六安一中2023屆高三年級第四次月考數(shù)學(xué)試卷 時間：120分鐘                滿分：150分一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），是的共軛復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（     ）A．第一象限   B．第二象限    C．第三象限    D．第四象限 2．已知空間中的兩個不同的平面，直線平面，則“”是“”的（     ）A．充分不必要條件       B．必要不充分條件 C．充要條件         D．既不充分也不必要條件3．一個水平放置的平面圖形，用斜二測畫法畫出了它的直觀圖，如圖所示，此直觀圖恰好是一個邊長為2的正方形，則原平面圖形的面積為（        ）A．                   B．         C．8                     D．4．如圖，已知是正方體，以下結(jié)論錯誤的是（       ）A．向量與向量的夾角為60°   B．C．D．若，則點是的中心5．若不等式的解集為區(qū)間，且，則（       ）A．        B．           C．               D．2 6．過點作圓的切線，直線與切線平行，則切線與直線間的距離為（       ）A．                 B．2                   C．4                 D．7．如圖，已知平面，，是直線上的兩點，是平面內(nèi)的兩點，且．是平面上的一動點，且直線與平面所成角相等，則四棱錐體積的最大值為（       ）A．              B． C．              D．8．在正四棱臺中，，當該正四棱臺的體積最大時，則其外接球的表面積為（      ）A．       B．        C．        D．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．以下四個命題表述正確的是（       ）A．若直線l的斜率為，則直線l的傾斜角為B．三棱錐中，分別為的中點，，則平面將該三棱錐所分的兩部分幾何體的體積之比為1:5，即C．若直線l過點且在兩坐標軸上的截距之和為0，則直線l的方程為D．在四面體中，若，則10．在三棱錐中，已知底面ABC，分別是線段上的動點．則下列說法正確的是（　　）A．當時， B．當時，一定為直角三角形 C．當時，平面平面D．當平面AEF時，平面與平面不可能垂直11．已知正方體的棱長為2，為線段的中點，，其中，，則下列選項正確的是（       ）A．當時，三棱錐的體積為定值B．當時，的最小值為C．當時，直線與平面的交點軌跡長度為D．當時，點到平面的距離為12．若實數(shù)滿足，則下列說法正確的是（     ）A．的最小值是0      B．的最大值是5C．若關(guān)于的方程有一解，則的取值范圍為D．若關(guān)于的方程有兩解，則的取值范圍為三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分． 13．若直線與圓分別交于M、N兩點. 則弦MN長的最小值為           .14．在四面體中，，且異面直線與所成的角為60，分別是棱的中點，則線段MN的長為         ．15．已知的一條內(nèi)角平分線所在的直線方程為，兩個頂點坐標分別為，則邊所在的直線方程為          ．（結(jié)果用一般式表示）16．已知數(shù)列滿足：，若，則數(shù)列的前20項和           ． 四、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17、（本小題滿分10分）如圖，四邊形是圓柱的軸截面，點在圓柱的底面圓周上，是的中點，圓柱的底面圓的半徑，側(cè)面積為，.（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值．    18、（本小題滿分12分）如圖，為內(nèi)的一點，記為，記為，且、在中的對邊分別記為.（1）求；（2）若，求線段和的長．     19、（本小題滿分12分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知圓及點．（1）若直線過點，與圓相交于兩點，且，求直線l的方程；（2）圓上是否存在點，使得成立？若存在，求點的個數(shù)；若不存在，請說明理由．  20、（本小題滿分12分）已知數(shù)列的前n項和為，且．（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求證：． 21、（本小題滿分12分）在①，②，③，這三個條件中選擇一個，補充在下面問題中，并給出解答．如圖，在五面體中，已知       ，，且．（1）設(shè)平面與平面的交線為，證明：平面；（2）求證：平面平面；（3）線段上是否存在一點，使得平面與平面夾角的余弦值等于，若存在，求的值；若不存在，請說明理由．  22、（本小題滿分12分）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）若與的圖象有公共點．（i）當時，求的取值范圍；（ii）求證：．六安一中2023屆高三年級第四次月考數(shù)學(xué)參考答案一．選擇題123456789101112CBDACABDBDACDABDAB二．填空題13、4             14、1或              15、              16、 17、證明：（1）由題意可知，解得      ............................1分     在中，所以，又因為是的中點，所以因為是圓的直徑，所以，由已知得，平面所以，所以平面，                         ............................3分從而平面，證得.                ............................5分（2）過作，則面                            .............................6分連接，則就是直線與平面所成的角           ............................7分，                                     ............................9分.                               .........................10分18、解：（1）由題知，              ...........................4分，.          ............................6分（2）在中，由余弦定理得知：                ..........................8分又，且                     ..........................9分又，                                       ..........................10分在中，.         ..........................12分19、解：（1）若的斜率不存在時，，此時符合要求.    ........................2分當的斜率存在時，設(shè)的斜率為，則令，                                      ............................4分                                             ............................5分所以直線的方程為或.                     ............................6分（2）假設(shè)圓上存在點，設(shè)，則，，      ............................8分即，即，                    ............................9分，                         ............................10分與相交，則點有兩個．      ............................12分20、（1）證明：令，得.                   ............................. 1分所以時，       ①                ②①-②得，即                         ....................... 3分所以，，因為，所以數(shù)列是以1為首項為公差的等差數(shù)列．               ....................... 5分所以，所以.      ........................ 6分（2）由            ..................... 8分所以              ........................ 10分因為，所以，得證.        ........................12分21、證明:（1），平面                        ........................1分又平面且平面平面，       .........................2分又平面，平面，平面.      ........................3分（2）若選①，取中點，中點中點，連接，，，四邊形為平行四邊形，，，又，，，，又，，又，，平面，平面，平面，平面平面，，，又平面，平面平面，平面，又，，；        ........................ 5分若選②，，，，平面，平面，平面，平面平面，取中點，中點，連接，，，又平面，平面平面，平面，又，，；         ........................ 5分若選③，取中點，中點，連接，，，又，；分別為中點，，又，，四邊形為平行四邊形，；，，，，，，，，，又，，又，，平面，平面，平面，平面平面，又，平面，平面平面，平面，又，，；         ........................ 5分綜上所述：兩兩互相垂直.則以為坐標原點，為軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，平面，平面的一個法向量；           ........................ 6分設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，，                      ........................ 7分，即，平面與平面.                ........................ 8分（3）設(shè)在線段上存在點，使得平面與平面夾角的余弦值等于，由（2）得：，，設(shè)平面的法向量，則，令，則，           ........................ 9分∵面的法向量為 ，化簡得，∴方程無解                                                   ........................ 11分線段以上不存在點F，使得平面AEF與平面ABF夾角的余弦值等于.  .............12分22、解：（1），故，                       ........................1分而，曲線在點處的切線方程為，     .......................2分即.                                                      .......................3分（2）（i）當時， 因為曲線和有公共點，故有解，設(shè)，故，故在上有解，設(shè)，故在上有零點，.......................4分而，若，則恒成立，此時在上無零點，             .......................5分若，則在上恒成立，故在上為增函數(shù)，      .......................6分而，，故在上無零點，故，設(shè)，則，故在上為增函數(shù)，而，，故在上存在唯一零點，且時，；時，；故時，；時，；所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故，    ......................7分因為在上有零點，故，故，而，故即，設(shè)，則，故在上為增函數(shù)，而，故.                                     ........................ 8分另解：令，所以，.當時，，即在上是單調(diào)遞減的；當時，，即在上是單調(diào)遞增的；因為，所以有，解得.（ii）因為曲線和有公共點，所以有解，其中，若，則，該式不成立，故.故，考慮直線，表示原點與直線上的動點之間的距離，故，所以，                    ........................ 9分下證：對任意，總有，證明：當時，有，故成立.當時，即證，設(shè)，則（不恒為零），故在上為減函數(shù)，故即成立.綜上，成立.                                                  ........................ 10分下證：當時，恒成立，，則，故在上為增函數(shù)，故即恒成立.          ........................11分下證：在上恒成立，即證：，即證：，即證：，而，故成立.故，即成立.                                  ........................ 12分第二問另證：方法一：柯西不等式：令交點橫坐標為，則由柯西不等式：.即證：，因為，原命題得證.方法二：基本不等式：令交點橫坐標為，則，則由基本不等式，因此有：，原命題得證.答案僅供參考，請各位老師按步驟給分！其它解法請酌情給分！
 

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