?2022年貴州省銅仁市中考數(shù)學(xué)一診試卷
一、選擇題。（本大題共10個(gè)小題，每小題4分，共40分）本題每小題均有A、B、C、D四個(gè)備選答案，其中只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)你將正確答案的序號(hào)填涂在相應(yīng)的答題卡上。
1．計(jì)算的結(jié)果是（　?。?br /> A． B． C．±3 D．﹣3
2．“梵天凈土，桃園銅仁”，銅仁市已經(jīng)是全國(guó)衛(wèi)生城市，旅游城市，今年5.1期間來銅仁梵凈山旅游的游客約為115000人．將115000用科學(xué)記數(shù)法表示為（　?。?br /> A．1.15×106 B．0.115×106 C．11.5×104 D．1.15×105
3．三角形的兩邊長(zhǎng)分別為2和7，第三邊是方程x2﹣10x+21＝0的解，則第三邊的長(zhǎng)為（　　）
A．7 B．3 C．7或3 D．無法確定
4．某學(xué)校在進(jìn)行防溺水安全教育活動(dòng)中，將以下幾種在游泳時(shí)的注意事項(xiàng)寫在紙條上并折好，內(nèi)容分別是：①互相關(guān)心；②互相提醒；③不要相互嬉水；④相互比潛水深度；⑤選擇水流湍急的水域；⑥選擇有人看護(hù)的游泳池．小穎從這6張紙條中隨機(jī)抽出一張，抽到內(nèi)容描述正確的紙條的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．如圖，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，∠A＝36°，∠C＝28°，則∠B＝（　?。?br />
A．100° B．72° C．64° D．36°
6．如圖，M是Rt△ABC的斜邊BC上異于B、C的定點(diǎn)，過M點(diǎn)作直線截△ABC，使截得的三角形與△ABC相似，這樣的直線共有（　?。?br />
A．1條 B．2條 C．3條 D．4條
7．如圖，一個(gè)多邊形紙片按圖示的剪法剪去一個(gè)內(nèi)角后，得到一個(gè)內(nèi)角和為2340°的新多邊形，則原多邊形的邊數(shù)為（　　）

A．13 B．14 C．15 D．16
8．如圖，∠AOB的兩邊OA，OB均為平面反光鏡，∠AOB＝40°．在OB上有一點(diǎn)P，從P點(diǎn)射出一束光線經(jīng)OA上的Q點(diǎn)反射后，反射光線PR恰好與OB平行，則∠QPB的度數(shù)是（　?。?br />
A．60° B．80° C．100° D．120°
9．如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)y1＝（x＞0）圖象上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作x軸的平行線，交反比例函數(shù)（x＞0）的圖象于點(diǎn)B，連接OA、OB，若△OAB的面積為1，則k的值是（　?。?br />
A．3 B．4 C．5 D．6
10．如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠DCB＝90°，且BC＝2AD，以AB、BC、DC為邊向外作正方形，其面積分別為S1、S2、S3，若S1＝3，S3＝9，則S2的值為（　　）

A．12 B．18 C．24 D．48
二、填空題。（本題共8個(gè)小題，每小題4分，共32分）
11．分解因式：a4﹣16a2＝　 ?。?br /> 12．若﹣2amb4與5an+2b2m+n可以合并成一項(xiàng)，則mn的值是　 ?。?br /> 13．不等式組的整數(shù)解是 　 ?。?br /> 14．如果一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差是4，則另一組數(shù)據(jù)x1+3，x2+3，…，xn+3的方差是　 　．
15．已知△ABC∽△DEF，相似比為2，且△ABC的面積為16，則△DEF的面積是 　 ?。?br /> 16．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，ED⊥AB交AC于點(diǎn)E．且tan∠BEC＝，則tanA＝　 ?。?br />
17．已知△ABC中，AB＝7，AC＝6，BC＝5，I是△ABC的內(nèi)心，把△ABC向下平移得到△IDE，使得點(diǎn)C和點(diǎn)I重合，交AB于F，G兩點(diǎn)，則△IFG的周長(zhǎng)為 　 ?。?br />
18．等腰三角形ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，已知點(diǎn)A（﹣6，0），點(diǎn)B在原點(diǎn)，CA＝CB＝5，把等腰三角形ABC沿x軸正半軸作無滑動(dòng)順時(shí)針翻轉(zhuǎn)，第一次翻轉(zhuǎn)到位置①，第二次翻轉(zhuǎn)到位置②…依此規(guī)律，第15次翻轉(zhuǎn)后點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是　 ?。?br />
三.解答題。（本大題共四小題，每小題10分，共40分）
19．（10分）（1）計(jì)算：﹣9tan30°﹣（π﹣3.14）0+；
（2）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中x＝2．
20．（10分）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)M是對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，過點(diǎn)M作ME∥CD交BC于點(diǎn)E，作MF∥BC交CD于點(diǎn)F．求證：AM＝EF．

21．（10分）某校為了解九年級(jí)學(xué)生每天參加體育鍛煉的時(shí)間，從該校九年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取20名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)（單位：分鐘）：
30 60 70 10 30 115 70 60 75 90 15 70 40 75 105 80 60 30 70 45
對(duì)以上數(shù)據(jù)進(jìn)行整理分析，得到下列表一和表二：
表一
時(shí)間t（單位：分鐘）
0≤t＜30
30≤t＜60
60≤t＜90
90≤t＜120
人數(shù)
2
a
10
b
表二
平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
60
c
d
根據(jù)以上提供的信息，解答下列問題：
（1）填空：
①a＝　 　，b＝　 　；
②c＝　 　，d＝　 　；
（2）如果該校現(xiàn)有九年級(jí)學(xué)生500名，請(qǐng)估計(jì)該校九年級(jí)學(xué)生每天參加體育鍛煉的時(shí)間達(dá)到平均水平及以上的學(xué)生人數(shù)．
22．（10分）如圖，一艘海輪位于燈塔P的南偏東45°方向，距離燈塔100海里的A處，它計(jì)劃沿正北方向航行，去往位于燈塔P的北偏東30°方向上的B處．
（1）B處距離燈塔P有多遠(yuǎn)？
（2）圓形暗礁區(qū)域的圓心位于PB的延長(zhǎng)線上，距離燈塔200海里的O處．已知圓形暗礁區(qū)域的半徑為50海里，進(jìn)入圓形暗礁區(qū)域就有觸礁的危險(xiǎn)．請(qǐng)判斷若海輪到達(dá)B處是否有觸礁的危險(xiǎn)，并說明理由．

四.解答題。（本大題滿分12分）
23．（12分）“佳佳商場(chǎng)”在銷售某種進(jìn)貨價(jià)為20元/件的商品時(shí)，以30元/件售出，每天能售出100件．調(diào)查表明：這種商品的售價(jià)每上漲1元/件，其銷售量就將減少2件．
（1）為了實(shí)現(xiàn)每天1600元的銷售利潤(rùn)，“佳佳商場(chǎng)”應(yīng)將這種商品的售價(jià)定為多少？
（2）物價(jià)局規(guī)定該商品的售價(jià)不能超過40元/件，“佳佳商場(chǎng)”為了獲得最大的利潤(rùn)，應(yīng)將該商品售價(jià)定為多少？最大利潤(rùn)是多少？
五.解答題。（本大題滿分12分）
24．（12分）如圖，AB為圓O的直徑，C為圓O上一點(diǎn)，D為BC延長(zhǎng)線一點(diǎn)，且BC＝CD，CE⊥AD于點(diǎn)E．
（1）求證：直線EC為圓O的切線；
（2）設(shè)BE與圓O交于點(diǎn)F，AF的延長(zhǎng)線與CE交于點(diǎn)P，已知∠PCF＝∠CBF，PC＝5，PF＝4，求sin∠PEF的值．

六.解答題。（本大題滿分14分）
25．（14分）拋物線y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接BC，如圖所示．
（1）分別求出拋物線和直線BC的函數(shù)表達(dá)式；
（2）在直線BC的下方拋物線的圖象上找出一點(diǎn)N，使得△NBC的面積最大；
（3）在線段BC上是否存在點(diǎn)M，使得△MOC為等腰三角形，若存在，求出M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．


2022年貴州省銅仁市中考數(shù)學(xué)一診試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題。（本大題共10個(gè)小題，每小題4分，共40分）本題每小題均有A、B、C、D四個(gè)備選答案，其中只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)你將正確答案的序號(hào)填涂在相應(yīng)的答題卡上。
1．計(jì)算的結(jié)果是（　?。?br /> A． B． C．±3 D．﹣3
【分析】代表﹣27的立方根，根據(jù)立方根的定義求解即可．
【解答】解：∵（﹣3）3＝﹣27，
∴，
故選：D．
2．“梵天凈土，桃園銅仁”，銅仁市已經(jīng)是全國(guó)衛(wèi)生城市，旅游城市，今年5.1期間來銅仁梵凈山旅游的游客約為115000人．將115000用科學(xué)記數(shù)法表示為（　　）
A．1.15×106 B．0.115×106 C．11.5×104 D．1.15×105
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值≥10時(shí)，n是正整數(shù)，當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)整數(shù)．
【解答】解：115000＝1.15×105．
故選：D．
3．三角形的兩邊長(zhǎng)分別為2和7，第三邊是方程x2﹣10x+21＝0的解，則第三邊的長(zhǎng)為（　?。?br /> A．7 B．3 C．7或3 D．無法確定
【分析】先利用因式分解法解方程得到x1＝7，x2＝3，然后利用三角形三邊的關(guān)系確定三角形第三邊的長(zhǎng)．
【解答】解：x2﹣10x+21＝0，
（x﹣7）（x﹣3）＝0，
x﹣7＝0或x﹣3＝0，
所以x1＝7，x2＝3，
因?yàn)?+3＝5＜7，
所以三角形第三邊的長(zhǎng)為7．
故選：A．
4．某學(xué)校在進(jìn)行防溺水安全教育活動(dòng)中，將以下幾種在游泳時(shí)的注意事項(xiàng)寫在紙條上并折好，內(nèi)容分別是：①互相關(guān)心；②互相提醒；③不要相互嬉水；④相互比潛水深度；⑤選擇水流湍急的水域；⑥選擇有人看護(hù)的游泳池．小穎從這6張紙條中隨機(jī)抽出一張，抽到內(nèi)容描述正確的紙條的概率是（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】先找出正確的紙條，再根據(jù)概率公式即可得出答案．
【解答】解：∵共有6張紙條，其中正確的有①互相關(guān)心；②互相提醒；③不要相互嬉水；⑥選擇有人看護(hù)的游泳池，共4張，
∴抽到內(nèi)容描述正確的紙條的概率是＝；
故選：C．
5．如圖，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，∠A＝36°，∠C＝28°，則∠B＝（　?。?br />
A．100° B．72° C．64° D．36°
【分析】連接OA，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OAC＝∠C＝28°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)解答即可．
【解答】解：連接OA，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠C＝28°，
∴∠OAB＝64°，
∵OA＝OB，
∴∠B＝∠OAB＝64°，
故選：C．

6．如圖，M是Rt△ABC的斜邊BC上異于B、C的定點(diǎn)，過M點(diǎn)作直線截△ABC，使截得的三角形與△ABC相似，這樣的直線共有（　?。?br />
A．1條 B．2條 C．3條 D．4條
【分析】過點(diǎn)M作直線與另一邊相交，使所得的三角形與原三角形有一個(gè)公共角，只要再作一個(gè)直角就可以．
【解答】解：∵截得的三角形與△ABC相似，
∴過點(diǎn)M作AB的垂線，或作AC的垂線，或作BC的垂線，所得三角形滿足題意
∴過點(diǎn)M作直線l共有三條，
故選：C．

7．如圖，一個(gè)多邊形紙片按圖示的剪法剪去一個(gè)內(nèi)角后，得到一個(gè)內(nèi)角和為2340°的新多邊形，則原多邊形的邊數(shù)為（　?。?br />
A．13 B．14 C．15 D．16
【分析】根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式，可得新多邊形的邊數(shù)，根據(jù)新多邊形比原多邊形多1條邊，可得答案．
【解答】解：設(shè)新多邊形是n邊形，由多邊形內(nèi)角和公式得
（n﹣2）180°＝2340°，
解得n＝15，
原多邊形是15﹣1＝14，
故選：B．
8．如圖，∠AOB的兩邊OA，OB均為平面反光鏡，∠AOB＝40°．在OB上有一點(diǎn)P，從P點(diǎn)射出一束光線經(jīng)OA上的Q點(diǎn)反射后，反射光線PR恰好與OB平行，則∠QPB的度數(shù)是（　?。?br />
A．60° B．80° C．100° D．120°
【分析】由QR∥OB，∠AOB＝40°，根據(jù)兩直線平行，同位角相等，即可求得∠AQR的度數(shù)，又由∠AOB的兩邊OA，OB都為平面反光鏡，根據(jù)反射的性質(zhì)，可得∠OQP＝∠AQR＝40°，然后又三角形外角的性質(zhì)，求得∠QPB的度數(shù)．
【解答】解：∵QR∥OB，∠AOB＝40°，
∴∠AQR＝∠AOB＝40°，
∵∠AOB的兩邊OA，OB都為平面反光鏡，
∴∠OQP＝∠AQR＝40°，
∴∠QPB＝∠AOB+∠OQP＝40°+40°＝80°．
故選：B．
9．如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)y1＝（x＞0）圖象上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作x軸的平行線，交反比例函數(shù)（x＞0）的圖象于點(diǎn)B，連接OA、OB，若△OAB的面積為1，則k的值是（　?。?br />
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】延長(zhǎng)BA，與y軸交于點(diǎn)C，由AB與x軸平行，得到BC垂直于y軸，利用反比例函數(shù)k的幾何意義表示出三角形AOC與三角形BOC面積，由三角形BOC面積減去三角形AOC面積表示出三角形AOB面積，將已知三角形AOB面積代入求出k的值即可．
【解答】解：延長(zhǎng)BA，與y軸交于點(diǎn)C，
∵AB∥x軸，
∴BC⊥y軸，
∵A是反比例函數(shù)y1＝（x＞0）圖象上一點(diǎn)，B為反比例函數(shù)y2＝（x＞0）的圖象上的點(diǎn)，
∴S△AOC＝，S△BOC＝，
∵S△AOB＝1，即﹣＝1，
解得：k＝3，
故選：A．

10．如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠DCB＝90°，且BC＝2AD，以AB、BC、DC為邊向外作正方形，其面積分別為S1、S2、S3，若S1＝3，S3＝9，則S2的值為（　?。?br />
A．12 B．18 C．24 D．48
【分析】根據(jù)已知條件得到AB＝，CD＝3，過A作AE∥CD交BC于E，則∠AEB＝∠DCB，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到CE＝AD，AE＝CD＝3，由已知條件得到∠BAE＝90°，根據(jù)勾股定理得到BE＝＝2，于是得到結(jié)論．
【解答】解：∵S1＝3，S3＝9，
∴AB＝，CD＝3，
過A作AE∥CD交BC于E，
則∠AEB＝∠DCB，
∵AD∥BC，
∴四邊形AECD是平行四邊形，
∴CE＝AD，AE＝CD＝3，
∵∠ABC+∠DCB＝90°，
∴∠AEB+∠ABC＝90°，
∴∠BAE＝90°，
∴BE＝＝2，
∵BC＝2AD，
∴BC＝2BE＝4，
∴S2＝（4）2＝48，
故選：D．

二、填空題。（本題共8個(gè)小題，每小題4分，共32分）
11．分解因式：a4﹣16a2＝　a2（a+4）（a﹣4）　．
【分析】先提取公因式a2，再對(duì)余下的多項(xiàng)式利用平方差公式繼續(xù)因式分解．
【解答】解：a4﹣16a2，
＝a2（a2﹣16），
＝a2（a+4）（a﹣4）．
故答案為：a2（a+4）（a﹣4）．
12．若﹣2amb4與5an+2b2m+n可以合并成一項(xiàng)，則mn的值是　1?。?br /> 【分析】根據(jù)同類項(xiàng)是字母相同且相同字母的指數(shù)也相同，可得m、n的值，根據(jù)乘方，可得答案．
【解答】解：若﹣2amb4與5an+2b2m+n可以合并成一項(xiàng)，
，
解得，
mn＝20＝1，
故答案是：1．
13．不等式組的整數(shù)解是 　﹣1、0、1　．
【分析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定不等式組的解集，從而得出答案．
【解答】解：，
解不等式①得：x＞﹣，
解不等式②得：x≤1
則不等式組的解集為﹣＜x≤1，
∴不等式組的整數(shù)解為：﹣1、0、1，
故答案為：﹣1、0、1．
14．如果一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差是4，則另一組數(shù)據(jù)x1+3，x2+3，…，xn+3的方差是　4?。?br /> 【分析】根據(jù)題意得：數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)設(shè)為a，則數(shù)據(jù)x1+3，x2+3，…，xn+3的平均數(shù)為a+3，再根據(jù)方差公式進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．
【解答】解：根據(jù)題意得：數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)設(shè)為a，則數(shù)據(jù)x1+3，x2+3，…，xn+3的平均數(shù)為a+3，
根據(jù)方差公式：S2＝[（x1﹣a）2+（x2﹣a）2+…（xn﹣a）2]＝4．
則S2＝{[（x1+3）﹣（a+3）]2+[（x2+3）﹣（a+3）]2+…（xn+3）﹣（a+3）]}2
＝[（x1﹣a）2+（x2﹣a）2+…（xn﹣a）2]
＝4．
故答案為：4．
15．已知△ABC∽△DEF，相似比為2，且△ABC的面積為16，則△DEF的面積是 　4?。?br /> 【分析】由△ABC∽△DEF，相似比為2，根據(jù)相似三角形的面積的比等于相似比的平方，即可得△ABC與△DEF的面積比為4，又由△ABC的面積為16，即可求得△DEF的面積．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比為2，
∴△ABC與△DEF的面積比為4，
∵△ABC的面積為16，
∴△DEF的面積為：16×＝4．
故答案為：4．
16．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，ED⊥AB交AC于點(diǎn)E．且tan∠BEC＝，則tanA＝　?。?br />
【分析】在Rt△EBC中，先用含k的代數(shù)式表示出BC、CE、BE，再利用線段垂直平分線的性質(zhì)說明BE與AE的關(guān)系，最后在Rt△ABC中求出∠A的正切．
【解答】解：在Rt△EBC中，
∵tan∠BEC＝＝，
設(shè)BC＝3k，CE＝4k．
∴BE＝＝5k．
∵D是AB的中點(diǎn)，ED⊥AB，
∴BE＝AE＝5k．
∴AC＝AE+CE＝5k+4k＝9k．
在Rt△ABC中，
tanA＝＝＝．
故答案為：．
17．已知△ABC中，AB＝7，AC＝6，BC＝5，I是△ABC的內(nèi)心，把△ABC向下平移得到△IDE，使得點(diǎn)C和點(diǎn)I重合，交AB于F，G兩點(diǎn)，則△IFG的周長(zhǎng)為 　7?。?br />
【分析】連接AI，BI，根據(jù)I是△ABC的內(nèi)心，可得IA和IB分別平分∠CAB和∠CBA，再根據(jù)∠ACB平移，使其頂點(diǎn)與點(diǎn)I重合，可得DI∥AC，EI∥BC，可得角相等，從而得等腰三角形，進(jìn)而可得△IFG的周長(zhǎng)．
【解答】解：如圖，連接AI，BI，

∵I是△ABC的內(nèi)心，
∴IA和IB分別平分∠CAB和∠CBA，
∴∠CAI＝∠DAI，∠CBI＝∠EBI，
∵將∠ACB平移，使其頂點(diǎn)與點(diǎn)I重合，
∴DI∥AC，EI∥BC，
∴∠CAI＝∠DIA，∠CBI＝∠EIB，
∴∠DAI＝∠DIA，∠EBI＝∠EIB，
∴FA＝FI，GB＝GI，
∴GF+FI+GI＝GF+FA+GB＝AB＝7．
∴△IFG的周長(zhǎng)為7．
故答案為：7．
18．等腰三角形ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，已知點(diǎn)A（﹣6，0），點(diǎn)B在原點(diǎn)，CA＝CB＝5，把等腰三角形ABC沿x軸正半軸作無滑動(dòng)順時(shí)針翻轉(zhuǎn)，第一次翻轉(zhuǎn)到位置①，第二次翻轉(zhuǎn)到位置②…依此規(guī)律，第15次翻轉(zhuǎn)后點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是　77?。?br />
【分析】根據(jù)題意可知每翻折三次與初始位置的形狀相同，第15次與開始時(shí)形狀相同，故以點(diǎn)B為參照點(diǎn)，第15次的坐標(biāo)減去3即可得此時(shí)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)．
【解答】解：由題意可得，
第一次翻轉(zhuǎn)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（5，0），第二次翻轉(zhuǎn)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（5，0），第三次翻轉(zhuǎn)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（13，4），第四次翻轉(zhuǎn)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（21，0），第五次翻轉(zhuǎn)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（21，0），第六次翻轉(zhuǎn)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（29，4），
由題意可得，每翻轉(zhuǎn)三次與初始位置的形狀相同，
15÷3＝5，
故第15次翻轉(zhuǎn)后點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是：﹣3+（29﹣13）×5＝77，
故答案為：77．
三.解答題。（本大題共四小題，每小題10分，共40分）
19．（10分）（1）計(jì)算：﹣9tan30°﹣（π﹣3.14）0+；
（2）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中x＝2．
【分析】（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則計(jì)算；
（2）根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則把原式化簡(jiǎn)，把x的值代入計(jì)算即可．
【解答】解：（1）原式＝3﹣9×﹣1+2
＝3﹣3﹣1+2
＝1；
（2）原式＝（﹣）?
＝?
＝，
當(dāng)x＝2時(shí)，原式＝＝1．
20．（10分）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)M是對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，過點(diǎn)M作ME∥CD交BC于點(diǎn)E，作MF∥BC交CD于點(diǎn)F．求證：AM＝EF．

【分析】延長(zhǎng)EM交AD于點(diǎn)P，延長(zhǎng)FM交AB于點(diǎn)Q，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得出：四邊形PMFD、BEMQ為正方形，四邊形AQMP、MECF為矩形，進(jìn)而可得出AQ＝FM，QM＝ME，結(jié)合∠AQM＝∠FME＝90°即可證出△AQM≌△FME（SAS），再利用全等三角形的性質(zhì)可證出AM＝EF．
【解答】證明：延長(zhǎng)EM交AD于點(diǎn)P，延長(zhǎng)FM交AB于點(diǎn)Q，如圖所示．
∵四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)M為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，
∴∠MDF＝∠MDP＝∠MBE＝∠MBQ＝45°，
∴DF＝MF，DP＝MP，BE＝ME，BQ＝MQ，
∴四邊形PMFD、BEMQ為正方形．
∵AP∥QM，AQ∥PM，∠PAQ＝90°，CF∥EM，MF∥EC，∠ECF＝90°，
∴四邊形AQMP、MECF為矩形，
∴AQ＝PM＝FM，QM＝ME．
在△AQM和△FME中，，
∴△AQM≌△FME（SAS），
∴AM＝EF．

21．（10分）某校為了解九年級(jí)學(xué)生每天參加體育鍛煉的時(shí)間，從該校九年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取20名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)（單位：分鐘）：
30 60 70 10 30 115 70 60 75 90 15 70 40 75 105 80 60 30 70 45
對(duì)以上數(shù)據(jù)進(jìn)行整理分析，得到下列表一和表二：
表一
時(shí)間t（單位：分鐘）
0≤t＜30
30≤t＜60
60≤t＜90
90≤t＜120
人數(shù)
2
a
10
b
表二
平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
60
c
d
根據(jù)以上提供的信息，解答下列問題：
（1）填空：
①a＝　5　，b＝　3??；
②c＝　65　，d＝　70　；
（2）如果該?，F(xiàn)有九年級(jí)學(xué)生500名，請(qǐng)估計(jì)該校九年級(jí)學(xué)生每天參加體育鍛煉的時(shí)間達(dá)到平均水平及以上的學(xué)生人數(shù)．
【分析】（1）利用劃記法求出a，b，再根據(jù)中位數(shù)，眾數(shù)的定義求出c，d即可．
（2）利用樣本估計(jì)總體的思想解決問題即可．
【解答】解：（1）由題意：a＝5，b＝3，c＝65，d＝70，
故答案為5，3，65，70．
（2）500×＝325（人），
答：估計(jì)該校九年級(jí)學(xué)生每天參加體育鍛煉的時(shí)間達(dá)到平均水平及以上的學(xué)生人數(shù)為130人．
22．（10分）如圖，一艘海輪位于燈塔P的南偏東45°方向，距離燈塔100海里的A處，它計(jì)劃沿正北方向航行，去往位于燈塔P的北偏東30°方向上的B處．
（1）B處距離燈塔P有多遠(yuǎn)？
（2）圓形暗礁區(qū)域的圓心位于PB的延長(zhǎng)線上，距離燈塔200海里的O處．已知圓形暗礁區(qū)域的半徑為50海里，進(jìn)入圓形暗礁區(qū)域就有觸礁的危險(xiǎn)．請(qǐng)判斷若海輪到達(dá)B處是否有觸礁的危險(xiǎn)，并說明理由．

【分析】（1）首先作PC⊥AB于C，利用∠CPA＝90°﹣45°＝45°，進(jìn)而利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出PC的長(zhǎng)，即可得出答案；
（2）首先求出OB的長(zhǎng)，進(jìn)而得出OB＞50，即可得出答案．
【解答】解：（1）作PC⊥AB于C．（如圖）
在Rt△PAC中，∠PCA＝90°，∠CPA＝90°﹣45°＝45°．
∴．
在Rt△PCB中，∠PCB＝90°，∠PBC＝30°．
∴．
答：B處距離燈塔P有海里．

（2）海輪到達(dá)B處沒有觸礁的危險(xiǎn)．
理由如下：
∵，
而，
∴．
∴OB＞50．
∴B處在圓形暗礁區(qū)域外，沒有觸礁的危險(xiǎn)．

四.解答題。（本大題滿分12分）
23．（12分）“佳佳商場(chǎng)”在銷售某種進(jìn)貨價(jià)為20元/件的商品時(shí)，以30元/件售出，每天能售出100件．調(diào)查表明：這種商品的售價(jià)每上漲1元/件，其銷售量就將減少2件．
（1）為了實(shí)現(xiàn)每天1600元的銷售利潤(rùn)，“佳佳商場(chǎng)”應(yīng)將這種商品的售價(jià)定為多少？
（2）物價(jià)局規(guī)定該商品的售價(jià)不能超過40元/件，“佳佳商場(chǎng)”為了獲得最大的利潤(rùn)，應(yīng)將該商品售價(jià)定為多少？最大利潤(rùn)是多少？
【分析】（1）設(shè)商品的定價(jià)為x元，由這種商品的售價(jià)每上漲1元，其銷售量就減少2件，列出等式求得x的值即可；
（2）設(shè)利潤(rùn)為y元，列出二次函數(shù)關(guān)系式，在售價(jià)不超過40元/件的范圍內(nèi)求得利潤(rùn)的最大值．
【解答】解：（1）設(shè)商品的定價(jià)為x元，由題意，得
（x﹣20）[100﹣2（x﹣30）]＝1600，
解得：x＝40或x＝60；
答：售價(jià)應(yīng)定為40元或60元．

（2）設(shè)利潤(rùn)為y元，得：
y＝（x﹣20）[100﹣2（x﹣30）]（x≤40），
即：y＝﹣2x2+200x﹣3200；
∵a＝﹣2＜0，
∴當(dāng)x＝﹣＝﹣＝50時(shí)，y取得最大值；
又x≤40，則在x＝40時(shí)可取得最大值，
即y最大＝1600．
答：售價(jià)為40元/件時(shí)，此時(shí)利潤(rùn)最大，最大為1600元．
五.解答題。（本大題滿分12分）
24．（12分）如圖，AB為圓O的直徑，C為圓O上一點(diǎn)，D為BC延長(zhǎng)線一點(diǎn)，且BC＝CD，CE⊥AD于點(diǎn)E．
（1）求證：直線EC為圓O的切線；
（2）設(shè)BE與圓O交于點(diǎn)F，AF的延長(zhǎng)線與CE交于點(diǎn)P，已知∠PCF＝∠CBF，PC＝5，PF＝4，求sin∠PEF的值．

【分析】（1）說明OC是△BDA的中位線，利用中位線的性質(zhì)，得到∠OCE＝∠CED＝90°，從而得到CE是圓O的切線．
（2）利用直徑上的圓周角，得到△PEF是直角三角形，利用角相等，可得到△PEF∽△PEA、△PCF∽△PAC，從而得到PC＝PE＝5．然后求出sin∠PEF的值．
【解答】解：（1）證明：∵CE⊥AD于點(diǎn)E
∴∠DEC＝90°，
∵BC＝CD，
∴C是BD的中點(diǎn)，又∵O是AB的中點(diǎn)，
∴OC是△BDA的中位線，
∴OC∥AD
∴∠OCE＝∠CED＝90°
∴OC⊥CE，又∵點(diǎn)C在圓上，
∴CE是圓O的切線．
（2）連接AC
∵AB是直徑，點(diǎn)F在圓上
∴∠AFB＝∠PFE＝90°＝∠CEA
∵∠EPF＝∠EPA
∴△PEF∽△PEA
∴PE2＝PF×PA
∵∠FBC＝∠PCF＝∠CAF
又∵∠CPF＝∠CPA
∴△PCF∽△PAC
∴PC2＝PF×PA
∴PE＝PC
在直角△PEF中，sin∠PEF＝＝．

六.解答題。（本大題滿分14分）
25．（14分）拋物線y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接BC，如圖所示．
（1）分別求出拋物線和直線BC的函數(shù)表達(dá)式；
（2）在直線BC的下方拋物線的圖象上找出一點(diǎn)N，使得△NBC的面積最大；
（3）在線段BC上是否存在點(diǎn)M，使得△MOC為等腰三角形，若存在，求出M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；
（2）把直線BC向下平移到與拋物線相切時(shí)，此時(shí)平移的距離最大，點(diǎn)N到直線BC的距離最大即△NBC的面積最大，設(shè)出平移后的解析式：y′＝﹣x+3+m，聯(lián)立方程組，由Δ＝0求出m的值，并求出N的坐標(biāo)；
（3）分MC＝OM，OC＝MC，OC＝OM三種情況討論即可．
【解答】解：（1）由圖象得：A（1，0），B（4，0），C（0，3），
把A，B，C坐標(biāo)代入拋物線y＝ax2+bx+c得：
，
解得：，
∴拋物線解析式為y＝x2﹣x+3；
設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+m，
把B，C代入解析式得：，
解得：，
∴直線BC的解析式為y＝﹣x+3；
（2）平移直線BC使其與拋物線相切，切點(diǎn)為N，此時(shí)三角形NBC面積最大，

設(shè)直線為B′C′：y′＝﹣x+3+m，
由得：x2﹣3x﹣m＝0，
∵直線BC與拋物線相切，
∴Δ＝9﹣4××（﹣m）＝0，
∴m＝﹣3，
∴B′C′：y′＝﹣x．
把m＝﹣3代入x2﹣3x﹣m＝0得：x2﹣4x+4＝0，
解得：x＝2，
則y＝﹣，
∴N（2，﹣）；
（3）存在，理由如下：
①當(dāng)MC＝OM時(shí)，y＝＝﹣x+3，
yM＝OC＝，
∴＝﹣x+3，
∴x＝2，
∴M（2，）；
②當(dāng)OC＝MC時(shí)，設(shè)M（n，﹣n+3），
∴32＝n2+（﹣n+3﹣3）2，
解得：n＝，
∴M（，）；
③當(dāng)OC＝OM時(shí)，設(shè)M（n，﹣n+3），
32＝n2+（﹣n+3）2，
解得：n＝，
∴M（，）．
綜上，M（2，）或（，）或（，）．


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