專題05 圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)問題-2022年高考數(shù)學(xué)圓錐曲線壓軸題專題突破（通用版）

這是一份專題05 圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)問題-2022年高考數(shù)學(xué)圓錐曲線壓軸題專題突破（通用版），文件包含專題05圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)問題-2022年高考數(shù)學(xué)圓錐曲線壓軸題專題突破通用版解析版docx、專題05圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)問題-2022年高考數(shù)學(xué)圓錐曲線壓軸題專題突破通用版原卷版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共37頁， 歡迎下載使用。
?專題5、圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)
從近幾年圓錐曲線的命題風(fēng)格看，既注重知識又注重能力，既突出圓錐曲線的本質(zhì)特征。而現(xiàn)在圓錐曲線中面積、弦長、最值等幾乎成為研究的常規(guī)問題。從八省聯(lián)考的趨勢看圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)和新定義問題必將在高考占一席之地。因此在高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，通過讓學(xué)生研究圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)和新定義的相關(guān)問題，快速提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，增強學(xué)生的信心，備戰(zhàn)高考．

1）橢圓的光學(xué)性質(zhì)：
1．（2020.河北衡水中學(xué)高三模擬）人造地球衛(wèi)星繞地球運行遵循開普勒行星運動定律:如圖，衛(wèi)星在以地球的中心為焦點的橢圓軌道上繞地球運行時，其運行速度是變化的，速度的變化服從面積守恒規(guī)律，即衛(wèi)星的向徑(衛(wèi)星與地心的連線)在相同的時間內(nèi)掃過的面積相等設(shè)該橢圓的長軸長、焦距分別為，.某同學(xué)根據(jù)所學(xué)知識，得到下列結(jié)論:

①衛(wèi)星向徑的取值范圍是;②衛(wèi)星向徑的最小值與最大值的比值越大，橢圓軌道越扁
③衛(wèi)星在左半橢圓弧的運行時間大于其在右半橢圓弧的運行時間;④衛(wèi)星運行速度在近地點時最小，在遠(yuǎn)地點時最大.其中正確的結(jié)論是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．①③④
【答案】B
【分析】①根據(jù)橢圓的簡單幾何性質(zhì)可知衛(wèi)星向徑的最小值和最大值分別為什么；
②根據(jù)向徑的最小值與最大值的比值，結(jié)合橢圓的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
③根據(jù)在相同的時間內(nèi)掃過的面積相等，即可判斷
④根據(jù)題意結(jié)合橢圓的圖形知衛(wèi)星運行速度在近地點時最大，在遠(yuǎn)地點時最小．
【解析】如圖所示，對于①，衛(wèi)星向徑的最小值為，最大值為，①正確；
對于②，衛(wèi)星向徑的最小值與最大值的比值為，越小，就越大，就越小，橢圓軌道越扁，②錯誤；

對于③，根據(jù)在相同的時間內(nèi)掃過的面積相等，衛(wèi)星在左半橢圓弧的運行時間大于其在右半橢圓弧的運行時間，③正確；對于④，衛(wèi)星運行速度在近地點時最大，在遠(yuǎn)地點時最小，④錯誤；
綜上，正確結(jié)論的序號是①③，共2個．故選．
【點睛】本題考查橢圓的相關(guān)性質(zhì)，以及物理學(xué)中開普勒定律的理解，屬于基礎(chǔ)題．
2．（2021·全國高三模擬）如圖所示，橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點.根據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)解決下題：已知曲線的方程為，其左、右焦點分別是，，直線與橢圓切于點，且，過點且與直線垂直的直線與橢圓長軸交于點，則（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由橢圓的光學(xué)性質(zhì)得到直線平分角，
因為
由，得到，故 .故答案為C.
3．（2020·成都七中高三模擬）橢圓有如下光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點射出的光線，經(jīng)橢圓反射，其反射光線必經(jīng)過橢圓的另一焦點，已知橢圓，其長軸的長為，焦距為，若一條光線從橢圓的左焦點出發(fā)，第一次回到左焦點所經(jīng)過的路程為，則橢圓的離心率為_____.
【答案】或或
【分析】由題意結(jié)合橢圓的定義分類討論確定橢圓的離心率即可.
【解析】依據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)，光線從左焦點出發(fā)后，有如圖1，圖2，圖3所示的三種路徑．
路徑一，4a=5c，則e=；路徑二，2（a-c）=5c，則e=；路徑三，2（a+c）=5c，則.
故橢圓C的離心率為或或.

【點睛】本題主要考查橢圓離心率的求解，分類討論的數(shù)學(xué)思想等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.

2）雙曲線的光學(xué)性質(zhì)
1．（2020·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)高三月考）智慧的人們在進行工業(yè)設(shè)計時，巧妙地利用了圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，比如電影放映機利用橢圓鏡面反射出聚焦光線，探照燈利用拋物線鏡面反射出平行光線.如圖，從雙曲線右焦點發(fā)出的光線通過雙曲線鏡面反射出發(fā)散光線，且反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點.已知雙曲線的離心率為，則當(dāng)入射光線和反射光線互和垂直時(其中為入射點)，的大小為（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先利用雙曲線的離心率為，得到，不妨設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，設(shè)，利用雙曲線的定義得到的長，直角三角形中利用勾股定理求出，求出即可得出結(jié)果.
【詳解】因為，所以，，
不妨設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，設(shè)，則.
所以，解得(已舍去).
所以，所以.故選：D.
【點睛】本題主要考查了利用雙曲線的相關(guān)知識解決實際問題.屬于較易題.
2．（2020·福建高三期末）光線從橢圓的一個焦點發(fā)出，被橢圓反射后會經(jīng)過橢圓的另一個焦點；光線從雙曲線的一個焦點發(fā)出，被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個焦點射出.如圖，一個光學(xué)裝置由有公共焦點，的橢圓與雙曲線構(gòu)成，現(xiàn)一光線從左焦點發(fā)出，依次經(jīng)與反射，又回到了點，歷時秒；若將裝置中的去掉，此光線從點發(fā)出，經(jīng)兩次反射后又回到了點，歷時秒；若，則與的離心率之比為（ ）
A． B． C． D．

【答案】B
【分析】根據(jù)橢圓和雙曲線的定義，分別列出關(guān)系式再做差，得出橢圓雙曲線“復(fù)合”光學(xué)裝置中光線路程；然后計算單橢圓光學(xué)裝置中光線路程，兩者相比可得出橢圓長半軸和雙曲線實半軸的關(guān)系，即可得兩離心率的關(guān)系.
【解析】解：如圖，由雙曲線定義得： ①，

由橢圓定義得： ②，②-①得：；
所以橢圓雙曲線“復(fù)合”光學(xué)裝置中，光線從出發(fā)到回到左焦點走過的路程為
對于單橢圓光學(xué)裝置，光線經(jīng)過2次反射后回到左焦點，路程為
；
由于兩次光速相同，路程比等于時間比，所以，所以.
所以.故選B.
【點睛】本題考查對圓錐曲線的定義的掌握與應(yīng)用能力、識圖能力、閱讀及文字理解能力，屬于基礎(chǔ)題.
3．（2020·安徽省高三期末）光線被曲線反射，等效于被曲線在反射點處的切線反射．已知光線從橢圓的一個焦點出發(fā)，被橢圓反射后要回到橢圓的另一個焦點；光線從雙曲線的一個焦點出發(fā)被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個焦點發(fā)出；橢圓與雙曲線有公共焦點（如圖），現(xiàn)一光線從它們的左焦點出發(fā)，在橢圓與雙曲線間連續(xù)反射，則光線經(jīng)過次反射后回到左焦點所經(jīng)過的路徑長為 （ ）

A． B． C． D．
【答案】D
分析：根據(jù)題意，可知光線從左焦點出發(fā)經(jīng)過橢圓反射要回到另一個焦點，光線從雙曲線的左焦點出發(fā)被雙曲線反射后，反射光線的反向延長線過另一個焦點，從而可計算光線經(jīng)過2k（k∈N*）次反射后回到左焦點所經(jīng)過的路徑長．

【解析】因為光線被曲線反射，等效于被曲線在反射點處的切線反射．已知光線從橢圓的一個焦點出發(fā)，被橢圓反射后要回到橢圓的另一個焦點；光線從雙曲線的一個焦點出發(fā)被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個焦點發(fā)出
所以，光線從左焦點出發(fā)經(jīng)過橢圓反射要回到另一個焦點，光線從雙曲線的左焦點出發(fā)被雙曲線反射后，反射光線的反向延長線過另一個焦點
如圖，AF2=2m+AF1，BF1+BA+AF1=2a-AF2+AF1=2a-（2m+AF1）+AF1=2a-2m
所以光線經(jīng)過2k（k∈N*）次反射后回到左焦點所經(jīng)過的路徑長為2k（a-m）故選D．
4．（2020·廣東省高三模擬）閱讀下列材料，解決數(shù)學(xué)問題．圓錐曲線具有非常漂亮的光學(xué)性質(zhì)，被人們廣泛地應(yīng)用于各種設(shè)計之中，比如橢圓鏡面用來制作電影放映機的聚光燈，拋物面用來制作探照燈等，它們的截面分別是橢圓和拋物線．雙曲線也具有非常好的光學(xué)性質(zhì)，從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線是發(fā)散的，它們好像是從另一個焦點射出的一樣，如圖（1）所示．反比例函數(shù)的圖像是以直線為軸，以坐標(biāo)軸為漸近線的等軸雙曲線，記作C．(Ⅰ)求曲線C的離心率及焦點坐標(biāo)；(Ⅱ)如圖（2），從曲線C的焦點F處發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線反射后得到的反射光線與入射光線垂直，求入射光線的方程．

【答案】(Ⅰ)答案見解析；(Ⅱ).
【分析】(Ⅰ)由題意聯(lián)立直線方程與雙曲線方程確定a,b,c的值即可確定焦點坐標(biāo)和離心率；
(Ⅱ)由題意首先確定直線與反比例函數(shù)的交點坐標(biāo)，然后結(jié)合點的坐標(biāo)求解直線方程即可.
【解析】 (Ⅰ)聯(lián)立直線方程與反比例函數(shù)可得雙曲線的頂點坐標(biāo)為，，
結(jié)合題意可得：，，則離心率，
且，故焦點坐標(biāo)為，.
(Ⅱ)設(shè)入射光線與反比例函數(shù)的交點坐標(biāo)為，由可得：
，整理可得：，
則，很明顯，故，
則，原問題等價于求解直線PF的方程，
計算可得其方程為：.
【點睛】本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，雙曲線離心率的求解，雙曲線的光學(xué)性質(zhì)等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.

3）拋物線的光學(xué)性質(zhì)
1．（2020·綏陽縣綏陽中學(xué)高考模擬）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：過焦點的光線（光線不同過拋物線對稱軸上任意兩點）經(jīng)拋物線反射后平行于拋物線的對稱軸；平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點.若一條平行于軸的光線從射出，經(jīng)過拋物線上過的點反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點反射出，則直線的斜率為
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出A點坐標(biāo)，根據(jù)光學(xué)性質(zhì)可知直線AB經(jīng)過焦點，從而得到結(jié)果.
【解析】代入解，得.即.由拋物線的光學(xué)性質(zhì)知，直線經(jīng)過焦點，
所以直線的斜率.故選A.
【點睛】本題考查拋物線的光學(xué)性質(zhì)，考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線的斜率的求法，屬于基礎(chǔ)題.
2．（2020·山東高三）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：過焦點的光線經(jīng)拋物線反射后得到的光線平行于拋物線的對稱軸；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點．已知拋物線的焦點為F，一條平行于x軸的光線從點射出，經(jīng)過拋物線上的點A反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點B射出，則的周長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題中光學(xué)性質(zhì)作出圖示，先求解出點坐標(biāo)以及直線的方程，從而聯(lián)立直線與拋物線方程求解出點坐標(biāo)，再根據(jù)焦半徑公式以及點到點的距離公式求解出的三邊長度，從而周長可求.
【詳解】如下圖所示：因為，所以，所以，所以，
又因為，所以，即，
又，所以，所以或，
所以，所以，所以，
又因為，，，
所以的周長為：，故選：B.

【點睛】結(jié)論點睛：拋物線的焦半徑公式如下：（為焦準(zhǔn)距）
（1）焦點在軸正半軸，拋物線上任意一點，則；
（2）焦點在軸負(fù)半軸，拋物線上任意一點，則；
（3）焦點在軸正半軸，拋物線上任意一點，則；
（4）焦點在軸負(fù)半軸，拋物線上任意一點，則.
3．（2020·湖南高三（文））拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出.現(xiàn)有拋物線，如圖一平行于軸的光線射向拋物線，經(jīng)兩次反射后沿平行軸方向射出，若兩平行光線間的最小距離為4，則該拋物線的方程為__________．

【答案】
【分析】先由題意得到必過拋物線的焦點，設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，表示出弦長，再根據(jù)兩平行線間的最小距離時，最短，進而可得出結(jié)果.
【解析】由拋物線的光學(xué)性質(zhì)可得：必過拋物線的焦點，
當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)的方程為，，
由得：，整理得，
所以，，所以；
當(dāng)直線斜率不存在時，易得；綜上，當(dāng)直線與軸垂直時，弦長最短，
又因為兩平行光線間的最小距離為4，最小時，兩平行線間的距離最?。?br /> 因此，所求方程為.故答案為
【點睛】本題主要考查直線與拋物線位置關(guān)系，通常需要聯(lián)立直線與拋物線方程，結(jié)合韋達定理、
弦長公式等求解，屬于?？碱}型.
4．（2020·重慶高三月考）光學(xué)是當(dāng)今科技的前沿和最活躍的領(lǐng)域之一，拋物線有如下光學(xué)性質(zhì):由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出，今有拋物線，一平行于軸的光線從上方射向拋物線上的點，經(jīng)拋物線2次反射后，又沿平行于軸方向射出，若兩平行光線間的最小距離為8. （1）求拋物線的方程；（2）若直線與拋物線交于，兩點，以點為頂點作，使的外接圓圓心的坐標(biāo)為，求弦的長度.

【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由題意設(shè)直線方程為：，，然后直線方程與拋物線方程聯(lián)立成方程組，運用韋達定理得，，而兩平行光線距離，由此得，進而得拋物線的方程；（2）設(shè)，，，中點，然后直線與拋物線方程聯(lián)立方程組消元后利用韋達定理得，，再由得斜率乘積等于，列方程可求出的值，再利用弦長公式可求得結(jié)果
【詳解】（1）設(shè)，，∵，設(shè)直線方程為：，，
由，得，∴，，
則兩平行光線距離，∴，故拋物線方程為.
（2）設(shè)，，，中點
由，得，，∴，，
∵， ∴，即 ，解得，
∴，，∴.
【點睛】此題考查拋物線方程的求法，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達定理的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中檔題

4）圓錐曲線的新定義問題
1．（2020·內(nèi)蒙古高三期末）一般地，我們把離心率為的橢圓稱為“黃金橢圓”．對于下列命題：
①橢圓是黃金橢圓；②若橢圓是黃金橢圓，則；
③在中，，且點在以為焦點的黃金橢圓上，則的周長為；
④過黃金橢圓的右焦點作垂直于長軸的垂線，交橢圓于兩點，則
；⑤設(shè)是黃金橢圓的兩個焦點，則橢圓上滿足的點不存在．其中所有正確命題的序號是______．（把你認(rèn)為正確命題的序號都填上）
【答案】③④⑤
【解析】對①，，①不正確；對②，若焦點在軸上，則，解得，若焦點在軸上，則，解得，②不正確；對③，，，，③正確；對④，，④正確；對⑤，設(shè)，則，而，所以
，與聯(lián)立無實數(shù)解．因此橢圓上滿足的點不存在，⑤正確，故答案為③④⑤.
考點：1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2、橢圓的定義和簡單性質(zhì).
【方法點睛】本題通過新定義“黃金橢圓”主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的定義及簡單性質(zhì)，屬于難題.遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗證、運算，使問題得以解決.本題五個命題都圍繞“黃金橢圓”的離心率為這一重要性質(zhì)展開的，只要能正確運用這一條件，問題就能迎刃而解.
2．已知橢圓：，其焦距為，若，則稱橢圓為“黃金橢圓”.黃金橢圓有如下性質(zhì)：“黃金橢圓”的左、右焦點分別是，，以,，，為頂點的菱形的內(nèi)切圓過焦點，.
（1）類比“黃金橢圓”的定義，試寫出“黃金雙曲線”的定義；
（2）類比“黃金橢圓”的性質(zhì)，試寫出“黃金雙曲線”的性質(zhì)，并加以證明.
【答案】（1）見解析（2）見解析
分析：（1）“黃金雙曲線“的離心率為的倒數(shù)）．
（2）把橢圓結(jié)論中點與交換位置得雙曲線的性質(zhì)．
【解析】（1）黃金雙曲線的定義：已知雙曲線：，其焦距為，若（或?qū)懗桑?，則稱雙曲線為“黃金雙曲線”.
（2）在黃金雙曲線的性質(zhì)：已知黃金雙曲線：的左、右焦點分別是、，
以、、、為頂點的菱形的內(nèi)切圓過頂點、.
證明：直線的方程為，原點到該直線的距離，
由及，得 ，
將代入，得，又將代入，化簡得，
故直線與圓相切，同理可證直線、均與圓相切，即以、的直徑的圓為菱形的內(nèi)切圓，命題得證.
點睛：本題考查類比推理．類比推理不是把類比對象的結(jié)論一字不改直接拿來，而是要根據(jù)具體情況具體分析，適當(dāng)修改．如雙曲線的離心率大于1，因此類比時可得“黃金雙曲線”的離心率為黃金比的倒數(shù)即，又橢圓中，雙曲線中，因此橢圓結(jié)論中焦點到頂點的位置在雙曲線中要交換，才可能正確．當(dāng)然解題方法可類似得出．
3．（2020.北京市高三模擬）如果從北大打車到北京車站去接人，聰明的專家一定會選擇走四環(huán)。雖然從城中間直穿過去看上去很誘人，但考慮到北京的道路幾乎總是正南正北的方向，事實上不會真有人認(rèn)為這樣走能抄近路。在城市中，專家估算兩點之間的距離時，不會直接去測量兩點之間的直線距離，而會去考慮它們相距多少個街區(qū)。在理想模型中，假設(shè)每條道路都是水平或者豎直的，那么只要你朝著目標(biāo)走（不故意繞遠(yuǎn)路），不管你這樣走，花費的路程都是一樣的。出租車幾何學(xué)（taxicab geometry），所謂的“出租車幾何學(xué)”是由十九世紀(jì)的另一位真專家赫爾曼-閔可夫斯基所創(chuàng)立的。在出租車幾何學(xué)中，點還是形如的有序?qū)崝?shù)對，直線還是滿足的所有組成的圖形，角度大小的定義也和原來一樣。只是直角坐標(biāo)系內(nèi)任意兩點，定義它們之間的一種“距離”：，請解決以下問題：（1）定義：“圓”是所有到定點“距離”為定值的點組成的圖形，求“圓周”上的所有點到點的“距離”均為的“圓”方程，并作出大致圖像；（2）在出租車幾何學(xué)中，到兩點、“距離”相等的點的軌跡稱為線段的“垂直平分線”，已知點，，；
①寫出在線段的“垂直平分線”的軌跡方程，并寫出大致圖像；
②求證：三邊的“垂直平分線”交于一點（該點稱為的“外心”），并求出的“外心”.
【答案】（1）；（2），若，則；若，則；若，則；②證明略，“外心”
【分析】（1）利用“圓”的概念，能夠求出“圓周”上的所有點到點的“距離”均為的“圓”的方程；（2）①由已知條件，得，由此能夠求出線段的垂直平分線的軌跡方程并畫出大致圖象；②設(shè)三角形“外心”坐標(biāo)為，由結(jié)合絕對值的性質(zhì)，求得點的坐標(biāo)．
【詳解】（1）“圓”是所有到定點“距離”為定值的點組成的圖形，
“圓周”上的所有點到點的“距離”均為， “圓”方程為：；

（2）①由題意知，設(shè)到兩點距離相等的點的坐標(biāo)為，
則.
（?。┊?dāng)時，去絕對值符號得：
整理得，顯然或時，該方程無解.
當(dāng)時，去絕對值符號得：，整理得：，解得.
則此情況下，與的關(guān)系為.
（ⅱ）當(dāng)時，去絕對值符號得
整理得
當(dāng)時，去絕對值符號得：即
當(dāng)時，去絕對值符號得：，舍去；
當(dāng)時，去絕對值符號得：，舍去；
所以此情況下，與的關(guān)系為.
（ⅲ）當(dāng)時，去絕對值符號得：，
整理得，顯然或時，該方程無解.
當(dāng)時，去絕對值符號得：，解得.所以.
綜上所述，到兩點距離相等的坐標(biāo)為的點的軌跡方程，即線段的垂直平分線的方程為：當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，.

②由題意知
由知到點距離相等的點的坐標(biāo)為滿足：
即，解得.故線段的垂直平分線的方程為.
由知到點距離相等的點的坐標(biāo)為滿足：
解得：.故線段的垂直平分線的方程為.
則線段的垂直平分線與線段的垂直平分線的唯一交點坐標(biāo)為.
由（2）①知，當(dāng)時，即線段的垂直平分線也經(jīng)過點.
所以三邊的“垂直平分線”交于一點，且．
【點睛】本題考查了新定義的應(yīng)用問題，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化，是難題．

課后訓(xùn)練：
1．（2020·河北辛集中學(xué)高三月考）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：過焦點的光線經(jīng)拋物線反射后得到的光線平行于拋物線的對稱軸；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點.已知拋物線的焦點為，一條平行于軸的光線從點射出，經(jīng)過拋物線上的點反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點射出，則的周長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】拋物線方程中：令可得，即，
結(jié)合拋物線的光學(xué)性質(zhì)，AB經(jīng)過焦點F，設(shè)執(zhí)行AB的方程為，
與拋物線方程聯(lián)立可得：，據(jù)此可得：，
且：，將代入可得，故，
故,
故△ABM的周長為,本題選擇D選項.
2．（2020·湖南高三（文））拋物線有如下光學(xué)性質(zhì):由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出，今有拋物線，如圖，一平行軸的光線射向拋物線上的點，經(jīng)過拋物線的焦點反射后射向拋物線上的點，再反射后又沿平行軸方向射出，若兩平行光線間的最小距離為6，則此拋物線的方程為_______.

【答案】
【分析】聯(lián)立直線與拋物線方程，消去得到關(guān)于的方程，利用韋達定理得到的值，然后表示兩平行光線距離，并求出其最小值為，而由題意可知最小值為，從而得到，拋物線方程得解.
【詳解】設(shè)，設(shè)兩平行光距離為，由題意可知，，
因為，而直線過點，則設(shè)直線方程為：，
因為，消去得，由韋達定理可得，
則，所以，故拋物線方程為.
【點睛】本題主要考查了拋物線方程的求解，涉及到韋達定理的應(yīng)用，屬于難題.對于涉及到直線與曲線相關(guān)的距離問題，常常運用到韋達定理以及弦長公式進行求解.
3．（2021·湖北高二期中）綜合應(yīng)用拋物線和雙曲線的光學(xué)性質(zhì)，可以設(shè)計制造反射式天文望遠(yuǎn)鏡.這種望遠(yuǎn)鏡的特點是，鏡筒可以很短而觀察天體運動又很清楚，例如，某天文儀器廠設(shè)計制造的一種反射式望遠(yuǎn)鏡，其光學(xué)系統(tǒng)的原理如圖（中心截口示意圖）所示，其中，一個反射鏡弧所在的曲線為拋物線，另一個反射鏡弧所在的曲線為雙曲線的一個分支，已知、是雙曲線的兩個焦點，其中同時又是拋物線的焦點，也是雙曲線的左頂點.若在如圖所示的坐標(biāo)系下，弧所在的曲線方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，試根據(jù)圖示尺寸（單位：cm），寫出反射鏡弧所在的拋物線方程為_________.

【答案】
【解析】由題意知：連接的直線為軸，線段的中點為原點.
對于拋物線，有,所以，.
因為雙曲線的實軸長為 因為拋物線的頂點橫坐標(biāo)是.
所以，所求拋物線的方程為.
4．（2020·樂清市知臨中學(xué)高二期末）橢圓滿足這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點發(fā)射光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點.現(xiàn)在設(shè)有一個水平放置的橢圓形臺球盤，滿足方程：，點A、B是它的兩個焦點，當(dāng)靜止的小球放在點A處，從點A沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后，再回到點A時，小球經(jīng)過的最短路程是（ ）.
A．20 B．18 C．16 D．以上均有可能
【答案】C
【分析】根據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)可知，小球從點A沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈到B點繼續(xù)前行碰橢圓壁后回到A點，所走的軌跡正好是兩次橢圓上的點到兩焦點距離之和，進而根據(jù)橢圓的定義可求得答案．
【解析】依題意可知小球經(jīng)兩次橢圓壁后反彈后回到A點，
根據(jù)橢圓的性質(zhì)可知所走的路程正好是4a=4×4=16故選：C．
【點睛】本題主要考查了橢圓的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是利用了橢圓的第一定義,是基礎(chǔ)題.
5．（2020·廣東高三月考）橢圓滿足這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點發(fā)射光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點?，F(xiàn)在設(shè)有一個水平放置的橢圓形臺球盤，滿足方程：， 點是它的兩個焦點，當(dāng)靜止的小球放在點處，從點沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后，再回到點時，小球經(jīng)過的最長路程是（ ）
A．20 B．18 C．16 D．14
【答案】C
【解析】試題分析：依題意可知小球經(jīng)兩次橢圓壁后反彈后回到A點，
根據(jù)橢圓的性質(zhì)可知所走的路程正好是4a=4×4=16
考點：橢圓的應(yīng)用
6．（2020·山西高三期末）橢圓具有如下的光學(xué)性質(zhì)：從一個焦點發(fā)出的光線經(jīng)過橢圓內(nèi)壁反射后恰好穿過另一個焦點．現(xiàn)從橢圓的左焦點發(fā)出的一條光線，經(jīng)過橢圓內(nèi)壁兩次反射后，回到點，則光線所經(jīng)過的總路程為______．
【答案】12
【解析】光線所經(jīng)過的總路程為
7．沿直線y＝－2發(fā)出的光線經(jīng)拋物線y2＝ax反射后，與x軸相交于點A(2,0)，則拋物線的準(zhǔn)線方程為____．(提示：拋物線的光學(xué)性質(zhì)：從焦點發(fā)出的光線經(jīng)拋物線反射后與軸平行)
【答案】x＝－2
【分析】由拋物線的光學(xué)性質(zhì)可判斷為焦點,由拋物線的性質(zhì)可求準(zhǔn)線方程.
【詳解】由直線平行于拋物線的對稱軸知為焦點，故準(zhǔn)線方程為.
【點睛】本題考查拋物線準(zhǔn)線方程的求法，熟練掌握拋物線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
8．橢圓有如下光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點射出的光線，經(jīng)橢圓反射，其反射光線必經(jīng)過橢圓的另一個焦點，已知橢圓長軸長為，焦距為，若一條光線從橢圓的左焦點出發(fā)，第一次回到該焦點所經(jīng)過的路程為，則橢圓的離心率為______.
【答案】或或
【分析】分析出光線的三種路徑，分別求解即可.
【詳解】依據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)，光線從左焦點出發(fā)后，有以下三種可能：

對第一種路徑：，解得離心率
對第二種路徑：，解得離心率
對第三種路徑：，解得離心率
故答案為：或或
【點睛】本題考查橢圓的性質(zhì)，重點是分析出其路徑.
9．橢圓具有這樣的光學(xué)性質(zhì):從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線,經(jīng)橢圓反射后,反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點.今有一個水平放置的橢圓形臺球盤,點A、B是它的焦點,長軸長為2a,焦距為2c,靜放在點A的小球(小球的半徑忽略不計)從點A沿直線出發(fā),經(jīng)橢圓壁反射后第一次回到點A時,小球經(jīng)過的路程是_____________.
【答案】4a或2(a－c)或2(a+c)
【解析】假設(shè)長軸在x軸，短軸在y軸，設(shè)A為左焦點，B是它的右焦點，以下分為三種情況：（1）球從A沿x軸向左直線運動，碰到左頂點必然原路反彈，這時第一次回到A路程是2（a-c）；（2 ）球從A沿x軸向右直線運動，碰到右頂點必然原路反彈，這時第一次回到A路程是2（a+c）；（3）球從A不沿x軸斜向上（或向下）運動，碰到橢圓上的點C，反彈后經(jīng)過橢圓的另一個焦點B，再彈到橢圓上一點D，經(jīng)D反彈后經(jīng)過點A．此時小球經(jīng)過的路程是4a．綜上所述，從點A沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反射后第一次回到點A時，小球經(jīng)過的路程是4a或2（a-c）或2（a+c）．故答案為4a或2（a-c）或2（a+c）．
考點：橢圓的簡單性質(zhì)．
10．拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：過焦點的光線經(jīng)拋物線反射后得到的光線平行于拋物線的對稱軸；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必經(jīng)拋物線的焦點，已知拋物線的焦點為，一條平行于軸的光線從點射出，經(jīng)過拋物線上的點反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點射出，則的長度為__________．
【答案】
【分析】根據(jù)題意求出點A的坐標(biāo)，利用直線AB過拋物線的焦點，求出直線AB的方程，聯(lián)立直線AB的方程與拋物線的方程，求得點B的坐標(biāo)，即可求得.
【詳解】根據(jù)題意可得：，又直線AB過拋物線的焦點，
則直線AB的方程為：，整理得：，
聯(lián)立，解得：或，所點B的坐標(biāo)為，
所以==．故填：
【點睛】本題主要考查了直線方程及直線與拋物線的交點問題、兩點距離公式．
11.（2020·湖北省高三期中）橢圓有一條光學(xué)性質(zhì)：從橢圓一個焦點出發(fā)的光線，經(jīng)過橢圓反射后，一定經(jīng)過另一個焦點.假設(shè)光線沿直線傳播且在傳播過程中不會衰減，橢圓的方程為，則光線從橢圓一個焦點出發(fā)，到首次回到該焦點所經(jīng)過的路程不可能為（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】先根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出,,再根據(jù)光線路徑分三種情況討論即可得出結(jié)果.
【詳解】解: 由題意可得,, ,所以,.
①若光線從橢圓一個焦點沿軸方向出發(fā)到長軸端點(較近的)再反射,則所經(jīng)過的路程為,
②若光線從橢圓一個焦點沿軸方向出發(fā)到長軸端點(較遠(yuǎn)的)再反射,則所經(jīng)過的路程為.
③若光線從橢圓一個焦點沿非軸方向出發(fā),則所經(jīng)過的路程為故選:B
【點睛】本題考查橢圓的基本性質(zhì),考查橢圓的反光鏡問題,考查長半軸與半焦距之間的基本關(guān)系,屬于中檔題.
12．雙曲線的光學(xué)性質(zhì)是：從雙曲線一個焦點發(fā)出的光，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線都匯聚到雙曲線的另一個焦點上.已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，從發(fā)出的光線射向上的點后，被反射出去，則入射光線與反射光線夾角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出點，進而求出，利用余弦定理即可得出結(jié)果.
【詳解】設(shè)在第一象限，，
，，故選：C
【點睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)和余弦定理的應(yīng)用，考查了運算求解能力，屬于一般題目.
13．（2020·廣東高三月考）橢圓滿足這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點發(fā)射光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點?，F(xiàn)在設(shè)有一個水平放置的橢圓形臺球盤，滿足方程：， 點是它的兩個焦點，當(dāng)靜止的小球放在點處，從點沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后，再回到點時，小球經(jīng)過的最長路程是（ ）
A．20 B．18 C．16 D．14
【答案】C
【解析】試題分析：依題意可知小球經(jīng)兩次橢圓壁后反彈后回到A點，
根據(jù)橢圓的性質(zhì)可知所走的路程正好是4a=4×4=16
考點：橢圓的應(yīng)用
14．橢圓滿足這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點發(fā)射的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點．現(xiàn)有一個水平放置的橢圓形臺球盤，滿足方程x264+y228=1，點A,B是它的兩個焦點．當(dāng)靜止的小球從點A開始出發(fā)，沿直線運動，經(jīng)橢圓壁反射后再回到點A時，此時小球經(jīng)過的路程可能是 （ ）

A．32或4或16-47 B．16+47或28或16-47 C．28或4或16+47 D．32或28或4
【答案】D
【解析】試題分析：由方程可知a2=64,b2=28∴c2=36∴a=8,c=6
沿著長軸反射時經(jīng)過的路程為2(a+c)=28或2(a-c)=4，不延長軸時經(jīng)過的路程為4a=32，小球經(jīng)過的路程可能是32或28或4
考點：橢圓方程及性質(zhì)
15．（2020·上海市高三期中）出租車幾何學(xué)是由十九世紀(jì)的赫爾曼·閔可夫斯基所創(chuàng)立的.在出租車幾何學(xué)中，點還是形如的有序?qū)崝?shù)對，直線還是滿足的所有組成的圖形，角度大小的定義也和原來一樣，對于直角坐標(biāo)系內(nèi)任意兩點、定義它們之間的一種“距離”（“直角距離”）：，請解決以下問題：
（1）求線段（，）上一點到原點的“距離”；
（2）求所有到定點的“距離”均為2的動點圍成的圖形的周長；
（3）在“歐式幾何學(xué)”中有如下三個與“距離”有關(guān)的正確結(jié)論：
①平面上任意三點A，B，C，；
②平面上不在一直線上任意三點A，B，C，若，則是以為直角三角形
③平面上存在兩個不同的定點A，B，若動點P滿足，則動點P的軌跡是的垂直平分線
上述結(jié)論對于“出租車幾何學(xué)”中的直角距離是否還正確，并說明理由.
【答案】（1）2（2）（3）①正確②錯誤③錯誤，見解析
【分析】(1)根據(jù)“直角距離”的定義直接求解即可.
(2)設(shè)點到定點的“距離”為2,再根據(jù)定義任意兩點、間的“距離”分四種情況求解即可.(3)直接證明或舉出反例判斷即可.
【解析】 (1)易得線段上一點到原點的“距離”為

(2) 設(shè)點到定點的“距離”為2,則
1.當(dāng)時, ,
此時為線段,
2.當(dāng)時, ,
此時為線段,
3.當(dāng)時, ,
此時為線段,
4.當(dāng)時, ,
此時為線段,
易得圍成的圖形的形狀為以為頂點的正方形
故周長為.

(3)
①設(shè),
則,，.
根據(jù)絕對值三角不等式可知,
同理.
故.
故成立.故①正確.
② 設(shè),則,
,.
滿足,但,故②錯誤.
③設(shè),則,
,滿足,但不在的垂直平分線上.故③錯誤.
綜上所述, ①正確②錯誤③錯誤
【點睛】本題主要考查了新定義的直角距離問題,需要根據(jù)題意數(shù)形結(jié)合分析直角距離的意義以及方法,同時利用絕對值不等式等分析證明.屬于難題.
16．（2020·上海市建平中學(xué)高三月考）在平面直線坐標(biāo)系中,定義為兩點的“切比雪夫距離”，又設(shè)點P及上任意一點Q,稱的最小值為點P到直線的“切比雪夫距離”記作給出下列四個命題:（ ）
①對任意三點A、B、C，都有
②已知點P(3,1)和直線則
③到原點的“切比雪夫距離”等于的點的軌跡是正方形；
④定點動點滿足則點P的軌跡與直線(為常數(shù))有且僅有2個公共點．
其中真命題的個數(shù)是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】①討論，，三點共線，以及不共線的情況，結(jié)合圖象和新定義，即可判斷；
②設(shè)點是直線上一點，且，可得，，討論，的大小，可得距離，再由函數(shù)的性質(zhì)，可得最小值；
③運用新定義，求得點的軌跡方程，即可判斷；
④討論在坐標(biāo)軸上和各個象限的情況，求得軌跡方程，即可判斷．
【詳解】解：①對任意三點、、，若它們共線，設(shè)，、，，
，，如右圖，結(jié)合三角形的相似可得，，
為，，，或，，，則，，，；
若，或，對調(diào)，可得，，，；

若，，不共線，且三角形中為銳角或鈍角，由矩形或矩形，
，，，；
則對任意的三點，，，都有，，，；故①正確；
設(shè)點是直線上一點，且，可得，，
由，解得，即有，當(dāng)時，取得最小值；
由，解得或，即有，
的范圍是，，，．無最值，
綜上可得，，兩點的“切比雪夫距離”的最小值為．故②正確；
③由題意，到原點的“切比雪夫距離” 等于的點設(shè)為，則，
若，則；若，則，故所求軌跡是正方形，則③正確；
④定點、，動點滿足，，，
可得不軸上，在線段間成立，可得，解得，
由對稱性可得也成立，即有兩點滿足條件；若在第一象限內(nèi)，滿足，，，

即為，為射線，由對稱性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一條射線，
則點的軌跡與直線為常數(shù)）有且僅有2個公共點．故④正確；
綜上可得，真命題的個數(shù)為4個，故選:.

【點睛】本題考查新定義的理解和運用，考查數(shù)形結(jié)合思想方法，以及運算能力和推理能力，屬于難題．