專題4.1 因式分解（基礎(chǔ)篇）專項練習(xí)-2021-2022學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下冊階段性復(fù)習(xí)精選精練（浙教版）

這是一份專題4.1 因式分解（基礎(chǔ)篇）專項練習(xí)-2021-2022學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下冊階段性復(fù)習(xí)精選精練（浙教版），共18頁。試卷主要包含了單選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
?專題4.1 因式分解（基礎(chǔ)篇）專項練習(xí)
一、單選題
1．下列各式從左到右的變形中，是因式分解的為（ ）．
A． B．
C． D．
2．把代數(shù)式分解因式，下列結(jié)果中正確的是（ ）.
A． B．
C． D．
3．已知a,b,c分別是△ABC的三邊長,且滿足2a4+2b4+c4=2a2c2+2b2c2,則△ABC是( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
4．已知某正方形的面積是(16-8x+x2)cm2(x>4),則該正方形的周長是
A．(4-x)cm B．(x-4)cm
C．(16-4x)cm D．(4x-16)cm
5．已知，則a2－b2－2b的值為
A．4 B．3 C．1 D．0
6．已知a＋＝3，則a2＋等于( )
A．5 B．7 C．9 D．11
7．下列各式中，能用完全平方公式分解的個數(shù)為（ ）
①；②；③；④；⑤.
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
8．若a，b，c是三角形的三邊之長，則代數(shù)式的值（?? ）
A．小于0? B．大于0?
C．等于0? D．以上三種 情況均有可能
9．若x2+mx-15=(x+3)(x+n)，則mn的值為（ ）
A．5 B．-5 C．10 D．-10
10．小明用四張如圖所示的紙片拼成一個大長方形，并據(jù)此寫出一個多項式的因式分解，正確的是( )

A．x2＋2x＝x(x＋2) B．x2－2x＋1＝(x－1)2
C．x2＋2x＋1＝(x＋1)2 D．x2＋3x＋2＝(x＋2)(x＋1)


二、填空題
11．已知兩個正方形的周長差是96 cm，面積差是960，則這兩個正方形的邊長分別是________.
12．計算：＝________．
13．已知a+b=2,ab=2，求 ?的值為________.
14．如果x+y=5，xy=2，則x2y+xy2=________．
15．若 ,那么 =________.
16．若x2y+xy2=30，xy=6，則x2+y2=________，x﹣y=________．
17．單項式8x2y2、12xy3、6x2y2的公因式是________．
18．兩名同學(xué)將同一個二次三項式分解因式，甲因看錯了一次項系數(shù)而分解成(x＋1)(x＋9)；乙因看錯了常數(shù)項而分解成(x－2)(x－4)，則將原多項式因式分解后的正確結(jié)果應(yīng)該是________．
19．已知，則_______．
20．已知，，則的值為______．
21．若多項式分解因式后，有一個因式是，則的值為______．
22．若實數(shù)，且，，則_____________．

三、解答題
23．因式分解．
（1）． （2）．


（3） ． （4）．


（4） ． （6）．


24．（閱讀材料）
在進行計算或化簡時，可以根據(jù)題目特點，將一個分數(shù)或分式變成兩部分之差，如：等．
（問題解決）
利用上述材料中的方法，解決下列問題：
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值．



25．有這樣一類題目：將化簡，如果你能找到兩個數(shù)，使并且，則將變成平方，從而使得化簡．
例如：化簡
解：

根據(jù)上述材料化簡下列各式：
（1）
（2）
（3）



26．對于任意一個三位正整數(shù)，十位上的數(shù)字減去個位上的數(shù)字之差恰好等于百位上的數(shù)字，則稱這個三位數(shù)為“極差數(shù)”．例如：對于三位數(shù)451，5－1＝4，則451是“極差數(shù)”；對于三位數(shù)110，1－0＝1，則110是“極差數(shù)”．
（1）求證：任意一個“極差數(shù)”一定能被11整除；
（2）在一個“極差數(shù)”首位之前添加其十位的數(shù)字得到一個新的四位數(shù)，在一個“極差數(shù)”末位之后添加數(shù)字1得到一個新的四位數(shù)，若能被12整除，求滿足條件的“極差數(shù)”．





27．?dāng)?shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想方法，借助圖形可以對很多數(shù)學(xué)問題進行直觀推導(dǎo)和解釋．如圖1，有足夠多的A類、C類正方形卡片和B類長方形卡片．用若干張A類、B類、C類卡片可以拼出如圖2的長方形，通過計算面積可以解釋因式分解：2a2+3ab+b2＝（2a+b）（a+b）．
（1）若解釋因式分解3a2+4ab+b2＝（a+b）（3a+b），需取A類、B類、C類卡片若干張（三種卡片都要取到），拼成一個長方形，請畫出相應(yīng)的圖形；
（2）若取A類、B類、C類卡片若干張（三種卡片都要取到），拼成一個長方形，使其面積為5a2+mab+b2，則m的值為　　，將此多項式分解因式為　?。?br /> （3）有3張A類，4張B類，5張C類卡片．從中取出若干張紙片，每種紙片至少取一張，把取出的這些紙片拼成一個正方形（無空隙、無重疊地拼接），則拼成的正方形的邊長最長為　?。?br />

參考答案
1．C
【分析】根據(jù)因式分解的定義逐一判斷即可．
解：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫因式分解，只有符合該定義，
故選：C．
【點撥】本題考查了因式分解的定義，能熟記因式分解的定義的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵，注意：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫因式分解．
2．A
【分析】先提取公因式a，再利用完全平方公式分解即可.
【詳解】
ax2-4ax+4a=a(x2-4x+4)=a(x-2)2
【點撥】本題要掌握提公因式法和完全平方公式解題.
3．C
【分析】等式兩邊乘以2，利用配方法得到，根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)得到，，則，且.然后根據(jù)等腰三角形和直角三角形的判定方法進行判斷.
，
，
，
，，
，，
，且，
為等腰直角三角形.
故選.
【點撥】本題考查了因式分解的應(yīng)用，利用完全平方公式是解決問題的關(guān)鍵.
4．D
【解析】
【分析】首先利用完全平方公式進行因式分解，即可得到正方形的邊長，進而可計算出正方形的周長．
解：∵16-8x+x2=（4-x）2，x＞4cm，
∴正方形的邊長為（x-4）cm，
∴正方形的周長為：4（x-4）=4x-16（cm），
故選D．
【點撥】本題考查了因式分解法的應(yīng)用，關(guān)鍵是利用完全平方公式進行因式分解，從而得到正方形的邊長．
5．C
【分析】先將原式化簡，然后將a?b＝1整體代入求解．
【詳解】

故答案選：C．
【點撥】此題考查的是整體代入思想在代數(shù)求值中的應(yīng)用．
6．B
【分析】利用完全平方公式把變形成為，代入解答即可．
【詳解】
===7．
故選B．
【點撥】本題考查了完全平方公式．解題的關(guān)鍵是把變形成為．
7．B
【解析】
【分析】分別利用完全平方公式分解因式得出即可
【詳解】
①=，符合題意；
②；不能用完全平方公式分解，不符合題意
③；不能用完全平方公式分解，不符合題意
④=-，符合題意；
⑤，不可以用完全平方公式分解，不符合題意
故選：B.
【點撥】本題考查因式分解，熟練掌握運算法則是解題關(guān)鍵.
8．A
【解析】
【分析】先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式，然后根據(jù)三角形三邊關(guān)系解答．
【詳解】
：（a2-2ac+c2）-b2，
=（a-c）2-b2，
=（a-c-b）（a-c+b），
=[a-（c+b）][（a+b）-c]，
由三角形三邊關(guān)系，[a-（c+b）]＜0，
[（a+b）-c]＞0，
∴[a-（c+b）][（a+b）-c]＜0
故選A.．
【點撥】本題考查了完全平方公式，平方差公式，運用公式整理成積的形式是關(guān)鍵，同時還考查了三角形三邊關(guān)系．
9．C
【分析】根據(jù)多項式乘多項式的法則計算，然后根據(jù)對應(yīng)項的系數(shù)相等列出方程，求解即可得到m、n的值，再代入計算即可．
【詳解】
由x2+mx-15=（x+3）（x+n）=x2+（3+n）x+3n，
比較系數(shù)，得m=3+n，-15=3n，
解得m=-2，n=-5，
∴mn=（-2）×（-5）=10．
【點撥】本題考查了多項式的乘法法則，根據(jù)對應(yīng)項系數(shù)相等列式是解題的關(guān)鍵．
10．D
【解析】小明用四張長方形或正方形紙片拼成一個大長方形，小亮根據(jù)小明的拼圖過程，寫出多項式x2+3x+2因式分解的結(jié)果為（x+1）（x+2）,即x2＋3x＋2＝(x＋2)(x＋1)．
故選D．
11．32cm，8cm
【解析】
【分析】設(shè)兩正方形的邊長分別為acm，bcm，根據(jù)正方形的周長和面積公式得到4a-4b=96，a2-b2=960，再分解a2-b2得到（a+b）（a-b），則a+b=40，然后解關(guān)于a、b的二元一次方程組即可．
【詳解】
設(shè)兩正方形的邊長分別為acm，bcm，
根據(jù)題意得4a-4b=96，a2-b2=960，即a-b=24，
∵a2-b2=（a+b）（a-b），
∴24（a+b）=960，
∴a+b=40，
解方程組，
得，
∴這兩個正方形的邊長分別是32cm、8cm．
故答案為：32cm、8cm．
【點撥】本題考查了因式分解的應(yīng)用：利用因式分解可把復(fù)雜的代數(shù)式變形為簡單的代數(shù)式，然后便于計算．
12．
【解析】
【分析】
把分母利用平方差公式分解因式，再約分即可.
【詳解】
===.
故答案為：
【點撥】本題主要考查了利用平方差公式分解因式，掌握此類式子的特點可以使計算簡便．
13．4
【解析】
【分析】將所求式子提取公因式后，再利用完全平方公式分解因式，將a+b與ab的值代入計算，即可求值.
【詳解】
：∵a+b=2，ab=2，
∴a3b+a2b2+ab3=ab（a2+2ab+b2）=ab（a+b）2=×2×4=4．
【點撥】本題考查了因式分解的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．
14．10
【分析】直接提取公因式xy，進而求出即可．
【詳解】
∵x+y=5，xy=2，
∴x2y+xy2=xy（x+y）=2×5=10．
故答案為10．
【點撥】本題考查了提取公因式法分解因式，正確分解因式是解題關(guān)鍵．
15．0
【解析】
【分析】直接提取公因式a1999，進而分解因式得出答案．
【詳解】
∵a2+a+1=0，
∴a2001+a2000+a1999=a1999（a2+a+1）=0．
故答案為：0．
【點撥】本題考查了提取公因式法分解因式，正確找出公因式是解題關(guān)鍵．
16．13 ±1
【解析】試題解析：
∴xy(x+y)=30，
∵xy=6，
∴x+y=5，


∴x?y=±1；
故答案為：13，±1.
17．2xy2
【解析】試題解析：單項式 的公因式是
故答案為：
18．(x－3)2
【解析】由題意可知：（x+1）（x+9）=x2+10x+9
（x-2）（x-4）=x2-6x+8
∴原多項式為：x2-6x+9
∴x2-6x+9=（x-3）2
故答案為（x-3）2
【點撥】本題考查因式分解，解題的關(guān)鍵是熟練運用因式分解法，本題屬于基礎(chǔ)題型．
19．．
【分析】
計算，從而得到，然后先求原式的倒數(shù)，從而求解．
解：∵
∴

∴

∴
故答案為：．
【點撥】本題考查倒數(shù)，完全平方公式的運用及分式的化簡求值，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)以及分式的化簡計算是解題關(guān)鍵．
20．或
【分析】先將條件變形為a2+ab-b2-b2=0，得（a2-b2）+（ab-b2）=0，得（a+b）（a-b）+b（a-b）=0，（a-b）（a+2b）=0，再將a用含b的式子表示出來代入代數(shù)式就可以求出結(jié)論．
【詳解】
∵，
（a2-b2）+（ab-b2）=0，
得（a+b）（a-b）+b（a-b）=0，
∴．
∴或
①當(dāng)時，原式．
②當(dāng)時，原式．
綜上原式或，
故答案為:或．
【點撥】本題考查了利用因式分解把一個字母用另一個字母表示出來代入代數(shù)式求出其值的運用．在解答時注意不要漏解．
21．5
【分析】設(shè)另一個因式為x+a，（x+a）（x-3）=x2+（-3+a）x-3a，根據(jù)題意得出-m=-3+a，6=-3a，求出m、a即可．
解：設(shè)另一個因式為x+a，則（x+a）（x-3）=x2+（-3+a）x-3a，
∴-m=-3+a，6=-3a，
∴a=-2，m=5，
故答案為：5．
【點撥】本題考查了因式分解的意義，能得出-m=-3+a和6=-3a是解題的關(guān)鍵．
22．3
【分析】先把兩個等式相減，然后利用分解因式得(x+y-3)(x-y)=0，進而即可求解．
【詳解】
∵，，
∴-=0，
∴(x+y)(x-y)-3(x-y)=0，
∴(x+y-3)(x-y)=0，
∵x≠y，
∴x+y-3=0，
∴3．
故答案是：3．
【點撥】本題主要考查代數(shù)式求值，熟練掌握因式分解，是解題的關(guān)鍵．
23．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）
【分析】
（1）利用提取公因式法求解即可；
（2）利用平方差公式求解即可；
（3）利用十字相乘法求解即可；
（4）先提取公因式，再利用完全平方公式；
（5）先利用完全平方公式，再利用平方差公式；
（6）利用完全平方公式、平方差公式和提取公因式求解即可；
【詳解】
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6），
，
，
，
，
，
；
【點撥】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用，準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵．
24．（1）；（2）；（3）．
【分析】
（1）根據(jù)題目中的式子特點，先分解，然后裂項，再計算即可解答本題；
（2）先提出，然后裂項計算即可解答本題；
（3）根據(jù)題目中式子的特點，先裂項，然后計算即可解答本題．
解：（1）
＝++…+
＝1﹣+…+
＝1﹣
＝；
（2）
＝×[+…+]
＝×[++…+]
＝×（1﹣+…+）
＝×（1﹣）
＝×
＝；
（3）
＝++…+
＝×（1﹣+…+）
＝×（1﹣）
＝×
＝．
【點撥】本題考查數(shù)字的變化類、有理數(shù)的混合運算，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)式子的變化特點，求出所求式子的值．
25．（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）可以根據(jù)化簡；
（2）可以根據(jù)化簡；
（3）可以根據(jù)化簡．　
【詳解】
（1）

（2）

（3）

【點撥】本題考查新定義下的實數(shù)運算，通過歸納掌握材料所給方法是解題關(guān)鍵 ．
26．（1）證明見解析；（2）滿足條件的“極差數(shù)”有671或143或275．
【分析】
（1）設(shè)任意一個“極差數(shù)”的百位數(shù)字是a，十位數(shù)字是b，個位數(shù)字是c，根據(jù)條件式子100a＋10b+c＝11（10b＋9c），即可求證；
（2）設(shè)任意一個“極差數(shù)”的百位數(shù)字是a，十位數(shù)字是b，個位數(shù)字是c，由題意可得M＝1000b＋100a＋10b＋c，N＝1000a＋100b＋10c＋1，再根據(jù)M?N能被12整除，可求滿足條件的“極差數(shù)”．
解：（1）證明：設(shè)任意一個“極差數(shù)”的百位數(shù)字是a，十位數(shù)字是b，個位數(shù)字是c，
∵a＝b?c，
∴100a＋10b＋c＝100b?100c＋10b＋c＝110b?99c＝11（10b?9c），
∴100a＋10b＋c能被11整除，
∴任意一個“極差數(shù)”一定能被11整除；
（2）設(shè)任意一個“極差數(shù)”的百位數(shù)字是a，十位數(shù)字是b，個位數(shù)字是c，則M＝1000b＋100a＋10b＋c，N＝1000a＋100b＋10c＋1，
則M?N＝?900a＋910b?9c?1＝?900（b?c）＋910b?9c?1＝10b＋891c?1，
M?N 能被12整除，
當(dāng)c＝1時，b＝1，a＝0（舍去）；
當(dāng)c＝1時，b＝7，a＝6；
當(dāng)c＝3時，b＝4，a＝1；
當(dāng)c＝5時，b＝1，a＝?4（舍去）；
當(dāng)c＝5時，b＝7，a＝2；
當(dāng)c＝7時，b＝4，a＝?3（舍去）．
故滿足條件的“極差數(shù)”有671或143或275．
【點撥】
本題考查了分解因式的實際運用，學(xué)生的閱讀理解能力以及知識的遷移能力，解題的關(guān)鍵是理解“極差數(shù)”的定義．
27．（1）見解析；（2）6，（5a+b）（a+b）；（3）a+2b
【分析】
（1）根據(jù)題意可以畫出相應(yīng)的圖形；
（2）根據(jù)題意和因式分解的方法可知m的值為6，然后對式子分解因式即可解答本題；
（3）根據(jù)3張邊長為a的正方形紙片的面積是3a2，4張邊長分別為a、b（b＞a）的矩形紙片的面積是4ab，5張邊長為b的正方形紙片的面積是5b2，得出a2+4ab+4b2=（a+2b）2，再根據(jù)正方形的面積公式即可得出答案．
【詳解】
解：（1）如圖所示；

（2）由題意可得，m＝6，
∴5a2+6ab+b2＝（5a+b）（a+b）；
（3）3張邊長為a的正方形紙片的面積是3a2，
4張邊長分別為a、b（b＞a）的矩形紙片的面積是4ab，
5張邊長為b的正方形紙片的面積是5b2，
∵a2+4ab+4b2＝（a+2b）2，
∴拼成的正方形的邊長最長可以為（a+2b），
故答案為：a+2b.
【點撥】本題考查了因式分解的應(yīng)用和意義，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．