【要點(diǎn)梳理】
要點(diǎn)一：函數(shù)的零點(diǎn)
1.函數(shù)的零點(diǎn)
（1）一般地，如果函數(shù)在實(shí)數(shù)處的值等于零，即，則叫做這個(gè)函數(shù)的零點(diǎn).
要點(diǎn)詮釋?zhuān)?br /> ①函數(shù)的零點(diǎn)是一個(gè)實(shí)數(shù)，當(dāng)函數(shù)的自變量取這個(gè)實(shí)數(shù)時(shí)，其函數(shù)值等于零；
②函數(shù)的零點(diǎn)也就是函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；
③函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的實(shí)數(shù)根．
歸納：方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn)．
（2）二次函數(shù)的零點(diǎn)
二次函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，方程的實(shí)根個(gè)數(shù)見(jiàn)下表.
判別式
方程的根
函數(shù)的零點(diǎn)

兩個(gè)不相等的實(shí)根
兩個(gè)零點(diǎn)

兩個(gè)相等的實(shí)根
一個(gè)二重零點(diǎn)

無(wú)實(shí)根
無(wú)零點(diǎn)
（3）二次函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)
①二次函數(shù)的圖象是連續(xù)的，當(dāng)它通過(guò)零點(diǎn)時(shí)（不是二重零點(diǎn)），函數(shù)值變號(hào).
②相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有的函數(shù)值保持同號(hào).
2．函數(shù)零點(diǎn)的判定
（1）利用函數(shù)零點(diǎn)存在性的判定定理
如果函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的圖象不間斷，并且在它的兩個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值異號(hào)，即，則這個(gè)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上，至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在一點(diǎn)，使，這個(gè)也就是方程的根.
（2）利用方程求解法
求函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，先考慮解方程，方程無(wú)實(shí)根則函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，方程有實(shí)根則函數(shù)有零點(diǎn)．
（3）利用數(shù)形結(jié)合法
函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的實(shí)數(shù)根，也就是函數(shù)的圖象與的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
要點(diǎn)二：一元二次方程根的分布與方程系數(shù)的關(guān)系
（1）設(shè)x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）的兩實(shí)根，則x1、x2的分布范圍與一元二次方程的系數(shù)之間的關(guān)系是：
①當(dāng)x1＜x2＜k時(shí)，有； ②當(dāng)k＜x1＜x2時(shí)，有；
③當(dāng)x1＜k＜x2時(shí)，； ④當(dāng)x1，x2∈（k1，k2）時(shí)，有；
⑤當(dāng)x1、x2有且僅有一個(gè)在（k1，k2）時(shí)，有．
要點(diǎn)詮釋?zhuān)?br /> 討論二次函數(shù)的根在區(qū)間的分布情況一般需從三方面考慮：①判別式；②區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值的符號(hào)；③對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間的相對(duì)位置．當(dāng)k=0時(shí)，也就是一元二次方程根的零分布．
（2）所謂一元二次方程根的零分布，是指方程的根相對(duì)于零的關(guān)系．比如一元二次方程有一正根，有一負(fù)根，其實(shí)就是指這個(gè)二次方程一個(gè)根比零大，一個(gè)根比零小，或者說(shuō)這兩個(gè)根分布在零的兩側(cè)．
設(shè)一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個(gè)實(shí)根為x1，x2，且x1≤x2．
①； ②；
③；
④x1=0，x2＞0c=0，且；x1＜0，x2=0c=0，且．

要點(diǎn)三：二分法
1.二分法
所謂二分法就是通過(guò)不斷地把函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法.
2.用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的一般步驟：
函數(shù)定義在區(qū)間D上，求它在D上的一個(gè)零點(diǎn)x0的近似值x，使它滿足給定的精確度.
第一步：在D內(nèi)取一個(gè)閉區(qū)間，使與異號(hào)，即，零點(diǎn)位于區(qū)間中.
第二步：取區(qū)間的中點(diǎn)，則此中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為
.
計(jì)算和，并判斷：
①如果，則就是的零點(diǎn)，計(jì)算終止；
②如果，則零點(diǎn)位于區(qū)間中，令；
③如果，則零點(diǎn)位于區(qū)間中，令
第三步：取區(qū)間的中點(diǎn)，則此中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為
.
計(jì)算和，并判斷：
①如果，則就是的零點(diǎn)，計(jì)算終止；
②如果，則零點(diǎn)位于區(qū)間中，令；
③如果，則零點(diǎn)位于區(qū)間中，令；
……
繼續(xù)實(shí)施上述步驟，直到區(qū)間，函數(shù)的零點(diǎn)總位于區(qū)間上，當(dāng)和按照給定的精確度所取的近似值相同時(shí)，這個(gè)相同的近似值就是函數(shù)的近似零點(diǎn)，計(jì)算終止.這時(shí)函數(shù)的近似零點(diǎn)滿足給定的精確度.

【經(jīng)典例題】
類(lèi)型一、求函數(shù)的零點(diǎn)
例1. 求下列函數(shù)的零點(diǎn).
(1) ；
(2)；
（3）．
【答案】（1）-3，1；（2）-1，1；（3）-2，0，2．
【解析】(1) 由，令，得，故函數(shù)零點(diǎn)是-3，1；
(2)由，令得x=1，-1，故函數(shù)的零點(diǎn)是-1，1；
(3)令，即，
即，得，故函數(shù)的零點(diǎn)是-2，0，2．

舉一反三：
【變式1】已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn),則 ．
【答案】2
【解析】，作及的圖象，作及的圖象
由圖象可知，當(dāng)內(nèi)變動(dòng)，內(nèi)變動(dòng)時(shí)，顯然對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與直線的公共點(diǎn)皆在區(qū)間內(nèi)，即函數(shù)的零點(diǎn)，故．
類(lèi)型二、函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理
例2．函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是（ ）
A．（1，2） B．（2，3） C．和（3，4） D．（e，+∞）
【答案】 B【解析】 從已知的區(qū)間（a，b）中，求和，判斷是否有．
∵，，∴在（1，2）內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，A錯(cuò)；
又，∴，∴在（2，3）內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)．
舉一反三：
【變式1】若函數(shù)，則下列判斷正確的是（ ）
A．方程f（x）=0在區(qū)間[0，1]內(nèi)一定有解
B．方程f（x）=0在區(qū)間[0，1]內(nèi)一定無(wú)解
C．函數(shù)f（x）是奇函數(shù)
D．函數(shù)f（x）是偶函數(shù)
【答案】A
【變式2】 根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以判定方程的一個(gè)根所在的最小區(qū)間為 ．

-1
0
1
2
3

0.37
1
2.72
7.39
20.09

1
2
3
4
5
【答案】
【解析】令，由表格中數(shù)據(jù)知=0.37-1=-0.630．

2．有兩個(gè)互為相反數(shù)的零點(diǎn)的函數(shù)(　B　)
A．只能是偶函數(shù)　　B．可以是奇函數(shù)　　C．可以是增函數(shù)　　D．可以是減函數(shù)

3．若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)x均成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．（－2，2） B．（－2，2] C．（－∞，－2）∪[2，∞） D．（∞，2]
3．【答案】B【解析】不等式，可化為，
當(dāng)a－2=0，即a=2時(shí)，恒成立．當(dāng)a－2≠0時(shí)，要使不等式恒成立，需，解得－2＜a＜2．
所以a的取值范圍為（－2，2]．

4．設(shè)函數(shù)是[-1，1]上的增函數(shù)，且，
則方程在[-1，1]內(nèi)(　　)
A．可能有3個(gè)實(shí)數(shù)根　　B．可能有2個(gè)實(shí)數(shù)根　　C．有唯一的實(shí)數(shù)根　　D．沒(méi)有實(shí)數(shù)根
4．【答案】C　【解析】在[-1，1]上是增函數(shù)且
在上有唯一實(shí)根，在[-1，1] 上有唯一實(shí)根．故選C．

5．關(guān)于“二分法”求方程的近似解，說(shuō)法正確的是（ D ）
A．“二分法”求方程的近似解一定可將y=f（x）在[a，b]內(nèi)的所有零點(diǎn)得到；
B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到y(tǒng)=f（x）在[a，b]內(nèi)的零點(diǎn)；
C．應(yīng)用“二分法”求方程的近似解，y=f（x）在[a，b]內(nèi)有可能無(wú)零點(diǎn)；
D．“二分法”求方程的近似解可能得到f（x）=0在[a，b]內(nèi)的精確解．
6．若函數(shù)的一個(gè)正數(shù)零點(diǎn)附近的函數(shù)值用二分法計(jì)算，其參考數(shù)據(jù)如下：
f（1）=－2
f（1．5）=0．625
f（1．25）=－0．984
f（1．375）=－0．260
f（1．4375）=0．162
f（1．40625）=－0．054



那么方程的一個(gè)近似根（精確到0．1）為（ C ）
A．1．2 B．1．3 C．1．4 D．1．5


7．如圖，下列函數(shù)圖象與x軸均有交點(diǎn)，但不宜用二分法求交點(diǎn)橫坐標(biāo)的是(　B　)

8．設(shè)是方程的兩個(gè)根，則的最大值等于（ ）
A．19　　B．18　　C．17　　D．16
8．【答案】B 【解析】由是方程的兩個(gè)根，
，解得
，
當(dāng)時(shí)，取得最大值18．

9．已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
9．【答案】[1，+∞）【解析】當(dāng)x＜1時(shí)，令ln（x―1）=0解得x=0，
故f（x）在（―∞，1）上有1個(gè)零點(diǎn)，∴f（x）在[1，+∞）上有1個(gè)零點(diǎn)．
當(dāng)x≥1時(shí)，令得．∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1，+∞）．

10．若方程在（1,2）內(nèi)有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
10．【答案】（2,10）【解析】設(shè)函數(shù)．易證明是上的增函數(shù)，
依題意，得所以．

11．關(guān)于的方程的根分別為，則的值為 ．
11．【答案】3 在同一直角坐標(biāo)系中畫(huà)出的圖象，觀察可得．


12．已知函數(shù)，其中a∈R，且a≠0
（Ⅰ）設(shè)h(x)=(2x－3)f (x)，若函數(shù)y=h（x）圖象與x軸恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，試求a的取值集合；
（Ⅱ）求函數(shù)y=｜f（x）｜在[0，1]上最大值．
12．【解析】（Ⅰ）（1）若f（x）=0恰有一解，且解不為，
即a2－4=0，解得a=±2；
（2）若f（x）=0有兩個(gè)不同的解，且其中一個(gè)解為，
代入得，
解得，檢驗(yàn)滿足Δ＞0；
綜上所述，a的了取值集合為．
（Ⅱ）（1）若，即a≥0時(shí)，
函數(shù)y=｜f（x）｜在[0，1]上單調(diào)遞增，
故；
（2）若，即－2＜a＜0時(shí)，
此時(shí)，且f（x）的圖象的對(duì)稱(chēng)軸在（0，1）上，且開(kāi)口向上；
故，
（3）若，即a≤－2時(shí)，
此時(shí)f（1）=2+a≤0，，
綜上所述，

13．設(shè)二次函數(shù)滿足f（－1）=0，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x都有f（x）－x≥0，
并且當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，．
（1）求f（1）的值；
（2）求a，b，c的值；
（3）當(dāng)x∈（－1，1）時(shí)，函數(shù)g（x）=f（x）－mx，m∈R是單調(diào)的，求m的取值范圍．

13．【解析】（1）∵二次函數(shù)滿足,∴a+c=b，
函數(shù)．∵當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，，∴f（1）≤1．
又對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x都有f（x）－x≥0，∴f（1）－1≥0，f（1）≥1，故 f（1）=1．
（2） （3）








英語(yǔ)朗讀寶
相關(guān)資料 更多
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第一冊(cè)電子課本

4.5 函數(shù)的應(yīng)用（二）

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 必修 第一冊(cè)

切換課文
  • 課件
  • 教案
  • 試卷
  • 學(xué)案
  • 更多
所有DOC左下方推薦
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專(zhuān)業(yè)更值得信賴(lài)
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部