.【分析】(1)先將不等式進行化簡可得，利用絕對值的幾何意義求解.(2)結(jié)合絕對值的幾何意義求出的最小值，從而求出得到，利用基本不等式即可證明.【詳解】(1) 解：，則，由絕對值的幾何意義可得和時使得等號成立，所以解集為 (2)證明：由絕對值的幾何意義已知的最小值為，所以，解得，所以，所以，因為，，所以，由得，，則，綜上所述，.21.已知函數(shù)的定義域為.（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)實數(shù)為的最大值，若實數(shù)滿足，求的最小值.【答案】（1）（2）【分析】（1）由定義域為，只需求解的最小值，即可得實數(shù)的取值范圍；（2）根據(jù)（1）求得實數(shù)的值，利用基本不等式即可求解最小值．【詳解】（1）函數(shù)的定義域為.對任意的恒成立，令，則，結(jié)合的圖像易知的最小值為，所以實數(shù)的取值范圍.（2）由（1）得，則，所以，，當且僅當，即，，時等號成立，的最小值為.【點睛】本題主要考查了含絕對值函數(shù)的最值，轉(zhuǎn)化思想和基本不等式的應(yīng)用，考查了分析能力和計算能力，屬于難題

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