?專(zhuān)題18 立體幾何空間距離與截面100題
空間中的距離問(wèn)題1-60題
一、單選題
1．《九章算術(shù)·商功》：“斜解立方，得兩塹堵，斜解塹堵，其一為陽(yáng)馬，一為鱉臑．陽(yáng)馬居二，鱉臑居一，不易之率也．合兩鱉臑三而一，驗(yàn)之以基，其形露矣．”文中“陽(yáng)馬”是底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐．在陽(yáng)馬中，側(cè)棱底面，且，，則點(diǎn)到平面的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用等體積法有，即可求到平面的距離.
【詳解】

設(shè)到平面的距離為，則三棱錐PABD的體積為：
，即有，
∴．
故選：B．
2．已知直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，且方向向量為，則點(diǎn)到的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
本題首先可根據(jù)題意得出，然后求出與，最后根據(jù)空間點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式即可得出結(jié)果.
【詳解】
因?yàn)?，，所以?br /> 則，，
由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式得，
故選：A.
3．在中，，，若平面，，則點(diǎn)到的距離是（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】B
【分析】
取的中點(diǎn)，連接、，即可得到，再由線(xiàn)面垂直，得到，從而得到面，即可得到，再由勾股定理求出即可；
【詳解】
解：如圖，取的中點(diǎn)，連接、，
因?yàn)?，所以，又平面，平面，所以，，面，所以面，面，所以，在中，，，所以，在中，，，所?br /> 故選：B

4．在四面體中，PA，PB，PC兩兩垂直，設(shè)，則點(diǎn)P到平面ABC的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
取中點(diǎn)，連結(jié)，作平面，交于，由此能求出點(diǎn)到平面的距離．
【詳解】
解：在四面體中，，，兩兩垂直，，
，
取中點(diǎn)，連結(jié)，作平面，交于，
則，
，
點(diǎn)到平面的距離．
故選：．

5．已知直線(xiàn)l的方向向量為，點(diǎn)在l上，則點(diǎn)到l的距離為（ ）
A． B．1 C．3 D．2
【答案】B
【分析】
結(jié)合點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式分別計(jì)算模長(zhǎng)與夾角的正弦值即可計(jì)算.
【詳解】
由題可知，點(diǎn)到l的距離為，，，，，則，則，故點(diǎn)到l的距離為.
故選：B
6．已知棱長(zhǎng)為2的正方體，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，則點(diǎn)B到EF的距離為（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
在正方體中解，再在中用面積法求邊上的高.
【詳解】

連接、、，則為與中點(diǎn)，
因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以,
又正方體邊長(zhǎng)為2，所以
，，，
，
設(shè)B到EF的距離為，則
，.
故選：A
7．若平面的一個(gè)法向量為，點(diǎn)，，，，到平面的距離為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
求出，點(diǎn)A到平面的距離：，由此能求出結(jié)果
【詳解】
解：，，，，
∴ 為平面的一條斜線(xiàn)，且
∴ 點(diǎn)到平面的距離：
故選：B.
8．已知，則點(diǎn)A到直線(xiàn)的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先求得，得到向量在方向上的投影為，進(jìn)而求得點(diǎn)A到直線(xiàn)的距離．
【詳解】
由，可得，
則向量在方向上的投影為，
所以點(diǎn)A到直線(xiàn)的距離．
故選：A.
9．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線(xiàn)段D1E上，點(diǎn)P到直線(xiàn)CC1的距離的最小值為（　?。?br />
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
建立空間直角坐標(biāo)系，將點(diǎn)P到直線(xiàn)CC1的距離的最小值轉(zhuǎn)化為異面直線(xiàn)D1E與CC1的距離，利用空間向量可求得結(jié)果.
【詳解】
以D為原點(diǎn)，分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則E(1,2,0)，D1(0,0,2)，,,
，，,
設(shè)(x，y，z)，,，
則(x，y，z)·(0,0,2)＝0，∴z＝0，
＝(x，y，z)·(－1，－2,2)＝，∴y＝-x，
令x＝1，則y＝-，∴u＝(1,-,0)，
∴異面直線(xiàn)D1E與CC1的距離為d＝，
∵P在D1E上運(yùn)動(dòng)，∴P到直線(xiàn)CC1的距離的最小值為d＝.
故選：A.
10．如圖所示的三棱錐，平面，，若，，，，當(dāng)取最大值時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為（ ）

A． B． C． D．5
【答案】D
【分析】
由題意，易知，由基本不等式可得當(dāng)取最大值時(shí)，的值，再由等體積法可求得點(diǎn)到平面的距離.
【詳解】
解：平面，，
又，，，
，
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），
所以當(dāng)取最大值時(shí)，，
平面，，又，且，
平面，，
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，
即，即，
所以，即是點(diǎn)到平面的距離為5.
故選：D.
11．已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，E為A1B1的中點(diǎn)，下列說(shuō)法中正確的是（　?。?br /> A．ED1與B1C所成的角大于60°
B．點(diǎn)E到平面ABC1D1的距離為1
C．三棱錐E﹣ABC1的外接球的表面積為
D．直線(xiàn)CE與平面ADB1所成的角為
【答案】D
【分析】
利用平行線(xiàn)轉(zhuǎn)移求異面直線(xiàn)成角的正切值，判斷A錯(cuò)誤；利用平行線(xiàn)上點(diǎn)到平面的距離相等求點(diǎn)到面距離，判斷B錯(cuò)誤；先判斷三棱錐的外接球即四棱錐的外接球，再結(jié)合球中幾何關(guān)系求球的半徑，再求表面積，判斷C錯(cuò)誤；利用線(xiàn)面成角的定義求正弦值，判斷D正確.
【詳解】
對(duì)于A，取DC中點(diǎn)F，連接，則為ED1與B1C所成的角，因?yàn)?，所以，故，即A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，由平面知，到平面的距離等于到平面的距離，連接，交于，則平面，而，故到平面的距離為，即B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，三棱錐的外接球即四棱錐的外接球.因?yàn)樗倪呅问蔷匦?，，四棱錐的高為，設(shè)四棱錐的外接球半徑為R，則，解得.
所以三棱錐的外接球的表面積為，即C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，連接，取的中點(diǎn)H，連接，交EC于K，連接CH，HK，因?yàn)椋允侵本€(xiàn)CE與平面ADB1所成的角，，故，在直角三角形中，，，，即D正確.
故選：D.
12．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，M為棱的中點(diǎn)，N為棱上的點(diǎn)，且，現(xiàn)有下列結(jié)論：
①當(dāng)時(shí)，平面；
②存在，使得平面；
③當(dāng)時(shí)，點(diǎn)C到平面的距離為；
④對(duì)任意，直線(xiàn)與都是異面直線(xiàn)．
其中所有正確結(jié)論的編號(hào)為（ ）

A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【答案】D
【分析】
利用平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化，再利用比例關(guān)系求的值，判斷①；利用反證法判斷②；利用等體積轉(zhuǎn)化求點(diǎn)C到平面的距離，判斷③；利用異面直線(xiàn)的判斷定理判斷④.
【詳解】
若平面，如圖，連接，記交于S，交于T，連接，則，又T為的中點(diǎn)，故S也為的中點(diǎn)．
延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于Q，可知，即，故①錯(cuò)誤．

若平面，則，又，，所以平面，這是不可能的，故②錯(cuò)誤．
利用等體積法，，，，解得：，求得點(diǎn)C到平面的距離為，故③正確．
連接，平面，點(diǎn)平面，點(diǎn)平面，利用異面直線(xiàn)的判定定理“過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)和平面外一點(diǎn)的直線(xiàn)與平面內(nèi)不過(guò)該點(diǎn)的直線(xiàn)異面”，故④正確．

故選：D
13．重心是幾何體的一個(gè)重要性質(zhì)，我國(guó)的國(guó)寶級(jí)文物東漢銅奔馬（又名：馬踏飛燕）就是巧妙利用了重心位于支點(diǎn)正上方這一性質(zhì)而聞名于世.已知正三棱錐的重心是其每個(gè)頂點(diǎn)與其所對(duì)的面的三角形重心連線(xiàn)的交點(diǎn).若正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為，則其重心G到底面的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
取、的重心，連接，根據(jù)三角形重心的性質(zhì)可得且，即可得到，從而得到，再利用勾股定理求出，即可得解；
【詳解】
解：如圖，為的重心，為的重心，連接，
因?yàn)?，所以且，所以，所以，由正三棱錐的性質(zhì)可知平面，又，所以，又，所以，所以，所以重心G到底面的距離即為；
故選：B

14．三棱錐中，底面ABC，，，D為AB的中點(diǎn)，，則點(diǎn)D到面的距離等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
在三角形SAB內(nèi)作AE⊥SB交SB于E，進(jìn)而根據(jù)條件證明AE⊥面SBC，算出AE的長(zhǎng)度，再根據(jù)D為AB的中點(diǎn)得到答案.
【詳解】
如圖，

在三角形中，過(guò)A作AE⊥SB交SB于E，
因?yàn)槊?，所以，又，，所以面，因?yàn)槊?，所以，而AE⊥SB，且，所以AE⊥面SBC.
在三角形SAB中，由勾股定理易得，則由等面積法可得：，因?yàn)镈為AB的中點(diǎn)，所以D到平面SBC的距離為：.
故選：C.
15．在棱長(zhǎng)為的正方體中，，，分別是，，的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
在正方體中構(gòu)造三棱錐，用等體積法計(jì)算點(diǎn)到面的距離
【詳解】

如上圖所示，三棱錐可以換底為三棱錐，此時(shí)，底面積，高為，所以，三角形中，，根據(jù)余弦定理， ，所以，
，根據(jù)等體積法得：點(diǎn)到平面的距離
故選：B
16．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，CG⊥平面ABCD，CG=2，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，則點(diǎn)B到平面GEF的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
設(shè)出點(diǎn)面距離，利用，結(jié)合幾何體的特征，即可用等體積法求得點(diǎn)面距離.
【詳解】
解：設(shè)到平面的距離為.

.
，.
所以.
由得.
故選：B.
17．如圖，在長(zhǎng)方體中，，，，是的中點(diǎn)，求到面的距離為（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
連接，由，結(jié)合棱錐體積公式即可求到面的距離.
【詳解】
連接，則，

由題設(shè)知：，，
∴△中，上的高為，則，
又，，即，若到面的距離為，
∴，得.
故選：B
18．如圖，在長(zhǎng)方體中，，，E，F(xiàn)分別是平面與平面的對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)，則點(diǎn)E到直線(xiàn)AF距離為（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
中，由長(zhǎng)方體性質(zhì)求得三邊長(zhǎng)，再由余弦定理求得的余弦，然后求得正弦后可得所求距離．
【詳解】
連接，
因?yàn)槭情L(zhǎng)方體，因此其棱與相應(yīng)的面垂直，從而垂直于該面中的直線(xiàn)，
，，
，，
，
，則，
設(shè)到的距離為，
則．
故選：C．

19．已知平面，垂足為點(diǎn)，且與相交于點(diǎn)，，射線(xiàn)在內(nèi)，且，，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根據(jù)題意，正確作出相應(yīng)圖形，容易得出答案.
【詳解】
如圖，過(guò)作 ，垂足為，連接，由平面，平面，則，由輔助線(xiàn)可得，又，則平面，則，于是到直線(xiàn)的距離是，由題意，直角三角形中，，，直角三角形中，
，于是.
故選：C

20．定義：兩條異面直線(xiàn)之間的距離是指其中一條直線(xiàn)上任意一點(diǎn)到另一條直線(xiàn)距離的最小值．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，直線(xiàn)與之間的距離是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
在上任取點(diǎn)，作，設(shè)， ，根據(jù)得出和的關(guān)系，從而可得關(guān)于(或的函數(shù)關(guān)系，再求出此函數(shù)的最小值即可.
【詳解】

設(shè)為直線(xiàn)上任意一點(diǎn)， 過(guò)作，垂足為，可知此時(shí)到直線(xiàn)距離最短
設(shè)，，
則，
，
，，
即，
，即，
，
，
，
當(dāng)時(shí)，取得最小值，
故直線(xiàn)與之間的距離是.
故選：B.
21．如圖，在正方體中，、、、分別是所在棱的中點(diǎn)，則下列結(jié)論不正確的是（ ）

A．點(diǎn)、到平面的距離相等
B．與為異面直線(xiàn)
C．
D．平面截該正方體的截面為正六邊形
【答案】B
【分析】
利用中點(diǎn)的性質(zhì)可判斷A選項(xiàng)的正誤；利用三角形全等可判斷B選項(xiàng)的正誤；利用余弦定理可判斷C選項(xiàng)的正誤；確定截面與各棱的交點(diǎn)以及截面多邊形邊長(zhǎng)與各角的大小，可判斷D選項(xiàng)的正誤.
【詳解】
對(duì)于A選項(xiàng)，為的中點(diǎn)，故點(diǎn)、到平面的距離相等，A對(duì)；
對(duì)于B選項(xiàng)，延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，

因?yàn)?，為的中點(diǎn)，則，，，
所以，，則，同理可知，則，
即點(diǎn)、重合，故、相交，B錯(cuò)；
對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，
則，同理，所以，為等邊三角形，
因?yàn)椋?br /> 由余弦定理可得，
所以，，故，則，C對(duì)；
對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)平面分別交棱、于點(diǎn)、，
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面平面，則，
因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，則，
因?yàn)?，，故四邊形為平行四邊形，則，，
為的中點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，同理可知為的中點(diǎn)，
所以，、、、、、分別為棱、、、、、的中點(diǎn)，
由勾股定理可知六邊形的邊長(zhǎng)為，且，
同理易知，
故六邊形為正六邊形，D對(duì).
故選：B.
22．正方體的棱長(zhǎng)為2，G為的中點(diǎn)，則直線(xiàn)BD與平面的距離為( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由圖可知，∥，利用平行的性質(zhì)將BD與平面的距離轉(zhuǎn)化為D與平面的距離，進(jìn)一步利用等體積法求出D與平面的距離即可.
【詳解】

由圖易證∥平面，所以BD與平面的距離等于D與平面的距離.設(shè)D與平面的距離為h，則.又因?yàn)闉檎襟w，所以平面，所以，所以，所以.又正方體的棱長(zhǎng)為2，G為的中點(diǎn)，所以，，，所以中邊上的高為.所以.
故選：B.
23．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，P為的中點(diǎn)，Q為上任意一點(diǎn)，E，F(xiàn)為CD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF的長(zhǎng)為定值，則點(diǎn)Q到平面PEF的距離（ ）


A．等于 B．和EF的長(zhǎng)度有關(guān)
C．等于 D．和點(diǎn)Q的位置有關(guān)
【答案】A
【分析】
取的中點(diǎn)G，連接，利用線(xiàn)面平行判斷出選項(xiàng)B,D錯(cuò)誤；建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面的法向量結(jié)合空間向量數(shù)量積公式求得點(diǎn)到面的距離，從而得出結(jié)論.
【詳解】
取的中點(diǎn)G，連接，則，所以點(diǎn)Q到平面的距離即點(diǎn)Q到平面的距離，與的長(zhǎng)度無(wú)關(guān)，B錯(cuò)．
又平面，所以點(diǎn)到平面的距離即點(diǎn)Q到平面的距離，即點(diǎn)Q到平面的距離，與點(diǎn)Q的位置無(wú)關(guān)，D錯(cuò)．
如圖，以點(diǎn)D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，∴，，，
設(shè)是平面的法向量，則由得
令，則，所以是平面的一個(gè)法向量．
設(shè)點(diǎn)Q到平面的距離為d，則，A對(duì)，C錯(cuò)．
故選：A．

24．如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，M，N分別為，的中點(diǎn)，其中正確的結(jié)論是（ ）

A．直線(xiàn)MN與AC所成的角為45° B．直線(xiàn)AM與BN是平行直線(xiàn)
C．二面角的平面角的正切值為 D．點(diǎn)C與平面MAB的距離為
【答案】D
【分析】
根據(jù)異面直線(xiàn)所成角的定義得到為異面直線(xiàn)與所成的角，即可判斷A；取的中點(diǎn)，連接、，可得從而判斷B；設(shè)，連接、，即可得到為二面角的平面角，再根據(jù)銳角三角形函數(shù)的定義計(jì)算可得；利用等體積法求出點(diǎn)C與平面MAB的距離，即可判斷D；
【詳解】
解： 對(duì)于A：因?yàn)?，所以為異面直線(xiàn)與所成的角，為等邊三角形，所以，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：取的中點(diǎn)，連接、，易知，因?yàn)?，所以與不是平行直線(xiàn)，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：設(shè)，連接、，顯然為的中點(diǎn)，所以，又，所以，所以為二面角的平面角，所以，故二面角的平面角的正切值為，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：設(shè)點(diǎn)C與平面MAB的距離為，則，又，，所以，即，因?yàn)?，所以，，所以，所以D正確；
故選：D

25．在三棱錐中，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，底面，則點(diǎn)到平面的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
（方法一）易知，又底面，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的一個(gè)法向量，然后由求解；（方法二）利用等體積法，由
求解．
【詳解】
（方法一）如圖，

因?yàn)?，點(diǎn)是的中點(diǎn)，
所以，
又底面，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
所以，，，
在中，，
所以，則點(diǎn)．
設(shè)平面的一個(gè)法向量為
則，，即，，
取，得，
所以點(diǎn)到平面的距離．
（方法二）由題意可知在三棱錐中，，，相互垂直，
．
在中，，
所以三角形是正三角形，
所以，
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，
所以．
故選：A
26．如圖，已知在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)在棱上，且，在側(cè)面內(nèi)作邊長(zhǎng)為2的正方形是側(cè)面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)到平面的距離等于線(xiàn)段的長(zhǎng)，則當(dāng)點(diǎn)在側(cè)面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的最小值是（ ）

A．12 B．24 C．48 D．64
【答案】B
【分析】
確定過(guò)點(diǎn)作，垂足為，由長(zhǎng)方體得當(dāng)最小時(shí)，最小，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)軌跡方程，用坐標(biāo)表示，得最小值，從而得結(jié)論．
【詳解】
在長(zhǎng)方體中，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連接，則，所以，
當(dāng)最小時(shí)，最小，
過(guò)點(diǎn)作，垂足為，
設(shè)，則，且，
因?yàn)椋?br /> 所以，
化簡(jiǎn)可得，
所以，
當(dāng)時(shí)，取得最小值為8，
此時(shí)，，
所以的最小值為24，
故選：B．

27．如圖所示，ABCD—EFGH為邊長(zhǎng)等于1的正方體，若P點(diǎn)在正方體的內(nèi)部且滿(mǎn)足，則P點(diǎn)到直線(xiàn)BC的距離為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系， 由題意，計(jì)算出和的坐標(biāo)，然后根據(jù)向量法求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式即可求解.
【詳解】
如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
所以，，，
，
，，
，
所以點(diǎn)P到的距離．
故選：B.

28．若正四棱柱的底邊長(zhǎng)為2，，E是的中點(diǎn)，則到平面EAC的距離為（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用線(xiàn)面平行的判定定理證明∥平面EAC，則點(diǎn)到平面EAC的距離即為直線(xiàn)到平面EAC的距離，建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出平面AEC的法向量，由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求解即可．
【詳解】
解：由棱柱的幾何性質(zhì)可知，∥AC，
又?平面EAC，AC?平面EAC，
則∥平面EAC，
所以點(diǎn)到平面EAC的距離即為直線(xiàn)到平面EAC的距離，
因?yàn)檎睦庵牡走呴L(zhǎng)為2，，
則，
以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，
則A（0，0，0），，，，
所以，，，
設(shè)平面AEC的法向量為，
則，即，
令，則，，
故，
所以點(diǎn)到平面EAC的距離，
故到平面EAC的距離為．
故選：C．

29．已知正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)為線(xiàn)段上一點(diǎn)，，則點(diǎn)到平面的距離為（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】B
【分析】
在直角三角形中，過(guò)作垂直于于，證明平面，解直角三角形求解．
【詳解】
連接，過(guò)作于，如圖，

設(shè)，
因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為1，所以，，
因?yàn)槠矫妫?，所以平面?br /> 所以點(diǎn)到平面的距離為的長(zhǎng)度，
因?yàn)椋?br /> 所以，
故選：B
30．已知△ABC在平面內(nèi)，不重合的兩點(diǎn)P，Q在平面同側(cè)，在點(diǎn)M從P運(yùn)動(dòng)到Q的過(guò)程中，記四面體M-ABC的體積為V，點(diǎn)A到平面MBC的距離為d，則可能的情況是（ ）
A．V保持不變，d先變大后變小 B．V保持不變，d先變小后變大
C．V先變大后變小，d不斷變大 D．V先變小后變大，d不斷變小
【答案】A
【分析】
先用根據(jù)題意，可知的過(guò)程中，h是單調(diào)或不變的，故可排除C、D，
再結(jié)合圖像，得到所以會(huì)先變小后變大或單調(diào)或不變，即可求解.
【詳解】
設(shè)點(diǎn)M到平面的距離為h，易知的過(guò)程中，h是單調(diào)或不變的，于是，是單調(diào)的或不變的，排除C、D.
對(duì)于AB選項(xiàng)，V不變即h不變，得到，是平行于的平面.
，是M到直線(xiàn)BC的距離.
如圖①過(guò)程中，會(huì)先變小后變大，反向移動(dòng)，也會(huì)先變小后變大；
②的過(guò)程中，會(huì)一直變大，反向移動(dòng)會(huì)一直變?。?br /> ③的過(guò)程中，會(huì)不變；
所以會(huì)先變小后變大或單調(diào)或不變，
所以也會(huì)先變小后變大或一直變大或不變，又M-ABC的體積為定值，
故d會(huì)先變大后變小或不變或者單調(diào).
故選：A.


二、多選題
31．已知四面體ABCD的每個(gè)頂點(diǎn)都在球O（O為球心）的球面上，為等邊三角形，M為AC的中點(diǎn)，，，且，則（ ）
A．平面ACD B．平面ABC
C．O到AC的距離為 D．二面角的正切值為
【答案】AD
【分析】
設(shè)的中心為G，過(guò)點(diǎn)G作直線(xiàn)平面ABC，利用線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理、判定定理得出球心，從而可判斷A、B; 連接OH，得出面面角，從而判斷A、D.
【詳解】

設(shè)的中心為G，過(guò)點(diǎn)G作直線(xiàn)平面ABC，
則球心O在上.由M為AC的中點(diǎn)，得.
因?yàn)?所以平面BDM，則，
所以，所以，所以，，所以，
所以，可得平面ACD，
所以球心O在直線(xiàn)MB上，因此O與G重合.過(guò)M作于H，
連接OH，則，從而為二面角的平面角.
因?yàn)?，?br /> 所以O(shè)到AC的距離為，且.
故選：AD
32．如圖，在四棱柱中，底面是等腰梯形，，，，底面，則（ ）

A．平面
B．直線(xiàn)與底面所成的角為
C．平面與平面夾角的余弦值為
D．點(diǎn)C到平面的距離為
【答案】ABC
【分析】
對(duì)于A：由線(xiàn)面垂直的性質(zhì)得.再由勾股定理得，根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定可判斷；
對(duì)于B：由已知得是直線(xiàn)與底面所成的角，由三角形知識(shí)計(jì)算可判斷；
對(duì)于C：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線(xiàn)為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)面面角的空間向量求解方法計(jì)算可判斷；
對(duì)于 D：根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的空間向量求解方法計(jì)算可判斷.
【詳解】
解：對(duì)于A：如圖，因?yàn)槠矫?平面，所以.
在等腰梯形中，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)G.
因?yàn)?，，，則，，，所以.
因此滿(mǎn)足，所以.
又平面，，所以平面.故A正確；
對(duì)于B：，，兩兩垂直，因?yàn)槠矫?，所以是直線(xiàn)與底面所成的角，
又，所以直線(xiàn)與底面所成的角為.故B正確；

對(duì)于C：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線(xiàn)為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，.
設(shè)平面的法向量為，由，得，
取平面的一個(gè)法向量.
又為平面的一個(gè)法向量，
設(shè)平面與平面夾角為，則，
因此平面與平面夾角的余弦值為.故C正確；
對(duì)于 D：點(diǎn)C到平面的距離為.故D不正確，
故選：ABC.
33．如圖，在正方體中，點(diǎn)O在線(xiàn)段AC上移動(dòng)，點(diǎn)M為棱的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的有（ ）

A．平面
B．的大小可以為90°
C．異面直線(xiàn)與的距離為定值
D．存在實(shí)數(shù)，使得成立
【答案】ABD
【分析】
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，通過(guò)求解，轉(zhuǎn)化判斷的正誤；通過(guò)證明平面，判斷的正誤；利用空間向量法求出異面直線(xiàn)的距離，從而判斷的正誤，通過(guò)，，三點(diǎn)共線(xiàn)，結(jié)合向量的模的關(guān)系，判斷的正誤．
【詳解】
解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，
設(shè)，，，，，0，，，2，，，2，，
所以．又平面，
所以平面的法向量為．因?yàn)椋?br /> 所以，所以平面，故正確；
對(duì)于，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，，1，，，2，，，0，，，2，，
所以，所以，，所以，，因?yàn)?，平面?br /> 所以平面，所以的大小可以為，故正確；
對(duì)于，，設(shè)，所以，即，令，則，，所以，又，所以異面直線(xiàn)與的距離，故不正確，
對(duì)于，，，三點(diǎn)共線(xiàn)，， ，所以
故正確．

故選：．
34．在直三棱柱中，，，D是AC的中點(diǎn)，下列判斷正確的是（ ）

A．∥平面
B．面⊥面
C．直線(xiàn)到平面的距離是
D．點(diǎn)到直線(xiàn)的距離是
【答案】ABD
【分析】
A.連接交于點(diǎn)E，連接DE，易得，再利用線(xiàn)面平行的判定定理判斷； B.易證，再根據(jù)平面平面ABC，得到平面，再利用面面垂直的判定定理判斷；C.以D點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解判斷；D.作，連接，易證，利用勾股定理求解判斷。
【詳解】
A.如圖所示：

連接交于點(diǎn)E，連接DE，所以，又平面，
平面，所以平面，故正確；
B.因?yàn)?，D是AC的中點(diǎn)，所以，又平面平面ABC，
所以平面，又平面，所以面⊥面，故正確；
C.∵平面，∴到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，
C.以D點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，
所以，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量，
則，即，不妨取，
所求距離，故錯(cuò)誤；
D.如圖所示：

作，連接，因?yàn)槠矫鍭BC，所以，
又，所以平面，則，
又，
所以，故正確；
故選：ABD
35．關(guān)于棱長(zhǎng)為的正方體，下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．點(diǎn)到平面的距離為
C．異面直線(xiàn)與所成的角是 D．二面角的余弦值為
【答案】BD
【分析】
利用正方體的性質(zhì)，平移異面直線(xiàn)確定它們的平面角判斷A、C的正誤；應(yīng)用等體積法求到平面的距離；由二面角為且，結(jié)合誘導(dǎo)公式及二倍角正切公式求正切值，進(jìn)而求二面角的余弦值.
【詳解】
A：如下圖，分別是中點(diǎn)，則，故為的夾角或其補(bǔ)角，顯然垂直，錯(cuò)誤；

B：如下圖，，而，，若到平面的距離為d，所以，則，正確；

C：如下圖，為的交點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則，故與所成的角即為或其補(bǔ)角，而，即異面直線(xiàn)與所成的角不是，錯(cuò)誤；

D：如下圖，若為交點(diǎn)，則二面角為，又，且，所以，故，正確.

故選：BD
36．如圖，四棱柱的底面是正方形，為底面中心，平面，．則下列說(shuō)法正確的是（ ）

A．坐標(biāo)是 B．平面的法向量
C．平面 D．點(diǎn)到平面的距離為
【答案】ACD
【分析】
根據(jù)已知條件結(jié)合給定的幾何圖形求出點(diǎn)，，，的坐標(biāo)可判斷A；計(jì)算，的坐標(biāo)進(jìn)而可得平面的法向量的坐標(biāo)可判斷B；求出的坐標(biāo)，判斷是否成立可判斷C；利用點(diǎn)到平面的距離公式計(jì)算可判斷D，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).
【詳解】
對(duì)于A：由圖知：，，，，設(shè)，
由，，因?yàn)?，所以?br /> 可得，所以坐標(biāo)是，故選項(xiàng)A正確；
對(duì)于B：，可得，，設(shè)平面的法向量，
由，則，令，，所以，故選項(xiàng)B不正確；
對(duì)于C：，因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄浚瑒t，所以平面，故選項(xiàng)C正確；
對(duì)于D：，則點(diǎn)到平面的距離為，故選項(xiàng)D正確；
故選：ACD.
37．正方體的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)，G分別為的中點(diǎn)，則（ ）

A．直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直 B．直線(xiàn)與平面平行
C．平面截正方體所得的截面面積為 D．點(diǎn)C到平面的距離為
【答案】BCD
【分析】
A. 設(shè)，易證平面AEF判斷； B.取的中點(diǎn)，連接，證明平面 平面AEF判斷；C.接，易證，得到截面為等腰梯形 求解判斷； D. 利用等體積法，由求解判斷.
【詳解】
A. 若，因?yàn)?平面ABCD，則 ，又，所以平面AEF，則 ，則 ，故錯(cuò)誤；
B.如圖所示：
取的中點(diǎn)，連接，易知，又平面AEF，平面AEF，所以平面AEF，同理平面AEF，
又，所以平面 平面AEF，因?yàn)槠矫?，所以平面AEF，故正確；
C.如圖所示：
連接，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，則 ，所以 共面，則截面為等腰梯形 ，又，
等腰梯形的高為 ，所以等腰梯形的面積為，故正確；

D. 因?yàn)?，且，所以點(diǎn)C到平面的距離為，故正確.
故選：BCD
38．如圖所示，在四棱錐中，平面平面ABCD，側(cè)面PAD是邊長(zhǎng)為的正三角形，底面ABCD為矩形，且，點(diǎn)Q是PD的中點(diǎn)，則下列結(jié)論描述正確的是（ ）

A．平面PAD
B．B，Q兩點(diǎn)間的距離等于
C．DC與平面AQC所成的角為60°
D．三棱錐的體積為12
【答案】BD
【分析】
對(duì)于A，取AD的中點(diǎn)O，連接PO，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OD，OE，OP所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的數(shù)量積運(yùn)算可判斷；
對(duì)于B：由空間兩點(diǎn)的距離公式計(jì)算可判斷；
對(duì)于C：利用線(xiàn)面角的空間向量求解方法可判斷；
對(duì)于D，利用等體積法計(jì)算可判斷．
【詳解】
解：取AD的中點(diǎn)O，連接PO，則PO⊥AD，平面PAD∩平面ABCD=AD，平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD，取BC的中點(diǎn)E，連接OE，
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OD，OE，OP所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
又，點(diǎn)Q是PD的中點(diǎn)，所以，，
對(duì)于A：平面PAD的法向量為，，所以與不共線(xiàn)，所以CQ與平面PAD不垂直，故A不正確；
對(duì)于B：因?yàn)椋?，故B正確；
對(duì)于C：，設(shè)平面AQC的法向量為，，
由，即，化簡(jiǎn)得，令，所以，
設(shè)DC與平面AQC所成的角為，則，
所以DC與平面AQC所成的角不為60°，故C不正確；
對(duì)于D，，所以，故D正確，
故選：BD．

39．如圖，在菱形ABCD中，，，沿對(duì)角線(xiàn)BD將折起，使點(diǎn)A，C之間的距離為，若P，Q分別為直線(xiàn)BD，CA上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）

A．當(dāng)，時(shí)，點(diǎn)D到直線(xiàn)PQ的距離為
B．線(xiàn)段PQ的最小值為
C．平面平面BCD
D．當(dāng)P，Q分別為線(xiàn)段BD，CA的中點(diǎn)時(shí)，PQ與AD所成角的余弦值為
【答案】BCD
【分析】
易知，從而平面，進(jìn)而有平面平面，即可判斷C；建立坐標(biāo)系，利用向量法可判斷ACD
【詳解】
取的中點(diǎn)，連接，由題意可知：，
因?yàn)?，所以?br /> 又易知，
因?yàn)椋?，?br /> 所以平面，
因?yàn)槠矫妫?br /> 所以平面平面，故C正確；
以為原點(diǎn)，分別為軸建立坐標(biāo)系，
則，
當(dāng)，時(shí)，，，
，，
所以點(diǎn)D到直線(xiàn)PQ的距離為，故A錯(cuò)誤；
設(shè)，，由得，，
，
當(dāng)時(shí)，，故B正確；
當(dāng)P，Q分別為線(xiàn)段BD，CA的中點(diǎn)時(shí)，
，，，，
設(shè)PQ與AD所成的角為，
則，
所以PQ與AD所成角的余弦值為，故D正確；
故選：BCD

40．已知四面體的所有棱長(zhǎng)均為2，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．異面直線(xiàn)與所成角為 B．點(diǎn)A到平面的距離為
C． D．四面體的外接球體積為
【答案】BCD
【分析】
由題意畫(huà)出圖形，證明AC⊥BD，可知A錯(cuò)誤，同理得到C正確；直接求出A到底面的距離判斷B；求出正四面體外接球的半徑，進(jìn)一步求得外接球的體積判斷D．
【詳解】
如圖，

由題意，四面體ABCD為正四面體，取底面BCD的中心為G，連接CG并延長(zhǎng)，交BD于E，
則E為BD的中點(diǎn)，且CE⊥BD，連接AG，則AG⊥底面BCD，得AG⊥BD，
又AG∩CE＝G，∴BD⊥平面ACG，則AC⊥BD，故A錯(cuò)誤；同理，故C正確；
由四面體的所有棱長(zhǎng)為2，可得，又AC＝2，
∴，即點(diǎn)A到平面BCD的距離為，故B正確；
設(shè)四面體ABCD的外接球的球心為O，半徑為R，連接OC，
則，
解得，則四面體ABCD的外接球體積為，故D正確；
故選：BCD．

第II卷（非選擇題）

三、填空題
41．已知正方體的棱長(zhǎng)為1，異面直線(xiàn)與的距離為_(kāi)___________.
【答案】
【分析】
如圖所示，連接與交于點(diǎn)，證明，，得到距離.
【詳解】
如圖所示：連接與交于點(diǎn)，則，
平面，平面，故，
故是異面直線(xiàn)與的距離，.
故答案為：.

42．已知直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離是_________．
【答案】
【分析】
求出直線(xiàn)的方向向量及，進(jìn)而求出，再根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為即可得解.
【詳解】
解：直線(xiàn)的方向向量，
，
則，
又，所以，
所以點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為.
故答案為：.
43．如圖，正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，P是三角形ABC所在平面外一點(diǎn)，平面ABC，且，則P到BC的距離為_(kāi)__________.


【答案】2
【分析】
取中點(diǎn)，連接，，由平面ABC，即可證明平面，則有，即可求解結(jié)果．
【詳解】
取中點(diǎn)，連接，
因?yàn)闉檎切危?br /> 又因?yàn)槠矫鍭BC，平面ABC，則，又，
則 平面，則，
又正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，則
則
所以P到BC的距離為2
故答案為：2

44．平面的法向量是，點(diǎn)在平面內(nèi)，則點(diǎn)到平面的距離為_(kāi)_____．
【答案】
【分析】
先求得，利用點(diǎn)到平面的距離公式即可求解．
【詳解】
因?yàn)辄c(diǎn)，，所以，
因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄渴牵?br /> 則，
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，
則，
故答案為：．
45．在直三棱柱中，，，，則點(diǎn)C到平面的距離為_(kāi)___________.
【答案】
【分析】
設(shè)點(diǎn)C到平面的距離為，根據(jù)利用等體積法求出點(diǎn)到平面的距離；
【詳解】
解：因?yàn)?，，所以，所以?br /> 所以 ，，所以，設(shè)點(diǎn)C到平面的距離為，則，所以，解得
故答案為：

46．如圖，已知，D是中點(diǎn)，則點(diǎn)B到平面的距離是___________.

【答案】/
【分析】
證明，得線(xiàn)面垂直，從而得點(diǎn)到平面的距離，由此易得其長(zhǎng)度．
【詳解】
因?yàn)椋裕?br /> 所以，，
又D是中點(diǎn)，所以，
，平面，所以平面，的長(zhǎng)就是點(diǎn)B到平面的距離，
由已知，，
故答案為：．

47．在正方體中，，則異面直線(xiàn)AB和的距離為_(kāi)__________.
【答案】
【分析】
如圖建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可
【詳解】
如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
由，
則，
設(shè)是異面直線(xiàn)AB和的公垂線(xiàn)的一個(gè)方向向量，則
，令，則，
所以異面直線(xiàn)AB和的距離為
，
故答案為：

48．如圖所示，正方形和正方形的邊長(zhǎng)都是1，且它們所在平面互相垂直，若點(diǎn)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)，記，則當(dāng)___________時(shí)，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離有最小值.

【答案】
【分析】
建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)N是AC上的一點(diǎn)，且，得出點(diǎn)A、C、M、N的坐標(biāo)，由時(shí)，就是點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求得答案.
【詳解】
解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，正方形的邊長(zhǎng)為1，則，，
設(shè)點(diǎn)N是AC上的一點(diǎn)，且，因?yàn)椋?，?br /> 所以，，
當(dāng)時(shí)，就是點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，
所以，即，整理得，即，
所以
，
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，即此時(shí)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離有最小值．
故答案為:.

49．如圖，已知是各條棱長(zhǎng)均等于的正三棱柱，是側(cè)棱的中點(diǎn)，點(diǎn)到平面的距離為_(kāi)____________．

【答案】/
【分析】
取的中點(diǎn)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得點(diǎn)到平面的距離.
【詳解】
取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈冗吶切?，則，
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

則、、、，
，，設(shè)平面的法向量為，
由，取，則，，得，
，所以，點(diǎn)到平面的距離為.
故答案為：.
50．已知正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)?在四邊形內(nèi)（包括邊界），點(diǎn)到平面的距離等于它到點(diǎn)的距離，直線(xiàn)平面，則的最小值為_(kāi)__________.
【答案】
【分析】
建立空間直角坐標(biāo)系得到在平面中點(diǎn)?的軌跡方程，然后利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)進(jìn)行求解即可.
【詳解】
如圖

所以，設(shè)
由點(diǎn)到平面的距離等于它到點(diǎn)的距離，
即點(diǎn)到的距離等于它到點(diǎn)的距離
在平面中，直線(xiàn)方程為
所以，
所以點(diǎn)的軌跡方程為
，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為
則，令，所以
所以，由直線(xiàn)平面
所以
所以點(diǎn)的軌跡為
的導(dǎo)函數(shù)為
所以，
所以同平行的直線(xiàn)與相切的切點(diǎn)為，
所以點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為
所以的最小值為
故答案為：

四、解答題
51．如圖，已知三棱柱，平面平面，，，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形.

（1）求二面角的大小的正切值；
（2）求直線(xiàn)到平面的距離.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）取的中點(diǎn)，連接，證出為二面角的平面角，在中求解即可.
（2）在底面內(nèi)作，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，由平面，直線(xiàn)到平面的距離即為點(diǎn)到平面的距離，根據(jù)即可求解.
（1）
是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形
由題意可得，
取的中點(diǎn)，連接，

，且
又平面平面，且平面平面，
平面，
，又因?yàn)?，且?br />
所以，
因?yàn)?，平?
所以為二面角的平面角，
在中，.
（2）
在三棱柱中，，
又因?yàn)槠矫?，平面?br /> 所以平面，
所以直線(xiàn)到平面的距離即為點(diǎn)到平面的距離，
在底面內(nèi)作，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
如圖：

則,
由，可得，
則，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，即，
令，則，
所以，
所以點(diǎn)到平面的距離，
所以
52．如圖，在四棱錐中，底面為菱形，已知，，.

（1）求證：平面平面；
（2）求點(diǎn)到平面的距離.
【答案】
（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【分析】
（1）過(guò)點(diǎn)作，連接，即可得到，從而得到，即，再由，得到平面，即可得證；
（2）由利用等體積法求出點(diǎn)到平面的距離；
（1）
證明：如圖，過(guò)點(diǎn)作，連接.
因?yàn)椋?，，所以?br /> 所以，.
又因?yàn)?，所以?br /> 由勾股定理逆定理得，即.
因?yàn)?，，平面，平面，所以平?
又因?yàn)槠矫?，所以平面平?
（2）
解：設(shè)點(diǎn)到平面的距離為.
由（1）可知，，.
在等腰中，，，
所以.由等體積法可得，，
所以，即，解得
故點(diǎn)到平面的距離為.
53．在長(zhǎng)方體中，，是面對(duì)角線(xiàn)上一點(diǎn)，且.

（1）求證：；
（2）設(shè)異面直線(xiàn)與所成角的大小為，求的值.
（3）求點(diǎn)到平面的距離.
【答案】
（1）證明見(jiàn)解析
（2）
（3）
【分析】
（1）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，由求出的坐標(biāo)以及的坐標(biāo)，由即可求證；
（2）求和的坐標(biāo)，由空間向量夾角公式計(jì)算即可求解；
（3）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，利用即可求解.
（1）
如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
則，，
，所以，
所以，
所以，所以.
（2）
，，
.
（3）
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，
因?yàn)?，，?br /> 所以，
由，可得，
所以，可得：，
所以點(diǎn)到平面的距離為.

54．如圖，在三棱錐中，，，、分別是線(xiàn)段、的中點(diǎn)，，.

（1）證明：平面平面；
（2）若，求點(diǎn)B到平面MNC的距離.
【答案】
（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【分析】
（1）由題可得，即可說(shuō)明，由勾股定理判斷即可證明平面， 得證；
（2）可判斷是等邊三角形，取中點(diǎn)，連接，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得線(xiàn)段BE的長(zhǎng)度即為點(diǎn)B到平面MNC的距離.
（1）
，為的中點(diǎn)，則，
又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，且，
，則，
，則，，
，平面，
平面，因此，平面平面；
（2）
，所以，，是等邊三角形，
取中點(diǎn)，連接，則，
平面平面，平面平面=，，，
所以線(xiàn)段BE的長(zhǎng)度即為點(diǎn)B到平面MNC的距離.
又，所以，點(diǎn)B到平面MNC的距離是.

55．如圖，三棱柱的所有棱長(zhǎng)都是2，平面，為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn).

（1）求證：直線(xiàn)平面；
（2）求直線(xiàn)到平面的距離.
【答案】
（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【分析】
（1）取中點(diǎn)，連接交于，連接，由平面幾何得，再根據(jù)線(xiàn)面平行的判定可得證；
（2）以為原點(diǎn)，，，所在直線(xiàn)分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用點(diǎn)到面的距離的空間向量求解方法可求得答案.
（1）
證明：取中點(diǎn)，連接交于，連接，
∵在三棱柱中，為中點(diǎn)，∴，，
∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴且，∴且，
∴四邊形為平行四邊形，∴，
又平面，平面，
∴平面.
（2）
解：由（1）得，點(diǎn)到平面的距離即為直線(xiàn)到平面的距離，連接，則，
∵平面，，∴平面，∴，，兩兩垂直，
以為原點(diǎn)，，，所在直線(xiàn)分別為軸、軸、軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，
∴，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
∴即
取，則，，，
又，所以點(diǎn)到平面的距離為，
即直線(xiàn)到平面的距離為.
56．如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為3的正方形，平面，，，與平面所成角為.

（1）求證：平面；
（2）求點(diǎn)到平面的距離.
【答案】
（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【分析】
（1）由已知證明平面平面，再由平面與平面平行的性質(zhì)可得平面；
（2）由，利用等體積法求點(diǎn)到平面的距離.
（1）
證明：四邊形是正方形，，
平面，平面，平面，
，平面，平面，平面，
?平面，，平面平面，
而平面，平面；
（2）
由平面，平面，得平面平面，
又平面平面，，平面，
四邊形是邊長(zhǎng)為3的正方形，，
又與平面所成角為，即，得，
而，，可得，
，，
則，
.
，，
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，
由，得，解得.
故點(diǎn)到平面的距離為.

57．如圖所示的四棱錐中，平面，底面為直角梯形，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn).

（1）求證：平面；
（2）若四棱錐的體積為2，求點(diǎn)到平面的距離.
【答案】
（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【分析】
（1）通過(guò)中位線(xiàn)構(gòu)造平行四邊形后，可利用線(xiàn)面平行的判定定理證明
（2）可利用等體積法，將點(diǎn)到平面的距離，轉(zhuǎn)換為三棱錐的高，通過(guò)計(jì)算得到三角形的面積以及三棱錐的體積即可求解
（1）


取PC得中點(diǎn)F，連接FE，F(xiàn)D，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，
∴，
在梯形ABCD中，，
∴，即四邊形AEFD為平行四邊形，
∴，又面 ，面 ，
面
（2）

如圖，連接，取BC得中點(diǎn)M，連接DM，
設(shè)AD=x，則PA=AB=BC=2x，
平面，底面為直角梯形，
∴=2，
得，即，，
由平面知所以
在中，，
由已知，底面為直角梯形，且，易得為矩形，所以

，，
，

設(shè)點(diǎn)到平面的距離為h，
由得
解得，即點(diǎn)到平面的距離為
58．如圖所示，邊長(zhǎng)為2的正方形和高為2的直角梯形所在的平面互相垂直且，且．


（1）求和面所成的角的正弦；
（2）求點(diǎn)C到直線(xiàn)的距離；
（3）線(xiàn)段上是否存在點(diǎn)P使過(guò)P、A、C三點(diǎn)的平面和直線(xiàn)垂直，若存在，求與的比值：若不存在，說(shuō)明理由．
【答案】
（1）
（2）
（3）
【分析】
（1）、、兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出各點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面的法向量，求出向量所成角的余弦即為和面所成的角的正弦值．
（2）利用空間向量法求出點(diǎn)到直線(xiàn)的距離；
（3）設(shè)與的比值為，表示出的坐標(biāo)，求出坐標(biāo)，令與的數(shù)量積為0，列出方程，求出的值．
（1）
解：（1）因?yàn)?、、兩兩垂直，建立如圖坐標(biāo)系，


則，，，，，
則
設(shè)平面的法向量，
則令，則，，所以，
向量和所成角的余弦為．
即和面所成的角的正弦值為．
（2）
解：因?yàn)?，，所以，，，所以點(diǎn)C到直線(xiàn)的距離
（3）
解：假設(shè)線(xiàn)段上存在點(diǎn)使過(guò)、、三點(diǎn)的平面和直線(xiàn)垂直，不妨設(shè)與的比值為，即，設(shè)，即，所以，解得
集點(diǎn)坐標(biāo)為，
則向量，向量，
因?yàn)?br /> 所以，解得．
所以存在，求與的比值
59．如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底面ABCD為菱形，，.點(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱PA，PB，且.


（1）求證：；
（2）若直線(xiàn)PD與平面CEF所成的角的正弦值為.
（i）求點(diǎn)P與到平面CEF的距離；
（ii）試確定點(diǎn)E的位置.
【答案】
（1）證明見(jiàn)解析；
（2）(i)；(ii)E為PA的中點(diǎn).
【分析】
(1)根據(jù)與即可得出；
(2)根據(jù)題意可證得、、兩兩垂直，以、、所在直線(xiàn)分別為x、y、z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)()，求出各點(diǎn)和線(xiàn)段的坐標(biāo)，進(jìn)而求出平面的法向量，利用空間向量的數(shù)量積表示線(xiàn)面角的正弦值，求出a的值，確定點(diǎn)E的位置，結(jié)合等體積法即可求得點(diǎn)到面的距離.
（1）
由題意知，
因?yàn)?，所以?br /> （2）
因?yàn)闉榱庑危?，連接AC，則為正三角形，
取AC的中點(diǎn)H，連接AH，則，所以，
由平面，平面，所以，，
以、、所在直線(xiàn)分別為x、y、z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，其中，由，得，
則，
有，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，令，則，
所以，設(shè)直線(xiàn)PD與平面的夾角為，
則，
化簡(jiǎn)，得，由，得，
此時(shí)，即E為PA的中點(diǎn)；有，
取AB的中點(diǎn)O，則OF=OE=EF=1，，有平面PAB，
所以，而，
在中有，所以，所以，
由，設(shè)點(diǎn)P到平面的距離為h，
則，即，得.
(i)點(diǎn)P到平面的距離為；
(ii)點(diǎn)E為AP的中點(diǎn).

60．如圖，已知在四棱錐中，平面，點(diǎn)在棱上，且，底面為直角梯形，，，，，，分別是，的中點(diǎn)．

（1）求證：平面；
（2）求點(diǎn)到平面的距離．
【答案】
（1）證明見(jiàn)解析.
（2）
【分析】
（1）構(gòu)造平行四邊形,利用三角形中位線(xiàn)定理,證明平行即可；
（2）根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求解即可.
（1）
證明：取中點(diǎn)，連接，
因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以//,
因?yàn)榈酌鏋橹苯翘菪危?，，?br /> 所以//,,
所以
所以為平行四邊形，
所以//
因?yàn)?，所以點(diǎn)為中點(diǎn)，
所以，所以
又平面，平面，
所以//平面
（2）
解：根據(jù)題意，以為原點(diǎn)，以分別為建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
由 ，分別是的中點(diǎn)，可得：



設(shè)平面的的法向量為，
又
則有：，即
令，則，所以
又
∴點(diǎn)到平面的距離.















幾何體截面問(wèn)題1-40題
一、單選題
1．已知正方體的棱長(zhǎng)為，是空間中任意一點(diǎn)，有下列結(jié)論：
①若為棱中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)與所成角的正切值為；
②若在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為；
③若在以為直徑的球面上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，三棱錐外接球的表面積為；
④若過(guò)點(diǎn)的平面與正方體每條棱所成角相等，則截此正方體所得截面面積的最大值為.
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
①根據(jù)，可得即為異面直線(xiàn)所成的角或所成角的補(bǔ)角，從而可求出；
②將和四邊形沿展開(kāi)到同一個(gè)平面上，易知線(xiàn)段的長(zhǎng)度即為的最小值，利用余弦定理即可求出；
③根據(jù)題意判斷出，為的中點(diǎn)時(shí)，三棱錐的體積最大，只需求此時(shí)外接球的表面積即可；
④分別為相應(yīng)棱的中點(diǎn)時(shí)，平面為平面時(shí)，與正方體每條棱所成角相等，且截面的面積最大.
【詳解】
對(duì)于①：因?yàn)?，所以即為異面直線(xiàn)所成的角或所成角的補(bǔ)角，
在中，，所以，故①正確；

對(duì)于②：將和四邊形沿展開(kāi)到同一個(gè)平面上，如圖所示，
由圖可知，線(xiàn)段的長(zhǎng)度即為的最小值，
在中，利用余弦定理，得，故②錯(cuò)誤；

對(duì)于③：如圖，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，三棱錐的體積最大，
此時(shí)，三棱錐外接球的球心是的中點(diǎn)，半徑為，其表面積為，故③正確；

對(duì)于④：要使平面與正方體每條棱所成角相等，只需與過(guò)同一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱所成的角相等即可，
如圖，當(dāng)時(shí)，平面與正方體過(guò)點(diǎn)的三條棱所成的角都相等，
若分別為相應(yīng)棱的中點(diǎn)時(shí)，平面平面，
且此時(shí)六邊形為正六邊形，
因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為1，所以正六邊形的邊長(zhǎng)為，
所以此正六邊形的面積為，為截面最大面積，故④正確.

故選：B.
2．已知正方體，平面和線(xiàn)段，，，分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，則截面EFGH的形狀不可能是（ ）
A．梯形 B．正方形 C．長(zhǎng)方形 D．菱形
【答案】A
【分析】
根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，可以得出，，由此可推斷四邊形EFGH一定為平行四邊形，從而可得出答案.
【詳解】
因?yàn)槊婷?，面面，面面?br /> 所以，
同理可得，所以四邊形EFGH為平行四邊形，
所以截面EFGH的形狀不可能是梯形.
若面面，此時(shí)四邊形EFGH是正方形，也是菱形；
當(dāng)是所在棱的中點(diǎn)，分別與 重合時(shí)，四邊形EFGH是長(zhǎng)方形.

故選：A.
3．如圖正方體，棱長(zhǎng)為1，P為中點(diǎn)，Q為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)A?P?Q的平面截該正方體所得的截面記為.若，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）

A．當(dāng)時(shí)，為四邊形 B．當(dāng)時(shí)，為等腰梯形
C．當(dāng)時(shí)，為六邊形 D．當(dāng)時(shí)，的面積為
【答案】C
【分析】
根據(jù)題意，依次討論各選項(xiàng)，作出相應(yīng)的截面，再判斷即可.
【詳解】
解：當(dāng)時(shí)，如下圖1，是四邊形，故A正確；
當(dāng)時(shí)，如下圖2，為等腰梯形，B正確：
當(dāng)時(shí)，如下圖3，是五邊形，C錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，Q與重合，取的中點(diǎn)F，連接，如下圖4，由正方體的性質(zhì)易得，且，截面為為菱形，其面積為，D正確.
故選：C


4．如圖，在正方體中，M、N、P分別是棱、、BC的中點(diǎn)，則經(jīng)過(guò)M、N、P的平面與正方體相交形成的截面是一個(gè)（ ）

A．三角形 B．平面四邊形
C．平面五邊形 D．平面六邊形
【答案】D
【分析】
分別取、、的中點(diǎn)，連接、、、、、、、、、，先證明四點(diǎn)共面，再證明平面，
平面可得答案.
【詳解】
如圖，分別取、、的中點(diǎn)，連接、、、、、、、、、，且M、N、P分別是棱、、BC的中點(diǎn)，
所以、，且，所以， 即四點(diǎn)共面，
因?yàn)椋运倪呅问瞧叫兴倪呅?，所以?br /> 又因?yàn)椋茫移矫妫矫妫?br /> 所以平面，得平面，
因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形，所以?br /> 又因?yàn)椋?，又平面，平面?br /> 所以平面，得平面，所以六點(diǎn)共面，
平面六邊形即為經(jīng)過(guò)M、N、P與正方體相交形成的截面，
故選：D.

5．如圖，在正方體中，E是棱的中點(diǎn)，則過(guò)三點(diǎn)A、D1、E的截面過(guò)（ ）

A．AB中點(diǎn) B．BC中點(diǎn)
C．CD中點(diǎn) D．BB1中點(diǎn)
【答案】B
【分析】
根據(jù)截面特點(diǎn)結(jié)合正方形結(jié)構(gòu)性質(zhì)求解.
【詳解】
取的中點(diǎn)，連接，，如圖，

則，
所以在截面上,
故選：B
6．正方體的棱長(zhǎng)為2，E是棱的中點(diǎn)，則平面截該正方體所得的截面面積為（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】D
【分析】
作出示意圖，設(shè)為的中點(diǎn)，連接，易得平面截該正方體所得的截面為，再計(jì)算其面積.
【詳解】
如圖所示，設(shè)為的中點(diǎn)，連接，設(shè)為的中點(diǎn)，連接，

由且，得是平行四邊形，則且，
又且，得且，則共面，
故平面截該正方體所得的截面為.
又正方體的棱長(zhǎng)為2，，，，，
故的面積為.
故選：D.
7．正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，所有棱長(zhǎng)均為2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱BB1，A1C1的中點(diǎn)，若過(guò)點(diǎn)A，E，F(xiàn)作一截面，則截面的周長(zhǎng)為（　?。?br />
A．2+2 B． C． D．
【答案】B
【分析】
根據(jù)題意先作出截面，進(jìn)而算出截面各邊的長(zhǎng)度，最后得到答案.
【詳解】
如圖，在正三棱柱中，延長(zhǎng)AF與CC1的延長(zhǎng)線(xiàn)交于M，連接EM交B1C1于P，連接FP，則四邊形AEPF為所求截面.

過(guò)E作EN平行于BC交CC1于N，則N為線(xiàn)段CC1的中點(diǎn)，由相似于可得MC1=2，由相似于可得：，
在中，，則，
在中，，則，
在中，，則，
在中，，
由余弦定理：，則，
所以截面周長(zhǎng)為：.
故選：B.
8．在立體幾何中，用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體得到的平面圖形叫截面．平面以任意角度截正方體，所截得的截面圖形不可能為（ ）
A．等腰梯形 B．非矩形的平行四邊形
C．正五邊形 D．正六邊形
【答案】C
【分析】
在正方體中依次分析，經(jīng)過(guò)正方體的一個(gè)頂點(diǎn)去切就可得到五邊形．但此時(shí)不可能是正五邊形，其他情況都可構(gòu)造例子.
【詳解】
畫(huà)出截面圖形如圖：

可以畫(huà)出等腰梯形，故A正確；

在正方體中，作截面（如圖所示）交，，，分別于點(diǎn)，，，，根據(jù)平面平行的性質(zhì)定理可得四邊形中，，且，故四邊形是平行四邊形，此四邊形不一定是矩形，故B正確；

經(jīng)過(guò)正方體的一個(gè)頂點(diǎn)去切就可得到五邊形．但此時(shí)不可能是正五邊形，故C錯(cuò)誤；

正方體有六個(gè)面，用平面去截正方體時(shí)最多與六個(gè)面相交得六邊形，且可以畫(huà)出正六邊形，故D正確．
故選：C
9．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，為的中點(diǎn)，為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)，，的平面截該正方體所得的截面記為．
①當(dāng)時(shí)，為四邊形；
②當(dāng)時(shí)，與的交點(diǎn)滿(mǎn)足；
③當(dāng)時(shí)，為六邊形；
④當(dāng)時(shí)，的面積為．
則下列選項(xiàng)正確的是（ ）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【分析】
根據(jù)點(diǎn)Q在線(xiàn)段上的變化，分別作出過(guò)點(diǎn)A，P，Q的平面截該正方體所得的截面S，并判斷其正誤即可．
【詳解】
對(duì)于①，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為1，當(dāng)時(shí)，過(guò)A，P，Q三點(diǎn)的截面與正方體表面的交點(diǎn)在棱上，截面為四邊形，如圖（a）所示，故①正確；

對(duì)于②，如圖（b）所示，當(dāng)時(shí)，，
又為的中點(diǎn)，故，得，故②正確；

對(duì)于③，如圖（c）所示，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)，，的平面截正方體所得的截面為五邊形，故③不正確；

對(duì)于④，如圖（d）所示，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)，，的截面為，其截面為菱形，對(duì)角線(xiàn)，，

所以的面積為，故④正確．
綜上所述，正確的命題序號(hào)是①②④．
故選：B
10．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，P為BC的中點(diǎn)，Q為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A，P，Q 的平面截該正方體所得的截面記為S.則下列命題中正確命題的個(gè)數(shù)為（ ）

①當(dāng)時(shí)，S為四邊形；
②當(dāng)時(shí)，S為等腰梯形；
③當(dāng)時(shí)，S與的交點(diǎn)滿(mǎn)足；
④當(dāng)時(shí)，S為六邊形；
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
隨著的移動(dòng)，依題意分別移動(dòng)到四個(gè)位置，逐項(xiàng)分析判斷即可得解.
【詳解】

先確定臨界值點(diǎn)，當(dāng)，即為的中點(diǎn)時(shí)，
截面交于，則界面為等腰梯形，故②正確；
對(duì)①當(dāng)時(shí)，即移動(dòng)到位置時(shí)，
截面交線(xiàn)段于，所以截面為四邊形，故①正確；
對(duì)③，當(dāng)時(shí)，在的位置，截面交的延長(zhǎng)線(xiàn)于，
延長(zhǎng)交在的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，
則，
由，則，，又有，
所以，又，所以，故③正確；
對(duì)④，，點(diǎn)移動(dòng)到位置，從圖上看，截面為五邊形，故④錯(cuò)誤；
共個(gè)正確，
故選：C
11．正方體的棱長(zhǎng)為，、，分別為，，的中點(diǎn)，有下述四個(gè)結(jié)論，其中正確的結(jié)論是（ ）

①直線(xiàn)與平面平行；
②平面截正方體所得的截面面積為；
③直線(xiàn)與直線(xiàn)所成的角的余弦值為；
④點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離相等.
A．①④ B．①② C．①②④ D．①②③④
【答案】C
【分析】
由已知得四邊形為等腰梯形，即為正方體的截面，由線(xiàn)面平行的判定定理可判斷①；做于，求出等腰梯形的高由梯形的面積公式可判斷
②；由，得直線(xiàn)與直線(xiàn)所成的角即為直線(xiàn)與直線(xiàn)所成的角，由余弦定理得可判斷③；點(diǎn)與點(diǎn)在平面的兩側(cè)，且線(xiàn)段的中點(diǎn)在平面內(nèi)，可判斷④.
【詳解】
連接，因?yàn)?、，分別為，的中點(diǎn)，
正方體的棱長(zhǎng)為，所以，且，
所以四邊形為梯形，即為正方體的截面，
且面，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，平面，平面，所以平面，
即直線(xiàn)與平面平行，所以①正確；
因?yàn)椋?br /> 所以，四邊形為等腰梯形，做于，
，
所以梯形的面積為，
所以平面截正方體所得的截面面積為，所以②正確；
因?yàn)?，所以直線(xiàn)與直線(xiàn)所成的角即為直線(xiàn)與直線(xiàn)所成的角，
為或其補(bǔ)角，連接，，，
在中，由余弦定理得，
由于直線(xiàn)與直線(xiàn)所成的角的范圍在，所以直線(xiàn)與直線(xiàn)所成的角的余弦值為，所以③錯(cuò)誤；
因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)在平面的兩側(cè)，且線(xiàn)段的中點(diǎn)在平面內(nèi)，所以點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離相等，所以④正確，
故選：C.

12．如圖，正方體中，點(diǎn)，，分別是，的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)，，的截面將正方體分割成兩個(gè)部分，記這兩個(gè)部分的體積分別為，則（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
如圖所示，過(guò)點(diǎn)，，的截面下方幾何體轉(zhuǎn)化為一個(gè)大的三棱錐，減去兩個(gè)小的三棱錐，上方部分，用總的正方體的體積減去下方的部分體積即可.
【詳解】
作直線(xiàn)，分別交于兩點(diǎn)，連接分別交于兩點(diǎn)，
如圖所示， 過(guò)點(diǎn)，，的截面即為五邊形 ，

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，
因?yàn)辄c(diǎn)，，分別是，的中點(diǎn)
所以，即，
因?yàn)椋?br /> 所以
則過(guò)點(diǎn)，，的截面下方體積為：，
∴另一部分體積為，
∴.
故選：C.
13．如圖，在正方體中，點(diǎn)P為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與，不重合），則下列說(shuō)法不正確的是（ ）

A．
B．三棱錐的體積為定值
C．過(guò)，，三點(diǎn)作正方體的截面，截面圖形為三角形或梯形
D．DP與平面所成角的正弦值最大為
【答案】D
【分析】
A.通過(guò)平面進(jìn)行說(shuō)明；B.根據(jù)等體積法進(jìn)行說(shuō)明；C.分析點(diǎn)位置，作出截面圖形后進(jìn)行判斷；D.先分析線(xiàn)面為，然后表示出，通過(guò)分析的長(zhǎng)度確定出正弦值的最大值.
【詳解】
由題可知平面，所以，故A正確；
由等體積法得為定值，故B正確；
設(shè)的中點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，如下圖所示：

此時(shí)截面是三角形，
當(dāng)時(shí)，如下圖所示：

此時(shí)截面是梯形，故C正確；
選項(xiàng)D，在正方體中，連接，則為在平面上的射影，則為與平面所成的角，
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，，則，，
當(dāng)取得最小值時(shí)，的值最大，即時(shí)，的值最小為，
所以的值最大為，故D不正確.
故選：D.

14．正方體的棱長(zhǎng)為4，，，用經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)的平面截該正方體，則所截得的截面面積為（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先根據(jù)題意畫(huà)出截面，再根據(jù)正方形的棱長(zhǎng)以及梯形的面積公式即可求解.
【詳解】
解：如圖所示：

延長(zhǎng)交于點(diǎn)，
則，即為中點(diǎn)，
連接，取中點(diǎn)，連接，
則，
，，，四點(diǎn)共面，
，，，
截面如圖所示：

在中，邊上的高，
記邊上的高為，
則，
，
則所截得的截面面積為：.
故選：D.
15．如圖，為正方體，任作平面與對(duì)角線(xiàn)垂直，使得與正方體的每個(gè)面都有公共點(diǎn)，記這樣得到的截面多邊形的面積為，周長(zhǎng)為，則（ ）

A．為定值，不為定值
B．不為定值，為定值
C．與均為定值
D．與均不為定值
【答案】B
【分析】
將正方體切去兩個(gè)正三棱錐與后，得到一個(gè)以平行平面與為上、下底面的幾何體，的每個(gè)側(cè)面都是等腰直角三角形，截面多邊形的每一條邊分別與的底面上的一條邊平行，將的側(cè)面沿棱剪開(kāi)，展開(kāi)在一個(gè)平面上，得到一個(gè)平行四邊形，考查的位置，確定
【詳解】
解：將正方體切去兩個(gè)正三棱錐與后，得到一個(gè)以平行平面與為上、下底面的幾何體，的每個(gè)側(cè)面都是等腰直角三角形，截面多邊形的每一條邊分別與的底面上的一條邊平行，將的側(cè)面沿棱剪開(kāi)，展開(kāi)在一個(gè)平面上，得到一個(gè)平行四邊形，如圖所示

而多邊形的周界展開(kāi)后便成為一條與平行的線(xiàn)段（如圖中），顯然，，所以為定值，
當(dāng)位于中點(diǎn)時(shí)，多邊形為正六邊形，而當(dāng)稱(chēng)到時(shí)，為正三角形，則當(dāng)周長(zhǎng)這定值的正六邊形與正三角形面積分別為，所以不是定值，
故選：B
16．如圖，在正方體中，AB=2，E為棱BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A，E，F(xiàn)作該正方體的截面，則該截面不可能是（ ）

A．平行四邊形 B．等腰梯形
C．五邊形 D．六邊形
【答案】D
【分析】
對(duì)分類(lèi)討論，分別畫(huà)出所對(duì)應(yīng)的截面圖形，即可判斷；
【詳解】
解：當(dāng)，即F與重合時(shí)，如圖1，取的中點(diǎn)，截面為矩形 ；
當(dāng)時(shí)，如圖2，截面為平行四邊形AEGF；
當(dāng)時(shí)，如圖3，截面為五邊形AEGHF，
當(dāng)，即F與重合時(shí)，如圖4，截面為等腰梯形AEGF．

故選：D
17．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方休中，，，分別為，，，的中點(diǎn)，過(guò)，，三點(diǎn)的平而截正方休所得的截面面積為（ ）

A．4 B． C． D．
【答案】D
【分析】
根據(jù)題意畫(huà)出截面，得到截面為正六邊形，從而可求出截面的面積
【詳解】
如圖，分別取的中點(diǎn)，的中點(diǎn),的中點(diǎn)，連接，
因?yàn)樵搸缀误w為正方體，所以∥,∥,∥,且
所以，，三點(diǎn)的平面截正方體所得的截面為正六邊形，
所以該正六邊形的面積為.
故選：D

18．正方體的棱長(zhǎng)為，分別為的中點(diǎn).則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）

A．直線(xiàn)A1G與平面AEF平行
B．直線(xiàn)DD1與直線(xiàn)AF垂直
C．異面直線(xiàn)A1G與EF所成角的余弦值為
D．平面AEF截正方體所得的截面面積為
【答案】B
【分析】
連接AD1，F(xiàn)D1，GF，BC1，證得EF//AD1，利用平面AEFD1逐一分析各選項(xiàng)即可判斷作答.
【詳解】
正方體中，連接AD1，F(xiàn)D1，GF，BC1，如圖：

因點(diǎn)E，F(xiàn)是BC，CC1中點(diǎn)，則EF//BC1，而正方體的對(duì)角面ABC1D1是矩形，則AD1//BC1//EF，
連GF，因G是棱BB1中點(diǎn)，則GF//B1C1//A1D1，且，即四邊形A1GFD1是平行四邊形，A1G//D1F，
平面AEF，平面AEF，于是A1G//平面AEF，A正確；
因平面ABCD，而平面ABCD，即有AE，若AF，必有平面AEFD1，AD1，與矛盾，B不正確；
因EF//AD1，A1G//D1F，則異面直線(xiàn)與所成角是或其補(bǔ)角，
作于M，顯然，即四邊形AEFD1是等腰梯形，，
，，C正確；
，平面截正方體所得的截面是等腰梯形AEFD1，
等腰梯形AEFD1的面積為，D正確.
故選：B
19．如圖所示，在正方體中，，?分別為棱?的中點(diǎn)，令過(guò)點(diǎn)且平行于平面的平面被正方體的截面圖形為，若在內(nèi)隨機(jī)選擇一點(diǎn)，則點(diǎn)在正方體內(nèi)切球內(nèi)的概率為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先確定平面截正方體的圖形并求出其面積，而正方體內(nèi)切球的球心為正方體的中心，求出正方體的中心到平面的距離，進(jìn)而求出平面截內(nèi)切球所得圓的半徑，根據(jù)幾何概型轉(zhuǎn)化為面積比，即可求解.
【詳解】

取中點(diǎn)，連，
交于點(diǎn)，
因?yàn)樗运狞c(diǎn)共面，
因?yàn)?分別為棱?的中點(diǎn)，
平面平面，
所以平面，又，
所以，同理可證平面，
平面，
所以平面平面，
即等腰梯形為滿(mǎn)足條件的平面截正方體的截面，
等腰梯形的面積為，
設(shè)正方體上下底面中心分別為，，連接，
則內(nèi)切球的球心為的中點(diǎn)，過(guò)做
在正方體中，，
平面，所以，
，所以平面，
平面，所以，
，所以平面，
所以為截面截內(nèi)切球所得圓的圓心，
又在內(nèi)切球上，所以截面截內(nèi)切球所得圓的半徑為，
在中，有，，
則，，
所以在中，
截面圓的面積為.
所求的概率為.
故選：B.
20．已知正方體內(nèi)切球的表面積為，是空間中任意一點(diǎn)：
①若點(diǎn)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)，則始終有；
②若是棱中點(diǎn)，則直線(xiàn)與是相交直線(xiàn)；
③若點(diǎn)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)，三棱錐體積為定值；
④為中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)，且與平面平行的正方體的截面面積為;
以上命題為真命題的個(gè)數(shù)為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】
根據(jù)線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理證明①是真命題；由圖可知直線(xiàn)與是異面直線(xiàn)，故②是假命題；利用等體積轉(zhuǎn)化法得到三棱錐體積等于三棱錐的體積，接著求點(diǎn)到平面的距離和底面面積，從而證明三棱錐體積為定值；做出過(guò)點(diǎn)，且與平面平行的正方體的截面為面，最后求其面積即可.
【詳解】
因?yàn)檎襟w內(nèi)切球的表面積為，
設(shè)內(nèi)切球的半徑為，則，解得，
所以正方體的棱長(zhǎng)為，

因?yàn)?且,
所以面，因?yàn)槊妫?br /> 所以恒成立，故①是真命題；

由圖可知，直線(xiàn)與是異面直線(xiàn)，故②是假命題；


由圖可知：因?yàn)椋忮F體積等于三棱錐的體積，
由①知，面，所以點(diǎn)到面的距離為，
因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離等于1，
所以的面積等于，
所以，故棱錐體積為定值，故③是真命題；
取中點(diǎn)為,中點(diǎn)為,連接，
因?yàn)?，所以面?
所以過(guò)點(diǎn)，且與平面平行的正方體的截面為面，
由圖可知面是菱形，其中對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為，
所以，故④是真命題；真命題的個(gè)數(shù)有3個(gè)，
故選：B;

二、多選題
21．已知正方體的棱長(zhǎng)為，下列結(jié)論正確的有（ ）
A．異面直線(xiàn)與所成角的大小為
B．若是直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，則平面
C．與此正方體的每個(gè)面都有公共點(diǎn)的截面的面積最小值是
D．若此正方體的每條棱所在直線(xiàn)與平面所成的角都相等，則截正方體所得截面面積的最大值是
【答案】BC
【分析】
A.易證平面 判斷；B.易證平面平面；C.易知平面為一個(gè)與正方體的每個(gè)面都有公共點(diǎn)判斷；D.點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，M，N分別為相應(yīng)棱的中點(diǎn)，可得平面EFGHMN 平面PQR求解判斷.
【詳解】
A.如圖所示：，，則平面 ，
所以，所以異面直線(xiàn)與所成角的大小為，故錯(cuò)誤；
B. 如圖所示： ，因?yàn)椋矫?，平面，所以平面，同理平面?br /> 因?yàn)?，所以平面平面?br /> 因?yàn)槠矫?所以平面，故正確；
C.如圖所示： ，平面為一個(gè)與正方體的每個(gè)面都有公共點(diǎn)，且截面面積最小的面，其面積為：，故正確；
D.如圖所示： ，若此正方體的每條棱所在直線(xiàn)與平面所成的角都相等，只需平面與過(guò)同一頂點(diǎn)的三條棱所成的角相等，
設(shè)，則平面PQR與正方體過(guò)頂點(diǎn)A的三條棱所成角相等，
若點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，M，N分別為相應(yīng)棱的中點(diǎn)，
可得平面EFGHMN 平面PQR，且六邊形EFGHMN為正六邊形，
正方體的棱長(zhǎng)為1，則正六邊形的邊長(zhǎng)為，此時(shí)正六邊形的面積為，為截面的最大面積，故錯(cuò)誤；
故選：BC
22．如圖，棱長(zhǎng)為1的正方體中為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)）則下列結(jié)論正確的是（ ）

A．直線(xiàn)與所成的角可能是
B．平面平面
C．三棱雉的體積為定值
D．平面截正方體所得的截面可能是直角三角形
【答案】BC
【分析】
對(duì)于A選項(xiàng)， 建立坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求解；對(duì)于B選項(xiàng)，由正方體的性質(zhì)可知平面，進(jìn)而可判斷；對(duì)于C選項(xiàng)，利用等體積法求解即可判斷；對(duì)于D選項(xiàng)，分別討論所成的截面圖形即可判斷.
【詳解】
解：對(duì)于A選項(xiàng)，如圖1，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，
所以，
所以，令，
，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，
由于，，
所以，即直線(xiàn)與所成的角滿(mǎn)足，
又因?yàn)?，故，故直線(xiàn)與所成的角不可能是，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于B選項(xiàng)，由正方體的性質(zhì)可知平面，所以平面平面，故B選項(xiàng)正確；
對(duì)于C選項(xiàng)，三棱雉的體積，是定值，故C選項(xiàng)正確；
對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)的中點(diǎn)為，當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段（不包含端點(diǎn)）上時(shí)，此時(shí)平面截正方體所得的截面為梯形，如圖2；當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)，此時(shí)平面截正方體所得的截面正三角形；當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段（不包含端點(diǎn)）上時(shí)，此時(shí)平面截正方體所得的截面為等腰三角形，該三角形不可能為直角三角形，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選：BC
23．如圖，在正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為，BC的中點(diǎn)，設(shè)過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)，的平面為，則下列說(shuō)法正確的是（ ）

A．為等邊三角形；
B．平面交正方體的截面為五邊形；
C．在正方體中，存在棱與平面平行；
D．在正方體中，不存在棱與平面垂直；
【答案】BD
【分析】
設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，求出各邊長(zhǎng)可判斷A；根據(jù)平面的性質(zhì)作出截面可判斷B；分別判斷三組平行線(xiàn)與的位置關(guān)系即可判斷CD.
【詳解】
對(duì)A，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則易得，故不是等邊三角形，故A錯(cuò)誤；
對(duì)B，如圖，取中點(diǎn)，易得，取中點(diǎn)，連接，則易得，再取中點(diǎn)，連接，則，所以，所以是平面與正方體底面的交線(xiàn)，延長(zhǎng)，與的延長(zhǎng)線(xiàn)交于，連接，交于，則可得五邊形即為平面交正方體的截面，故B正確；

對(duì)C，因?yàn)?，所以都不與平行，又，所以都不與平行，因?yàn)椋远疾慌c平行，故不存在棱與平面平行，故C錯(cuò)誤；
對(duì)D，顯然與不垂直，所以與不垂直，則都不與垂直；
因?yàn)榕c不垂直，所以與不垂直，則都不與垂直；
因?yàn)榕c不垂直，所以與不垂直，則都不與垂直；
所以不存在棱與平面垂直，故D正確.
故選：BD.
24．（多選）已知正方體，若平面，則關(guān)于平面截此正方體所得截面的判斷正確的是（ ）
A．截面形狀可能為正三角形 B．截面形狀可能為正方形
C．截面形狀可能為正六邊形 D．截面形狀可能為五邊形
【答案】AC
【分析】
根據(jù)平面得到平面與平面平行或重合，然后結(jié)合圖形即可判斷出答案.
【詳解】
如圖，在正方體中，連接，，，則平面，
所以平面與平面平行或重合，
所以平面與正方體的截面形狀可以是正三角形，正六邊形，但不可能是五邊形和四邊形，故A，C正確，B，D錯(cuò)誤．

故選：AC.
25．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，，，分別為棱，，上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），若，則下列說(shuō)法正確的是　　

A．存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離為
B．用過(guò)，，三點(diǎn)的平面去截正方體，得到的截面一定是梯形
C．平面
D．用平行于平面的平面去截正方體，得到的截面為六邊形時(shí)，該六邊形周長(zhǎng)一定為
【答案】ABD
【分析】
連接，，，，，，，根據(jù)線(xiàn)線(xiàn)平行，面面平行求出平面，得到到平面的距離，判斷；
連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，連接并將其延長(zhǎng)與相交于點(diǎn)，根據(jù)比例關(guān)系得到四邊形為梯形，判斷；
連接，由可知平面平面，根據(jù)線(xiàn)面關(guān)系判斷；
在上取點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，過(guò)作交于，以此類(lèi)推截面為六邊形，求出六邊形的周長(zhǎng)判斷即可．
【詳解】
對(duì)于：連接，，，，，，，如圖示：

，，，，且平面平面，
又已知三棱錐各條棱長(zhǎng)均為，則三棱錐為正四面體，
故到平面的距離為：，
平面，，又，且，
平面，又平面，，
同理可得，且，平面，
又，到平面的距離，，且，故正確；
對(duì)于：連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，連接并將其延長(zhǎng)與相交于點(diǎn)，如圖示：

，且，，則，，故即為，連接，
過(guò)點(diǎn)，，的截面為四邊形，
由條件可知，，且，
四邊形為梯形，故正確；
對(duì)于：連接，由可知平面平面，如圖示：

又平面，平面，故不平行于平面，
故平面不成立，故錯(cuò)誤；
對(duì)于：在上取點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，
過(guò)作交于，以此類(lèi)推，如圖示：

依次可得點(diǎn)，，，此時(shí)截面為六邊形，
根據(jù)題意可知：平面平面，
不妨設(shè)，則，
故，
故六邊形的周長(zhǎng)為：，故正確；
故選：．
26．如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A．直線(xiàn)與是平行直線(xiàn)
B．直線(xiàn)與所成的角為60°
C．直線(xiàn)與平面所成的角為45°
D．平面截正方體所得的截面面積為
【答案】BC
【分析】
建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法可判斷A、B、C，作出平面截正方體所得的截面即可求出面積判斷D.
【詳解】
以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，．
∵，分別為棱，的中點(diǎn)，∴、，
則，，∴和不共線(xiàn)，故A錯(cuò)誤；
∵，，∴，
∴，∴直線(xiàn)與所成的角為，故B正確．
由于平面的一個(gè)法向量為，
，
∴，直線(xiàn)與平面所成的角為，故C正確；
連接，易知，則平面截正方體所得的截面為等腰梯形，

∵棱長(zhǎng)為2，∴，，，
∴等腰梯形的高為，
∴，故D錯(cuò)誤，
故選：BC．
27．如圖，在正方體中，點(diǎn)P為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與，不重合），則下列說(shuō)法正確的是（ ）

A．
B．三棱錐的體積為定值
C．過(guò)P，C，三點(diǎn)作正方體的截面，截面圖形為三角形或梯形
D．DP與平面所成角的正弦值最大為
【答案】ABC
【分析】
由正方體性質(zhì)知垂直關(guān)系可判斷A，作截面判斷C，由等體積法判斷B，求出線(xiàn)面角的正弦值，得最大值，判斷D．
【詳解】
由正方體性質(zhì)可知平面，所以，故A正確：
由等體積法得為定值，故B正確；
根據(jù)正方體性質(zhì)知，當(dāng)延長(zhǎng)線(xiàn)與棱相交時(shí)，截面為三角形，當(dāng)延長(zhǎng)線(xiàn)與棱相交時(shí)，截面為梯形，C正確；
選項(xiàng)D，在正方體中，連接，則為DP在平面上的射影，則為DP與平面所成的角，
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，，則，，
當(dāng)x取得最小值時(shí)，的值最大，即時(shí)，x的值最小為，
所以的值最大為，故選項(xiàng)D不正確，
故選：ABC．

28．如圖所示，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，M，N分別為棱，的中點(diǎn)，則以下四個(gè)結(jié)論正確的是（ ）

A．
B．若為直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，則為定值
C．點(diǎn)A到平面的距離為
D．過(guò)作該正方體外接球的截面，所得截面的面積的最小值為
【答案】ABD
【分析】
由平行公理可判斷A；由數(shù)量積的定義可判斷B；由等體積法可判斷C；由截面面積最小的圓是以所在的弦為直徑的截面圓可判斷D.
【詳解】
對(duì)于選項(xiàng)A：連結(jié)，，正方體中，，而M，N分別為棱，的中點(diǎn)，則，所以，故A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B：設(shè)與的夾角為，由上圖可知，
所以，故B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C：連接，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由得，又，則，所以，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D：連接交于點(diǎn)，則是的中點(diǎn). 正方體外接球球心是正方體對(duì)角線(xiàn)的中點(diǎn)，半徑.
由對(duì)稱(chēng)性知過(guò)MN作該正方體外接球的截面，所得截面的面積最小的圓是以所在的弦為直徑的截面圓，即截面圓圓心為.
易得.∴.
故截面圓半徑.
此時(shí)截面圓面積為，故D正確．

故選：ABD．
29．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，則以下說(shuō)法正確的是（ ）

A．平面截正方體所得截面周長(zhǎng)為
B．上存在點(diǎn)P，使得平面
C．三棱錐和體積相等
D．上存在點(diǎn)P，使得平面
【答案】ACD
【分析】
對(duì)于B，可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用反證法可判斷其正誤，而對(duì)于ACD，連接，，，利用線(xiàn)線(xiàn)平行可判斷截面為梯形，從而可求截面的周長(zhǎng)，連接，利用等積法可求棱錐的體積，再取的中點(diǎn)M，的中點(diǎn)N，連接，，，利用線(xiàn)面平行的判定定理可證的中點(diǎn)Р滿(mǎn)足平面，從而可判斷這三者的正誤.
【詳解】
對(duì)于B選項(xiàng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，
設(shè)，所以，，
若平面，則，而顯然不成立，
所以與不垂直，所以上不存在點(diǎn)P，使得面，
所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于A選項(xiàng)，連接，，

∵E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，故，而，故，
∴E﹐F，，C四點(diǎn)共線(xiàn)，
∴平面截正方體所得的截面為梯形，
∴截面周長(zhǎng)，
故A正確；
對(duì)于C選項(xiàng)，連接，
故，
而平面即為平面，因，
故到平面的距離為到平面的距離的，
而到平面為，故到平面的距離為，
故，
所以成立，C正確；
對(duì)于D選項(xiàng)，取的中點(diǎn)M，的中點(diǎn)N，連接，，，
∵且，
∴四邊形為平行四邊形，∴，
∴，∵平面，平面
∴平面，∴點(diǎn)P為的中點(diǎn)，
∴上存在一點(diǎn)Р使得平面，故D正確．
故選：ACD.
30．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，，，分別為，，的中點(diǎn)，則（ ）

A．直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直 B．直線(xiàn)與平面平行
C．平面截正方體所得的截面面積為 D．點(diǎn)到平面的距離為
【答案】BCD
【分析】
對(duì)于A，取的中點(diǎn)，連接，由正方體的性質(zhì)判斷，對(duì)于B，取的中點(diǎn)，連接，然后利用面面平行判斷，對(duì)于C，把截面補(bǔ)形為四邊形,由等腰梯形計(jì)算其面積，對(duì)于D，由等體積法計(jì)算即可
【詳解】
解：對(duì)于A，如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，由正方體的性質(zhì)可知‖，在中，，而，所以與不垂直，所以直線(xiàn)與直線(xiàn)不垂直，所以A錯(cuò)誤，

對(duì)于B，如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，則有‖，‖，因?yàn)槠矫?，平面，平面，平面，所以‖平面，‖平面，因?yàn)?，所以平面‖平面，因?yàn)槠矫?，所以直線(xiàn)與平面平行，所以B正確

對(duì)于C，如圖所示，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，
因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以‖，所以四點(diǎn)共面，所以截面即為梯形，因?yàn)?所以，即，即，因?yàn)椋?，即，?br /> 所以等腰三角形的高為，梯形的高為，所以梯形的面積為，所以C正確，

對(duì)于D，，在中，由余弦定理得

所以，
所以
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則由，可得
，解得 ，所以D正確，
故選：BCD

第II卷（非選擇題）

三、填空題
31．已知正四棱柱中，，，則該四棱柱被過(guò)點(diǎn)，C，E的平面截得的截面面積為_(kāi)_____.
【答案】
【分析】
在上取點(diǎn)，使得，連接，則四邊形是平行四邊形，
由勾股定理可得，再結(jié)合余弦定理與面積公式即可求解
【詳解】
由題意，正四棱柱中，，，
可得，
在上取點(diǎn)，使得，連接，
則有，
所以四邊形是平行四邊形，
由勾股定理可得
，
所以,
所以，
所以四邊形是平行四邊形的面積為
，
故答案為：

32．正三棱錐中，，點(diǎn)在棱上，且，已知點(diǎn)都在球的表面上，過(guò)點(diǎn)作球的截面，則截球所得截面面積的最小值為_(kāi)__________.
【答案】
【分析】
通過(guò)補(bǔ)體把正三棱錐補(bǔ)成正方體，則正方體的體對(duì)角線(xiàn)為外接球直徑；可求出，當(dāng)平面時(shí)，平面截球O的截面面積最小，此時(shí)截面為圓面，從而可計(jì)算截面的半徑，從而推導(dǎo)出截面的面積.
【詳解】
，，，，
同理，故可把正三棱錐補(bǔ)成正方體（如圖所示），

其外接球即為球，直徑為正方體的體對(duì)角線(xiàn)，故，
設(shè)的中點(diǎn)為，連接，則且.所以，
當(dāng)平面時(shí)，平面截球O的截面面積最小，
此時(shí)截面為圓面，其半徑為，故截面的面積為.
故答案為：
33．已知在棱長(zhǎng)為6的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱C1D1，B1C1的中點(diǎn)，過(guò)A，E，F(xiàn)三點(diǎn)作該正方體的截面，則截面的周長(zhǎng)為_(kāi)_______．
【答案】/
【分析】
根據(jù)正方體的性質(zhì)作出截面圖形，進(jìn)而算出周長(zhǎng).
【詳解】
如圖，延長(zhǎng)EF，A1B1，相交于點(diǎn)M，連接AM，交BB1于點(diǎn)H，延長(zhǎng)FE，A1D1，相交于點(diǎn)N，連接AN，交DD1于點(diǎn)G，連接FH，EG，可得截面為五邊形AHFEG.因?yàn)锳BCD-A1B1C1D1是棱長(zhǎng)為6的正方體，且E，F(xiàn)分別是棱C1D1，B1C1的中點(diǎn)，由中位線(xiàn)定理易得：EF＝，由勾股定理易得：AG＝AH＝，EG＝FH＝，截面的周長(zhǎng)為AH＋HF＋EF＋EG＋AG＝＋.

故答案為：＋.
34．正方體的棱長(zhǎng)為1，分別為的中點(diǎn)，下列四個(gè)選項(xiàng)
①直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直
②直線(xiàn)與平面平行
③平面截正方體所得的截面面積為
④點(diǎn)和點(diǎn)到平面的距離相等;
其中正確的是____________
【答案】②③
【分析】
畫(huà)出圖形，觀察可知①錯(cuò)誤；②畫(huà)出截面，由線(xiàn)面平行的判定定理可證；③截面為等腰梯形，計(jì)算上底、下底以及梯形的高可求出面積；④若點(diǎn)和點(diǎn)到平面的距離相等，可得到的距離相等，可證明錯(cuò)誤.
【詳解】
解：①顯然直線(xiàn)與直線(xiàn)不垂直，又，所以直線(xiàn)與直線(xiàn)不垂直，①錯(cuò)誤；
②如圖：
所在平面為，分別為的中點(diǎn)，所以，平面 ，平面，所以平面，②正確；
③截面為等腰梯形，，，且梯形的高為，所以梯形的面積為，③正確；
④若點(diǎn)和點(diǎn)到平面的距離相等，則棱錐和棱錐的體積相等，即，即三角形與三角形的面積相等，即到的距離相等，在正方形中，到的距離不相等，故④不正確；
故答案為：②③.
35．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，為的中點(diǎn)，為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A，，的平面截該正方體所得的截面記為S，則下列命題正確的是______ （寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào)）．

①當(dāng)時(shí)，S為四邊形；
②當(dāng)時(shí)，S為等腰梯形；
③當(dāng)時(shí)，S與的交點(diǎn)滿(mǎn)足；
④當(dāng)時(shí)，S為六邊形
【答案】①②③
【分析】
分情況和兩種情況作出截面，并判斷②③，再通過(guò)平移交點(diǎn)，即可判斷①④.
【詳解】
如圖1，當(dāng)時(shí)，，這時(shí)過(guò)A，，三點(diǎn)的截面與交于點(diǎn)，，且，截面為等腰梯形；
當(dāng)時(shí)，過(guò)A，，三點(diǎn)的截面與的交點(diǎn)在棱上，截面S為四邊形，故①②正確．

如圖2，當(dāng)時(shí)，設(shè)截面S交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，取的中點(diǎn)，作交于點(diǎn)，則，且，即為的中點(diǎn)，∴，，，可得，故③正確．
易知當(dāng)時(shí)，只需上移即可，此時(shí)S仍如圖2所示的五邊形，故④錯(cuò)誤．

故答案為：①②③

四、解答題
36．如圖，在正方體中，分別為和的中點(diǎn).

（1）畫(huà)出由A，E，F(xiàn)確定的平面截正方體所得的截面，（保留作圖痕跡，使用鉛筆作圖）；（2）求異面直線(xiàn)和所成角的大小.
【答案】（1）作圖見(jiàn)解析；（2）.
【分析】
（1）取BC的四等分點(diǎn)G(靠近C的點(diǎn))，D1C1的四等分點(diǎn)H(靠近C1點(diǎn))，則五邊形AGFHE即為由A，E，F(xiàn)確定的平面β截正方體所得的截面；
（2）取AD的中點(diǎn)N，連接EN，再取EN的中點(diǎn)M，連接MC、NC、AM，則，故 (或其補(bǔ)角)即為異面直線(xiàn)EF和AC所成角，解三角形可求得答案.
【詳解】
解：（1）如圖，取BC的四等分點(diǎn)G(靠近C的點(diǎn))，D1C1的四等分點(diǎn)H(靠近C1點(diǎn))，
則五邊形AGFHE即為由A，E，F(xiàn)確定的平面β截正方體所得的截面，

（2）取AD的中點(diǎn)N，連接EN，再取EN的中點(diǎn)M，連接MC、NC、AM，則，故 (或其補(bǔ)角)即為異面直線(xiàn)EF和AC所成角，
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，可得，，，在中，有 ，所以是直角三角形，所以，所以異面直線(xiàn)和所成角的大小為.

37．已知正三棱柱的所有棱長(zhǎng)都是1

（1）畫(huà)經(jīng)過(guò)ABC三點(diǎn)的截面
（2）過(guò)棱BC作和底面成二面角的截面，求此截面面積.
【答案】
（1）見(jiàn)解析
（2）
【分析】
（1）連接AB與交于點(diǎn)P，連接AC與交于點(diǎn)Q，再連接PQ即可；
（2）取BC的中點(diǎn)E，連接AE，EF，得到 是截面與底面所成的角，由，得到截面不與棱相交，與平面相交于，得到截面為梯形求解.
（1）
如圖所示；


連接AB與交于點(diǎn)P，連接AC與交于點(diǎn)Q，
然后連接PQ與交于點(diǎn)M，與交于點(diǎn)N，
所以經(jīng)過(guò)ABC三點(diǎn)的截面是ABMN；
（2）
如圖所示：

取BC的中點(diǎn)E，連接AE，EF，
則，
所以是截面與底面所成的角，即，
因?yàn)椋?br /> 所以，
所以截面不與棱相交，與平面相交于，
因?yàn)槠矫嫫矫鍭BC，
所以，
所以截面為梯形，
又，，
所以，
因?yàn)椋?br /> 所以，
所以截面的面積為.
38．如圖，在正方體中，是的中點(diǎn)，，，分別是，，的中點(diǎn)．求證：

（1）直線(xiàn)平面；
（2）平面平面；
（3）若正方體棱長(zhǎng)為1，過(guò)，，三點(diǎn)作正方體的截面，畫(huà)出截面與正方體的交線(xiàn)，并求出截面的面積．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）畫(huà)圖見(jiàn)解析，截面的面積為．
【分析】
（1）連接SB，由三角形的中位線(xiàn)定理、線(xiàn)面平行的判定定理，可得證明；
（2）由線(xiàn)面平行和面面平行的判定定理，即可得證；
（3）取B1C1的中點(diǎn)N，連接A1N，NE，取A1D1的中點(diǎn)M，連接MC1，AM，由平行四邊形的判定和性質(zhì)，推得截面為菱形，由對(duì)角線(xiàn)互相垂直，可得所求面積．
【詳解】
（1）證明：連接SB，由EG為△CSB的中位線(xiàn)，可得EG∥SB，
由EG?平面BDD1B1，SB?平面BDD1B1，可得EG∥平面BDD1B1；
（2）由EF∥DB，EF?平面BDD1B1，DB?∥平面BDD1B1，
可得EF∥∥平面BDD1B1，
又由（1）可得EG∥平面BDD1B1，
EF∩EG＝E，可得平面EFG∥平面BDD1B1；
（3）取B1C1的中點(diǎn)N，連接A1N，NE，
可得AE∥A1N，AE＝A1N，
取A1D1的中點(diǎn)M，連接MC1，AM，
可得MC1＝A1N，MC1∥A1N，
可得截面AEC1M為平行四邊形，且AE＝EC1＝AM＝MC1＝＝，
所以截面的面積為×A1C1×ME＝××＝．

39．（1）如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體中，，是棱，的中點(diǎn)，在圖中畫(huà)出過(guò)底面中的心且與平面平行的平面在正方體中的截面，并求出截面多邊形的周長(zhǎng)為：______；

（2）作出平面與四棱錐的截面，截面多邊形的邊數(shù)為_(kāi)_____．

【答案】（1）作圖見(jiàn)解析，周長(zhǎng)為；（2）作圖見(jiàn)解析，邊數(shù)為五．
【分析】
（1）利用面面平行的判定定理作出截面，求得各邊長(zhǎng)度則可得周長(zhǎng)；（2）利用延長(zhǎng)找公共點(diǎn)的方法作出截面，可得形狀.
【詳解】
(1)分別取，為棱，的中點(diǎn)，則由中位線(xiàn)性質(zhì)得到：，所以四邊形為平面四邊形，
又，，所以四邊形為平行四邊形，所以，
由，平面，平面，所以平面，同理平面， ，由面面平行的判定定理可得平面平面，所以四邊形即為所求截面，且為梯形，
由截面作法可知，所以截面四邊形的周長(zhǎng)為.

（2）延長(zhǎng)的延長(zhǎng)線(xiàn)于，連接的延長(zhǎng)線(xiàn)于連接于，連接，則五邊形即為所求.所以截面多邊形的邊數(shù)為五.

40．如圖①，正方體的棱長(zhǎng)為，為線(xiàn)段的中點(diǎn)，為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)、、的平面截該正方體所得的截面記為.

（1）若，請(qǐng)?jiān)趫D①中作出截面（保留尺規(guī)作圖痕跡）；
（2）若（如圖②），試求截面將正方體分割所成的上半部分的體積與下半部分的體積之比.
【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）.
【分析】
（1）根據(jù)平面的基本性質(zhì)作出截面即可；
（2）由平面基本性質(zhì)得出截面，再由錐體的體積公式得出，最后求出與之比.
【詳解】
（1）延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，此時(shí)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)
延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，連接，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接
此時(shí)五邊形就是截面

（2）當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，再由，可知，的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)，此時(shí)截面為四邊形


因此








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