六安一中20212022學年第二學期高一年級期末考試數(shù)學試卷滿分：150分時間：120分鐘一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的1. 計算A.  B.  C.  D. 2. 獨角獸企業(yè)是指成立時間少于10年，估值超過10億美元且未上市的企業(yè)．2021年中國獨角獸企業(yè)行業(yè)分布廣泛，覆蓋居民生活的各個方面．如圖為某研究機構統(tǒng)計的2021年我國獨角獸企業(yè)的行業(yè)分布圖（圖中的數(shù)字表示各行業(yè)獨角獸企業(yè)的數(shù)量），其中京、滬、粵三地的獨角獸企業(yè)數(shù)量的總占比為70%．則下列說法不正確的是（）A. 2021年我國獨角獸企業(yè)共有170家B. 京、滬、粵三地的獨角獸企業(yè)共有119家C. 獨角獸企業(yè)最多的三個行業(yè)的占比超過一半D. 各行業(yè)獨角獸企業(yè)數(shù)量的中位數(shù)為133. 在下列判斷兩個平面與平行4個命題中，真命題的個數(shù)是（）．①都垂直于平面r，那么②都平行于平面r，那么③都垂直于直線l，那么④如果l、m是兩條異面直線，且，，，，那么A. 0 B. 1 C. 2 D. 34. 已知，且向量在向量上的投影向量為，則的模為（）A. 1 B.  C. 3 D. 95. 已知一組數(shù)據(jù)，，，1，1，3，4，6，6，7的平均數(shù)為3，則這組數(shù)據(jù)方差的最小值為（）A. 5 B. 6 C. 7 D. 86. 在，其內角，，的對邊分別為，，，若，則的形狀是（）A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. .等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形7. 如圖，某圓錐的軸截面是等邊三角形，點是底面圓周上的一點，且，點是的中點，則異面直線與所成角的余弦值是（）A.  B.  C.  D. 8. 如圖，在菱形中，，，沿對角線將折起，使點A，C之間的距離為，若P，Q分別為線段，上的動點，則下列說法錯誤的是（）A. 平面平面B. 線段最小值為C. 當，時，點D到直線的距離為D. 當P，Q分別為線段，的中點時，與所成角的余弦值為二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9. 已知是單位向量，且，則（）A.  B. 與垂直C. 與的夾角為 D. 10. 袋子中共有大小和質地相同的4個球，其中2個白球和2個黑球，從袋中有放回地依次隨機摸出2個球．甲表示事件“第一次摸到白球”，乙表示事件“第二次摸到黑球”，丙表示事件“兩次都摸到白球”，則（）A. 甲與乙互斥 B. 乙與丙互斥 C. 甲與乙獨立 D. 甲與乙對立11. 在中，角的對邊分別是，下列說法正確的是（）A. 若，則有2解；B. 若，則；C. 若，則為銳角三角形；D. 若，則為等腰三角形或直角三角形.12. 如圖，在棱長為的正方體中，分別為棱，的中點，為面對角線上的一個動點，則（）A. 三棱錐的體積為定值B. 線段上存在點，使平面C. 線段上存在點，使平面平面D. 設直線與平面所成角為，則的最大值為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13. 若復數(shù)（其中為虛數(shù)單位）所對應的向量分別為和，則的面積為_______．14. 如圖所示，已知四面體頂點和，則從頂點D所引四面體的高__________．15. 己知數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為2，則數(shù)據(jù)的平均數(shù)為a，方差為b，則___________．16. 如圖，四邊形為平行四邊形，，現(xiàn)將沿直線翻折，得到三棱錐，若，則三棱錐的內切球與外接球表面積的比值為_____．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17. 根據(jù)要求完成下列問題：（1）關于的方程有實根，求實數(shù)的取值范圍；（2）若復數(shù)（）的共軛復數(shù)對應的點在第一象限，求實數(shù)的集合．18. 第24屆冬奧會于2022年2月在北京舉行，志愿者的服務工作是冬奧會成功舉辦的重要保障．某高校承辦了北京志愿者選拔的面試工作．現(xiàn)隨機抽取了100名候選者的面試成績，并分成五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖2所示的頻率分布直方圖．已知第三、四、五組的頻率之和為0.7，第一組和第五組的頻率相同．（1）求a，b的值；（2）估計這100名候選者面試成績的平均數(shù)和第分位數(shù)（分位數(shù)精確到0.1）；（3）在第四、第五兩組志愿者中，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取5人，然后再從這5人中選出2人，以確定組長人選，求選出的兩人來自不同組的概率．19. 甲、乙兩個人獨立地破譯一個密碼，他們能譯出密碼的概率分別為和，求：（1）兩個人都譯出密碼的概率；（2）恰有1個人譯出密碼的概率；（3）若要達到譯出密碼的概率為99%，至少需要像乙這樣的人多少個？20. 如圖，在四棱錐中，底面為等腰梯形，，，面，，點為線段中點（1）求證：面；（2）求異面直線與所成角大小.21. 如圖所示，在平面五邊形中，已知，，，，.（1）當時，求；（2）當五邊形的面積時，求的取值范圍.22. 已知正方形的邊長為，，分別為，的中點，以為棱將正方形折成如圖所示的的二面角，點在線段上.（1）若為的中點，且直線與由，，三點所確定平面的交點為，試確定點的位置，并證明直線平面；（2）是否存在點，使得直線與平面所成角為；若存在，求此時平面與平面的夾角的余弦值，若不存在，說明理由.  1【答案】B2【答案】C3【答案】D4【答案】C5【答案】C6【答案】D7【答案】C8【答案】C9【答案】BC10【答案】BC11【答案】BCD12【答案】ABD13【答案】514【答案】1115【答案】2716【答案】17【答案】（1）（2）【小問1詳解】設是其實根，代入原方程變形為，由復數(shù)相等的定義，得，解得；【小問2詳解】由題意得，∴，即，解得，故實數(shù)的集合為 .18【答案】（1）；（2）估計平均數(shù)為69.5，第分位數(shù)為71.7；（3）.【小問1詳解】，解得：，所以；【小問2詳解】，故估計這100名候選者面試成績的平均數(shù)為69.5；前兩組志愿者的頻率為，前三組志愿者的頻率為，所以第分位數(shù)落在第三組志愿者中，設第分位數(shù)為，則，解得：，故第分位數(shù)為71.7【小問3詳解】第四、第五兩組志愿者的頻率比為，故按照分層抽樣抽得的第四組志愿者人數(shù)為4，分別設為，第五組志愿者人數(shù)為1，設為，這5人中選出2人，所有情況有，共有10種情況，其中選出的兩人來自不同組的有共4種情況，故選出的兩人來自不同組的概率為19【答案】（1）（2）（3）17名【小問1詳解】記“甲獨立地譯出密碼”為事件A，“乙獨立地譯出密碼”為事件B，A，B為相互獨立事件，且，．兩個人都譯出密碼的概率為．【小問2詳解】恰有1個人譯出密碼可以分為兩類：甲譯出乙未譯出或甲未譯出乙譯出，且兩個事件為互斥事件，所以恰有1個人譯出密碼的概率為．【小問3詳解】假設有n個像乙這樣的人分別獨立地破譯密碼，要譯出密碼相當于至少有1個人譯出密碼，其對立事件為所有人都未譯出密碼，故能譯出密碼的概率為，即，故，所以，即至少有17名像乙這樣的人，才能使譯出密碼的概率達到99%．20【小問1詳解】證明：由面建立如圖所示的直角坐標系，以A點為坐標原點，分別以，垂直于AD以及為方向建立軸，如圖所示:由底面是等腰梯形以及可知：，，，又由點為線段中點，可知，，設為平面的法向量，故可知：，解得令，可知平面的法向量一個法向量為：根據(jù)線面平行向量法判斷法則可知面【小問2詳解】解：由題意得：由（1）分析可知，可知向量互相垂直，故異面直線與所成角的大小為21【答案】（1）；（2）.【小問1詳解】連接，由五邊形內角和得：，∴，則四邊形為等腰梯形，則，又，，故，，所以在中，由余弦定理得，∴，過點作于，可得，∴；【小問2詳解】由，又五邊形的面積，∴，設，則，整理得，解得或，又，即，∴的取值范圍是.22【小問1詳解】證明：因為直線平面，故點在平面內也在平面內，所以點在平面與平面的交線上(如圖所示).因為，為的中點，所以，所以，，所以點在的延長線上，且.連接交于，因為四邊形為矩形，所以是的中點.連接，所以為的中位線，所以，又因為平面，所以直線平面.【小問2詳解】解：存在.由已知可得，，，所以平面，所以平面平面,取的中點為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，所以，所以設（），則，設平面的法向量，則所以，取，則，所以.因為與平面所成的角為，所以所以，解得或，所以存在點，使得直線與平面所成的角為.設平面的法向量為，則，所以，取，則，所以，，設二面角的大小為.所以.因為當時，，此時平面平面，所以當時，為鈍角，所以.當時，為銳角，所以 
 
 

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