?專題18.21 菱形（鞏固篇）（專項練習(xí)）
一、單選題
1．如圖，在菱形ABCD中，E是AC的中點，EF∥CB，交AB于點F，如果EF=3，那么菱形ABCD的周長為（　?。?br />
A．24 B．18 C．12 D．9
2．如圖，菱形ABCD中，，對角線AC等于8，，則DE的長為（ ）

A．5 B．6 C．9.6 D．4.8
3．如圖，矩形ABCD中，AB=8，BC=4．點E在邊AB上，點F在邊CD上，點G、H在對角線AC上．若四邊形EGFH是菱形，則AE的長是（ ）

A．2 B．3 C．5 D．6
4．如圖，四邊形內(nèi)有一點，，，若，則的大小是（ ）

A． B． C． D．
5．已知平行四邊形ABCD，AC、BD是它的兩條對角線，那么下列條件中，能判斷這個平行四邊形為矩形的是（ ）
A．∠BAC=∠DCA B．∠BAC=∠DAC C．∠BAC=∠ABD D．∠BAC=∠ADB
6．如圖，在□ABCD中，AM，CN分別是∠BAD和∠BCD的平分線，添加一個條件，仍無法判斷四邊形AMCN為菱形的是（　?。?br />
A．AM=AN B．MN⊥AC
C．MN是∠AMC的平分線 D．∠BAD=120°
7．如圖，在菱形中，對角線相交于點為中點，．則線段的長為：（ ）

A． B． C． D．
8．如圖，已知菱形ABCD的對角線AC．BD的長分別為6cm、8cm，AE⊥BC于點E，則AE的長是（）

A． B． C． D．
9．如圖，點P是邊長為1的菱形ABCD對角線AC上的一個動點，點M，N分別是AB，BC邊上的中點，則MP+PN的最小值是（　?。?br />
A． B．1 C． D．2
10．如圖，菱形中,，則（　?。?br />
A． B． C． D．


二、填空題
11．如圖，在菱形ABCD中，AB=，∠B=120°，點E是AD邊上的一個動點（不與A，D重合），EF∥AB交BC于點F，點G在CD上，DG=DE．若△EFG是等腰三角形，則DE的長為_____．

12．如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，將菱形折疊，使點A恰好落在對角線BD上的點G處（不與B、D重合），折痕為EF，若DG=2，BG=6，則BE的長為______．

13．如圖，在邊長為10的菱形ABCD中，對角線BD＝16，點O是線段BD上的動點，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F．則OE+OF＝___．

14．如圖，在邊長為的菱形中，，將沿射線的方向平移得到，分別連接，，則的最小值為____.

15．如圖，在平行四邊形ABCD中，以點A為圓心，AB長為半徑畫弧交AD于點F，再分別以點B、F為圓心，大于BF的相同長度為半徑畫弧，兩弧交于點P；連接AP并延長交BC于點E，連接EF．若四邊形ABEF的周長為16，∠C＝60°，則四邊形ABEF的面積是___．

16．如圖，在菱形中，對角線交于點，過點作于點，已知BO=4，S菱形ABCD=24，則___．

17．如圖，在等邊△ABC中，AB＝4cm，點M為邊BC的中點，點N為邊AB上的任意一點（不與點A，B重合）．若點B關(guān)于直線MN的對稱點B'恰好落在等邊△ABC的邊上，則BN的長為_____cm．

18．如圖，直線l是四邊形ABCD的對稱軸，若AD＝CB，下面四個結(jié)論中：①AD//CB；②AC⊥BD；③AO＝OC；④AB⊥BC，一定正確的結(jié)論的序號是________．

19．如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BD、CD、AC的中點，要使四邊形EFGH是菱形，四邊形ABCD還應(yīng)滿足的一個條件是______．

20．如圖，菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，且AC=8，BD=6，則菱形ABCD的高DH=_____．

21．如圖，在菱形ABCD中，∠B＝60°，對角線AC平分角∠BAD，點P是△ABC內(nèi)一點，連接PA、PB、PC，若PA＝6，PB＝8，PC＝10，則菱形ABCD的面積等于______．

22．如圖，若菱形ABCD的頂點A，B的坐標分別為（3，0），（﹣2，0），點D在y軸上，則點C的坐標是_____．

23．如圖，四邊形ABCD是菱形，∠DAB＝50°，對角線AC，BD相交于點O，DH⊥AB于H，連接OH，則∠DHO＝_____度．


三、解答題
24．如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，E是AD的中點，點F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求證：四邊形OEFG是矩形；
（2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的長．




25．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD交于點O．過點C作BD的平行線，過點D作AC的平行線，兩直線相交于點E．
（1）求證：四邊形OCED是矩形；
（2）若CE=1，DE=2，ABCD的面積是　 ?。?br />







26．如圖，在?ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)，且BE=DF
（1）求證：?ABCD是菱形；
（2）若AB=5，AC=6，求?ABCD的面積．







27．如圖，在四邊形中，，，對角線，交于點，平分，過點作交的延長線于點，連接．
（1）求證：四邊形是菱形；
（2）若，，求的長．




28．在?ABCD中，∠BAD的平分線交直線BC于點E，交直線DC于點F
（1）在圖1中證明CE=CF；
（2）若∠ABC=90°，G是EF的中點（如圖2），直接寫出∠BDG的度數(shù)；
（3）若∠ABC=120°，F(xiàn)G∥CE，F(xiàn)G=CE，分別連接DB、DG（如圖3），求∠BDG的度數(shù)．


























參考答案
1．A
【詳解】
【分析】易得BC長為EF長的2倍，那么菱形ABCD的周長=4BC問題得解．
【詳解】∵E是AC中點，
∵EF∥BC，交AB于點F，
∴EF是△ABC的中位線，
∴BC=2EF=2×3=6，
∴菱形ABCD的周長是4×6=24，
故選A．
【點撥】本題考查了三角形中位線的性質(zhì)及菱形的周長公式，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.
2．．D
【分析】
根據(jù)“菱形的面積等于對角線乘積的一半”可以求得該菱形的面積．菱形的面積還等于底乘以高，所以可得DE的長度．
【詳解】
解：連接BD，交AC于點O，

∵四邊形ABCD是菱形，AC=8，BC=5，
∴AC⊥BD，AO=AC=4，
∴由勾股定理得到：．
∴BD=6，
又∵AC?BD=AB?DE．
∴DE=4.8．
故選：D．
【點撥】本題考查了菱形的性質(zhì)，解答本題關(guān)鍵是掌握①菱形的對角線互相垂直且平分，②菱形的面積等于底乘以底邊上的高，還等于對角線乘積的一半．
3．C
【詳解】
試題分析：連接EF交AC于點M，由四邊形EGFH為菱形可得FM=EM，EF⊥AC；利用”AAS或ASA”易證△FMC≌△EMA，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AM=MC；在Rt△ABC中，由勾股定理求得AC=，且tan∠BAC=；在Rt△AME中，AM=AC= ，tan∠BAC=可得EM=；在Rt△AME中，由勾股定理求得AE=5．故答案選C．

考點：菱形的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；勾股定理；銳角三角函數(shù)．

4．B
【分析】
由題干BE=DE=BC=DC，可知四邊形BECD為菱形，又∠C=100°，所以∠BED=100°，∠CBE=∠CDE=80°．連接BD，易知AE、BE、DE是△ABD的角平分線．再根據(jù)菱形的性質(zhì)即可得出答案．
【詳解】
解：連接BD，并延長AE交BD于點O

∵AE=BE=DE=BC=DC，AB=AD，∴四邊形BCDE是菱形，
∴AE、BE、DE是△ABD的角平分線．
∴A、E、O、C四點共線，
∵∠C=100°，∴∠BED=50°，
∴∠BEO=∠BED=50°，
∴∠ABE=25°，
∴∠BAD=50°，
故選B．
【點撥】本題主要是考查學(xué)生對三角形的性質(zhì)及角平分線的靈活運用．
5．C
【詳解】
A、∠BAC=∠DCA，不能判斷四邊形ABCD是矩形；
B、∠BAC=∠DAC，能判定四邊形ABCD是菱形；不能判斷四邊形ABCD是矩形；
C、∠BAC=∠ABD，能得出對角線相等，能判斷四邊形ABCD是矩形；
D、∠BAC=∠ADB，不能判斷四邊形ABCD是矩形；
故選C．
6．D
【詳解】
解：如圖，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠B=∠D，∠DAB=∠DCB，AB=CD，AD=BC，
∵AM，CN分別是∠BAD和∠BCD的平分線，
∴∠DCN=∠DCB，∠BAM=∠BAD，
∴∠BAM=∠DCN，
在△ABM和△CDN中
，
∴△ABM≌△CDN（ASA），
∴AM=CN，BM=DN，
∵AD=BC，
∴AN=CM，
∴四邊形AMCN是平行四邊形，
A、∵四邊形AMCN是平行四邊形，AM=AN，
∴平行四邊形AMCN是菱形，故本選項錯誤；
B、∵MN⊥AC，四邊形AMCN是平行四邊形，
∴平行四邊形AMCN是菱形，故本選項錯誤；
C、∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∵平分∠，
∴，
∴，
∴，
∵四邊形是平行四邊形，
∴四邊形是菱形，故本選項錯誤；
D、根據(jù)∠BAD=120°和平行四邊形AMCN不能推出四邊形是菱形，故本選項正確；
故選D．
7．B
【分析】
因為菱形的對角線互相垂直且平分，從而有，，，又因為H為BC中點，借助直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可作答．
【詳解】
解：∵四邊形ABCD是菱形
∴，，
∴△BOC是直角三角形
∴
∴BC=5
∵H為BC中點
∴
故最后答案為．
【點撥】本題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，其中知道菱形的性質(zhì)，對角線互相垂直且平分是解題的關(guān)鍵．
8．D
【分析】
根據(jù)菱形的性質(zhì)得出BO、CO的長，在RT△BOC中求出BC，利用菱形面積等于對角線乘積的一半，也等于BC×AE，可得出AE的長度．
【詳解】
∵四邊形ABCD是菱形，
∴CO=AC=3，BO=BD=，AO⊥BO，
∴．
∴．
又∵，
∴BC·AE=24，
即．
故選D．
點撥：此題考查了菱形的性質(zhì)，也涉及了勾股定理，要求我們掌握菱形的面積的兩種表示方法，及菱形的對角線互相垂直且平分．
9．B
【分析】
先作點M關(guān)于AC的對稱點M′，連接M′N交AC于P，此時MP+NP有最小值．然后證明四邊形ABNM′為平行四邊形，即可求出MP+NP=M′N=AB=1．
【詳解】
解：如圖
，
作點M關(guān)于AC的對稱點M′，連接M′N交AC于P，此時MP+NP有最小值，最小值為M′N的長．
∵菱形ABCD關(guān)于AC對稱，M是AB邊上的中點，
∴M′是AD的中點，
又∵N是BC邊上的中點，
∴AM′∥BN，AM′=BN，
∴四邊形ABNM′是平行四邊形，
∴M′N=AB=1，
∴MP+NP=M′N=1，即MP+NP的最小值為1，
故選B．
10．D
【分析】
根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AB∥CD，∠BAD=2∠1，求出∠BAD=30°，即可得出∠1=15°．
【詳解】
∵四邊形ABCD是菱形，∠D=150°，∴AB∥CD，∠BAD=2∠1，∴∠BAD+∠D=180°，∴∠BAD=180°﹣150°=30°，∴∠1=15°．
故選D．
【點撥】本題考查了菱形的性質(zhì)，以及平行線的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
11．1或
【分析】
由四邊形ABCD是菱形，得到BC∥AD，由于EF∥AB，得到四邊形ABFE是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到EF∥AB，于是得到EF=AB=，當△EFG為等腰三角形時，①EF=GE=時，于是得到DE=DG=AD÷=1，②GE=GF時，根據(jù)勾股定理得到DE=．
【詳解】
解：∵四邊形ABCD是菱形，∠B=120°，
∴∠D=∠B=120°，∠A=180°-120°=60°，BC∥AD，
∵EF∥AB，
∴四邊形ABFE是平行四邊形，
∴EF∥AB，
∴EF=AB=，∠DEF=∠A=60°，∠EFC=∠B=120°，
∵DE=DG，
∴∠DEG=∠DGE=30°，
∴∠FEG=30°，
當△EFG為等腰三角形時，
當EF=EG時，EG=，
如圖1，

過點D作DH⊥EG于H，
∴EH=EG=，
在Rt△DEH中，DE==1，
GE=GF時，如圖2，

過點G作GQ⊥EF，
∴EQ=EF=，在Rt△EQG中，∠QEG=30°，
∴EG=1，
過點D作DP⊥EG于P，
∴PE=EG=，
同①的方法得，DE=，
當EF=FG時，由∠EFG=180°-2×30°=120°=∠CFE，此時，點C和點G重合，點F和點B重合，不符合題意，
故答案為1或．
【點撥】本題考查了菱形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理，熟練掌握各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
12．2.8
【分析】
作EH⊥BD于H，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到EG=EA，根據(jù)菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定定理得到△ABD為等邊三角形，得到AB=BD，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可．
【詳解】
解：作EH⊥BD于H ，
由折疊的性質(zhì)可知，EG=EA，
由題意得，BD=DG+BG=8，
四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BD，∠ABD=∠CBD=∠ABC=60°
∴△ABD為等邊三角形，
∴AB=BD=8，
設(shè)BE=x，則EG=AE=8-x，
在Rt△EHB中，BH=x，EH=x ，
在Rt△EHG中，EG2=EH2+GH2，即(8-x)2=(x)2+(6-x)2，
解得，x=2.8，即BE=2.8，
故答案為2.8．

【點撥】本題考查的是翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、勾股定理、解直角三角形，掌握翻轉(zhuǎn)變換是一種對稱變換，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．
13．
【分析】
連接AC交BD于P點，延長EO交CD于G點，根據(jù)菱形的性質(zhì)求出AC的長度，并證明OF=OG，從而OE+OF＝EG，利用菱形的面積公式求解EG即可．
【詳解】
如圖所示，連接AC交BD于P點，延長EO交CD于G點，
根據(jù)菱形的性質(zhì)得：AB=10，BP=8，∠APB=90°，
∴在Rt△APB中，根據(jù)勾股定理得：AP=6，
∴AC=2AP=12，
又根據(jù)菱形的對稱性得：OF=OG，
∴OE+OF＝EG，
根據(jù)菱形的面積公式：，
∴，
解得：，
即：，
故答案為：．

【點撥】本題考查菱形的性質(zhì)以及面積公式，理解菱形的面積可由對角線乘積的一半進行計算是解題關(guān)鍵．
14．
【分析】
過C點作BD的平行線，以為對稱軸作B點的對稱點，連接交直線于點，當三點共線時取最小值，再根據(jù)勾股定理即可求解.
【詳解】
如圖，過C點作BD的平行線，以為對稱軸作B點的對稱點，連接交直線于點
根據(jù)平移和對稱可知，當三點共線時取最小值，即，又，
根據(jù)勾股定理得，，故答案為

【點撥】此題主要考查菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知平移的性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用.
15．8.
【分析】
由作法得AE平分∠BAD，AB=AF，所以∠1=∠2，再證明AF=BE，則可判斷四邊形AFEB為平行四邊形，于是利用AB=AF可判斷四邊形ABEF是菱形；根據(jù)菱形的性質(zhì)得AG=EG，BF⊥AE，求出BF和AG的長，即可得出結(jié)果．
【詳解】
由作法得AE平分∠BAD，AB＝AF，
則∠1＝∠2，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴BE∥AF，∠BAF＝∠C＝60°，
∴∠2＝∠BEA，
∴∠1＝∠BEA＝30°，
∴BA＝BE，
∴AF＝BE，
∴四邊形AFEB為平行四邊形，△ABF是等邊三角形，
而AB＝AF，
∴四邊形ABEF是菱形；
∴BF⊥AE，AG＝EG，
∵四邊形ABEF的周長為16，
∴AF＝BF＝AB＝4，
在Rt△ABG中，∠1＝30°，
∴BG＝AB＝2，AG＝BG＝2，
∴AE＝2AG＝，
∴菱形ABEF的面積；
故答案為
【點撥】本題考查了基本作圖、平行四邊形的性質(zhì)與判定、菱形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)；證明四邊形ABEF是菱形是解題的關(guān)鍵．
16．
【分析】
根據(jù)菱形面積=對角線積的一半可求，再根據(jù)勾股定理求出，然后由菱形的面積即可得出結(jié)果.
【詳解】
∵四邊形是菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案為．
【點撥】本題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理以及菱形面積公式.熟練掌握菱形的性質(zhì)，由勾股定理求出是解題的關(guān)鍵.
17．1或2．
【分析】
如圖1，當點B關(guān)于直線MN的對稱點B'恰好落在等邊三角形ABC的邊AB上時，于是得到MN⊥AB，BN＝BN′，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到＝AC＝BC，∠ABC＝60°，根據(jù)線段中點的定義得到BN＝BM＝1，如圖2，當點B關(guān)于直線MN的對稱點B'恰好落在等邊三角形ABC的邊A，C上時，則MN⊥BB′，四邊形BMB′N是菱形，根據(jù)線段中點的定義即可得到結(jié)論．
【詳解】

解：如圖1，當點B關(guān)于直線MN的對稱點B'恰好落在等邊三角形ABC的邊AB上時，
則MN⊥AB，BN＝BN′，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝60°，
∵點M為邊BC的中點，
∴BM＝BC＝AB＝2，
∴BN＝BM＝1，
如圖2，當點B關(guān)于直線MN的對稱點B'恰好落在等邊三角形ABC的邊A，C上時，
則MN⊥BB′，四邊形BMB′N是菱形，
∵∠ABC＝60°，點M為邊BC的中點，
∴BN＝BM＝BC＝AB＝2，
故答案為1或2．
【點撥】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．
18．①②③
【分析】
根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得ABCD是菱形，再利用菱形的性質(zhì)求解即可．
【詳解】
∵直線l是四邊形ABCD的對稱軸，
∴AD＝AB，CD＝CB，
∵AD＝BC，
∴AD＝CD＝AB＝CD，
∴四邊形ABCD是菱形，
∴AD∥CB，故①正確；
AC⊥BD，故②正確；
AO＝OC，故③正確；
∵菱形的四個角不一定是直角，
∴AB不一定垂直于BC，故④錯誤．
綜上所述：正確的是①②③．
故答案為：①②③
【點撥】本題考查軸對稱的性質(zhì)及菱形的判定與性質(zhì)，根據(jù)對稱的性質(zhì)得出四邊形ABCD是菱形并熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
19．AD=BC．
【詳解】
菱形的判別方法是說明一個四邊形為菱形的理論依據(jù)，常用三種方法：①定義；②四邊相等；③對角線互相垂直平分．據(jù)此四邊形ABCD還應(yīng)滿足的一個條件是AD=BC．等．答案不唯一．
解：條件是AD=BC．
∵EH、GF分別是△ABC、△BCD的中位線，
∴EH∥=BC，GF∥=BC，
∴EH∥=GF，
∴四邊形EFGH是平行四邊形．
要使四邊形EFGH是菱形，則要使AD=BC，這樣，GH=AD，
∴GH=GF，
∴四邊形EFGH是菱形．
20．4.8．
【詳解】
試題分析：在菱形ABCD中，AC⊥BD，
∵AC=8，BD=6，
∴OA=AC=×8=4，OB=BD=×6=3，
在Rt△AOB中，由勾股定理可得AB=5，
∵DH⊥AB，
∴菱形ABCD的面積=AC?BD=AB?DH，
即×6×8=5?DH，
解得DH=4.8．
考點：菱形的性質(zhì)．
21．50+72
【分析】
將線段AP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AM，連接PM，想辦法證明∠APH＝30°，利用勾股定理求出AB的平方即可解決問題．
【詳解】
將線段AP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AM，連接PM，作AH⊥BP于H．

∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∵AM＝AP，∠MAP＝60°，
∴△AMP是等邊三角形，
∵∠MAP＝∠BAC，
∴∠MAB＝∠PAC，
∴△MAB≌△PAC，
∴BM＝PC＝10，
∵PM2＋PB2＝100，BM2＝100，
∴PM2＋PB2＝BM2，
∴∠MPB＝90°，
∵∠APM＝60°，
∴∠APB＝150°，∠APH＝30°，
∴AH＝PA＝3，PH＝，BH＝8＋，
∴AB2＝AH2＋BH2＝100＋48，
∴菱形ABCD的面積＝2?△ABC的面積＝2××AB2＝50＋72，
故答案為50＋72．
【點撥】本題考查菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的逆定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．
22．（﹣5，4）．
【分析】
首先由A、B兩點坐標，求出AB的長，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AD=CD=AB，從而可得到點C的橫坐標；接下來在△AOD中，利用勾股定理求出DO的長，結(jié)合上面的結(jié)果，即可確定出C點的坐標.
【詳解】
由題知A（3,0），B（-2,0），D在y軸上，
∴AB=3-（-2）=5，OA=3，BO=2，
由菱形鄰邊相等可得AD=AB=5，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：
OD==4，
由菱形對邊相等且平行得CD=BA=5，
所以C（-5,4）.
故答案為（﹣5，4）．
【點撥】本題考查了菱形的性質(zhì)及坐標與圖形的性質(zhì)，運用勾股定理求出OD的長是解答本題的關(guān)鍵.
23．25．
【詳解】
試題分析：∵四邊形ABCD是菱形，
∴OD=OB，∠COD=90°，
∵DH⊥AB，
∴OH=BD=OB，
∴∠OHB=∠OBH，
又∵AB∥CD，
∴∠OBH=∠ODC，
在Rt△COD中，∠ODC+∠DCO=90°，
在Rt△DHB中，∠DHO+∠OHB=90°，
∴∠DHO=∠DCO=×50°=25°.
考點：菱形的性質(zhì)．
24．(1)見解析；(2)OE=5，BG=2.
【分析】
(1)先證明EO是△DAB的中位線，再結(jié)合已知條件OG∥EF，得到四邊形OEFG是平行四邊形，再由條件EF⊥AB，得到四邊形OEFG是矩形；
(2)先求出AE=5，由勾股定理進而得到AF=3，再由中位線定理得到OE=AB=AD=5，得到FG=5，最后BG=AB-AF-FG=2．
【詳解】
解：(1)證明:∵四邊形ABCD為菱形，
∴點O為BD的中點，
∵點E為AD中點，
∴OE為△ABD的中位線，
∴OE∥FG，
∵OG∥EF，∴四邊形OEFG為平行四邊形
∵EF⊥AB，∴平行四邊形OEFG為矩形．
(2)∵點E為AD的中點，AD=10，
∴AE=
∵∠EFA=90°，EF=4，
∴在Rt△AEF中，．
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AB=AD=10，
∴OE=AB=5，
∵四邊形OEFG為矩形，
∴FG=OE=5，
∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2．
故答案為：OE=5，BG=2．
【點撥】本題考查了矩形的性質(zhì)和判定，菱形的性質(zhì)、勾股定理等知識點，特殊四邊形的性質(zhì)和判定屬于中考?？碱}型，需要重點掌握．
25．（1）證明見解析；（2）4．
【詳解】
【分析】（1）欲證明四邊形OCED是矩形，只需推知四邊形OCED是平行四邊形，且有一內(nèi)角為90度即可；
（2）由菱形的對角線互相垂直平分和菱形的面積公式解答．
【詳解】（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠COD=90°．
∵CE∥OD，DE∥OC，
∴四邊形OCED是平行四邊形，
又∠COD=90°，
∴平行四邊形OCED是矩形；
（2）由（1）知，平行四邊形OCED是矩形，則CE=OD=1，DE=OC=2．
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC=2OC=4，BD=2OD=2，
∴菱形ABCD的面積為：AC?BD=×4×2=4，
故答案為4．
【點撥】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，熟練掌握矩形的判定及性質(zhì)、菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
26．（1）證明見解析；（2）S平行四邊形ABCD =24
【分析】
（1）利用全等三角形的性質(zhì)證明AB=AD即可解決問題；
（2）連接BD交AC于O，利用勾股定理求出對角線的長即可解決問題；
【詳解】
（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠B=∠D，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB=∠AFD=90°，
∵BE=DF，
∴△AEB≌△AFD，
∴AB=AD，
∴四邊形ABCD是菱形；
（2）連接BD交AC于O，
∵四邊形ABCD是菱形，AC=6，
∴AC⊥BD，
AO=OC=AC=×6=3，
∵AB=5，AO=3，
∴BO===4，
∴BD=2BO=8，
∴S平行四邊形ABCD=×AC×BD=24．

【點撥】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)與定理、正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵.
27．（1）證明見解析；（2）2.
【詳解】
分析：（1）根據(jù)一組對邊相等的平行四邊形是菱形進行判定即可.
（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)和勾股定理求出．根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半即可求解.
詳解：（1）證明：∵∥，
∴
∵平分
∴，
∴
∴
又∵
∴
又∵∥，
∴四邊形是平行四邊形
又∵
∴是菱形
（2）解：∵四邊形是菱形，對角線、交于點．
∴．，，
∴．
在中，．
∴．
∵，
∴．
在中，．為中點．
∴．
點撥：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，菱形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等，熟練掌握菱形的判定方法以及直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵.
28．(1)見解析;(2)45°；(3)見解析.
【分析】
（1）根據(jù)AF平分∠BAD，可得∠BAF=∠DAF，利用四邊形ABCD是平行四邊形，求證∠CEF=∠F即可;（2）根據(jù)∠ABC=90°，G是EF的中點可直接求得;（3）分別連接GB、GC，求證四邊形CEGF是平行四邊形，再求證△ECG是等邊三角形,由AD∥BC及AF平分∠BAD可得∠BAE=∠AEB，求證△BEG≌△DCG，然后即可求得答案.
【詳解】
（1）證明：如圖1，

∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F，
∴∠CEF=∠F．
∴CE=CF．
（2）解：連接GC、BG，

∵四邊形ABCD為平行四邊形，∠ABC=90°，
∴四邊形ABCD為矩形，
∵AF平分∠BAD，
∴∠DAF=∠BAF=45°，
∵∠DCB=90°，DF∥AB，
∴∠DFA=45°，∠ECF=90°
∴△ECF為等腰直角三角形，
∵G為EF中點，
∴EG=CG=FG，CG⊥EF，
∵△ABE為等腰直角三角形，AB=DC，
∴BE=DC，
∵∠CEF=∠GCF=45°，
∴∠BEG=∠DCG=135°
在△BEG與△DCG中，
∵，
∴△BEG≌△DCG，
∴BG=DG，
∵CG⊥EF，
∴∠DGC+∠DGA=90°，
又∵∠DGC=∠BGA，
∴∠BGA+∠DGA=90°，
∴△DGB為等腰直角三角形，
∴∠BDG=45°．
（3）解：延長AB、FG交于H，連接HD．

∵AD∥GF，AB∥DF，
∴四邊形AHFD為平行四邊形
∵∠ABC=120°，AF平分∠BAD
∴∠DAF=30°，∠ADC=120°，∠DFA=30°
∴△DAF為等腰三角形
∴AD=DF，
∴CE=CF，
∴平行四邊形AHFD為菱形
∴△ADH，△DHF為全等的等邊三角形
∴DH=DF，∠BHD=∠GFD=60°
∵FG=CE，CE=CF，CF=BH，
∴BH=GF
在△BHD與△GFD中，
∵ ，
∴△BHD≌△GFD，
∴∠BDH=∠GDF
∴∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60°.
【點撥】本題考查了平行四邊形的判定方法，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)等知識點，應(yīng)用時要認真領(lǐng)會它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，同時要根據(jù)條件合理、靈活地選擇方法．

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