菱形的定義是什么？性質(zhì)有哪些？
有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形
我們可以根據(jù)定義來(lái)判定一個(gè)四邊形是菱形．除此之外，還能找到其他的判定方法嗎？
根據(jù)菱形的定義,可得菱形的第一個(gè)判定的方法：
∵四邊形ABCD是平行四邊形， AB=AD，
∴四邊形ABCD是菱形.
有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.
如圖，作一個(gè)四條邊都相等的四邊形.
1.畫兩條相等的線段AB、AD；2.分別以點(diǎn)B和點(diǎn)D為圓心、AB長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)C3.連結(jié)BC、CD，即得一個(gè)四條邊都相等的四邊形ABCD.
觀察你所畫的圖形，它是菱形嗎？
證明：∵AB=BC=CD=AD; ∴AB=CD , BC=AD. ∴四邊形ABCD是平行四邊形.又∵AB=BC,∴四邊形ABCD是菱形.
已知：如圖，四邊形ABCD中,AB=BC=CD=AD.求證：四邊形ABCD是菱形.
四條邊都相等的四邊形是菱形
AB=BC=CD=AD
幾何語(yǔ)言：∵在四邊形ABCD中，AB=BC=CD=AD，
∴四邊形 ABCD是菱形.
解：四邊形EFGH是菱形，理由如下. 因?yàn)樵诰匦蜛BCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別是四條邊的中點(diǎn)，所以AH=DH=BF=CF，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AE=BE=CG=DG，所以△AEH≌△BEF≌△CGF≌△DGH，所以EH=EF=GF=GH，所以四邊形EFGH是菱形.
例4、如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別是四條邊的中點(diǎn)，試問(wèn)四邊形EFGH是什么樣的圖形？并說(shuō)明理由.
如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC ，AB=AD，∠BAD的平分線AE交BC于點(diǎn)E，連接DE. 求證：四邊形ABED是菱形.
證明：∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE.∵AB=AD ， ∴△BAE≌△DAE.∴BE=DE.∵AD//BC ， ∴∠DAE=∠AED ，∠BAE=∠AEB ，∴AB=BE=DE=AD ，∴四邊形ABED是菱形.
菱形的兩條對(duì)角線互相垂直
這是菱形所特有的性質(zhì).你能從對(duì)角線的角度得到什么關(guān)于菱形判定的猜想？
猜想：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.
前面我們用一長(zhǎng)一短兩根細(xì)木條,在它們的中點(diǎn)處固定一個(gè)小釘,做成一個(gè)可以轉(zhuǎn)動(dòng)的十字,四周圍上一根橡皮筋,做成一個(gè)平行四邊形.那么轉(zhuǎn)動(dòng)木條,這個(gè)平行四邊形什么時(shí)候變成菱形?對(duì)此你有什么猜想？
作一條兩條對(duì)角線互相垂直的平行四邊形.步驟:1.作兩條互相垂直的直線m、n,記交點(diǎn)為點(diǎn)O;2.以點(diǎn) O為圓心、適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，在直線 m，n上分別截取相等的兩組線段OA、OC和OB、OD ；3.連接A、B、C、D四點(diǎn) ，顯然，它是一個(gè)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形.
已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O ，AC⊥BD.求證：□ABCD是菱形.
證明： ∵四邊形ABCD是平行四邊形.∴OA=OC.又∵AC⊥BD,∴BD是線段AC的垂直平分線.∴BA=BC.∴四邊形ABCD是菱形（菱形的定義）.
對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.
幾何語(yǔ)言：∵在□ABCD中，AC⊥BD,
∴ □ABCD是菱形.
例5、如圖，已知矩形ABCD的對(duì)角線AC的垂直平分線與邊AD、BC分別交于點(diǎn)E、F.求證：四邊形AFCE是菱形.
證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AE∥FC，∴∠1＝∠2.∵EF平分AC，∴OA＝OC.又∵∠AOE＝∠COF＝90°，∴△AOE≌△COF, ∴OE＝OF，∴四邊形AFCE是平行四邊形.又∵EF⊥AC，∴四邊形AFCE是菱形(對(duì)角線互相垂直的平行四 邊形是菱形).
如圖，在平行四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，AB=2，求平行四邊形ABCD的周長(zhǎng).
解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴∠DAC=∠ACB，∠BAC=∠ACD，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠BAC，∴∠DAC=∠ACD，∴AD=DC，∴四邊形ABCD為菱形，∴四邊形ABCD的周長(zhǎng)=4×2=8．
1、判斷題（1）對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形（ ）（2）一條對(duì)角線垂直另一條對(duì)角線的四邊形是菱形（ ）（3）對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形是菱形（ ）（4）對(duì)角線相等的四邊形是菱形（ ）（5）對(duì)角線互相平分且鄰邊相等的四邊形是菱形（ ）（6）兩組對(duì)邊分別平行且一組鄰邊相等的四邊形是菱形（ ）
2．□ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O， （1）若AB=AD，則□ABCD是 形； （2）若AC=BD，則□ABCD是 形； （3）若∠ABC是直角，則□ABCD是 形； （4）若∠BAO=∠DAO，則□ABCD是 形．
3、下列命題中正確的是（ ）A．一組鄰邊相等的四邊形是菱形B．三條邊相等的四邊形是菱形C．四條邊相等的四邊形是菱形D．四個(gè)角相等的四邊形是菱形4、對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形是（ ）A．矩形 B．一般的平行四邊形 C．菱形 D．以上都不對(duì)5、下列條件中，不能判定四邊形ABCD為菱形的是（ ）A．AC⊥BD，AC與BD互相平分 B．AB=BC，AD=CD，且AC⊥BDC．AB=BC=CD=DA D．AB=CD，AD=BC，AC⊥BD
6、如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D為AB的中點(diǎn)，且AE∥CD，CE∥AB．證明：四邊形ADCE是菱形．
證明：∵∠ACB=90°，D為AB的中點(diǎn)，∴AD=CD=BD．∵AE∥CD，CE∥AB，∴四邊形ADCE是平行四邊形且AD=CD，∴四邊形ADCE是菱形．
7、如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，BA=BC，BD平分∠ABC．（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BD，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若BC=5，BD=8，求四邊形ABED的周長(zhǎng)．
（1）證明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∴∠ADB=∠ABD，∴AD=AB，∵BA=BC，∴AD=BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵BA=BC，∴四邊形ABCD是菱形；
【四川】如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BC上的點(diǎn)，且DE=BF，AC⊥EF．求證：四邊形AECF是菱形．
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD=BC，AD//BC， ∵DE=BF， ∴AE=CF，∵AE//CF， ∴四邊形AECF是平行四邊形， ∵AC⊥EF， ∴四邊形AECF是菱形．

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2. 菱形的判定

版本： 華師大版

年級(jí)： 八年級(jí)下冊(cè)

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