六安一中2021～2022學年第一學期高二年級期末考試數學試卷時間：120分鐘      滿分：150分一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小圈給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1. 在等差數列中，已知，則數列的前9項和為（    ）A.  B. 13 C. 45 D. 1172. 已知函數，則（    ）A. 3 B. C.  D. 3. 已知函數圖象在點處的切線與直線垂直，則（    ）A.  B.  C.  D. 4. 函數的部分圖像為（    ）A.  B. C.  D. 5. 已知，則a，b，c的大小關系為（    ）A.  B. C.  D. 6. 若存在過點直線與曲線和曲線都相切，則實數a的值是（    ）A.  B. 0 C. 1 D. 27. 已知奇函數是定義在R上的可導函數，的導函數為，當時，有，則不等式的解集為（    ）A.  B. C.  D. 8. 已知，若是函數的一個零點，則的值為(    )A. 0 B. C. 1 D. 二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9. 公差為d的等差數列，其前n項和為，，下列說法正確的有（    ）A  B. C. 中最大 D. 10. 已知函數，則下列關于函數說法正確的是（    ）A. 函數有一個極大值點B. 函數有一個極小值點C. 若當時，函數值域是，則D. 當時，函數恰有6個不同的零點11. 已知等比數列的前n項和為，且是與的等差中項，數列滿足，數列的前n項和為，則下列命題正確的是（    ）A. 數列的通項公式為 B. C.  D. 的取值范圍是12. 在數學中，布勞威爾不動點定理是拓撲學里一個非常重要的不動點定理，它得名于荷蘭數學家魯伊茲·布勞威爾，簡單地講就是對于滿足一定條件的連續(xù)函數，存在一個點，使得，那么我們稱該函數為“不動點”函數，而稱為該函數的一個不動點，依據不動點理論，下列說法正確的是（    ）A. 函數有3個不動點B. 函數至多有兩個不動點C. 若函數沒有不動點，則方程無實根D. 設函數(，e為自然對數的底數)，若曲線上存在點使成立，則a的取值范圍是三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13. 函數在區(qū)間上的最小值為__________.14. 已知函數，數列是正項等比數列，且，則__________．15. 設數列的前n項和為，若，且是等差數列．則的值為__________．16. 中國的西氣東輸工程把西部地區(qū)的資源優(yōu)勢變?yōu)榻洕鷥?yōu)勢，實現了天然氣能源需求與供給的東西部銜接，工程建設也加快了西部及沿線地區(qū)的經濟發(fā)展.輸氣管道工程建設中，某段管道鋪設要經過一處峽谷，峽谷內恰好有一處直角拐角，水平橫向移動輸氣管經過此拐角，從寬為的峽谷拐入寬為的峽谷，如圖所示，位于峽谷懸崖壁上兩點，的連線恰好經過拐角內側頂點(點，，在同一水平面內)，設與較寬側峽谷懸崖壁所成的角為，則的長為______(用表示).要使輸氣管順利通過拐角，其長度不能低于______.四、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17. 已知等差數列滿足，前7項和為（Ⅰ）求的通項公式（Ⅱ）設數列滿足，求的前項和.18. 已知函數.（1）當時，求函數在時的最大值和最小值；（2）若函數在區(qū)間存在極小值，求a的取值范圍.19. 己知數列的前n項和為，且．（1）求數列的通項公式；（2）若，數列的前n項和為，求的值．20. 已知函數，.（1）若在單調遞增，求的取值范圍；（2）若，求證：.21 已知．（1）討論函數的單調性；（2）若函數在上有1個零點，求實數a的取值范圍．22. 已知函數在其定義域內有兩個不同的極值點．（1）求a的取值范圍；（2）設的兩個極值點分別為，證明：．  
 1【答案】C2【答案】B3【答案】C4【答案】D5【答案】A6【答案】D7【答案】B8【答案】A9【答案】AC10【答案】ACD11【答案】BCD12【答案】BCD13【答案】14【答案】  （9.5）15【答案】5216【答案】    ①.     ②. 17【答案】(1) (2) .解析：（Ⅰ）由，得因為所以（Ⅱ）18【答案】（1）最大值為9，最小值為；（2）.【小問1詳解】由題，時，，則，令，得或1，則時，，單調遞增；時，，單調遞減；時，，單調遞增.∴在時取極大值，在時取極小值，又，，綜上，在區(qū)間上取得的最大值為9，最小值為.【小問2詳解】，且，當時，單調遞增，函數沒有極值；當時，時，單調遞增；時，單調遞減；時，，單調遞增.∴在取得極大值，在取得極小值，則；當時，時，單調遞增；時，單調遞減；時，，單調遞增.∴在取得極大值，在取得極小值，由得：.綜上，函數在區(qū)間存在極小值時a的取值范圍是.19【答案】（1）；（2）.【小問1詳解】依題意，，，則當時，，于是得：，即，而當時，，即有，因此，，，所以數列是以2為首項，2為公比的等比數列，，所以數列的通項公式是.【小問2詳解】由(1)知，，從而有，所以.20（1）因為函數在上單調遞增，所以上恒成立，則有上恒成立，即.令函數，，所以時，，在上單調遞增，所以，所以有，即，因此.（2）由（1）可知當時，為增函數，不妨取，則有在上單調遞增，所以，即有在上恒成立，令，則有，所以，所以，因此.21【小問1詳解】函數的定義域為R，求導得：當時，當時，，當時，，則在上單調遞減，在上單調遞增，當時，令，得，若，即時，，則有在R上單調遞增，若，即時，當或時，，當時，，則有在，上都單調遞增，在上單調遞減，若，即時，當或時，，當時，，則有在，上都單調遞增，在上單調遞減，所以，當時，在上單調遞減，在上單調遞增，當時，在，上都單調遞增，在上單調遞減，當時，R上單調遞增，當時，在，上都單調遞增，在上單調遞減.小問2詳解】依題意，，，當時，，當時，，，則函數在上單調遞增，有，無零點，當時，，，函數在上單調遞減，，無零點，當時，，使得，而在上單調遞增，當時，，當時，，因此，在上單調遞增，在上單調遞減，又，若，即時，無零點，若，即時，有一個零點，綜上可知，當時，在有1個零點，所以實數a的取值范圍.22【小問1詳解】函數的定義域為，求導得：，依題意，函數在上有兩個不同極值點，于是得有兩個不等的正根，令，，則，當時，，當時，，于是得在上單調遞增，在上單調遞減，，因，恒成立，即當時，的值從遞減到0(不能取0)，又，有兩個不等的正根等價于直線與函數的圖象有兩個不同的公共點，如圖，因此有，所以a的取值范圍是.【小問2詳解】由(1)知分別是方程的兩個不等的正根，，即，作差得，則有，原不等式，令，則，于是得，設，則，因此，在單調遞增，則有，即成立，所以.   

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