?2021年安徽省安慶市高考數(shù)學模擬試卷（文科）（二模）
一、選擇題（共12小題）.
1．若集合M＝{x|0＜x≤3}，N＝{x|x2+x﹣2≤0}，則M∩N＝（　?。?br /> A．（0，1] B．（0，3] C．（0，2] D．（﹣2，1]
2．若復數(shù)z滿足z（1+i）＝2﹣2i（i為虛數(shù)單位），則|z|＝（　?。?br /> A．1 B． C． D．2
3．機器人是一種能夠半自主或全自主工作的智能機器．它可以輔助甚至替代人類完成某些工作，提高工作效率，服務人類生活，擴大或延伸人的活動及能力范疇．某公司為了研究M、N兩個機器人的銷售情況，統(tǒng)計了2020年2月至7月M、N兩店每月的營業(yè)額（單位：萬元），得到如圖折線圖，則下列說法中錯誤的是（　?。?br />
A．N店營業(yè)額的平均值是29
B．M店營業(yè)額的平均值在[34，35]內(nèi)
C．N店營業(yè)額總體呈上升趨勢
D．M店營業(yè)額的極差比N店營業(yè)額的極差大
4．已知函數(shù)f（x）＝（1﹣t）?2x+（t∈R）是R上的奇函數(shù)，則f（2）?f（﹣2）＝（　　）
A．﹣ B． C． D．
5．在△ABC中，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對邊．若a，b，c成等比數(shù)列，且a2+bc＝c2+ac，則∠A的大小是（　?。?br /> A． B． C． D．
6．設首項為1的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S6＝9S3.則log2（a1?a2?a3?…?a20）＝（　?。?br /> A．200 B．190 C．180 D．170
7．頂點在坐標原點，焦點是雙曲線＝1的左焦點的拋物線標準方程是（　?。?br /> A．x2＝12y B．y2＝﹣12x C．y2＝﹣4x D．y2＝12x
8．已知sin（α）＝，則cos（﹣2α）＝（　?。?br /> A． B． C． D．
9．如果點P（x，y）在平面區(qū)域上，則的取值范圍是（　?。?br /> A．[﹣2，] B．[﹣2，] C．[﹣2，] D．[﹣]
10．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的t為區(qū)間[，10]內(nèi)任意一個數(shù)，則輸出的M取值范圍為（　?。?br />
A．（﹣∞，﹣2）∪[，+∞） B．[﹣2，]
C．[0，]∪[2，+∞） D．（﹣∞，﹣2）∪[0，]
11．設直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有頂點都在一個球面上，且球的體積是，AB＝AC＝AA1，∠BAC＝120°，則此直三棱柱的高是（　?。?br /> A．4 B．4 C．2 D．2
12．若曲線f（x）＝alnx+（a+1）x2+1（a∈R）在點（1，f（1））處的切線與直線7x+y﹣2＝0平行，且對任意的x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，不等式|f（x1）﹣f（x2）|＞m|x1﹣x2|恒成立，則實數(shù)m的最大值為（　?。?br /> A． B．2 C．4 D．5
二、填空題（共4小題）.
13．命題“?x∈R，x2﹣1＜x”的否定是　 ?。?br /> 14．設m，n∈R，向量＝（m，1），＝（﹣1，n）若⊥且||＝2，則m?n的值是　 ?。?br /> 15．已知過點（0，1）且斜率為k的直線l，與圓C：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝2交于M，N兩點，若弦MN的長是2，則k的值是　 　．
16．已知函數(shù)f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜），x＝﹣為f（x）的一個零點，x＝為y＝f（x）圖象的一條對稱軸，且f（x）在（，）內(nèi)不單調(diào)，則ω的最小值為　 　．
三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17-21題為必考題,每個試題考生都必須作答．第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．
17．第24屆冬季奧林匹克運動會將于2022年2月在中國北京舉行．為迎接此次冬奧會，北京市組織大學生開展冬奧會志愿者的培訓活動，并在培訓結(jié)束后統(tǒng)一進行了一次考核．為了了解本次培訓活動的效果，從A、B兩所大學隨機各抽取10名學生的考核成績，并作出如圖所示的莖葉圖．
（Ⅰ）計算A、B兩所大學學生的考核成績的平均值；
（Ⅱ）由莖葉圖判斷A、B兩所大學學生考核成績的穩(wěn)定性；（不用計算）
（Ⅲ）將學生的考核成績分為兩個等級，如表所示，現(xiàn)從樣本考核等級為優(yōu)秀的學生中任取2人，求2人來自同一所大學的概率．
考核成績
[60，85]
[86，100]
考核等級
合格
優(yōu)秀

18．已知數(shù)列{}的前n項和Tn＝n2+3n（n∈N*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）令bn＝（n∈N*），求數(shù)列{bn}的前n項和Sn．
19．如圖是矩形ABCD和以邊AB為直徑的半圓組成的平面圖形，AB＝2AD＝2a．將此圖形沿AB折疊，使平面ABCD垂直于半圓所在的平面．若點E是折后圖形中半圓O上異于A，B的點．
（Ⅰ）證明：EA⊥EC；
（Ⅱ）若異面直線AE和DC所成的角為，求三棱錐D﹣ACE的體積.
20．已知函數(shù)f（x）＝ex+acosx，其中x＞0，e為自然對數(shù)的底數(shù)，a∈R．
（Ⅰ）當a＝﹣1時，討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）的導函數(shù)f′（x）在（0，π）內(nèi)有且僅有一個零點，求a的值．
21．已知橢圓C：＝1（b＞0）的左、右焦點分別為F1（﹣c，0）和F2（c，0），P為橢圓C上任意一點，三角形PF1F2面積的最大值是3．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若過點（2，0）的直線l交橢圓C于A，B兩點，且Q（，0），證明：?為定值．
（二）選考題：共10分．請考生從第22，23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第題目計分．[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]
22．在直角坐標系xOy中，曲線C1：（θ為參數(shù)，常數(shù)r＞0）．以坐標原點為極點，x軸非負半軸為極軸建立極坐標系，并在兩坐標系中取相同的長度單位．曲線C2的極坐標方程為ρ2﹣8ρsinθ+15＝0．
（Ⅰ）若曲線C1與C2有公共點，求r的取值范圍；
（Ⅱ）若r＝1，過曲線C1上任意一點P作曲線C2的切線，切點為Q，求|PQ|的最小值．
[選修4-5：不等式選講]（本小題滿分0分）
23．已知函數(shù)f（x）＝|3x+1|+|x﹣2|．
（Ⅰ）解不等式：f（x）＞5；
（Ⅱ）若關(guān)于x的不等式f（x）≥x2+m在[0，3]上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．
參考答案
一、選擇題（共12小題）.
1．若集合M＝{x|0＜x≤3}，N＝{x|x2+x﹣2≤0}，則M∩N＝（　?。?br /> A．（0，1] B．（0，3] C．（0，2] D．（﹣2，1]
解：因為M＝{x|0＜x≤1}，N＝{x|x2+x﹣2≤0}＝{x|﹣2≤x≤1}，
所以M∩N＝{x|0＜x≤1}＝（0，1]．
故選：A．
2．若復數(shù)z滿足z（1+i）＝2﹣2i（i為虛數(shù)單位），則|z|＝（　　）
A．1 B． C． D．2
解：【方法一】復數(shù)z滿足z（1+i）＝2﹣2i（i為虛數(shù)單位），
∴z＝＝＝＝﹣2i，
∴|z|＝|﹣2i|＝2．
【方法二】復數(shù)z滿足z（1+i）＝2﹣2i（i為虛數(shù)單位），
則|z（1+i）|＝|（2﹣2i）|，
即|z|?|1+i|＝|2﹣2i|，
∴|z|?＝2，
∴|z|＝2．
故選：D．
3．機器人是一種能夠半自主或全自主工作的智能機器．它可以輔助甚至替代人類完成某些工作，提高工作效率，服務人類生活，擴大或延伸人的活動及能力范疇．某公司為了研究M、N兩個機器人的銷售情況，統(tǒng)計了2020年2月至7月M、N兩店每月的營業(yè)額（單位：萬元），得到如圖折線圖，則下列說法中錯誤的是（　?。?br />
A．N店營業(yè)額的平均值是29
B．M店營業(yè)額的平均值在[34，35]內(nèi)
C．N店營業(yè)額總體呈上升趨勢
D．M店營業(yè)額的極差比N店營業(yè)額的極差大
解：對于A，N店營業(yè)額的平均值是×（2+8+16+35+50+63）＝29，所以A正確；
對于B，M店營業(yè)額的平均值是×（14+20+26+45+64+36）＝34∈[34，36]，所以B正確；
對于C，由圖象知N店營業(yè)額總體呈上升趨勢，所以C正確；
對于D，M店的極差為64﹣14＝50，N店的極差為63﹣2＝61，且50＜61，所以D錯誤．
故選：D．
4．已知函數(shù)f（x）＝（1﹣t）?2x+（t∈R）是R上的奇函數(shù)，則f（2）?f（﹣2）＝（　　）
A．﹣ B． C． D．
解：根據(jù)題意，函數(shù)f（x）＝（1﹣t）?2x+（t∈R）是R上的奇函數(shù)，
則f（0）＝（1﹣t）20+＝1﹣t+1＝0，解可得t＝2，
所以．則，
故．
故選：C．
5．在△ABC中，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對邊．若a，b，c成等比數(shù)列，且a2+bc＝c2+ac，則∠A的大小是（　?。?br /> A． B． C． D．
【解答】解析：由已知得，
因此，
可化為．
于是，
．
故選：A．
6．設首項為1的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S6＝9S3.則log2（a1?a2?a3?…?a20）＝（　?。?br /> A．200 B．190 C．180 D．170
解：由題意q≠1，由9S3＝S6得：
．
∴．
∵，
∴．
故選：B．
7．頂點在坐標原點，焦點是雙曲線＝1的左焦點的拋物線標準方程是（　　）
A．x2＝12y B．y2＝﹣12x C．y2＝﹣4x D．y2＝12x
解：因為c2＝4+5＝9，∴c＝3，∴F（﹣3，0），﹣＝﹣3，∴p＝6，∴y2＝﹣12x．
故選：B．
8．已知sin（α）＝，則cos（﹣2α）＝（　?。?br /> A． B． C． D．
解：由＝，
可得＝＝，
所以cos（﹣2α）＝1﹣2sin2（﹣α）＝1﹣2×＝．
故選：D．
9．如果點P（x，y）在平面區(qū)域上，則的取值范圍是（　　）
A．[﹣2，] B．[﹣2，] C．[﹣2，] D．[﹣]
解：如圖，先作出點P（x，y）所在的平面區(qū)域．
表示動點P與定點Q（2，﹣1）連線的斜率．
聯(lián)立，解得．
于是，．
因此．
故選：A．

10．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的t為區(qū)間[，10]內(nèi)任意一個數(shù)，則輸出的M取值范圍為（　?。?br />
A．（﹣∞，﹣2）∪[，+∞） B．[﹣2，]
C．[0，]∪[2，+∞） D．（﹣∞，﹣2）∪[0，]
解：由題意知，，
當時，，當且僅當時取等號．
當1≤t≤10時，是增函數(shù)，．
因此，M（t）的值域是．
故選：D．
11．設直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有頂點都在一個球面上，且球的體積是，AB＝AC＝AA1，∠BAC＝120°，則此直三棱柱的高是（　　）
A．4 B．4 C．2 D．2
解：設AB＝AC＝AA1＝2m．因為∠BAC＝120°，所以∠ACB＝30°，
于是是△ABC外接圓的半徑），r＝2m．
又球心到平面ABC的距離等于側(cè)棱長AA1的一半，
所以球的半徑為．所以球的表面積為，
解得．
于是直三棱柱的高是．
故選：D．
12．若曲線f（x）＝alnx+（a+1）x2+1（a∈R）在點（1，f（1））處的切線與直線7x+y﹣2＝0平行，且對任意的x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，不等式|f（x1）﹣f（x2）|＞m|x1﹣x2|恒成立，則實數(shù)m的最大值為（　?。?br /> A． B．2 C．4 D．5
解：．
因為f'（1）＝﹣7，
所以．f（x）＝﹣3lnx﹣2x2+1．
因此，f（x）在（0，+∞）內(nèi)單減．
不妨設x1＞x2＞0，則f（x1）＜f（x2）．
于是|f（x1）﹣f（x2）|＞m|x1﹣x2|就是f（x2）﹣f（x1）＞m（x1﹣x2），
即f（x2）+mx2＞f（x1）+mx1恒成立．
令g（x）＝f（x）+mx，x＞0，則g（x）在（0，+∞）內(nèi)單減，
即g'（x）≤0.，x＞0．
而，當且僅當時，取到最小值，
所以．
故選：C．
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．
13．命題“?x∈R，x2﹣1＜x”的否定是　?。?br /> 解：根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，得；
命題“?x∈R，x2﹣1＜x”的否定是：
“?x∈R，x2﹣1≥x”．
故答案為：“?x∈R，x2﹣1≥x．
14．設m，n∈R，向量＝（m，1），＝（﹣1，n）若⊥且||＝2，則m?n的值是　3　．
解：因為，所以﹣m+n＝0． 又因為，所以m2+1＝4，m2＝3．
于是m?n＝m2＝3．
故答案為：3．
15．已知過點（0，1）且斜率為k的直線l，與圓C：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝2交于M，N兩點，若弦MN的長是2，則k的值是　?。?br /> 解：直線l的方程為y＝kx+1，即kx﹣y+1＝0，
∵圓C：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝2的圓心坐標為（2，1），半徑為，且弦MN的長是2，
∴，
解得k＝．
故答案為：．
16．已知函數(shù)f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜），x＝﹣為f（x）的一個零點，x＝為y＝f（x）圖象的一條對稱軸，且f（x）在（，）內(nèi)不單調(diào)，則ω的最小值為　?。?br /> 解：由題意知，則．
由，
得，，又k∈Z，
所以k＝0，
則．
故．
所以．
由題設知ω＞0，當k1＝0時，，則．
由，
知f（x）在內(nèi)單增，顯然在內(nèi)單增，不合題意．
當k1＝﹣1時，，則．
由，
知f（x）在內(nèi)單增，在內(nèi)單減，
符合在內(nèi)不單調(diào)的條件．
故ω的最小值為．
故答案為：．
三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17-21題為必考題,每個試題考生都必須作答．第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．
17．第24屆冬季奧林匹克運動會將于2022年2月在中國北京舉行．為迎接此次冬奧會，北京市組織大學生開展冬奧會志愿者的培訓活動，并在培訓結(jié)束后統(tǒng)一進行了一次考核．為了了解本次培訓活動的效果，從A、B兩所大學隨機各抽取10名學生的考核成績，并作出如圖所示的莖葉圖．
（Ⅰ）計算A、B兩所大學學生的考核成績的平均值；
（Ⅱ）由莖葉圖判斷A、B兩所大學學生考核成績的穩(wěn)定性；（不用計算）
（Ⅲ）將學生的考核成績分為兩個等級，如表所示，現(xiàn)從樣本考核等級為優(yōu)秀的學生中任取2人，求2人來自同一所大學的概率．
考核成績
[60，85]
[86，100]
考核等級
合格
優(yōu)秀

解：（Ⅰ），
；
（Ⅱ）由莖葉圖可知，A所大學學生的成績比B所大學學生的成績穩(wěn)定；
（Ⅲ） 記事件M為“從樣本考核等級為優(yōu)秀的學生中任取2人，2人來自同一所大學”．
樣本中，A?？己说燃墳閮?yōu)秀的學生共有3人，分別記為a，b，c，
B?？己说燃墳閮?yōu)秀的學生共有3人，分別記為A，B，C，
從這6人中任取2人，所有的基本事件個數(shù)為ab，ac，aA，aB，aC，bc，bA，bB，bC，cA，cB，cC，AB，AC，BC共15種，
而事件M包含的基本事件是ab，ac，bc，AB，AC，BC共6種，
因此．
18．已知數(shù)列{}的前n項和Tn＝n2+3n（n∈N*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）令bn＝（n∈N*），求數(shù)列{bn}的前n項和Sn．
解：（Ⅰ）n＝1時，＝4，∴a1＝16．
當n≥2時，．Tn＝n2+3n，
作差得，∴．
又當n＝1時滿足此式，∴，n∈N*…………
（Ⅱ）． …………
Sn＝b1+b2+…+bn，
∴，
2Sn＝2?24+3?25+…+n?2n+2+（n+1）?2n+3．
∴﹣Sn＝2?23+24+25+…+2n+2﹣（n+1）?2n+3
＝
＝2n+3﹣n?2n+3﹣2n+3＝﹣n?2n+3.…………
∴．…………
19．如圖是矩形ABCD和以邊AB為直徑的半圓組成的平面圖形，AB＝2AD＝2a．將此圖形沿AB折疊，使平面ABCD垂直于半圓所在的平面．若點E是折后圖形中半圓O上異于A，B的點．
（Ⅰ）證明：EA⊥EC；
（Ⅱ）若異面直線AE和DC所成的角為，求三棱錐D﹣ACE的體積.
解：（Ⅰ）∵平面ABCD垂直于圓O所在的平面，兩平面的交線為AB，BC?平面ABCD，BC⊥AB，
∴BC垂直于圓O所在的平面．
又EA在圓O所在的平面內(nèi)，∴BC⊥EA．…………
∵∠AEB是直角，∴BE⊥EA．而BE∩BC＝B，BE?平面EBC，BC?平面EBC，
∴EA⊥平面EBC．
又∵EC?平面EBC，∴EA⊥EC．…………
（Ⅱ） 因為在矩形ABCD中，AB∥CD，直線AE和DC所成的角為，
所以直線AE和AB所成的角為，即． ………

過E作EF⊥AB于F，則EF⊥平面ABCD．
又AB＝2a，，所以，
因此．………
于是．
即三棱錐D﹣ACE的體積是．………
20．已知函數(shù)f（x）＝ex+acosx，其中x＞0，e為自然對數(shù)的底數(shù)，a∈R．
（Ⅰ）當a＝﹣1時，討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）的導函數(shù)f′（x）在（0，π）內(nèi)有且僅有一個零點，求a的值．
解：（Ⅰ）當a＝﹣1時，f（x）＝ex﹣cosx，則f′（x）＝ex+sinx，
因為x＞0，所以ex＞1，﹣1≤sinx≤1，因此f′（x）＞0，
故函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增．
（Ⅱ）由f'（x）＝ex﹣asinx＝0，得asinx＝ex，
因為x∈（0，π），所以sinx＞0，因此，
令，則，
由g'（x）＝0，得，
當時，g'（x）＜0；當時，g'（x）＞0，
故g（x）在（0，）單調(diào)遞減，在（，π）單調(diào)遞增，
所以，
故．
21．已知橢圓C：＝1（b＞0）的左、右焦點分別為F1（﹣c，0）和F2（c，0），P為橢圓C上任意一點，三角形PF1F2面積的最大值是3．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若過點（2，0）的直線l交橢圓C于A，B兩點，且Q（，0），證明：?為定值．
解：（Ⅰ）由題意知c2＝6﹣b2.……………（1分）
當P點位于橢圓C短軸端點時，三角形PF1F2的面積S取最大值，此時． ……………
所以b2c2＝9，即b2（6﹣b2）＝9，解得b2＝3……………
故橢圓C的方程為． ……………
（Ⅱ）（方法1）當直線l的斜率不為0時，設直線l：x＝my+2交橢圓于A（x1，y1），B（x2，y2）．
由消去x得，（m2+2）y2+4my﹣2＝0．則．……………，所以＝＝．…………
當直線l的斜率為0時，，則．……………
故為定值，且為． ……………
（方法2）當直線l的斜率存在時，設直線l：y＝k（x﹣2）交橢圓于A（x1，y1），B（x2，y2）．
由消去y得，（2k2+1）x2﹣8k2x+8k2﹣6＝0．
則．……………
而．
所以
＝
＝．……………
當直線l的斜率不存在時，可求得A（2，1），B（﹣2，1），．…………
故為定值，且為． ……………
（二）選考題：共10分．請考生從第22，23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第題目計分．[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]
22．在直角坐標系xOy中，曲線C1：（θ為參數(shù)，常數(shù)r＞0）．以坐標原點為極點，x軸非負半軸為極軸建立極坐標系，并在兩坐標系中取相同的長度單位．曲線C2的極坐標方程為ρ2﹣8ρsinθ+15＝0．
（Ⅰ）若曲線C1與C2有公共點，求r的取值范圍；
（Ⅱ）若r＝1，過曲線C1上任意一點P作曲線C2的切線，切點為Q，求|PQ|的最小值．
解：（Ⅰ）曲線C1的普通方程為x2+y2＝r2（r＞0），
曲線C2的普通方程為x2+（y﹣4）2＝1
若C1與C2有公共點，則，
所以3≤r≤5．
（Ⅱ）設P（cosα，sinα），由，
得|PQ|2＝cos2α+（sinα﹣4）2﹣1＝16﹣8sinα≥16﹣8＝8．
當且僅當sinα＝1時取最大值，
故|PQ|的最小值為．
[選修4-5：不等式選講]（本小題滿分0分）
23．已知函數(shù)f（x）＝|3x+1|+|x﹣2|．
（Ⅰ）解不等式：f（x）＞5；
（Ⅱ）若關(guān)于x的不等式f（x）≥x2+m在[0，3]上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．
解：（Ⅰ）由|3x+1|+|x﹣2|＞5得，
或或，
解得x＜﹣1或1＜x＜2或x≥2，
故不等式f（x）＞5的解集為（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．
（Ⅱ）由題意知，當x∈[0，3]時，|3x+1|+|x﹣2|≥x2+m恒成立．
若0≤x＜2，則3x+1+2﹣x≥x2+m，可得m≤（﹣x2+2x+3）min＝3；
若2≤x≤3，則3x+1+x﹣2≥x2+m，m≤（﹣x2+4x﹣1）min＝2．
綜上可知，實數(shù)f（x）的取值范圍是（﹣∞，2]．


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