?專題過關(guān)檢測(cè)四　立體幾何
一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.(2021·山東濟(jì)寧二模)“直線m垂直于平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線”是“m⊥α”的(　　)
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
2.(2021·重慶八中月考)已知六棱錐P-ABCDEF的底面是正六邊形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,則異面直線CD與PB所成角的余弦值為(　　)
A.55 B.255 C.510 D.9510
3.(2021·江西上饒三模)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,G是線段BC1上一點(diǎn),且A1G⊥B1D,則(　　)
A.BG=12BC1
B.BC1=3GC1
C.BG=3GC1
D.G為線段BC1上任意一點(diǎn)
4.(2021·遼寧葫蘆島一模)某保鮮封閉裝置由儲(chǔ)物區(qū)與充氮區(qū)(內(nèi)層是儲(chǔ)物區(qū),用來(lái)放置新鮮易變質(zhì)物品,充氮區(qū)是儲(chǔ)物區(qū)外的全部空間,用來(lái)向儲(chǔ)物區(qū)輸送氮?dú)鈴亩鴮?shí)現(xiàn)保鮮功能)構(gòu)成.如圖,該裝置外層上部分是半徑為2的半球,下面大圓剛好與高度為3的圓錐的底面圓重合,內(nèi)層是一個(gè)高度為4的倒置小圓錐,小圓錐底面平行于外層圓錐的底面,且小圓錐頂點(diǎn)與外層圓錐頂點(diǎn)重合,為了保存更多物品,充氮區(qū)的體積最小為(　　)

A.4π B.16π3 C.28π3 D.4π3
5.(2021·天津三模)在圓柱O1O2內(nèi)有一個(gè)球O,球O分別與圓柱O1O2的上、下底面及母線均有且只有一個(gè)公共點(diǎn).若O1O2=2,則圓柱O1O2的表面積為(　　)
A.4π B.5π
C.6π D.7π
6.(2021·廣東深圳模擬)已知球O與棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1的各個(gè)面都相切,M為棱DD1的中點(diǎn),則平面AMC截球O所得截面的面積為(　　)
A.π3 B.2π3
C.π D.4π3
7.(2021·福建師大附中模擬)過正方形ABCD的頂點(diǎn)A作PA⊥平面ABCD,若AB=AP,則平面ABP與平面CDP的夾角的余弦值為(　　)
A.13 B.22 C.32 D.33
8.(2021·山東濱州二模)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是棱DD1的中點(diǎn),P是底面ABCD內(nèi)(包括邊界)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),若MP∥平面A1BC1,則異面直線MP與A1C1所成角的取值范圍是(　　)
A.0,π3 B.π6,π3
C.π3,π2 D.π3,π
二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分.
9.(2021·廣東廣州三模)對(duì)于空間中的兩條不同直線a,b和兩個(gè)不同平面α,β,下列說(shuō)法正確的是(　　)
A.若a⊥α,b⊥α,則a∥b
B.若a⊥b,b⊥β,則a∥β
C.若a⊥α,b⊥β,α⊥β,則a⊥b
D.若a∥α,α⊥β,則a⊥β
10.(2021·湖北荊門月考)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)P在線段BC1上運(yùn)動(dòng),下列結(jié)論正確的是(　　)

A.三棱錐A-D1PC的體積不變
B.直線AP與平面ACD1所成角的大小不變
C.直線AP與直線A1D所成角的大小不變
D.二面角P-AD1-C的大小不變
11.(2021·福建龍巖三模)在意大利,有一座滿是“斗笠”的灰白小鎮(zhèn)阿爾貝羅貝洛,這些圓錐形屋頂?shù)钠嫣匦∥菝蠺rulli,于1996年被收入世界文化遺產(chǎn)名錄.現(xiàn)測(cè)量一個(gè)Trulli的屋頂,得到圓錐SO(其中S為頂點(diǎn),O為底面圓心),母線SA的長(zhǎng)為6 m,C是母線SA上靠近點(diǎn)S的三等分點(diǎn).從點(diǎn)A到點(diǎn)C繞屋頂側(cè)面一周安裝燈光帶,燈光帶的最小長(zhǎng)度為213 m.下面說(shuō)法正確的是(　　)

A.圓錐SO的側(cè)面積為12π m2
B.過點(diǎn)S的平面截此圓錐所得截面面積最大值為18 m2
C.圓錐SO的外接球的表面積為72π m2
D.棱長(zhǎng)為3 m的正四面體在圓錐SO內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)
12.(2021·新高考Ⅰ,12)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=1,點(diǎn)P滿足BP=λBC+μBB1,其中λ∈[0,1],μ∈[0,1],則(　　)
A.當(dāng)λ=1時(shí),△AB1P的周長(zhǎng)為定值
B.當(dāng)μ=1時(shí),三棱錐P-A1BC的體積為定值
C.當(dāng)λ=12時(shí),有且僅有一個(gè)點(diǎn)P,使得A1P⊥BP
D.當(dāng)μ=12時(shí),有且僅有一個(gè)點(diǎn)P,使得A1B⊥平面AB1P
三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.
13.(2021·遼寧大連期中)已知一個(gè)圓錐的底面半徑為6,其體積為30π,則該圓錐的側(cè)面積為　　　　　.?
14.(2021·河北石家莊期末)如圖,已知二面角A-EF-D的大小為45°,四邊形ABFE與四邊形CDEF都是邊長(zhǎng)為1的正方形,則B,D兩點(diǎn)間的距離是　　　　　.?

15.(2021·浙江紹興二模)如圖,在棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是棱A1A上的動(dòng)點(diǎn),N是棱BC的中點(diǎn).當(dāng)平面D1MN與平面ABCD的夾角最小時(shí),A1M=　　　　　.?

16.(2021·廣東汕頭二模)在菱形ABCD中,AB=2,∠DAB=60°,E為AB的中點(diǎn),將△ADE沿DE翻折成△A1DE,當(dāng)三棱錐A1-DEC的體積最大時(shí),三棱錐A1-DEC的外接球的表面積為　　　　　.?
四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟.
17.(10分)(2021·廣東韶關(guān)期中)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面ABB1A1,BCC1B1,ACC1A1的面積依次為16,12,20,E,F分別為A1C1,BC的中點(diǎn).

求證:(1)平面ABE⊥平面BB1C1C;
(2)C1F∥平面ABE.















18.(12分)(2021·河北張家口一模)如圖,四邊形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,PA∥EB,且PA=AB=3.
(1)求證:CE∥平面PAD;
(2)若BE=13PA,求直線PD與平面PCE所成角的正弦值.
















19.(12分)(2021·北京石景山區(qū)模擬)如圖,四棱錐P-ABCD的底面為矩形,PD⊥底面ABCD,M為BC的中點(diǎn),PB⊥AM.

(1)求證:平面PAM⊥平面PBD;
(2)若PD=DC=1,求四棱錐P-ABCD的體積.




















20.(12分)(2021·山東淄博三模)如圖①,在平面圖形ABCD中,△ABD是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形,DB是∠ADC的平分線,且BD⊥BC,M為AD的中點(diǎn),沿BM將△ABM折起,得到四棱錐A1-BCDM,如圖②.

圖①

圖②
(1)設(shè)平面A1BC與平面A1DM的交線為l,在四棱錐A1-BCDM的棱A1C上求一點(diǎn)N,使直線BN∥l;
(2)若二面角A1-BM-D的大小為60°,求平面A1BD與平面A1CD的夾角的余弦值.


































21.(12分)(2021·湖南長(zhǎng)沙模擬)如圖,C是以AB為直徑的圓上異于點(diǎn)A,B的點(diǎn),平面PAC⊥平面ABC,PA=PC=AC=2,BC=4,E,F分別是PC,PB的中點(diǎn),設(shè)平面AEF與平面ABC的交線為直線l.

(1)求證:直線l⊥平面PAC.
(2)直線l上是否存在點(diǎn)Q,使直線PQ分別與平面AEF,直線EF所成的角互余?若存在,求出AQ的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.





































22.(12分)(2021·重慶蜀都中學(xué)月考)如圖①,在菱形ABCD中,∠ABC=120°,動(dòng)點(diǎn)E,F分別在邊AD,AB上(不含端點(diǎn)),且存在實(shí)數(shù)λ,使EF=λBD,沿EF將△AEF向上折起得到△PEF,使得平面PEF⊥平面BCDEF,如圖②所示.

圖①

圖②
(1)若BF⊥PD,設(shè)三棱錐P-BCD和四棱錐P-BDEF的體積分別為V1,V2,求V1V2.
(2)當(dāng)點(diǎn)E的位置變化時(shí),二面角E-PF-B是否為定值?若是,求出該二面角的余弦值;若不是,說(shuō)明理由.

















專題過關(guān)檢測(cè)四　立體幾何
1.B　解析: 由直線m垂直于平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線不能推出m⊥α,但是由m⊥α一定能推出直線m垂直于平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線,所以“直線m垂直于平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線”是“m⊥α”的必要不充分條件.故選B.
2.C　解析: 連接AE,BE(圖略),設(shè)AB=1,則PA=2,AE=12+12-2×1×1×cos120°=3,PE=4+3=7,BE=3+1=2,PB=4+1=5.易知CD∥BE,所以∠PBE是直線CD與PB所成的角(或其補(bǔ)角).又cos∠PBE=4+5-72×2×5=510,
所以直線CD與PB所成角的余弦值為510.故選C.
3.D　解析: 如圖,∵AD⊥平面ABB1A1,
∴AD⊥A1B.
又AB1⊥A1B,AB1∩AD=A,
∴A1B⊥平面AB1D,

∴A1B⊥B1D.
同理BC1⊥B1D.
又A1B∩BC1=B,
∴B1D⊥平面A1BC1.
又A1G?平面A1BC1,
∴A1G⊥B1D.
故G為線段BC1上任意一點(diǎn).故選D.
4.B　解析: 由題意可知內(nèi)層小圓錐底面半徑最大為22-12=3,所以充氮區(qū)的體積最小為12×43π×23+13π×22×3-13π×(3)2×4=16π3.故選B.
5.C　解析: 依題意,圓柱O1O2的底面半徑r=1,高h(yuǎn)=2,所以圓柱O1O2的表面積S=2πr·h+2πr2=4π+2π=6π.故選C.
6.A　解析: 設(shè)球心O到截面的距離為d,截面圓的半徑為r,由VO-ACM=VM-AOC,得13·S△ACM·d=23S△AOC.因?yàn)镾△ACM=12×22×3=6,S△AOC=12×22×1=2,所以d=63.又d2+r2=1,所以r=33,所以平面AMC截球O所得截面的面積為πr2=π3.故選A.
7.B　解析: 設(shè)AP=AB=1,以A為原點(diǎn),AB,AD,AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,則P(0,0,1),D(0,1,0),C(1,1,0),所以PC=(1,1,-1),PD=(0,1,-1).

設(shè)平面CDP的法向量m=(x,y,z),則m·PC=x+y-z=0,m·PD=y-z=0,取y=1,則x=0,z=1,所以m=(0,1,1)為平面CDP的一個(gè)法向量.易知n=(0,1,0)為平面ABP的一個(gè)法向量.設(shè)平面ABP與平面CDP的夾角為θ,則cos θ=|m·n||m||n|=12×1=22.故選B.
8.C　解析: 如圖,以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AB=2,則B(2,2,0),A1(2,0,2),C1(0,2,2),M(0,0,1),取AD的中點(diǎn)E,DC的中點(diǎn)F,連接ME,EF,MF,則E(1,0,0),F(0,1,0).因?yàn)镸E=(1,0,-1),C1B=(2,0,-2)=2ME,所以C1B∥ME.同理EF∥A1C1.又ME?平面A1BC1,C1B?平面A1BC1,所以ME∥平面A1BC1.同理MF∥平面A1BC1.又MF∩ME=M,所以平面MEF∥平面A1BC1.

因?yàn)镻是底面ABCD內(nèi)(包括邊界)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),MP∥平面A1BC1,所以點(diǎn)P在線段EF上.因?yàn)镋F∥A1C1,所以異面直線MP與A1C1所成的角即是直線MP與EF所成的角.當(dāng)MP⊥EF時(shí),異面直線MP與A1C1所成的角最大為π2,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E或點(diǎn)F重合時(shí),異面直線MP與A1C1所成的角最小為π3.故所求角的取值范圍為π3,π2.
9.AC　解析: 對(duì)于A,由線面垂直的性質(zhì)定理知A正確;對(duì)于B,若a⊥b,b⊥β,則a∥β或a?β,所以B錯(cuò)誤;對(duì)于C,由a⊥α,α⊥β,可知a∥β或a?β,又b⊥β,所以a⊥b,所以C正確;對(duì)于D,若a∥α,α⊥β,則a∥β或a?β或a與β相交,所以D錯(cuò)誤.故選AC.
10.ACD　解析: 對(duì)于A,因?yàn)锽C1∥平面AD1C,所以BC1上任意一點(diǎn)到平面AD1C的距離都相等,所以三棱錐A-D1PC的體積不變,故A正確;對(duì)于B,因?yàn)锽C1∥平面AD1C,所以點(diǎn)P到平面ACD1的距離不變,但AP的長(zhǎng)度隨著點(diǎn)P的移動(dòng)而變化,所以直線AP與平面ACD1所成角的大小會(huì)改變,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,因?yàn)橹本€A1D⊥平面ABC1D1,AP?平面ABC1D1,所以A1D⊥AP,所以直線AP與直線A1D所成角的大小不變;故C正確;對(duì)于D,二面角P-AD1-C也就是二面角B-AD1-C,其大小不變,故D正確.故選ACD.
11.AD　解析: 如圖,設(shè)圓錐底面半徑為r m,將圓錐側(cè)面展開得到扇形ASA',在△A'SC中,A'S=6 m,SC=2 m,A'C=213 m,

則cos∠A'SC=36+4-522×6×2=-12,所以∠A'SC=2π3,所以2πr=2π3×6=4π,r=2,所以圓錐的側(cè)面積為π×2×6=12π(m2),故A正確.
在△ASB中,cos∠ASB=SA2+SB2-AB22SA·SB=79,sin∠ASB=1-4981=429,易知過點(diǎn)S的平面截此圓錐所得截面面積最大為S△SAB=12SA·SB·sin∠ASB=12×6×6×429=82(m2),故B錯(cuò)誤.
設(shè)圓錐SO的外接球的半徑為R m,則R2=(SO-R)2+r2,又SO=SA2-r2=36-4=42,所以R2=(42-R)2+4,解得R=924,所以圓錐SO的外接球的表面積為4πR2=81π2(m2),故C錯(cuò)誤.
設(shè)圓錐SO的內(nèi)切球的半徑為t m,則t42-t=13,解得t=2,設(shè)棱長(zhǎng)為3 m的正四面體的外接球的半徑為r1 m,將該正四面體放在棱長(zhǎng)為62的正方體中,可知該正四面體的外接球也是該正方體的外接球,易知r1=123×622=324,因?yàn)閞1

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