章末檢測（一)  集合與常用邏輯用語◎◎◎◎◎◎基礎(chǔ)測評卷◎◎◎◎◎◎(時間：120分鐘，滿分：150分)一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x>3}，則M∪N＝(　　)A．{x|x>－3}　　　　　　 B．{x|－3<x≤5}C．{x|3<x≤5} D．{x|x≤5}【答案】A【解析】在數(shù)軸上表示集合M，N，如圖所示，則M∪N＝{x|x>－3}．2．已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，則A∩B＝(　　)A．{1} B．{4}C．{1，3} D．{1，4}【答案】D【解析】由題意得，B＝{1，4，7，10}，所以A∩B＝{1，4}．3．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，3，4}，集合B＝{2，4}，則(?UA)∪B＝(　　)A．{2，4，5} B．{1，3，4}C．{1，2，4} D．{2，3，4，5}【答案】A【解析】由題意知?UA＝{2，5}，所以(?UA)∪B＝{2，4，5}．故選A.4．命題“存在一個無理數(shù)，它的平方是有理數(shù)”的否定是(　　)A．任意一個有理數(shù)，它的平方是有理數(shù)B．任意一個無理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)C．存在一個有理數(shù)，它的平方是有理數(shù)D．存在一個無理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)【答案】B【解析】量詞“存在”否定后為“任意”，結(jié)論“它的平方是有理數(shù)”否定后為“它的平方不是有理數(shù)”．故選B.5．滿足M?{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集合M的個數(shù)是(　　)A．1 B．2C．3 D．4【答案】B【解析】集合M必須含有元素a1，a2，并且不能含有元素a3，故M＝{a1，a2}或M＝{a1，a2，a4}．6．已知集合A＝{a，|a|，a－2}，若2∈A，則實數(shù)a的值為(　　)A．－2 B．2C．4 D．2或4【答案】A【解析】若a＝2，則|a|＝2，不符合集合元素的互異性，則a≠2；若|a|＝2，則a＝2或－2，可知a＝2舍去，而當(dāng)a＝－2時，a－2＝－4，符合題意；若a－2＝2，則a＝4，|a|＝4，不符合集合元素的互異性，則a－2≠2.綜上，可知a＝－2.故選A.7．定義集合運算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．設(shè)A＝{1，2}，B＝{0，2}，則集合A*B中的所有元素之和為(　　)A．0 B．2C．3 D．6【答案】D【解析】依題意，A*B＝{0，2，4}，其所有元素之和為6，故選D.8．已知非空集合M，P，則MP的充要條件是(　　)A．?x∈M，x?PB．?x∈P，x∈MC．?x1∈M，x1∈P且x2∈M，x2?PD．?x∈M，x?P【答案】D【解析】由MP，可得集合M中存在元素不在集合P中，結(jié)合各選項可得，M?P的充要條件是?x∈M，x?P.故選D.二、多項選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的，全部選對的得5分，選對但不全的得3分，有選錯的得0分)9．下列存在量詞命題中，是真命題的是(　　)A．?x∈Z，x2－2x－3＝0B．至少有一個x∈Z，使x能同時被2和3整除C．?x∈R，|x|<0D．有些自然數(shù)是偶數(shù)【答案】ABD【解析】A中，x＝－1時，滿足x2－2x－3＝0，所以A是真命題；B中，6能同時被2和3整除，所以B是真命題；D中，2既是自然數(shù)又是偶數(shù)，所以D是真命題；C中，因為所有實數(shù)的絕對值非負(fù)，所以C是假命題．故選A、B、D.10．定義集合運算：A?B＝{z|z＝(x＋y)×(x－y)，x∈A，y∈B}，設(shè)A＝{，}，B＝{1，}，則(　　)A．當(dāng)x＝，y＝時，z＝1B．x可取兩個值，y可取兩個值，z＝(x＋y)×(x－y)有4個式子C．A?B中有3個元素D．A?B中所有元素之和為3【答案】BCD【解析】當(dāng)x＝，y＝時，z＝(＋)×(－)＝0，A錯誤；由于A＝{，}，B＝{1，}，則z有(＋1)×(－1)＝1，(＋)×(－)＝0，(＋1)×(－1)＝2，(＋)×(－)＝1四個式子，B正確；由集合中元素的互異性，得集合A?B有3個元素，元素之和為3，C、D正確．11．在下列命題中，真命題有(　　)A．?x∈R，x2＋x＋3＝0B．?x∈Q，x2＋x＋1是有理數(shù)C．?x，y∈Z，使3x－2y＝10D．?x∈R，x2>|x|【答案】BC【解析】A中，x2＋x＋3＝>0，故A是假命題；B中，x∈Q，x2＋x＋1一定是有理數(shù)，故B是真命題；C中，x＝4，y＝1時，3x－2y＝10成立，故C是真命題；對于D，當(dāng)x＝0時，左邊＝右邊＝0，故D為假命題．12．若p：x2＋x－6＝0是q：ax＋1＝0的必要不充分條件，且a≠0，則滿足上述條件的實數(shù)a的值為(　　)A．－1　　　 B．－　　　　C．　　　 D．1【答案】BC【解析】∵p：x2＋x－6＝0，即x＝2或x＝－3，q：ax＋1＝0，即x＝－，由題意可知，p q，q?p，∴有－＝2或－＝－3，解得a＝－或.故選B、C.三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)13．已知A＝{x|x≤1或x>3}，B＝{x|x>2}，則(?RA)∪B＝________．【答案】{x|x>1}【解析】∵?RA＝{x|1<x≤3}，B＝{x|x>2}，∴(?RA)∪B＝{x|x>1}．14．若“x<－1”是“x≤a”的必要不充分條件，則a的取值范圍是________．【答案】{a|a<－1}【解析】若“x<－1”是“x≤a”的必要不充分條件，則{x|x≤a}{x|x<－1}，∴a<－1.15．命題“至少有一個正實數(shù)x滿足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0”的否定是_______________．【答案】所有正實數(shù)x都不滿足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0【解析】把量詞“至少有一個”改為“所有”，“滿足”改為“都不滿足”得命題的否定．16．(一題兩空)已知集合M＝{x|2x－4＝0}，集合N＝{x|x2－3x＋m＝0}．(1)當(dāng)m＝2時，求M∩N＝________；(2)當(dāng)M∩N＝M時，則實數(shù)m的值為________．【答案】(1){2}　(2)2【解析】(1)由題意得M＝{2}，當(dāng)m＝2時，N＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1，2}，則M∩N＝{2}．(2)因為M∩N＝M，所以M?N，因為M＝{2}，所以2∈N.所以2是關(guān)于x的方程x2－3x＋m＝0的解，即4－6＋m＝0，解得m＝2.四、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)設(shè)全集U＝R，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3<x≤3}，求?UA，A∩B，?U(A∩B)，(?UA)∩B.【解析】∵U＝R，A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3<x≤3}，∴?UA＝{x|x≥3或x≤－2}，A∩B＝{x|－2<x<3}，?U(A∩B)＝{x|x≥3或x≤－2}，(?UA)∩B＝{x|x≥3或x≤－2}∩{x|－3<x≤3}＝{x|－3<x≤－2或x＝3}．18．(本小題滿分12分)已知關(guān)于x的一元二次方程x2－2x＋m2＝0.(1)求出該方程有實數(shù)根的充要條件；(2)寫出該方程有實數(shù)根的一個充分不必要條件；(3)寫出該方程有實數(shù)根的一個必要不充分條件．【解析】(1)方程有實數(shù)根的充要條件是Δ≥0，即4－4m2≥0，解得－1≤m≤1；(2)有實數(shù)根的一個充分不必要條件是m＝0；(3)有實數(shù)根的一個必要不充分條件是－2<m≤2.19．(本小題滿分12分)判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并寫出這些命題的否定，并判斷真假．(1)有一個奇數(shù)不能被3整除；(2)?x∈Z，x2與3的和不等于0；(3)三角形的三個內(nèi)角都為60°；(4)存在三角形至少有兩個銳角．【解析】(1)是存在量詞命題，否定為：每一個奇數(shù)都能被3整除，假命題．(2)是全稱量詞命題，否定為：?x∈Z，x2與3的和等于0，假命題．(3)是全稱量詞命題，否定為：存在一個三角形的三個內(nèi)角不都為60°，真命題．(4)是存在量詞命題，否定為：每個三角形至多有一個銳角，假命題．20．(本小題滿分12分)已知A＝{x|x2－ax＋a2－12＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，且滿足下列三個條件：①A≠B；②A∪B＝B；③?(A∩B)，求實數(shù)a的值．【解析】B＝{2，3}，∵A∪B＝B，∴A?B，∵A≠B，∴AB.又∵?(A∩B)，∴A≠?，∴A＝{2}或A＝{3}，∴方程x2－ax＋a2－12＝0只有一解，由Δ＝(－a)2－4(a2－12)＝0得a2＝16，∴a＝4或a＝－4.當(dāng)a＝4時，集合A＝{x|x2－4x＋4＝0}＝{2}符合；當(dāng)a＝－4時，集合A＝{x|x2＋4x＋4＝0}＝{－2}(舍去)．綜上，a＝4.21．(本小題滿分12分)已知ab≠0，求證：a＋b＝1成立的充要條件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.【解析】必要性：∵a＋b＝1，∴b＝1－a.∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0.充分性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.即(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，∴(a2－ab＋b2)(a＋b－1)＝0，又ab≠0，即a≠0且b≠0，∴a2－ab＋b2＝≠0，只有a＋b＝1.綜上可知，當(dāng)ab≠0時，a＋b＝1的充要條件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.22．(本小題滿分12分)已知全集U＝R，集合A＝{x|a－1<x<2a＋1}，B＝{x|0<x<1}．(1)若a＝，求A∩B；(2)若A∩B＝?，求實數(shù)a的取值范圍．【解析】(1)若a＝，則A＝，又B＝{x|0<x<1}，∴A∩B＝{x|0<x<1}．(2)當(dāng)A＝?時，a－1≥2a＋1，∴a≤－2，此時滿足A∩B＝?；當(dāng)A≠?時，由A∩B＝?，B＝{x|0<x<1}，易得或∴a≥2或－2<a≤－.綜上可知，實數(shù)a的取值范圍是  

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