eq \a\vs4\al(◆)類型一 方程思想
1．如圖，直線AB，CD相交于點O，∠AOC＝60°，OE把∠BOD分成兩部分，且∠BOE∶∠EOD＝1∶2，則∠AOE的度數(shù)為( )
A．180° B．160° C．140° D．120°
第1題圖 第2題圖
2．(2017·無棣縣期末)如圖，直線AB，CD相交于點O，OE平分∠BOD，OF平分∠COB，∠AOD∶∠EOD＝4∶1，則∠AOF的度數(shù)為________．
3．如圖，已知FC∥AB∥DE，∠α∶∠D∶∠B＝2∶3∶4.求∠α，∠D，∠B的度數(shù)．
4．(2017·啟東市期末)如圖，AD∥BC，BE平分∠ABC交AD于點E，BD平分∠EBC.
(1)若∠DBC＝30°，求∠A的度數(shù)；
(2)若點F在線段AE上，且7∠DBC－2∠ABF＝180°，請問圖中是否存在與∠DFB相等的角？若存在，請寫出這個角，并說明理由；若不存在，請說明理由．
eq \a\vs4\al(◆)類型二 分類討論思想
5．若∠α與∠β的兩邊分別平行，∠α比∠β的3倍少36°，則∠α的度數(shù)是( )
A．18° B．126°
C．18°或126° D．以上都不對
6．(2017·玄武區(qū)期末)在直線MN上取一點P，過點P作射線PA、PB.若PA⊥PB，當∠MPA＝40°，則∠NPB的度數(shù)是________________．
7．(2017·江干區(qū)一模)一副直角三角尺按如圖①所示方式疊放，現(xiàn)將含45°角的三角尺ADE固定不動，將含30°角的三角尺ABC繞頂點A順時針轉(zhuǎn)動，使兩塊三角尺至少有一組邊互相平行．如圖②，當∠BAD＝15°時，BC∥DE，則∠BAD(0°＜∠BAD＜180°)其他所有可能符合條件的度數(shù)為________________________________________________________________________．
8．如圖，已知直線l1∥l2，直線l3交l1于C點，交l2于D點，P是線段CD上的一個動點．當P在直線CD上運動時，請你探究∠1，∠2，∠3之間的關系．
eq \a\vs4\al(◆)類型三 (轉(zhuǎn)化思想)利用平移進行轉(zhuǎn)化求圖形的周長或面積
9．如圖，直角三角形ABC的周長為100，在其內(nèi)部有6個小直角三角形，則6個小直角三角形的周長之和為________．
第9題圖
10．(2017·惠山區(qū)期中)如圖，直徑為2cm的圓O1平移3cm到圓O2的位置，則圖中陰影部分的面積為________cm2.
第10題圖
11．(2017·嘉祥縣期末)如圖，邊長為8cm的正方形ABCD先向上平移4cm，再向右平移2cm，得到正方形A′B′C′D′，此時陰影部分的面積為________．
12．如圖，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，將三角形ABC沿AB方向向右平移得到三角形DEF.若AE＝8cm，DB＝2cm.
(1)求三角形ABC向右平移的距離AD的長；
(2)求四邊形AEFC的周長．
eq \a\vs4\al(◆)類型四 從特殊到一般的思想
13．(2017·蔡甸區(qū)月考)如圖①，三條直線兩兩相交，且不共點，則圖中同旁內(nèi)角有________對；如圖②，四條直線兩兩相交，任三條直線不經(jīng)過同一點，則圖中的同旁內(nèi)角有________對．
14．(2017·楚雄州期末)如圖，已知AB∥CD，試解決下列問題：
(1)∠1＋∠2＝________；
(2)∠1＋∠2＋∠3＝________；
(3)∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝________；
(4)試探究∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋…＋∠n＝____________．
15．(2017·叢臺區(qū)期末)如圖，AB∥CD，∠ABE與∠CDE兩個角的平分線相交于點F.
(1)如圖①，若∠E＝80°，求∠BFD的度數(shù)；
(2)如圖②，∠ABM＝eq \f(1,3)∠ABF，∠CDM＝eq \f(1,3)∠CDF，寫出∠M與∠E之間的數(shù)量關系，并證明你的結(jié)論；
(3)若∠ABM＝eq \f(1,n)∠ABF，∠CDM＝eq \f(1,n)∠CDF，設∠E＝m°，直接用含有n，m°的代數(shù)式表示∠M＝________．
參考答案與解析
1．B 2.120°
3．解：設∠α＝2x°，則∠D＝3x°，∠B＝4x°.∵FC∥AB∥DE，∴∠2＋∠B＝180°，∠1＋∠D＝180°，∴∠2＝180°－∠B＝180°－4x°，∠1＝180°－∠D＝180°－3x°.又∵∠1＋∠2＋∠α＝180°，∴(180－3x)＋(180－4x)＋2x＝180，解得x＝36，∴∠α＝2x°＝72°，∠D＝3x°＝108°，∠B＝4x°＝144°.
4．解：(1)∵BD平分∠EBC，∠DBC＝30°，∴∠EBC＝2∠DBC＝60°.∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC＝120°.∵AD∥BC，∴∠A＋∠ABC＝180°，∴∠A＝60°.
(2)存在∠DFB＝∠DBF.設∠DBC＝x°，則∠EBC＝2x°，∠ABC＝2∠EBC＝4x°.∵7∠DBC－2∠ABF＝180°，∴7x°－2∠ABF＝180°，∴∠ABF＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)x－90))°，∴∠CBF＝∠ABC－∠ABF＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋90))°，∠DBF＝∠CBF－∠DBC＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(90－\f(1,2)x))°.∵AD∥BC，∴∠DFB＋∠CBF＝180°，∴∠DFB＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(90－\f(1,2)x))°，∴∠DFB＝∠DBF.
5．C 解析：∵∠α與∠β的兩邊分別平行，∴∠α與∠β相等或互補．設∠α＝x°，∵∠α比∠β的3倍少36°，∴若∠α與∠β相等，則x＝3x－36，解得x＝18.若∠α與∠β互補，則x＝3(180－x)－36，解得x＝126，∴∠α的度數(shù)是18°或126°.故選C.
6．50°或130° 解析：分兩種情況：(1)如圖①，∵PA⊥PB，∠MPA＝40°，∴∠NPB＝180°－90°－40°＝50°；(2)如圖②，∵PA⊥PB，∠MPA＝40°，∴∠MPB＝50°，∴∠NPB＝180°－50°＝130°.綜上所述，∠NPB的度數(shù)是50°或130°.
7．45°，60°，105°或135° 解析：分以下四種情況：(1)AC∥DE，如圖①，此時點B在AE上，∴∠BAD＝45°；(2)AB∥DE，如圖②，∴∠EAB＝∠E＝90°，∴∠BAD＝∠BAE＋∠EAD＝135°；(3)BC∥AD，如圖③，∴∠BAD＝∠B＝60°；(4)BC∥AE，如圖④，∴∠BAE＝∠B＝60°，∴∠BAD＝∠BAE＋∠EAD＝105°.綜上所述，∠BAD其他所有可能符合條件的度數(shù)為45°，60°，105°，135°.
8．解：分以下三種情況：(1)當點P在線段CD上運動時，如圖①.過點P向左作PE∥l.∵l1∥l2，∴PE∥l2.∴∠APE＝∠1，∠BPE＝∠3，∴∠2＝∠APE＋∠BPE＝∠1＋∠3.
(2)當點P在l1上方運動時，如圖②，過點P向左作PF∥l2.∵l2∥l1，∴PF∥l1.∴∠FPB＝∠3，∠FPA＝∠1，∴∠2＝∠FPB－∠FPA＝∠3－∠1.
(3)當點P在l2下方運動時，如圖③，過點P向左作PM∥l2.∵l1∥l2，∴PM∥l1，∴∠APM＝∠1，∠BPM＝∠3，∴∠2＝∠APM－∠BPM＝∠1－∠3.
9．100 10.6 11.24cm2
12．解：(1)∵三角形ABC沿AB方向向右平移得到三角形DEF，∴AD＝BE＝CF，EF＝BC＝3cm.∵AE＝8cm，DB＝2cm，∴AD＝BE＝CF＝eq \f(8－2,2)＝3(cm)．
(2)四邊形AEFC的周長為AE＋EF＋CF＋AC＝8＋3＋3＋4＝18(cm)．
13．6 24
14．(1)180° (2)360°
(3)540° 解析：過點E，F(xiàn)向右作EG，F(xiàn)H平行于AB.∵AB∥CD，∴AB∥EG∥FH∥CD，∴∠1＋∠AEG＝180°，∠GEF＋∠EFH＝180°，∠HFC＋∠4＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝540°.
(4)180°(n－1) 解析：易知有n個角，需作(n－2)條輔助線，運用(n－1)次兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補．即可得到n個角的和是180°(n－1)．
15．解：(1)如圖，過點E向左作EG∥AB，過點F向右作FH∥AB.∵AB∥CD，∴EG∥AB∥FH∥CD，∴∠ABF＝∠BFH，∠CDF＝∠DFH，∠ABE＋∠BEG＝180°，∠GED＋∠CDE＝180°，∴∠ABE＋∠BEG＋∠GED＋∠CDE＝360°.∵∠BEG＋∠DEG＝∠BED＝80°，∴∠ABE＋∠CDE＝280°.∵∠ABE和∠CDE的平分線相交于F，∴∠ABF＝eq \f(1,2)∠ABE，∠CDF＝eq \f(1,2)∠CDE，∴∠ABF＋∠CDF＝eq \f(1,2)(∠ABE＋∠CDE)＝140°，∴∠BFD＝∠BFH＋∠DFH＝∠ABF＋∠CDF＝140°.
(2)∵∠ABM＝eq \f(1,3)∠ABF，∠CDM＝eq \f(1,3)∠CDF，∴∠ABF＝3∠ABM，∠CDF＝3∠CDM.∵∠ABE與∠CDE兩個角的平分線相交于點F，∴∠ABE＝6∠ABM，∠CDE＝6∠CDM，由(1)知∠ABE＋∠E＋∠CDE＝360°，∴6∠ABM＋6∠CDM＋∠E＝360°.過點M向右作MN∥AB，易證∠M＝∠ABM＋∠CDM，∴6∠M＋∠E＝360°.
(3)eq \f(360°－m°,2n) 解析：由(2)可得，2n∠ABM＋2n∠CDM＋∠E＝360°，∠M＝∠ABM＋∠CDM，∴∠M＝eq \f(360°－m°,2n).故答案為eq \f(360°－m°,2n).

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