（全國通用）2022年中考數(shù)學命題點及重難題型分類突破練 類型二 新概念的理解與應用（原卷版+解析版）

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?類型二新概念的理解與應用
1.定義一種對正整數(shù)n的“F”運算：①當n是奇數(shù)時，F(xiàn)(n)=3n+1；當n為偶數(shù)時，F(xiàn)(n)=（其中k是使為奇數(shù)的正整數(shù)）……，兩種運算交替重復進行. 例如，取n=24，則：

若n=13，則第2018次“F運算”的結果是（ ）
A.1 B.4 C.2018 D.42018
【答案】A
【解析】根據(jù)題意，得
第一次：當n=13時，F(xiàn)①=3×13+1=40，
第二次：當n=40時，F(xiàn)②==5，
第三次：當n=5時，F(xiàn)①=3×5+1=16，
第四次：當n=16時，F(xiàn)②==1，
第五次：當n=1時，F(xiàn)①=3×1+1=4，
第六次：當n=4時，F(xiàn)②==1，
……，
從第四次開始，每2次循環(huán)運算一個循環(huán)，
因為(2018－3)÷2=1007……1，
第2018次“F運算”的結果是1.
故選A.
2.定義；在平面直角坐標系中，一個圖形先向右平移a個單位，再繞原點按順時針方向旋轉θ角度，這樣的圖形運動叫做圖形的γ（a，θ）變換。
如圖，等邊△ABC的邊長為1，點A在第一象限，點B與原點O重合，點C在x軸的正半軸上．△A1B1C1就是△ABC經(jīng)γ（1，180°）變換后所得的圖形．

若△ABC經(jīng)γ（1，180°）變換后得△A1B1C1，△A1B1C1經(jīng)γ（2，180°）變換后得△A2B2C2，△A2B2C2經(jīng)γ（3，180°）變換后得△A3B3C3，依此類推……
△An-1B n-1C n-1經(jīng)γ（n，180°）變換后得△AnBnC，則點A1的坐標是________，點A2018的坐標是________。
【答案】（）（）
【解析】題考查了新概念理解、閱讀理解問題、等邊三角形性質、規(guī)律型點的坐標．、坐標與圖形變化﹣旋轉等知識內(nèi)容，解決該題型題目時，寫出部分An點的坐標，根據(jù)坐標的變化找出變化規(guī)律是關鍵．首先計算A1的坐標為（），則A2為（），以此計算則有
A2018橫坐標為-2×2018=，故答案為：（）（）（）
3.我們規(guī)定：等腰三角形的頂角與一個底角度數(shù)的比值叫做等腰三角形的“特征值”，記作k，若k=，則該等腰三角形的頂角為　 　度．
【答案】36
【解析】根據(jù)等腰三角形的性質得出∠B=∠C，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和已知得出5∠A=180°，求出即可．
設頂角為α，則其底角為，由k=，可得=2α，解出α=36°。

4.如圖，若△ABC內(nèi)一點P滿足∠PAC=∠PCB=∠PBA，則稱點P為△ABC的布羅卡爾點．三角形的布羅卡爾點是法國數(shù)學家和數(shù)學教育家克雷爾首次發(fā)現(xiàn)，后來被數(shù)學愛好者法國軍官布羅卡爾重新發(fā)現(xiàn)，并用他的名字命名，布羅卡爾點的再次發(fā)現(xiàn)，引發(fā)了研究“三角形幾何”的熱潮. 已知△ABC中，CA=CB，∠ACB=120°，P為△ABC的布羅卡爾點，若PA=，則PB＋PC=___________.

【答案】1＋
【分析】由“布羅卡爾點”的定義，得到∠PAC＝∠PCB＝∠PBA，又∠ABC＝∠BAC＝30°，可證△BCP∽△ABP即可．
【解析】解：如圖，由“布羅卡爾點”的定義，設∠PAC＝∠PCB＝∠PBA ＝α，又CA＝CB，∠ACB＝120°，∴∠ABC＝∠BAC＝30°，∴∠CBP＝∠PAB＝30°－α＝β，∴△BCP∽△ABP，∴PB/PA＝BC/AB＝PC/PB，而在△ABC中，作CD⊥AB于D，則BD＝AB，而cosB＝＝，∴＝，∴＝＝，∴PB＝1，PC＝，∴PB＋PC＝1＋．故答案為1＋．

5.對任意一個四位數(shù)n，如果千位與十位上的數(shù)字之和為9，百位與個位上的數(shù)字之和也為9，則稱n為“極數(shù)”．
（1）請任意寫出三個“極數(shù)”；并猜想任意一個“極數(shù)”是否是99的倍數(shù)，請說明理由；
（2）如果一個正整數(shù)a是另一個正整數(shù)b的平方，則稱正整數(shù)a是完全平方數(shù)．若四位數(shù)m為“極數(shù)”，記D(m)＝，求滿足D(m)是完全平方數(shù)的所有m．
【分析】（1）先根據(jù)“極數(shù)”的定義，較易寫出千位與十位上的數(shù)字之和為9且百位與個位上的數(shù)字之和為9的四位數(shù)三個，答案不唯一；再設n的千位數(shù)字為s，百位數(shù)字為t（1≤s≤9，0≤t≤9且s、t均為整數(shù)），用代數(shù)式表示出n，化簡后因式分解，即可證明n是99的倍數(shù)；（2）先求出D(m)＝，其中m＝1000s＋100t＋10(9－s)＋9－t，化簡后得D(m)＝＝3(10s＋t＋1)；再根據(jù)D(m)是完全平方數(shù)，且10s＋t＋1是一個兩位數(shù)，從而10s＋t＋1＝3×22、3×32、3×42、3×52，即10s＋t＋1＝12或27或48或75，于是得到方程組或或或，解方程組即可鎖定符合條件的所有m．
【解析】
解：（1）答案不唯一，如5346，1782，9405，等．任意一個“極數(shù)”都是99的倍數(shù)，理由如下：
設n的千位數(shù)字為s，百位數(shù)字為t（1≤s≤9，0≤t≤9且s、t均為整數(shù)），則n＝1000s＋100t＋10(9－s)＋9－t＝990s＋99t＋99＝99(10s＋t＋1)，而10s＋t＋1是整數(shù)，故n是99的倍數(shù)．
（2）易由（1）設m＝1000s＋100t＋10(9－s)＋9－t＝990s＋99t＋99＝99(10s＋t＋1)，其中1≤s≤9，0≤t≤9且s、t均為整數(shù)，從而D(m)＝＝3(10s＋t＋1)，而D(m)是完全平方數(shù)，故3(10s＋t＋1)是完全平方數(shù)．
∵10＜10s＋t＋1＜100，
∴30＜3(10s＋t＋1)＜300．
∴10s＋t＋1＝3×22、3×32、3×42、3×52．
∴(s，t)＝(1，1)，(2，6)，(4，7)，(7，4)．
∴m＝1188，2673，4752，7425．
6.請閱讀以下材料：已知向量，滿足下列條件：
①，，②（角α的取值范圍是0°＜α＜90°），③，利用上述所給條件解答問題：
如：已知，，求角α的大小；
解：∵==2，
===2，
∴=2×2cosα=4cosα
又∵=1×(-)+×3=2，
∴
∴，
∴，
∴角α的值為60°.
請仿照以上解答過程，完成下列問題：
已知，，求角α的大小
【分析】首先根據(jù)題意可求出的值，進而得出cosα=，然后根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值得出角α的度數(shù).
【解析】
解：∵，，
∴=，=，
∴=1×·cosα=cosα，
=1×1+0×（-1）=1，
∴cosα=1，
∴cosα=，
∴α=45°，
∴角α的值為45°.
7.對任意一個四位數(shù)n，如果千位與十位上的數(shù)字之和為9，百位與個位上的數(shù)字之和也為9，則稱n為“極數(shù)”．
（1）請任意寫出三個“極數(shù)”；并猜想任意一個“極數(shù)”是否是99的倍數(shù)，請說明理由；
（2）如果一個正整數(shù)a是另一個正整數(shù)b的平方，則稱正整數(shù)a是完全平方數(shù)．若四位數(shù)m為“極數(shù)”，記D(m)＝，求滿足D(m)是完全平方數(shù)的所有m．
【分析】（1）先根據(jù)“極數(shù)”的定義，較易寫出千位與十位上的數(shù)字之和為9且百位與個位上的數(shù)字之和為9的四位數(shù)三個，答案不唯一；再設n的千位數(shù)字為s，百位數(shù)字為t（1≤s≤9，0≤t≤9且s、t均為整數(shù)），用代數(shù)式表示出n，化簡后因式分解，即可證明n是99的倍數(shù)；（2）先求出D(m)＝，其中m＝1000s＋100t＋10(9－s)＋9－t，化簡后得D(m)＝＝3(10s＋t＋1)；再根據(jù)D(m)是完全平方數(shù)，且10s＋t＋1是一個兩位數(shù)，從而10s＋t＋1＝3×22、3×32、3×42、3×52，即10s＋t＋1＝12或27或48或75，于是得到方程組或或或，解方程組即可鎖定符合條件的所有m．
【解析】
解：（1）答案不唯一，如5346，1782，9405，等．任意一個“極數(shù)”都是99的倍數(shù)，理由如下：
設n的千位數(shù)字為s，百位數(shù)字為t（1≤s≤9，0≤t≤9且s、t均為整數(shù)），則n＝1000s＋100t＋10(9－s)＋9－t＝990s＋99t＋99＝99(10s＋t＋1)，而10s＋t＋1是整數(shù)，故n是99的倍數(shù)．
（2）易由（1）設m＝1000s＋100t＋10(9－s)＋9－t＝990s＋99t＋99＝99(10s＋t＋1)，其中1≤s≤9，0≤t≤9且s、t均為整數(shù)，從而D(m)＝＝3(10s＋t＋1)，而D(m)是完全平方數(shù)，故3(10s＋t＋1)是完全平方數(shù)．
∵10＜10s＋t＋1＜100，
∴30＜3(10s＋t＋1)＜300．
∴10s＋t＋1＝3×22、3×32、3×42、3×52．
∴(s，t)＝(1，1)，(2，6)，(4，7)，(7，4)．
∴m＝1188，2673，4752，7425．
8.如圖①，在平面直角坐標系中，圓心為P（x，y）的動圓經(jīng)過點A（1，2）且與x軸相切于點B．
（1）當x＝2時，求⊙P的半徑；
（2）求y關于x的函數(shù)解析式，請判斷此函數(shù)圖象的形狀，并在圖②中畫出此函數(shù)的圖象；
（3）請類比圓的定義（圓可以看成是到定點距離等于定長的所有點的集合），給（2）中所得函數(shù)圖象進行定義：此函數(shù)圖象可以看成是到________的距離等于到________的距離的所有點的集合．
（4）當⊙P的半徑為1時，若⊙P與以上（2）中所得函數(shù)圖象相交于點C、D，其中交點D（m，n）在點C的右側．請利用圖②，求cos∠APD的大?。?br />
【分析】本題是涉及新定義的二次函數(shù)綜合題，解答關鍵是抓住P到A點和P到x軸距離相等，先作垂直，“化斜為直”，然后利用點的坐標及勾股定理解題．
（1）通過作垂線構造Rt△AHP，根據(jù)勾股定理構造關于r的方程，通過解方程求出半徑；
（2）類比（1）構造Rt△AHP，結合勾股定理得出y與x的等式，再整理為關于y的函數(shù)的形式，進而判斷函數(shù)圖形的形狀；
（3）根據(jù)函數(shù)圖象，結合集合定義的特征，得出結論；
（4）利用⊙P的半徑為1，得出P點坐標，而P點恰好為二次函數(shù)的頂點，過點D作DH⊥AP于H，構造Rt△PDH，然后將D點縱坐標用m來表示，進而表示出DH，HP，利用勾股定理得出關于m的方程，整體求出（m－1）2的值，再利用銳角三角函數(shù)的定義，用將三角函數(shù)值轉化為（m－1）2的值即可．
【解析】
（1）如圖①，過A作AM⊥x軸于M，過P作PH⊥AM于H，連接PA、PB，則PB⊥x軸于點B，PA＝PB＝MH＝y(tǒng)．
∵A（1，2），∴OM＝1，AM＝2．∵P橫坐標為2，OB＝2．∴PH＝OB－OM＝2－1＝1，AH＝AM－PB＝2－y．
在Rt△AHP中，∵AH2＋PH2＝AP2，∴(2－y)2＋12＝y(tǒng)2．∴y＝.
答：當x＝2時，求⊙P的半徑等于.

（2）如圖②，過A作AM⊥x軸于M，過P作PH⊥AM于H．連接PA、PB，則PB⊥x軸于點B，PA=PB＝MH＝y(tǒng)．
∵A（1，2），∴AM＝2，OM＝1．∵P（x，y），∴OB＝x，PB＝HM＝y(tǒng)．∴PH＝x－1，AH＝2－y．
∵在Rt△AHP中，AH2＋HP2＝AP2，∴（2－y）2＋（x－1）2＝y(tǒng)2．
∴4－4y＋y2＋x2－2x－1＝y(tǒng)2．∴4y＝x2－2x＋5.∴y＝x2－x＋.
（3）根據(jù)集合的定義可知：點A（1，2），x軸
（4）如圖③，半徑為1，即y＝1，代入y＝x2－x＋求得x＝1，即圓心P（1,1），又可知P（1,1）即為函數(shù)y＝x2－x＋的頂點，故作出如下圖。則D（m，），過D作DH⊥AP于H，則DH＝m－1，HP＝－1＝＝（m－1）2，PD＝1，則有（m－1）2＋[（m－1）2]2＝12，令（m－1）2＝t，則上式可替換為t＋（t）2＝12，解得t＝4－8，cos∠APD＝＝＝＝＝（4－8）＝－2.

9.我們定義：如果一個三角形一條邊上的高等于這條邊，那么這個三角形叫做“等高底”三角形，這條邊叫做這個三角形的“等底”．
（1）概念理解：
如圖1，在△ABC中，AC＝6，BC＝3，∠ACB＝30°，試判斷△ABC是否是“等高底”三角形，請說明理由．
（2）問題探究：
如圖2，△ABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，作△ABC關于BC所在直線的對稱圖形得到△A′BC，連結AA′交直線BC于點D．若點B是△AA′C的重心，求的值．
（3）應用拓展:
如圖3，已知l1∥l2，l1與l2之間的距離為2．“等高底”△ABC的“等底”BC在直線l1上，點A在直線l2上，有一邊的長是BC的倍．將△ABC繞點C按順時針方向旋轉45°得到△A′B′C，A′C所在直線交l2于點D．求CD的值．

【分析】（1）求出BC邊上的高的長和BC比較；
（2）由“等底”三角形可知AD＝BC，再由B為△AA′C的重心，知BC＝2BD，從而通過勾股定理，用BD表示出AC的長；
（3）分兩種情況說明：AB＝和AC＝，畫出圖形．
【解答過程】（1）如圖1，過點A作AD上直線CD于點D，
∴△ADC為直角三角形，∠ADC＝90°
∴∠ACB＝30°，AC＝6，∴AD＝＝3
∴AD＝BC＝3
即是“等高底”三角形．

（2）如圖2，∵△ABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，∴AD＝BC
∵△A′BC與與△ABC關于直線BC對稱，∴∠ADC＝90°
∵點B是△AA′C的重心，∴BC＝2BD
設BD＝x，則AD＝BC＝2x，∴CD＝3x
∴由勾股定理得AC＝x，
∴
（3）①當AB＝BC時，
Ⅰ．如圖3，作AE⊥l1于點E，DF⊥AC于點F，
“等高底”△ABC的“等底”為BC，l1∥l2.
l1與l2之間的距離為2，AB＝BC
∴BC＝AE＝2，AB＝
∴BE＝2，即EC＝4，∴AC＝
∵△ABC繞點C按順時針方向旋轉45°得到△A′B′C，∴∠CDF＝45°
設DF＝CF＝x
∵ l1∥l2，∴∠ACE＝∠DAF，

∴，即．
∴AC＝3x＝，可得x＝，∴CD＝
Ⅱ．如圖4，此時△ABC是等腰直角三角形，
∵△ABC繞點C按順時針方向旋轉45°得到△A′B′C，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴CD＝AC＝
②當AC＝BC時，
Ⅰ．如圖5，此時△ABC是等腰直角三角形，
∴△ABC繞點C按順時針方向旋轉45°得到△A′B′C時，
點A′在直線l1上
∴A′C∥l2，即直線A′C與l2無交點
綜上，CD的值為，，2
【其他不同解法，請酌情給分】


10.我們知道，有理數(shù)包括整數(shù)、有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，事實上，所有的有理數(shù)可以化為分數(shù)形式（整數(shù)可看作分母為1的分數(shù)），那么無限循環(huán)小數(shù)如何表示為分數(shù)形式呢？請看以下示例：
例：將化為分數(shù)形式
由于＝0.777…， 設x＝0.777… ①
則10x＝7.777… ②
②－①得9x＝7，解得x＝，于是得＝．
同理可得＝＝，＝1＋＝1＋＝．
根據(jù)以上閱讀，回答下列問題：（以下計算結果均用最簡分數(shù)表示）
【基礎訓練】
（1）＝____________，＝____________；
（2）將化為分數(shù)形式，寫出推導過程；
【能力提升】
（3）＝____________，＝____________；
（注：＝0.315315…，＝2.01818…）
【探索發(fā)現(xiàn)】
（4）①試比較與1的大小：__________1（填“＞”、“＜”或“＝”）
②若已知＝，則＝__________．
（注： ＝0.285714285714…）
【分析】仿照題中無限小數(shù)寫成分數(shù)形式的方法，設未知數(shù)，根據(jù)小數(shù)點后循環(huán)節(jié)中數(shù)字的個數(shù)擴大10倍或100倍或1000倍，再相減得一元一次方程求解即可．
【解答過程】（1）由于＝0.555…，設x＝0.555… ①
則10x＝5.555… ②
②－①得9x＝5，解得x＝，于是得＝．
同理可得＝5＋＝5＋＝．
故答案為，．
（2）由于＝0.2323… 設x＝0.2323… ①
則100x＝23.2323… ②
②－①得99x＝23，解得x＝，∴＝．
（3）由于＝0.315315…，設x＝0.315315… ①
則1000x＝315.315315… ②
②－①得999x＝315，解得x＝，于是得＝．
設x＝，
則10x＝ ③
1000x＝ ④
④－③得990x＝1998，解得x＝，于是得＝．
故答案為，．
（4）①由于＝0.999…， 設x＝0.999… Ⅰ
則10x＝9.999… Ⅱ
Ⅱ－Ⅰ得9x＝9，解得x＝1，于是得＝1．
②＝3＋＝3＋1000×－285＝．
故答案為①＝，②．