專題4.5 一元函數(shù)的導數(shù)及其應用單元測試卷一、單選題1．（2020·四川內(nèi)江?高二期末（理））如圖所示為的圖象，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】由導函數(shù)圖象，知或時，，∴的減區(qū)間是，．故選：C．2．（2020·重慶北碚?西南大學附中高二期末）已知函數(shù)在處取得極值，則（    ）A．1 B．2 C． D．-2【答案】C【解析】，依題意，即.此時，所以在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減，所以在處取得極大值，符合題意.所以.故選：C3．（2020·河南宛城?南陽華龍高級中學高二月考（理））已知函數(shù)，則曲線在處的切線的傾斜角為（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】函數(shù)的導數(shù)為，可得在處的切線的斜率為，即，為傾斜角，可得.故選：A.4．（2020·運城市景勝中學高二月考（文））函數(shù)在處的切線如圖所示，則（    ）A．0 B． C． D．【答案】A【解析】因為切線過和,所以,所以切線方程為,取,則,所以,所以.故選:A.5．（2020·重慶高二期末）已知函數(shù)的導函數(shù)為，若，則（    ）A．4 B．2 C．1 D．【答案】B【解析】由題意知：.因為，所以，解得.故選：B.6．（2020·重慶北碚?西南大學附中高二期末）已知是定義在上的函數(shù)的導函數(shù)，且滿足對任意的都成立，則下列選項中一定正確的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，則，故為上的增函數(shù)，所以即，故選：D.7．（2020·吳起高級中學高二期末（文））已知函數(shù)的導函數(shù)的圖象如圖所示，那么函數(shù)的圖象最有可能的是（   ）A．  B． C． D．【答案】A【解析】解：時，，則單調(diào)遞減；時，，則單調(diào)遞增；時，，則f（x）單調(diào)遞減．則符合上述條件的只有選項A．故選A．8．（2020·河南禹州市高級中學高三月考（文））已知函數(shù)，若，，，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，，所以即在是減函數(shù)，因為，所以，即.故選：A.9．（2016·福建連城?高三期中（理））設函數(shù)是定義在上的函數(shù)，其中的導函數(shù)為，滿足對于恒成立，則（   ）A.         B.C.         D.【答案】A【解析】由于，為減函數(shù)，故，同理.10．（2020·河南禹州市高級中學高三月考（文））已知函數(shù)，則方程實根的個數(shù)為（   ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】由可得或，當時，，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，函數(shù)在處取得極小值，極小值為，繪制函數(shù)的圖象如圖所示，觀察可得，方程的實根個數(shù)為3，故選B二、多選題11．（2020·山東濰坊?高二期末）給出定義：若函數(shù)在上可導，即存在，且導函數(shù)在上也可導，則稱在上存在二階導函數(shù)，記，若在上恒成立，則稱在上為凸函數(shù).以下四個函數(shù)在上是凸函數(shù)的是（    ）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】對于A選項，，則，當時，恒有，是凸函數(shù)；對于B選項，，則，當上，恒有，是凸函數(shù)；對于C選項，若，則在上恒成立，是凸函數(shù)；對于D選項，若，則，則在上恒成立，故不是凸函數(shù).故選：ABC.12．（2019·山東五蓮?高二期中）如圖是函數(shù)導函數(shù)的圖象，下列選項中正確的是（    ）A．在處導函數(shù)有極大值 B．在，處導函數(shù)有極小值C．在處函數(shù)有極大值 D．在處函數(shù)有極小值【答案】ABCD【解析】根據(jù)導函數(shù)的圖像可知：的兩側左減右增，所以在，處導函數(shù)有極小值；的兩側左增右減，所以在處導函數(shù)有極大值.根據(jù)導函數(shù)的圖像可知：的左側導數(shù)大于零，右側導數(shù)小于零，所以在處函數(shù)有極大值.的左側導數(shù)小于零，右側導數(shù)大于零，所以在處函數(shù)有極小值.而左右兩側導函數(shù)符號相同，原函數(shù)不取得極值.故選：ABCD13．（2021·江蘇清江浦?淮陰中學高三開學考試）已知函數(shù)，若，則下列結論正確的是（    ）A．B．C．D．當時，【答案】AD【解析】設，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，所以，即有，故A正確；設，則不是恒大于零，所以不恒成立，故 B錯誤；，不是恒小于零，所以不恒成立，故C錯誤；當時，，故，函數(shù)單調(diào)遞增，故，即，又，所以，所以，所以有，故 D正確.故選：AD.14．（2020·全國高三其他）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，，則下列說法正確的是（    ）A．當時，B．函數(shù)有2個零點C．的解集為D．，，都有【答案】CD【解析】當時，，由奇函數(shù)定義可知，，故A錯誤；對于B，當時，，可知是函數(shù)的一個零點．當時，令，解得，即是函數(shù)的一個零點．由奇函數(shù)的性質(zhì)可知，是函數(shù)的一個零點，因此函數(shù)有3個零點，故B錯誤；對于C，當時，令，解得，當時，令，解得，綜上可知，的解集為，故C正確；對于D，，，都有．當時，，當時，是增函數(shù)，當時，是減函數(shù)，且時，，根據(jù)奇函數(shù)圖象的性質(zhì)可知，時，，，可知，故D正確，故選:CD．三、填空題15．（2020·遼寧葫蘆島?高二期末）已知函數(shù)的導函數(shù)為，且滿足﹐則________．【答案】【解析】由題可知：，則所以，則故答案為：16．（2020·四川南充?高二期末（理））如果曲線在點處的切線垂直于直線，那么點的坐標為___________．【答案】(1,0)【解析】曲線在點P處的切線垂直于直線,曲線在點P處的切線的斜率,函數(shù)的導數(shù)為,設,,解得,,17．（2020·全國高三課時練習（理））若函數(shù)對任意的，恒成立，則x的取值范圍為             .【答案】【解析】∵是上的奇函數(shù)，，則在定義域內(nèi)為增函數(shù)，∴可變形為，∴，將其看作關于的一次函數(shù)，可得當時，恒成立，若，，若，，解得．四、雙空題18．（2020·全國高二單元測試）已知函數(shù)，設x=1是的極值點，則a=___，的單調(diào)增區(qū)間為___.【答案】        【解析】由題意可得：是的極值點    即    令，可得的單調(diào)遞增區(qū)間為19．（2020·遼寧高二期末）已知函數(shù)在處取得最小值m，函數(shù)，則________，曲線在點處的切線的斜率為________.【答案】        【解析】，因為，所以，當時，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增.從而時，.因為，所以，故曲線在點處的切線的斜率為.故答案為：；.20．（2020·湖北荊門?高二期末）設是奇函數(shù)的導函數(shù)，，且對任意都有，則_________，使得成立的x的取值范圍是_________．【答案】3        【解析】∵是奇函數(shù)，∴，設，則，，∴在上單調(diào)遞減，由得，即，∴，得，故答案為：3；．21．（2020·北京海淀?人大附中高三其他）已知函數(shù).（1）的零點是______；（2）若的圖象與直線有且只有三個公共點，則實數(shù)的取值范圍是______.【答案】1和         【解析】 (1)由,當時,.當時,令有(2)畫出的圖象有因為過定點(0,?1),要使的圖象與直線有且只有三個公共點,則,當時,函數(shù)的導數(shù),函數(shù)在點(0,?1)處的切線斜率,此時直線和只有一個交點.當時,因為當時,,此時直線與的圖象仍有三個交點.由圖象知要使的圖象與直線有且只有三個公共點,則滿足,故答案為：(1). 或 (2). (0,2)五、解答題22．（2020·遼寧葫蘆島?高二期末）已知函數(shù).（1）當時，求曲線在點（0，1）處的切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【答案】（1）；（2）答案見解析.【解析】（1）當時，，因為，所以，所以曲線函數(shù)在點處的切線方程為：．（2）定義域為．因為，，①當時，恒成立．所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．②當時，令，則或．所以當時，或；當時，，所以函數(shù)在和，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．綜上可知，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，函數(shù)在和，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．23．（2020·四川內(nèi)江?高二期末（理））已知函數(shù)，.（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若是函數(shù)的導函數(shù)，且在定義域內(nèi)恒成立，求整數(shù)a的最小值.【答案】（1）減區(qū)間是，增區(qū)間；（2）2．【解析】（1）由已知，當時，，當時，，∴的減區(qū)間是，增區(qū)間；（2）函數(shù)的定義域是，定義域是，不等式為，∴不等式在上恒成立，∴在上恒成立，設，則，時，，，又在上是增函數(shù)，，，∴存在，使得，時，，時，，，即在上遞增，在上遞減，，，，∴，∵，∴，∴整數(shù)的最小值為2．24．（2020·四川南充?高二期末（理））已知函數(shù)，.（1）討論的單調(diào)性；（2）若對任意，都有成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）當時，在上，是減函數(shù),當時，在上，是減函數(shù),在上，是增函數(shù)；（2）【解析】（1）解：函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞）又當a≤0時，在（0，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)當a＞0時，由f′（x）=0得：或（舍）所以：在上，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)在上，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)（2）對任意x＞0，都有f（x）＞0成立，即：在（0，+∞）上f（x）min＞0由（1）知：當a≤0時，在（0，+∞）上f（x）是減函數(shù)，又f（1）=2a﹣2＜0，不合題意當a＞0時，當時，f（x）取得極小值也是最小值，所以：令（a＞0）所以：在（0，+∞）上，u′（a）＞0，u（a）是增函數(shù)又u（1）=0所以：要使得f（x）min≥0，即u（a）≥0，即a≥1，故：a的取值范圍為[1，+∞）25．（2020·四川德陽?高三其他（理））已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)的極值；（2）當時，證明：．【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）∵，，∴，當時，恒成立，函數(shù)單調(diào)遞減，函數(shù)無極值；當時，時，，函數(shù)單調(diào)遞減；時，，函數(shù)單調(diào)遞增；故函數(shù)的極小值為，無極大值.（2）證明：令，，故 ，令的根為，即 ，兩邊求對數(shù)得：，即 ，∴當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；∴，∴，即原不等式成立.26．（2020·四川省南充高級中學高三月考（文））已知函數(shù)．（1）設是函數(shù)的極值點，求的值，并求的單調(diào)區(qū)間；（2）若對任意的，恒成立，求的取值范圍．【答案】(1) 在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. (2) 【解析】（1）由題意，函數(shù)，則，因為是函數(shù)的極值點，所以，故，即，令，解得或.令，解得,所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由，當時，，則在上單調(diào)遞增，又，所以恒成立；當時，易知在上單調(diào)遞增，故存在，使得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，則，這與恒成立矛盾.綜上，.27．（2020·河北石家莊?高二期末）已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若，是方程的兩個不同的實數(shù)根，求證：．【答案】（Ⅰ）單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；（Ⅱ）證明見解析．【解析】（1）依題意，，故當時，，當時， ，∴單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是 ；（2）因為，是方程的兩個不同的實數(shù)根，∴，兩式相減得，解得 ，要證：，即證：，即證：，即證，不妨設，令，只需證， 設，∴，令，∴， ∴在上單調(diào)遞減，∴，∴，∴在為減函數(shù)，         ∴．即在恒成立，∴原不等式成立，即．  

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