1．設函數(shù)f(x)＝(1－x2)ex.
(1)討論f(x)的單調(diào)性；
(2)當x≥0時，f(x)≤ax＋1，求a的取值范圍．
解：(1)f′(x)＝(1－2x－x2)ex.
令f′(x)＝0，得x＝－1－eq \r(2)或x＝－1＋eq \r(2).
當x∈(－∞，－1－eq \r(2))時，f′(x)＜0；
當x∈(－1－eq \r(2)，－1＋eq \r(2))時，f′(x)＞0；
當x∈(－1＋eq \r(2)，＋∞)時，f′(x)＜0.
所以f(x)在(－∞，－1－eq \r(2))，(－1＋eq \r(2)，＋∞)上單調(diào)遞減，
在(－1－eq \r(2)，－1＋eq \r(2))上單調(diào)遞增．
(2)f(x)＝(1＋x)(1－x)ex.
①當a≥1時，設函數(shù)h(x)＝(1－x)ex，則h′(x)＝－xex＜0(x＞0)．
因此h(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，
又h(0)＝1，故h(x)≤1，
所以f(x)＝(x＋1)h(x)≤x＋1≤ax＋1.
②當0＜a＜1時，設函數(shù)g(x)＝ex－x－1，
則g′(x)＝ex－1＞0(x＞0)，
所以g(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，而g(0)＝0，
故ex≥x＋1.
當0＜x＜1時，f(x)＞(1－x)(1＋x)2，
(1－x)(1＋x)2－ax－1＝x(1－a－x－x2)，
取x0＝eq \f(\r(5－4a)－1,2)，
則x0∈(0,1)，(1－x0)(1＋x0)2－ax0－1＝0，
故f(x0)＞ax0＋1.
當a≤0時，取x0＝eq \f(\r(5)－1,2)，
則x0∈(0,1)，f(x0)＞(1－x0)(1＋x0)2＝1≥ax0＋1.
綜上，a的取值范圍是[1，＋∞)．
2．已知函數(shù)f(x)＝aln x(a>0)，e為自然對數(shù)的底數(shù)．
(1)若過點A(2，f(2))的切線斜率為2，求實數(shù)a的值；
(2)當x>0時，求證f(x)≥aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,x)))；
(3)若在區(qū)間(1，e)上e SKIPIF 1 < 0 －e SKIPIF 1 < 0 x0)，則g′(x)＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)－\f(1,x2))).
令g′(x)>0，即aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)－\f(1,x2)))>0，解得x>1，令g′(x)

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