難點探究專題：相似與特殊幾何圖形的綜合問題(選做)——突破相似中的綜合問題及含動點的解題思路類型一　相似與特殊三角形1．一塊直角三角板ABC按如圖放置，頂點A的坐標(biāo)為(0，1)，直角頂點C的坐標(biāo)為(－3，0)，∠B＝30°，則點B的坐標(biāo)為______________．     第1題圖        第2題圖2．(2016·黃岡中考)如圖，已知△ABC、△DCE、△FEG、△HGI是4個全等的等腰三角形，底邊BC、CE、EG、GI在同一直線上，且AB＝2，BC＝1，連接AI，交FG于點Q，則QI＝________．3．(2016·福州中考)如圖，在△ABC中，AB＝AC＝1，BC＝，在AC邊上截取AD＝BC，連接BD.(1)通過計算，判斷AD2與AC·CD的大小關(guān)系；(2)求∠ABD的度數(shù)．類型二　相似與特殊四邊形 4．(2016·東營中考)如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊的中點，BE⊥AC，垂足為點F，連接DF，分析下列四個結(jié)論：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC.其中正確的結(jié)論有(　　)A．3個  B．2個  C．1個  D．0個                第4題圖              第5題圖             第6題圖5．如圖，△ABC和△DBC是兩個具有公共邊的全等三角形，AB＝AC＝3cm，BC＝2cm.將△DBC沿射線BC平移一定的距離得到△D1B1C1，連接AC1，BD1.如果四邊形ABD1C1是矩形，那么平移的距離為________cm.6．(2016·濱州中考)如圖，矩形ABCD中，AB＝，BC＝，點E在對角線BD上，且BE＝1.8，連接AE并延長交DC于點F，則＝________．7．如圖，在?ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，點E、F是AD上的點，且AE＝EF＝FD.連接BE、BF，使它們分別與AO相交于點G、H.(1)求EG∶BG的值；(2)求證：AG＝OG；(3)設(shè)AG＝a，GH＝b，HO＝c，求a∶b∶c的值．      類型三　運用相似解決幾何圖形中的動點問題8．如圖，在正方形ABCD中，M是BC邊上的動點，N在CD上，且CN＝CD，若AB＝4，設(shè)BM＝x，當(dāng)x＝________時，以A、B、M為頂點的三角形和以N、C、M為頂點的三角形相似．             第8題圖             第9題圖9．(2016·宜春模擬)如圖，△ABC≌△DEF(點A、B分別與點D、E對應(yīng))，AB＝AC＝5，BC＝6，△ABC固定不動，△DEF運動，并滿足點E在BC邊從B向C移動(點E不與B、C重合)，DE始終經(jīng)過點A，EF與AC邊交于點M，當(dāng)△AEM是等腰三角形時，BE＝________．10．(2016·梅州中考)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，∠BAC＝60°，動點M從點B出發(fā)，在BA邊上以每秒2cm的速度向點A勻速運動，同時動點N從點C出發(fā)，在CB邊上以每秒cm的速度向點B勻速運動，設(shè)運動時間為t秒(0≤t≤5)，連接MN.(1)若BM＝BN，求t的值；(2)若△MBN與△ABC相似，求t的值；(3)當(dāng)t為何值時，四邊形ACNM的面積最?。坎⑶蟪鲎钚≈担?/span>     11．(2016·赤峰中考)如圖，正方形ABCD的邊長為3cm，P，Q分別從B，A出發(fā)沿BC，AD方向運動，P點的運動速度是1cm/秒，Q點的運動速度是2cm/秒，連接AP并過Q作QE⊥AP垂足為E.(1)求證：△ABP∽△QEA；(2)當(dāng)運動時間t為何值時，△ABP≌△QEA?(3)設(shè)△QEA的面積為y，用運動時間t表示△QEA的面積y(不要求考慮t的取值范圍)．[提示：解答(2)(3)時可不分先后]      類型四　相似中的探究型問題12．(2016·寧波中考)從三角形(不是等腰三角形)一個頂點引出一條射線與對邊相交，頂點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形，如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形，另一個與原三角形相似，我們把這條線段叫做這個三角形的完美分割線．(1)如圖①，在△ABC中，CD為角平分線，∠A＝40°，∠B＝60°，求證：CD為△ABC的完美分割線；(2)在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割線，且△ACD為等腰三角形，求∠ACB的度數(shù)；(3)如圖②，△ABC中，AC＝2，BC＝，CD是△ABC的完美分割線，且△ACD是以CD為底邊的等腰三角形，求完美分割線CD的長．           參考答案與解析1．(－3－，3)　解析：如圖，過點B作BE⊥x軸于點E.易證△EBC∽△OCA，∴＝＝.∵點A的坐標(biāo)為(0，1)，點C的坐標(biāo)為(－3，0)，∴OA＝1，OC＝3，∴AC＝＝.在Rt△ACB中，∠B＝30°，∴AB＝2AC＝2，∴BC＝＝，∴＝.∴BE＝3，EC＝，∴EO＝EC＋CO＝＋3，∴點B的坐標(biāo)為(－3－，3)．2.　解析：∵△ABC、△DCE、△FEG是三個全等的等腰三角形，∴HI＝AB＝2，GI＝BC＝1，BI＝4BC＝4，∴＝＝，＝，∴＝.又∵∠ABI＝∠ABC，∴△ABI∽△CBA，∴＝.∵AB＝AC，∴AI＝BI＝4.∵∠ACB＝∠FGE，∴AC∥FG，∴＝＝，∴QI＝AI＝.3．解：(1)∵AB＝AC＝1，BC＝，∴AD＝，DC＝1－＝.∴AD2＝＝，AC·CD＝1×＝.∴AD2＝AC·CD；(2)∵AD＝BC，AD2＝AC·CD，∴BC2＝AC·CD，即＝.又∵∠C＝∠C，∴△BCD∽△ABC.∴＝＝1，∠DBC＝∠A.∴DB＝CB＝AD.∴∠A＝∠ABD，∠C＝∠BDC.設(shè)∠A＝x，則∠ABD＝x，∠DBC＝x，∠C＝2x.∵∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，∴x＋2x＋2x＝180°，解得x＝36°，∴∠ABD＝36°.4．A　解析：過D作DM∥BE交AC于N.∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC.∵BE⊥AC于點F，∴∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°，∴△AEF∽△CAB，故①正確；∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴＝.∵AE＝AD＝BC，∴＝，∴CF＝2AF，故②正確；∵DE∥BM，BE∥DM，∴四邊形BMDE是平行四邊形，∴BM＝DE＝BC，∴BM＝CM，∴CN＝NF.∵BE⊥AC于點F，DM∥BE，∴DN⊥CF，∴DF＝DC，故③正確．5．7　解析：作AE⊥BC于E，∴∠AEB＝∠AEC1＝90°，∴∠BAE＋∠ABC＝90°.∵AB＝AC，BC＝2，∴BE＝CE＝BC＝1.∵四邊形ABD1C1是矩形，∴∠BAC1＝90°，∴∠ABC＋∠AC1B＝90°，∴∠BAE＝∠AC1B，∴△ABE∽△C1BA，∴＝.∵AB＝3cm，BE＝1cm，∴＝，∴BC1＝9cm，∴CC1＝BC1－BC＝9－2＝7(cm)，即平移的距離為7cm.6.　解析：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°.∵AB＝，BC＝，∴BD＝＝3.∵BE＝1.8，∴DE＝3－1.8＝1.2.∵AB∥CD，∴＝，即＝，解得DF＝，則CF＝CD－DF＝，∴＝＝.7．(1)解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴△AEG∽△CBG，∴＝＝.∵AE＝EF＝FD，∴BC＝AD＝3AE，∴GC＝3AG，GB＝3EG，∴EG∶BG＝1∶3；(2)證明：∵GC＝3AG(已證)，∴AC＝4AG，∴AO＝AC＝2AG，∴GO＝AO－AG＝AG；(3)解：∵AE＝EF＝FD，∴BC＝AD＝3AE，AF＝2AE.∵AD∥BC，∴△AFH∽△CBH，∴＝＝＝，∴＝，即AH＝AC.∵AC＝4AG，∴a＝AG＝AC，b＝AH－AG＝AC－AC＝AC，c＝AO－AH＝AC－AC＝AC，∴a∶b∶c＝∶∶＝5∶3∶2.8．2或　解析：∵在正方形ABCD中，AB＝4，∴AB＝BC＝CD＝4.∵BM＝x，∴CM＝4－x.∵CN＝CD，∴CN＝1.當(dāng)△ABM∽△MCN時，＝，即＝，解得x＝2；當(dāng)△ABM∽△NCM時，＝，即＝，解得x＝.綜上所述，當(dāng)x＝2或時，以A、B、M為頂點的三角形和以N、C、M為頂點的三角形相似．9．1或　解析：∵∠AEF＝∠B＝∠C，且∠AME＞∠C，∴∠AME＞∠AEF，∴AE≠AM；當(dāng)AE＝EM時，則△ABE≌△ECM，∴CE＝AB＝5，∴BE＝BC－EC＝6－5＝1.當(dāng)AM＝EM時，則∠MAE＝∠MEA，∴∠MAE＋∠BAE＝∠MEA＋∠CEM，即∠CAB＝∠CEA.又∵∠C＝∠C，∴△CAE∽△CBA，∴＝，∴CE＝＝，∴BE＝6－＝，∴BE＝1或.10．解：(1)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，∠BAC＝60°，∴∠B＝30°，∴AB＝2AC＝10，BC＝5.由題意知：BM＝2t，CN＝t，∴BN＝5－t.∵BM＝BN，∴2t＝5－t，解得t＝＝10－15；(2)分兩種情況：①當(dāng)△MBN∽△ABC時，則＝，即＝，解得t＝；②當(dāng)△NBM∽△ABC時，則＝，即＝，解得t＝.綜上所述，當(dāng)t＝或t＝時，△MBN與△ABC相似；(3)過M作MD⊥BC于點D，則MD∥AC，∴△BMD∽△BAC，∴＝，即＝，解得MD＝t.設(shè)四邊形ACNM的面積為y，∴y＝×5×5－(5－t)·t＝t2－t＋＝＋.∴根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)t＝時，y的值最?。?/span>此時，y最小＝.11．(1)證明：∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BAP＋∠QAE＝∠B＝90°.∵QE⊥AP，∴∠QAE＋∠EQA＝∠AEQ＝90°，∴∠BAP＝∠EQA，∠B＝∠AEQ，∴△ABP∽△QEA；(2)解：∵△ABP≌△QEA，∴AP＝AQ.在Rt△ABP與Rt△QEA中，根據(jù)勾股定理得AP2＝32＋t2，AQ2＝(2t)2，即32＋t2＝(2t)2，解得t1＝，t2＝－(不符合題意，合去)．即當(dāng)t＝時△ABP≌△QEA；(3)解：由(1)知△ABP∽△QEA，∴＝，∴＝，整理得y＝.12．解：(1)如圖①中，∵∠A＝40°，∠B＝60°，∴∠ACB＝80°，∴△ABC不是等腰三角形．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝40°，∴∠ACD＝∠A＝40°，∴△ACD為等腰三角形．∵∠DCB＝∠A＝40°，∠CBD＝∠ABC，∴△BCD∽△BAC，∴CD是△ABC的完美分割線；          (2)①當(dāng)AD＝CD時，如圖②，∠ACD＝∠A＝48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°，∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝96°；②當(dāng)AD＝AC時，如圖③，∠ACD＝∠ADC＝＝66°.∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°，∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝114°；③當(dāng)AC＝CD時，如圖④中，∠ADC＝∠A＝48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°.∵∠ADC>∠BCD，矛盾，舍棄．∴∠ACB＝96°或114°；(3)由已知AC＝AD＝2，∵△BCD∽△BAC，∴＝，設(shè)BD＝x，∴()2＝x(x＋2)．∵x>0，∴x＝－1.∵△BCD∽△BAC，∴＝＝，∴CD＝×2＝－.  

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