習(xí)題課　函數(shù)的存在性問題與恒成立問題 學(xué)習(xí)目標　1.了解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的存在性問題和恒成立問題的方法.2.初步運用導(dǎo)數(shù)解決有關(guān)的存在性問題和恒成立問題． 一、函數(shù)的恒成立問題 例1　設(shè)函數(shù)f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t＞0)． (1)求f(x)的最小值h(t)； (2)若h(t)＜－2t＋m對t∈(0,2)恒成立，求實數(shù)m的取值范圍． 解　(1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t＞0)， ∴當(dāng)x＝－t時，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1， 即h(t)＝－t3＋t－1. (2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m， 由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(舍去)． 當(dāng)t變化時，g′(t)，g(t)的變化情況如表所示： ∴對t∈(0,2)，當(dāng)t＝1時，g(t)max＝1－m， h(t)0，解得0eq \f(1＋ln x,x)， 設(shè)g(x)＝eq \f(ln x＋1,x)，得g′(x)＝eq \f(－ln x,x2)， 當(dāng)x∈(1，＋∞)時，g′(x)2對任意的實數(shù)x恒成立，求a的取值范圍． 解　(1)當(dāng)a＝－1時，f(x)＝x－eq \f(1,ex)， 則f′(x)＝1＋eq \f(1,ex)>0， ∴f(x)在[0，＋∞)上是增函數(shù)， 又f(0)＝－10， 故?x0∈(0,1)，使得f(x0)＝0， ∴函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上有1個零點． (2)若f(x)>2對任意的實數(shù)x恒成立， 即a>ex(2－x)恒成立， 令g(x)＝ex(2－x)，則g′(x)＝ex(1－x)， 令g′(x)>0，得x0，得x>0； 令f′(x)

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