專題07 圓錐曲線的最值（范圍）問題-2022年高考數(shù)學(xué)圓錐曲線壓軸題專題突破（通用版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?專題7 圓錐曲線的最值（范圍）問題
圓錐曲線的最值（范圍）問題，因考查知識(shí)容量比較大，分析能力要求高，區(qū)分度高成為高考命題老師青睞的一個(gè)熱點(diǎn)。
關(guān)于圓錐曲線最值（范圍）問題處理常見有兩種方法：利用圓錐曲線的定義和幾何關(guān)系解決；利用基本不等式或函數(shù)最值問題解決。

方法1、利用定義法和幾何關(guān)系求最值
解題技巧:遇見橢圓和雙曲線中的最值問題常把到左焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為右焦點(diǎn)，反之也可以；遇見拋物線中的最值常把到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，反之也可以。
經(jīng)典例題：
例1.（2020年廣東省深圳四校聯(lián)考）希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A，B的距離之比為定值λ（λ≠1）的點(diǎn)的軌跡是圓”.后來，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(-2，1)，B(-2，4)，點(diǎn)P是滿足的阿氏圓上的任一點(diǎn)，則該阿氏圓的方程為___________________；若點(diǎn)Q為拋物線E：y2=4x上的動(dòng)點(diǎn)，Q在直線x=-1上的射影為H，則的最小值為___________.
【答案】
【解析】（1）利用直譯法直接求出P點(diǎn)的軌跡．（2）先利用阿氏圓的定義將轉(zhuǎn)化為P點(diǎn)到另一個(gè)定點(diǎn)的距離，然后結(jié)合拋物線的定義容易求得的最小值．
設(shè)P（x，y），由阿氏圓的定義可得
即化簡得
則設(shè)則由拋物線的定義可得
當(dāng)且僅當(dāng)四點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，
的最小值為故答案為：;.
【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的定義及幾何性質(zhì)，同時(shí)考查了阿氏圓定義的應(yīng)用．還考查了學(xué)生利用轉(zhuǎn)化思想、方程思想等思想方法解題的能力．難度較大．
例2、（2020年成都市外國語實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三二診模擬12題）已知點(diǎn)P在離心率為2的雙曲線的左支上，，F(xiàn)是雙曲線的右焦點(diǎn)，若周長的最小值是20，則此時(shí)的面積為（）
A． B． C． D．18
【答案】B
【解析】首先由雙曲線的定義可知周長的最小值等于，再根據(jù)離心率的值可求出雙曲線方程，求出直線與雙曲線聯(lián)立即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，最后利用即可求出面積.

設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，由題知：，.
周長.
當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào).所以.
所以，解得，雙曲線方程為.
，：.
,解得，代入，得
所以的坐標(biāo)為..故選：B
【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的性質(zhì)，同時(shí)考查了直線與雙曲線的位置關(guān)系，屬于難題.
例3、（2021江蘇高三期中）已知橢圓內(nèi)有兩點(diǎn)A（1，3），B（3，0），P為橢圓上一點(diǎn)，則的最大值為______.
【答案】15
【分析】根據(jù)橢圓的方程，算出它的焦點(diǎn)坐標(biāo)為B（3，0）和.因此連接，根據(jù)橢圓的定義得.再由三角形兩邊之差小于第三邊，得到當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P在延長線上時(shí)，達(dá)到最大值，從而得到本題答案.
【解析】∵橢圓方程為，∴焦點(diǎn)坐標(biāo)為B（3，0）和
連接，根據(jù)橢圓的定義，得，可得
因此

當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P在延長線上時(shí)，等號(hào)成立
綜上所述，可得的最大值為15

【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓相關(guān)距離的最值，變換得到是解題的關(guān)鍵.
例4.（2018年成都市高三模擬16題）已知是雙曲線的右頂點(diǎn)到其一條漸近線的距離等于，拋物線E:焦點(diǎn)與雙曲線C的右焦點(diǎn)重合，則拋物線上的動(dòng)點(diǎn)M到直線:的距離之和的最小值為．
【答案】2
【解析】雙曲線的漸近線方程為，右頂點(diǎn)到其一條漸近線的距離等于，
可得的，解得，即有。
由題意可得，解得，即有拋物線的方程為，
如圖，過點(diǎn)M作MA⊥l1于點(diǎn)A,作MA⊥準(zhǔn)線l2：x=-1于點(diǎn)C，連接MF，
根據(jù)拋物線的定義得MA+MC=MA+MF,設(shè)M到l1的距離為d1，M到l2的距離為d2
則d1 + d2=MA+MC=MA+MF,易知M,A,F三點(diǎn)共線時(shí)，MA+MF有最小值。
由焦點(diǎn)F（1,0）到直線l1的距離為2，即MA+MF的最小值為2 。
方法2、利用均值不等式或函數(shù)最值求最值(范圍)
方法技巧:合理引入變量（長度，角度，斜率等）根據(jù)已知條件建立函數(shù)關(guān)系求最值（范圍）或利用均值不等式求最值（范圍）。
例1．（2017新課標(biāo)Ⅰ12題）已知為拋物線：的焦點(diǎn)，過作兩條互相垂直的直線，，直線與交于、兩點(diǎn)，直線與交于、兩點(diǎn)，則的最小值為
A．16 B．14 C．12 D．10
【答案】A
【解析】解法一：由已知垂直于軸是不符合題意，所以的斜率存在設(shè)為，的斜率為，
設(shè)，，，，此時(shí)直線方程為，
聯(lián)立，得，∴
同理得由拋物線定義可知

當(dāng)且僅當(dāng)（或）時(shí)，取得等號(hào)．故答案選A
解法二：設(shè)傾斜角為．作垂直準(zhǔn)線，垂直軸，易知

；；
又DE與AB垂直，即DE的傾斜角為
而即：p=2；所以
當(dāng)取等號(hào)，即最小值為16.故選A
【名師點(diǎn)睛】對(duì)于拋物線弦長問題，要重點(diǎn)抓住拋物線定義，到定點(diǎn)的距離要想到轉(zhuǎn)化到準(zhǔn)線上，另外，直線與拋物線聯(lián)立，求判別式、韋達(dá)定理是通法，需要重點(diǎn)掌握.考查到最值問題時(shí)要能想到用函數(shù)方法進(jìn)行解決和基本不等式.
例2、(山東省日照市2019屆高三三模)在等腰梯形中，且，其中，以為焦點(diǎn)且過點(diǎn)的雙曲線的離心率為，以為焦點(diǎn)且過點(diǎn)的橢圓的離心率為，若對(duì)任意，不等式恒成立，則的最大值為（　　?。?br /> A．　　　　B．　　　　C．2　　　　D．
【答案】B
【解析】在等腰梯形ABCD中，
＝－＝,
由雙曲線的定義可得,
由橢圓的定義可得,
則＝．
令在上單調(diào)遞減，
所以，故選B．

例3、已知橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，，點(diǎn)是曲線與的一個(gè)公共點(diǎn)，，分別是和的離心率，若，則的最小值為（）
A． B．4 C． D．9
【答案】A
【解析】由題意設(shè)焦距為，橢圓長軸長為，雙曲線實(shí)軸為，
令在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義，①
由橢圓定義，②
又∵，∴，③
，得，④
將④代入③，得，
∴，故選A．
例4．（2018年衡水中學(xué)12題）已知過拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，且，拋物線的準(zhǔn)線與軸交于，于點(diǎn)，且四邊形的面積為，過的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，且，點(diǎn)為線段的垂直平分線與軸的交點(diǎn)，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】過作于，設(shè)直線與交點(diǎn)為，
由拋物線的性質(zhì)可知，，，
設(shè)，，則，即，∴．
又，∴，∴，∴，∴，
又，，∴，，∴，
∴直角梯形的面積為，解得，∴，
設(shè)，，∵，∴，
設(shè)直線代入到中得，
∴，，∴，由以上式子可得，
由可得遞增，即有，即，
又中點(diǎn)，∴直線的垂直平分線的方程為，
令，可得，故選A．
例5．（2019成都七中二診模擬12題）已知過點(diǎn)P（0，2）的直線l與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2），記，則的取值范圍是（　?。?br /> A.（2，+∞） B.（2，） C.（2，4） D. （2，]

【答案】D
【解析】如圖所示．當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+2．A（x1，y2），B（x2，y2）．
聯(lián)立y=kx+2和x2+2y2=2，化為（1+2k2）x2+8kx+6=0，
由題意：△＞0，即64k2-24（1+2k2）＞0，化為k2＞．（*）
∴x1+x2=，x1x2=．（**）
∵ ∴x1=λx2．與（**）聯(lián)立可得：
∵k2＞ ∴
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，A（0，1），B（0，-1），λ=，∴
綜上可得：故選：D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、向量的坐標(biāo)運(yùn)算、不等式的性質(zhì)，考查了靈活變形的能力，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．
例6．已知，是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，則橢圓和雙曲線的離心率乘積的最小值為___________.
【答案】
【分析】設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的半實(shí)軸長，焦距．由橢圓及雙曲線定義用，表示出，，在△中根據(jù)余弦定理可得到，與的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為離心率，再由基本不等式得結(jié)論．
【解析】如圖，設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的半實(shí)軸長為，
則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義：，，
，，設(shè)，，則：
在△中由余弦定理得，，
化簡得：，即，
又，，即，
即橢圓和雙曲線的離心率乘積的最小值為．故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查圓錐曲線的共同特征，考查通過橢圓與雙曲線的定義求焦點(diǎn)三角形三邊長，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)所得出的條件靈活變形，求出焦點(diǎn)三角形的邊長，屬于中檔題．

方法3、其他類型
技巧方法：利用題中的代數(shù)和幾何關(guān)系（如角度、向量、斜率等）或判別式等，建立不等式構(gòu)建最值或范圍。
例1、（2017新課標(biāo)1卷12題）設(shè)，是橢圓長軸的兩個(gè)端點(diǎn)，若上存在點(diǎn)滿足，則的取值范圍是（）.
A. B. C. D.
【答案】
【解析】因?yàn)樵谏洗嬖邳c(diǎn)，滿足，所以.
當(dāng)點(diǎn)位于短軸端點(diǎn)時(shí)，取得最大值.
① 當(dāng)時(shí)，如圖1所示，有，則，
所以，解得；

圖1 圖2 圖3
② 當(dāng)時(shí)，如圖2示，有，則，
所以，解得.
綜上可得，的取值范圍是.故選A.
評(píng)注：先研究“橢圓，是長軸兩端點(diǎn)，位于短軸端點(diǎn)時(shí)，最大”這一結(jié)論.
如圖3所示，因?yàn)?，所?
設(shè)，因?yàn)椋ㄖ悬c(diǎn)弦的一個(gè)結(jié)論），

（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)位于短軸端點(diǎn)處）.
例2．（2018衡水中學(xué)12題）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是雙曲線上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作雙曲線的兩條漸近線的平行線，分別與兩條漸近線交于，兩點(diǎn)，若四邊形（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為，且，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為（）
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由題易知四邊形為平行四邊形，且不妨設(shè)雙曲線的漸近線，，
設(shè)點(diǎn)，則直線的方程為，且點(diǎn)到的距離為，
由，解得，∴，
∴，∴，
又∵，∴，∴，
又，∴，雙曲線的方程為，∴，∴，，
∴，，∴，
即，又∵，，解得或
例3．（2020年綿陽市南山中學(xué)高三二診模擬12題）已知點(diǎn)是拋物線：準(zhǔn)線上的一點(diǎn)，點(diǎn)是的焦點(diǎn)，點(diǎn)在上且滿足，當(dāng)取最小值時(shí)，點(diǎn)恰好在以原點(diǎn)為中心，為焦點(diǎn)的雙曲線上，則該雙曲線的離心率為
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，所以，所以拋物線的方程為，
所以拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，
過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂直為，由拋物線的定義可知,
因?yàn)?，則，當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)，此時(shí)取得最小值，
設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，
聯(lián)立方程組，整理，由，解得，
此時(shí)直線的方程為，
由與拋物線方程聯(lián)立，解得點(diǎn)，
此時(shí)雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，且過點(diǎn)
根據(jù)雙曲線的定義可知，
所以，所以雙曲線的離心率為，故選A。
例4．（2020·全國高三月考）已知拋物線的焦點(diǎn)，直線過點(diǎn)且與拋物線相交于，兩點(diǎn)，，兩點(diǎn)在軸上的投影分別為，，若，則直線斜率的最大值是（）
A． B．2 C．3 D．
【答案】A
【分析】設(shè)直線方程為，聯(lián)立拋物線方程可得，設(shè)，，
則所以，
求解不等式即可得出答案.
【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)，所以設(shè)直線方程為，
由，設(shè)，，
則所以，
解得，所以直線斜率的最大值是.故選：A.
【點(diǎn)睛】本題考查了利用韋達(dá)定理研究直線和拋物線的關(guān)系，考查了根與系數(shù)的轉(zhuǎn)化思想，考查了計(jì)算能力，屬于難題.
例5．（2020·全國高三專題練習(xí)）一個(gè)工業(yè)凹槽的軸截面是雙曲線的一部分，它的方程是,在凹槽內(nèi)放入一個(gè)清潔鋼球（規(guī)則的球體），要求清潔鋼球能擦凈凹槽的最底部，則清潔鋼球的最大半徑為（）

A．1 B．2 C．3 D．2.5
【答案】A
【分析】根據(jù)清潔鋼球能擦凈凹槽的最底部的軸截面圖，只需圓與雙曲線的頂點(diǎn)相交，聯(lián)立圓與雙曲線方程，得到關(guān)于的一元二次方程，要滿足方程的根不能大于1，即可求解.
【詳解】清潔鋼球能擦凈凹槽的最底部時(shí)，軸截面如下圖所示，
圓心在雙曲線的對(duì)稱軸上，并與雙曲線的頂點(diǎn)相交，設(shè)半徑為，圓心為，
圓方程為：代入雙曲線方程，
得，要使清潔球到達(dá)底部，.故選:A

【點(diǎn)睛】本題考查圓錐曲線方程的實(shí)際應(yīng)用，關(guān)鍵要把實(shí)際問題抽象轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，屬于較難題.
例6．（2020·四川成都市·樹德中學(xué)高三月考）已知圓和兩點(diǎn)，.若圓上存在點(diǎn)，使得，則的最大值為（）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】B
【分析】由求出點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓，根據(jù)兩圓有公共點(diǎn)可得出的最大值.
【詳解】解：設(shè)因?yàn)?，所以點(diǎn)P在以線段為直徑的圓上，記該圓為圓，
即此時(shí)點(diǎn)P的方程為，又因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，故圓與圓有公共點(diǎn)，
故得到，解得：，故，故選B.
【點(diǎn)睛】本題考查了軌跡思想，考查了兩圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為軌跡方程，從而解決問題.

課后訓(xùn)練
1.（2020年河北省高三模擬10題）唐代詩人李顧的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河?！痹娭须[含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題一“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在區(qū)域?yàn)?，若將軍從點(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，并假定將軍只要到達(dá)軍營所在區(qū)域即回到軍營，則“將軍飲馬”的最短總路程為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】求出關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，根據(jù)題意，為最短距離，求出即可.
設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，設(shè)軍營所在區(qū)域?yàn)榈膱A心為，
根據(jù)題意，為最短距離，先求出的坐標(biāo)，
的中點(diǎn)為，直線的斜率為1，故直線為，
由，聯(lián)立得故，，所以，
故，故選：A.
2、（2019年衡水中學(xué)高三模擬）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，虛軸的上端點(diǎn)為為左支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若周長的最小值等于實(shí)軸長的倍，則該雙曲線的離心率為（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先通過分析得到當(dāng)且僅當(dāng)共線，周長取得最小值，且為可得解方程即得解.
【解析】由題意可得設(shè)由雙曲線的定義可得，

則的周長為
當(dāng)且僅當(dāng)共線，取得最小值，且為
由題意可得即，即則故選

【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的定義和簡單幾何性質(zhì)，考查雙曲線的離心率的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理計(jì)算能力.
3、（2019年湖南省郴州市檢測(cè)12題）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、,點(diǎn)是橢圓與圓在第一象限的交點(diǎn), 且點(diǎn)到的距離等于.若橢圓上一動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)與到點(diǎn)的距離之差的最大值為,則橢圓的離心率為
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設(shè)點(diǎn)為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，
則．
當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最大值，此時(shí)．
又，所以點(diǎn)是線段上靠近的一個(gè)三等分點(diǎn)，
所以，代入橢圓方程，得，
即，解得，即，故選B．
4、已知點(diǎn)，曲線，直線 (且)與曲線C交于兩點(diǎn)，若周長的最小值為2，則p的值為( )
A.8 B.6 C.4 D.2
【答案】B
【解析】易知曲線C是由兩拋物線和構(gòu)成，如圖，設(shè)MN與y軸的交點(diǎn)為D，拋物線的焦點(diǎn)為F,
連接.即，則,的周長,當(dāng)且僅當(dāng)M,R,F三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，故,所以.

5．（2018年成都市高三診斷改編）已知是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)橢圓方程為，雙曲線的方程為，半焦距為c，由面積公式得，所以，令，
所以，即橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為．
考點(diǎn)：?離心率的表示方法?焦點(diǎn)三角形的面積公式
6、（2016年四川省涼山州高三二診12題）已知是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)橢圓的長半軸為，雙曲線的實(shí)半軸為，（），半焦距為，
由橢圓和雙曲線的定義可知，設(shè) 橢圓和雙曲線的離心率分別為
∵，則由余弦定理可得，①
在橢圓中，①化簡為即 …②，
在雙曲線中，①化簡為即 …③，
由柯西不等式得故選B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓和雙曲線的定義和性質(zhì)，利用余弦定理和柯西不等式是解決本題的關(guān)鍵．
7．（2019屆重慶市第一中學(xué)月考12題）已知是雙曲線的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交的右支于不同兩點(diǎn)，過點(diǎn)且垂直于直線的直線交軸于點(diǎn)，則的取值范圍是（　　?。?br /> A．　　　 B．　　　C．　　　D．
【答案】B
【解析】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，，，，
則，故排除A；
當(dāng)時(shí)，直線為，直線為，，
設(shè)，聯(lián)立得，化簡得，
由韋達(dá)定理得，故，，
故，故排除C，D，故選B
8、（2014年新課標(biāo)16題）設(shè)點(diǎn)，若在圓：上存在點(diǎn)，使得，則的取值范圍是 .
解析解法一：依題意，若圓上存在點(diǎn)，使得，
如圖所示.因?yàn)?，所以?br /> 因此，即，
得，故，解得.所以的取值范圍是.

解法二：在中，由，據(jù)正弦定理得，
即.又，所以，
得，解得.所以的取值范圍是.
9．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)和圓C′：x2＋y2＝b2，M是橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)，過M向圓作的兩條切線MA，MB，切點(diǎn)為A，B.若存在點(diǎn)M使∠AMB＝，則橢圓C的離心率e的取值范圍是(　　)
A. B． C. D．

解析：選C.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若存在點(diǎn)M使∠AMB＝，經(jīng)分析知，只需∠AMB的最小角小于或等于，即只需∠AMO≤，
此時(shí)點(diǎn)M為橢圓長軸的端點(diǎn)，畫出大致圖形如圖所示．
連接AO，BO，則在Rt△AOM中，sin∠AMO＝＝，
所以sin∠AMO≤sin ，即≤，
所以≤，所以≤，即1－e2≤，解得e≥，又e

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