?第二章 方程（組）與不等式（組）
2.2分式方程及其應(yīng)用
一、課標解讀
1.能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程，體會方程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的有效模型.
2. 能解可化為一元一次方程的分式方程.
3.能根據(jù)具體問題的實際意義，檢驗方程的解是否合理.
二、知識點回顧
知識點1. 分式方程及解法
1．分式方程的概念：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．
2．分式方程的解法
(1)基本思路：分式方程整式方程得解
(2)解分式方程的一般步驟
方程兩邊同乘最簡公分母，約去分母，化為整式方程（去分母時，不要漏乘常數(shù)項）
求解：求出整式方程的解
檢驗：把整式方程的解代入最簡公分母，若結(jié)果不為零，則是原分式方程的解；若結(jié)果為零，則不是分式方程的解．
3.分式方程的增根
分式方程的增根是在去分母時產(chǎn)生的，它有兩個特點:
(1)增根是去分母后所得整式方程的解;
(2)增根是使原方程中各分式的最簡公分母為③0的未知數(shù)的值.
知識點2. 分式方程的應(yīng)用
1.列分式方程解應(yīng)用題的步驟與列一次方程(組)解應(yīng)用題不一樣的是:要檢驗兩次，既要檢驗求出來的解是否為原方程的解，又要檢驗是否符合題意.
2．常見類型及關(guān)系式：
(1)行程問題：－＝時間差；
(2)工程問題：－＝時間差，－＝時間差；
(3)購買(盈利)問題．
數(shù)量=總價單價或單價=總價數(shù)量
三、熱點訓(xùn)練
熱點1：解分式方程
一練基礎(chǔ)
1．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）解分式方程時，去分母正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
方程兩邊同時乘以，利用等式的性質(zhì)即可求解．
【詳解】
解：方程兩邊同時乘以可得：，
故選：D．
【點睛】
本題考查去分母，掌握等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
2．（2021·黑龍江·哈爾濱市第六十九中學(xué)校一模）分式方程的解是______．
【答案】
【分析】
方程兩邊都乘得出，求出方程的解，再進行檢驗即可．
【詳解】
解：，
方程兩邊同乘，得，
去括號，得
移項得：，
經(jīng)檢驗，是原方程的解，
故答案為：．
【點睛】
本題考查了解分式方程，能把分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程是解此題的關(guān)鍵．
3．（2021·江蘇濱?！ひ荒＃┤舴质降闹档扔?，則x=_____．
【答案】0
【分析】
根據(jù)分式的值等于1列方程求解即可．
【詳解】
解：由題意得，=1，
去分母，得
2=x+2，
∴x=0，
檢驗：當(dāng)x=0時，x+2≠0，
故答案為：0．
【點睛】
本題考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的兩邊都乘以各分母的最簡公分母，化為整式方程求解，求出x的值后不要忘記檢驗．
4．（2021·江蘇鼓樓·二模）某同學(xué)解方程﹣2＝，過程如下：
第一步：整理，得﹣2＝，
第二步：…．
（1）請你說明第一步變化過程的依據(jù)是：　 ?。?br /> （2）請把以上解方程的過程補充完整．
【答案】（1）分式的基本性質(zhì)；（2）見解析
【分析】
（1）根據(jù)分式的基本性質(zhì)將原方程進行變形；
（2）先將分式方程變?yōu)檎椒匠?，然后去分母，去括號，移項，合并同類項，系?shù)化1求解，最后注意分式方程結(jié)果要檢驗．
【詳解】
（1）由題意可得：第一步變化過程的依據(jù)是：分式的基本性質(zhì)，
故答案為：分式的基本性質(zhì)；
（2）方程兩邊同乘（x﹣3）得：x﹣2﹣2（x﹣3）＝10﹣3x，
去括號，得：x﹣2﹣2x+6＝10﹣3x，
移項，得：x﹣2x+3x＝10﹣6+2，
合并同類項，得：2x＝6，
系數(shù)化1，得：x＝3，
檢驗：當(dāng)x＝3時，x﹣3＝0，
∴x＝3是原方程的增根，
∴原分式方程無解．
【點睛】
本題考查解分式方程，掌握解方程的步驟和計算法則準確計算是解題關(guān)鍵．
5．（2021·福建·福州三牧中學(xué)九年級開學(xué)考試）解方程：．
【答案】x＝3
【分析】
分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解．
【詳解】
解：方程的兩邊同乘x?1，得：，
解這個方程，得：x＝3，
檢驗，把x＝3代入x?1＝3－1＝2≠0，
∴原方程的解是x＝3．
【點睛】
此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．解分式方程一定注意要驗根．
二練鞏固
6．（2021·廣西柳江·二模）對于實數(shù)，，定義一種新運算“”為：，這里等式右邊是實數(shù)運算．例如：．則方程的解是______________．
【答案】
【分析】
已知等式利用題中的新定義化簡，求出解即可．
【詳解】
解：根據(jù)題中的新定義化簡得：
，
去分母得：
解得：，
經(jīng)檢驗是分式方程的解，
故答案為：．
【點睛】
此題考查了解分式方程，以及實數(shù)的運算，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．
7．（2021·廣東佛山·九年級期中）從一個不透明的口袋中隨機摸出一球，再放回袋中，不斷重復(fù)上述過程，一共摸了150次，其中有50次摸到黑球，已知口袋中僅有黑球10個和白球若干個，這些球除顏色外，其他都一樣，由此估計口袋中白球的個數(shù)約為（ ）
A．10 B．15 C．20 D．30
【答案】C
【分析】
先由頻率=頻數(shù)÷數(shù)據(jù)總數(shù)計算出頻率，再由題意列出方程求解即可．
【詳解】
解：摸了150次，其中有50次摸到黑球，則摸到黑球的頻率是，
設(shè)口袋中大約有x個白球，則，
解得x=20．
經(jīng)檢驗，x=20是原方程的解，
所以，口袋里有白球約20個，
故選：C．
【點睛】
考查利用頻率估計概率．大量反復(fù)試驗下頻率穩(wěn)定值即概率．關(guān)鍵是得到關(guān)于黑球的概率的等量關(guān)系．
8．（2021·山東安丘·二模）定義運算a?b＝a2－2ab+1，下面給出了關(guān)于這種運算的幾個結(jié)論其中正確的（______）
A．2?5＝－15； B．不等式組的解集為x＜－；
C．方程2x?1＝0是一元一次方程； D．方程?x＝+x的解是x＝－1．
【答案】AD
【分析】
根據(jù)定義的運算規(guī)則a?b＝a2－2ab+1，對各選項逐一進行計算判斷，即可得到答案．
【詳解】
解：A．2?5=22-2×2×5+1=-15，故A正確；
B．不等式組等價于，解得該不等式組無解，故B錯誤；
C．2x?1=（2x）2-2×2x×1+1=4x2-4x+1＝0是一元二次方程，故C錯誤；
D．?x＝=+x則x=-1，故D正確；
故答案為：AD．
【點睛】
本題考查了不等式組的解集、實數(shù)的運算、一元二次方程的定義等，其中利用a?b＝a2－2ab+1是解題關(guān)鍵，本題對計算要求較高，要求學(xué)生具備觀察仔細、計算細心等品質(zhì)．
9．（2021·廣東·九年級專題練習(xí)）按如圖所示的程序，若輸入一個數(shù)字x，經(jīng)過一次運算后，可得對應(yīng)的y值．若輸入的x值為﹣5，則輸出的y值為_____；若依次輸入5個連續(xù)的自然數(shù)，輸出的y的平均數(shù)的倒數(shù)是50，則所輸入的最小的自然數(shù)是_____．

【答案】 5
【分析】
①將x=-5代入計算可得答案；②根據(jù)平均數(shù)的概念可得：++++=，即，進一步計算即可求得答案．
【詳解】
解：①當(dāng)x=-5時，；
②根據(jù)平均數(shù)的概念可得：++++=，
即，
∴
解得x＝5或x＝-10（舍去），
故答案為：；5．
【點睛】
本題主要考察了流程圖與有理數(shù)計算、分式方程求解，解題的關(guān)鍵在于讀懂流程圖的含義，并將x代入式子進行求解．
10．（2020·湖南資興·一模）觀察下列等式：
，，
將以上三個等式兩邊分別相加得：=++==
猜想并得出：=
根據(jù)以上推理，求出分式方程的解是______．
【答案】x=5
【分析】
根據(jù)題目中的運算法則，原方程利用拆項法變形后，求出答案即可．
【詳解】
解：根據(jù)題意，
∵，
∴，
整理得：，
∴，
解得：x=5，
經(jīng)檢驗x=5是分式方程的解．
故答案為：x=5．
【點睛】
此題考查了解分式方程，以及有理數(shù)的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．
三練拔高
11．（2021·四川邛崍·二模）關(guān)于的分式方程的解為非負數(shù)，則的取值范圍是______．
【答案】且
【分析】
按照解分式方程的步驟求出方程的解，再根據(jù)解為非負即得關(guān)于a的不等式，解不等式即可得出a的取值范圍，但一定要考慮此時的解可能會是分式方程的增根的情況．
【詳解】
方程兩邊都乘x-1，得：2x-a-3(x-1)=-1
解得：x=4-a
由題意，4-a≥0
∴a≤4
但當(dāng)4-a=1，即a=3時，x=1是方程的增根，所以a≠3
所以a的取值范圍為且
故答案為：且
【點睛】
本題考查了分式方程的解法，一元一次不等式的解法，分式方程的增根等知識，易忽略分式方程的增根情況．
12．（2021·重慶八中二模）若數(shù)a使關(guān)于x的不等式組有且僅有4個整數(shù)解，且使關(guān)于y的分式方程＝1有正整數(shù)解，則滿足條件的a的個數(shù)是（ ）
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
【答案】B
【分析】
不等式組變形后，根據(jù)有且僅有四個整數(shù)解確定出a的范圍，再表示出分式方程的解，由分式方程有整數(shù)解，確定出滿足條件a的值．
【詳解】
解：解不等式組，
解得：，
∵不等式組有且僅有4個整數(shù)解，
∴﹣1＜≤0，
∴﹣8＜a≤﹣3．
解分式方程＝1，得y＝，
∵y＝≠2為整數(shù)，
∴a≠﹣6，
∴所有滿足條件的只有﹣4，
故選：B．
【點睛】
本題考查了解分式方程，解一元一次不等式組，熟練掌握解分式方程和一元一次不等式組的方法是解題的關(guān)鍵．
13．（2021·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）對于兩個不相等的實數(shù)，我們規(guī)定符號表示中的較大值，如：，故__________；按照這個規(guī)定，方程的解為__________．
【答案】5 或
【分析】
按照規(guī)定符號可求得5；根據(jù)與的大小關(guān)系化簡所求方程，求出解即可．
【詳解】
5；
故答案為：5；
當(dāng)，即時，方程化簡得：，
去分母得：，
整理得：，即
解得：，
經(jīng)檢驗：是分式方程的解；
當(dāng)，即時，方程化簡得：，
去分母得：，
整理得：，
解得：(不合題意，舍去)或，
經(jīng)檢驗：是分式方程的解；
故答案為：或．
【點睛】
本題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．解分式方程一定注意要驗根．弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．
14．（2021·重慶市廣益中學(xué)校九年級階段練習(xí)）若數(shù)a使關(guān)于x的不等式組有且只有3個整數(shù)解，且使關(guān)于y的方程的解為正數(shù)，則符合條件的所有整數(shù)a的和為（　?。?br /> A．﹣7 B．﹣6 C．﹣3 D．﹣2
【答案】C
【分析】
解不等式組求得其解集，根據(jù)不等式組只有3個整數(shù)解得出a的取值范圍，解分式方程得出，由方程的解為整數(shù)且分式有意義得出a的取值范圍，綜合兩者所求最終確定a的值，據(jù)此可得答案．
【詳解】
解：，
解得：，
∵該不等式組只有3個整數(shù)解，
∴0≤，
∴4≤a＜1，
，
去分母，方程兩邊同時乘以2y，得，
ay=3y+2y，
＞0，
∴a＞4，
∵y≠2，
∴a≠3，
綜上，整數(shù)a=2，1，0，
則符合條件的所有整數(shù)a的和為：12=3，
故選：C．
【點睛】
本題考查了解一元一次不等式組、分式方程的解，屬于基礎(chǔ)題，注意分式方程中的解要滿足分母不為0的情況．
15．（2021·云南陸良·一模）若整數(shù)使關(guān)于的不等式組無解，且使關(guān)于的分式方程有整數(shù)解，那么所有滿足條件的的值的積是（ ）
A．2 B．3 C． D．8
【答案】C
【分析】
解不等式組中的兩個不等式，根據(jù)不等式組無解得出a的范圍；解分式方程知，由分式方程有整數(shù)解可知=±1、-3，求得a的值后求積即可得．
【詳解】
解：解不等式得x≥5，
解不等式，得：，
∵不等式組無解，
∴，
解方程得，
∵分式方程有整數(shù)解，
∴=±1、-3，
解得：a=3或5或-1，
又a＜5，所以a只能為-1或3
∴所有滿足條件的a值的積為=-3，
故選：C．
【點睛】
本題主要考查解一元一次不等式組和分式方程的能力，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解不等式（組）和分式方程的基本技能，并求得符合條件的a的值．
16．（2021·重慶大渡口·二模）如果關(guān)于的分式方程有非負整數(shù)解，關(guān)于 的不等式組有且只有三個整數(shù)解，則所有符合條件的整數(shù) 的個數(shù)為（　　?。?br /> A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由解為非負整數(shù)解，以及不等式組只有3個整數(shù)解，確定出符合條件的值，求出之和即可．
【詳解】
解：去分母得：，
解得：，
由解為非負整數(shù)解，得到，且，即且，
不等式組整理得：，
由不等式組只有3個整數(shù)解，得到，，0，即，
解得：，
則符合題意，，0，
故選：．
【點睛】
本題考查了分式方程的解，以及一元一次不等式組的整數(shù)解，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．
17．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）（1）解下列方程．
①根為______；
②根為______；
③根為______；
（2）根據(jù)這類方程特征，寫出第n個方程和它的根；
（3）請利用（2）的結(jié)論，求關(guān)于x的方程（n為正整數(shù)）的根．
【答案】（1）①；②；③；（2），；（3）．
【分析】
（1）首先去分母，即可化成一元二次方程，解方程求得的值，然后進行檢驗，即可求得方程的解；
（2）根據(jù)（1）中的三個方程的規(guī)律特點以及解的關(guān)系即可求解；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)果，把所求的方程化成 的形式，把當(dāng)作一個整體即可求解．
【詳解】
解：（1）①去分母，得：，即，，
則，，
解得：，，
經(jīng)檢驗：，都是方程的解，
所以原分式方程的解是，；
②去分母，得：，即，，
則，，
解得：，，
經(jīng)檢驗：，是方程的解，
所以原分式方程的解是，；
③去分母，得：，即，，
則，，
經(jīng)檢驗，是方程的解，
所以原分式方程的解是，；
（2）根據(jù)（1）中的規(guī)律可以寫出第個方程為，
去分母，得，即：，
則：，解是，；
經(jīng)檢驗：，是方程的解，
所以原分式方程的解是，；
（3），
即，
設(shè)，則原方程變?yōu)椋海?br /> 利用（2）中的結(jié)論可知：，
即：或，
解得：，
經(jīng)檢驗：是方程的解，
所以原分式方程的解是．
【點睛】
本題考查了分式方程的解法，注意方程的式子的特點，以及對應(yīng)的方程的解之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．
熱點2：分式方程的增根和無解問題
練拔高
1．（2021·湖南師大附中博才實驗中學(xué)一模）若解關(guān)于x的方程＝1時產(chǎn)生增根，那么常數(shù)m的值為（ ）
A．4 B．3 C．﹣4 D．﹣3
【答案】D
【分析】
分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，求出x的值，代入整式方程計算即可求出m的值．
【詳解】
解：方程兩邊都乘以x﹣2，得：x﹣5﹣m＝x﹣2，
∵方程有增根，
∴x＝2，
將x＝2代入x﹣5﹣m＝x﹣2，得：m＝﹣3，
故選D．
【點睛】
本題考查了分式方程的增根，解分式方程，理解增根的概念是解題的關(guān)鍵．
2．（2021·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）若關(guān)于x的分式方程無解，則a的值為（ ）
A．3 B．0 C． D．0或3
【答案】C
【分析】
直接解分式方程，再根據(jù)分母為0列方程即可．
【詳解】
解：，
去分母得：2﹣x﹣a＝2（x﹣3），
解得：x＝，
當(dāng)時，方程無解，
解得．
故選：C．
【點睛】
本題考查了分式方程無解，解題關(guān)鍵是明確分式方程無解的條件，解方程，再根據(jù)分母為0列方程．
3．（2021·山東·濰坊市寒亭區(qū)教學(xué)研究室一模）關(guān)于的分式方程有增根，則它的增根是（　　?。?br /> A． B． C．或 D．
【答案】A
【分析】
先去分母，然后把分母為0的x值代入整式方程，可求m的值，則有增根，整式方程不成立，則沒有增根即可．
【詳解】
解：，
方程兩邊都乘以去分母得：
，
關(guān)于的分式方程有增根，
當(dāng)x=1時，，
解得，
當(dāng)m=3時有增根x=1，
當(dāng)x=-1時，不成立，
只有一個增根x=1．
故選擇：A．
【點睛】
本題考查可化為一元二次方程的分式方程的增根問題，掌握利用增根解決問題的方法是解題關(guān)鍵．
4．（2021·山東福山·模擬預(yù)測）若關(guān)于x的分式方程有增根，則a的值為（ ）
A．?3 B．3 C．2 D．
【答案】A
【分析】
去分母化分式方程為整式方程，將增根x=2代入整式方程即可求得．
【詳解】
解：，
去分母，得：．
∵分式方程有增根，
∴增根為x=2，
將x=2代入整式方程，得：，
得：．
解得
故選A．
【點睛】
本題主要考查了分式方程的增根，熟練掌握增根的定義是解題的關(guān)鍵．
5．（2021·廣東天河·二模）小明把分式方程去分母后得到整式方程，由此他判斷該分式方程只有一個解．對于他的判斷，你認為下列看法正確的是（ ）
A．小明的說法完全正確 B．整式方程正確，但分式方程有2個解
C．整式方程不正確，分式方程無解 D．整式方程不正確，分式方程只有1個解
【答案】C
【分析】
解分式方程去分母后得到整式方程，由于，得到方程無實數(shù)根，于是得到結(jié)論．
【詳解】
解：∵分式方程去分母后得到整式方程，
，
∴方程無實數(shù)根，
∴方程無解，
故整式方程不正確，分式方程無解，
故選：C．
【點睛】
本題考查了分式方程的解法,一元二次方程根的判別式,熟練將分式方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
6．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）下列結(jié)論正確的是（　?。?br /> A．是分式方程 B．方程＝1無解
C．方程的根為x＝0 D．解分式方程時，一定會出現(xiàn)增根
【答案】B
【分析】
根據(jù)分式方程的定義和分式方程的增根的意義即可判斷．
【詳解】
解：A．原方程中分母不含未知數(shù)，不是分式方程，
所以A選項不符合題意；
B．解方程，得x＝﹣2，
經(jīng)檢驗x＝﹣2是原方程的增根，
所以原方程無解，
所以B選項符合題意；
C．解方程，得x＝0，
經(jīng)檢驗x＝0是原方程的增根，
所以原方程無解，
所以C選項不符合題意；
D．解分式方程時，不一定會出現(xiàn)增根，
只有使分式方程分母的值為0的根是增根，
所以D選項不符合題意．
故選：B．
【點睛】
本題考查了分式方程的增根、分式方程的定義，解決本題的關(guān)鍵是掌握分式方程的相關(guān)知識．
7．（2021·山東·日照市田家炳實驗中學(xué)一模）已知關(guān)于x的方程無解，則m的值是___．
【答案】或1
【分析】
分方程有增根，增根是化為整式方程后產(chǎn)生的不適合分式方程的根．所以應(yīng)先確定增根的可能值，讓最簡公分母，得到，然后代入化為整式方程的方程算出m的值和方程沒有增根兩種情況進行討論.
【詳解】
解：①當(dāng)方程有增根時
方程兩邊都乘，得，
∴最簡公分母，
解得，
當(dāng)時，
故m的值是1，
②當(dāng)方程沒有增根時
方程兩邊都乘，得，
解得，
當(dāng)分母為0時，此時方程也無解，
∴此時，
解得，
∴綜上所述，當(dāng)或1時，方程無解.
故答案為：或1.
【點睛】
本題考查了分式方程的的無解問題．增根問題可按如下步驟進行：①讓最簡公分母為0確定增根；②化分式方程為整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值④當(dāng)方程吳增根時一定要考慮求得的方程的解分母為0的情況．
8．（2020·四川巴中·中考真題）若關(guān)于x的分式方程有增根，則_________．
【答案】或
【分析】
先確定最簡公分母，令最簡公分母為0求出x的值，然后把分式方程化為整式方程，再將x的值代入整式方程，解關(guān)于m的方程即可得解．
【詳解】
解：分式方程最簡公分母為，
由分式方程有增根，得到或，即或，
分式方程去分母得：，
把代入方程得：，
解得：．
把代入方程得：，
解得：．
故填：或．
【點睛】
本題考查了分式方程的增根問題，增根問題可按如下步驟進行：①讓最簡公分母為0確定增根；②化分式方程為整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．
9．（2020·四川成都·二模）將5個完全相同的乒乓球，依次標上數(shù)字：0，1，2，3，4，并放入不透明的口袋中，現(xiàn)把它們搖勻，隨機從中任意抽出1個，記乒乓球上的數(shù)字為m，則數(shù)字m使分式方程﹣1＝無解的概率為_____．
【答案】
【分析】
由分式方程，得m=x（x-3）-（x+2）（x-3），x=-2或3時，分式方程無解，x=-2時，m=10；x=3時，m=0，所以在0，1，2，3，4取一個數(shù)字m使分式方程無解的概率為．
【詳解】
解：由分式方程，得
m＝x（x﹣3）﹣（x+2）（x﹣3）
x＝﹣2或3時，分式方程無解，
x＝﹣2時，m＝10，
x＝3時，m＝0，
所以在0，1，2，3，4，取一個數(shù)字m使分式方程無解的概率為 ．
故答案為： ．
【點睛】
本題考查了概率公式，熟練掌握解分式方程是解題的關(guān)鍵．
10．（2019·江西廣豐·中考模擬）已知關(guān)于x的分式方程+=.
(1)已知m=4，求方程的解；
(2)若該分式方程無解，試求m的值．
【答案】（1）；（2）m的值可能為-1、1.5或﹣6.
【分析】
（1）分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，將m＝4代入計算即可求出x的值；
（2）分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由原分式方程無解，則或，即可求出m的值．
【詳解】
解：（1）方程兩邊同時乘以，
去分母并整理得，
解得
經(jīng)檢驗，是原方程的解
（2）解：方程兩邊同時乘以，
去分母并整理得，
∵原分式方程有無解，
∴或，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，
解得：或，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
所以m的值可能為-1、1.5或﹣6
【點睛】
此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．解分式方程一定注意要驗根．
熱點3：分式方程的實際應(yīng)用
一練基礎(chǔ)
1．（2019·河北香河·中考模擬）“五一”節(jié)期間，幾名同學(xué)包租一輛面包車前去旅游，面包車的租價為180元，出發(fā)時又增加了兩名同學(xué)，結(jié)果每個同學(xué)比原來少攤了3元錢車費，設(shè)實際參加游覽的同學(xué)共x人，則所列方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
設(shè)實際參加游覽的同學(xué)共x人，則原有的幾名同學(xué)每人分擔(dān)的車費為：元，出發(fā)前每名同學(xué)分擔(dān)的車費為：，根據(jù)每個同學(xué)比原來少攤了3元錢車費即可得到等量關(guān)系．
【詳解】
解：設(shè)實際參加游覽的同學(xué)共x人，
根據(jù)題意得：，
故選：D．
【點睛】
本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是首先弄清題意，根據(jù)關(guān)鍵描述語，找到合適的等量關(guān)系；易錯點是得到出發(fā)前后的人數(shù)．
2．（2021·福建省廈門第六中學(xué)三模）某次列車平均提速v km/h，用相同的時間，列車提速前行駛s km，提速后比提速前多行駛50km，則方程 所表達的等量關(guān)系是（ ）
A．提速前列車行駛s km與提速后行駛(s＋50)km的時間相等
B．提速后列車每小時比提速前列車每小時多開v km
C．提速后列車行駛(s＋50)km的時間比提速前列車行駛s km多v h
D．提速后列車用相同的時間可以比提速前多開50km
【答案】B
【分析】
根據(jù)題意可以知道s+50表示列車提速后同樣的時間內(nèi)行駛的路程，根據(jù)路程=速度×?xí)r間公式即可得到答案，
【詳解】
解：∵用相同的時間，列車提速前行駛s km，提速后比提速前多行駛50km
∴s+50表示列車提速后同樣的時間內(nèi)行駛的路程，
∵某次列車平均提速v km/h，路程=速度×?xí)r間
∴方程表達的含義提速后列車每小時比提速前列車每小時多開v?km，
故選B.
【點睛】
本題主要考查了方程表達的關(guān)系式的含義，解題的關(guān)鍵在于能夠準確讀懂題意找到等量關(guān)系.
3．（2021·四川省宜賓市第二中學(xué)校三模）某服裝廠準備加工400套運動裝，在加工完160套后，采用了新技術(shù)，使得工作效率比原計劃提高了20%，結(jié)果共用了18天完成任務(wù)，問計劃每天加工服裝多少套？在這個問題中，設(shè)計劃每天加工x套，則根據(jù)題意可得方程為__________________．
【答案】+=18
【分析】
根據(jù)題意，分別列出采用新技術(shù)前和采用新技術(shù)后所用時間，相加等于18即可．
【詳解】
根據(jù)題意，采用新技術(shù)前所用時間為：天，
采用新技術(shù)后所用時間為：天，
所列方程為：+=18，
故答案為：+=18．
【點睛】
本題主要考查列分式方程，屬于基礎(chǔ)題，找出題目中的關(guān)鍵語，找到相應(yīng)的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．
4．（2021·湖北襄州·二模）某童裝店有幾件不同款式的衣服，每件衣服的原價一樣，6月1日兒童節(jié)那天，全場打折，某寶媽在兒童節(jié)那天去購買該款式的衣服時發(fā)現(xiàn)：平時花元購買到的衣服件數(shù)比現(xiàn)在少件，設(shè)原價是元，則根據(jù)題意可列出方程______．
【答案】
【分析】
設(shè)原價是x元，則打折后的價格為0.7x元，利用數(shù)量=總價÷單價，結(jié)合平時花350元購買到的衣服件數(shù)比現(xiàn)在少2件，即可得出關(guān)于x的分式方程，此題得解．
【詳解】
解：設(shè)原價是x元，則打折后的價格為0.7x元，
依題意得：，
故答案為：．
【點睛】
本題考查了由實際問題抽象出分式方程，找準等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．
5．（2021·吉林·長春市解放大路學(xué)校模擬預(yù)測）在一次10km跑步鍛煉中，先勻速跑了4km，之后提速20%并勻速跑完剩余路程，這樣小致一共用了跑完全程，求小致前4km的速度是多少？
【答案】小亮前4km的速度為
【分析】
設(shè)小亮前4km的速度為，利用前所用的時間后所用的時間總時間列式運算即可．
【詳解】
設(shè)小亮前4km的速度為．
根據(jù)題意，得：
解得：．
經(jīng)檢驗，是原方程的解，且符合題意．
答：小亮前4km的速度為．
【點睛】
本題主要考查了分式方程的實際應(yīng)用，認真審題獲取等量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵．
6．（2021·山東青島·中考真題）在一個不透明的袋中裝有若干個紅球和4個黑球，每個球除顏色外完全相同．搖勻后從中摸出一個球，記下顏色后再放回袋中．不斷重復(fù)這一過程，共摸球100次．其中有40次摸到黑球，估計袋中紅球的個數(shù)是__________．
【答案】6
【分析】
估計利用頻率估計概率可估計摸到黑球的概率為 ，然后根據(jù)概率公式構(gòu)建方程求解即可．
【詳解】
解：設(shè)袋中紅球的個數(shù)是x個，根據(jù)題意得：
，
解得：x=6，
經(jīng)檢驗：x=6是分式方程的解，
即估計袋中紅球的個數(shù)是6個．
故答案為：6．
【點睛】
本題考查了利用頻率估計概率，解題的關(guān)鍵是熟練掌握大量重復(fù)試驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率用頻率估計概率得到的是近似值，隨試驗次數(shù)的增多，值越來越精確．
7．（2021·江蘇·南通田家炳中學(xué)模擬預(yù)測）2020年為做好“精準扶貧”工作，某地第一次花費16000元購買了高原沃柑育苗若干株，為“加快產(chǎn)業(yè)扶貧，打贏脫貧攻堅戰(zhàn)”，決定再次花費32000元購買同種高原沃柑育苗，第二次購買每株育苗價格比第一次每株育苗價格降低了20%，結(jié)果比第一次多買了960株，求第一次購買每株高原沃柑育苗多少元？
【答案】25元
【分析】
設(shè)第一次購買每株高原沃柑育苗x元，則第二次購買每株高原沃柑育苗元，利用數(shù)量=總價÷單價，結(jié)合第二次比第一次多買了1000株，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可得出結(jié)論．
【詳解】
解：設(shè)第一次購買每株高原沃柑育苗x元，則第二次購買每株高原沃柑育苗元，
依題意得：，
解得：，
經(jīng)檢驗，是原方程的解，且符合題意．
答：第一次購買每株高原沃柑育苗25元．
【點晴】
本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．
二練鞏固
8．（2021·山東青島·中考真題）某超市經(jīng)銷甲、乙兩種品牌的洗衣液，進貨時發(fā)現(xiàn)，甲品牌洗衣液每瓶的進價比乙品牌高6元，用1800元購進甲品牌洗衣液的數(shù)量是用1800元購進乙品牌洗衣液數(shù)量的．銷售時，甲品牌洗衣液的售價為36元/瓶，乙品牌洗衣液的售價為28元/瓶．
（1）求兩種品牌洗衣液的進價；
（2）若超市需要購進甲、乙兩種品牌的洗衣液共120瓶，且購進兩種洗衣液的總成本不超過3120元，超市應(yīng)購進甲、乙兩種品牌洗衣液各多少瓶，才能在兩種洗衣液完全售出后所獲利潤最大？最大利潤是多少元？
【答案】（1）甲品牌洗衣液進價為30元/瓶，乙品牌洗衣液進價為24元/瓶；（2）購進甲品牌洗衣液40瓶，乙品牌洗衣液80瓶時所獲利潤最大，最大利潤是560元
【分析】
（1）設(shè)甲品牌洗衣液每瓶的進價是x元，則乙品牌洗衣液每瓶的進價是（x-6）元，根據(jù)數(shù)量=總價÷單價，結(jié)合用1800元購進乙品牌洗衣液數(shù)量的，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)可以購買m瓶乙品牌洗手液，則可以購買（100-m）瓶甲品牌洗手液，根據(jù)總價=單價×數(shù)量，結(jié)合總費用不超過1645元，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范圍，再取其中的最大整數(shù)值即可得出結(jié)論．
【詳解】
解：（1）設(shè)甲品牌洗衣液進價為元/瓶，則乙品牌洗衣液進價為元/瓶，
由題意可得，，
解得，
經(jīng)檢驗是原方程的解.
答：甲品牌洗衣液進價為30元/瓶，乙品牌洗衣液進價為24元/瓶.
（2）設(shè)利潤為元，購進甲品牌洗衣液瓶，
則購進乙品牌洗衣液瓶，
由題意可得，，
解得，
由題意可得，，
∵，∴隨的增大而增大，
∴當(dāng)時，取最大值，.
答：購進甲品牌洗衣液40瓶，乙品牌洗衣液80瓶時所獲利潤最大，最大利潤是560元．
【點睛】
本題考查分式方程的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題．
9．（2021·遼寧·建昌縣教師進修學(xué)校二模）某加工廠甲、乙兩人加工機器零件，已知甲每天加工的數(shù)量是乙每天加工數(shù)量的1.2倍，甲加工900個這種零件比乙加工500個這種零件多用10天．
（1）求甲、乙每天各加工多少個機器零件？
（2）甲、乙兩人每天加工這種機器零件的加工費分別是160元和120元，現(xiàn)有1500個這種零件的加工任務(wù)，若工廠要求總加工費用不超過7500元，求乙至少加工多少天（取整數(shù)）．
【答案】（1）甲每天加工30個機器零件，乙每天加工25個機器零件；（2）乙至少加工38天
【分析】
（1）設(shè)乙每天加工x個零件，則甲每天加工1.2x個零件，根據(jù)甲加工900個這種零件比乙加工500個這種零件多用10天，列分式方程求解；
（2）設(shè)乙加工m天，乙加工了天，根據(jù)加工費分別是160元和120元，總加工費不超過7500元，列不等式，求解即可．
【詳解】
解：（1）設(shè)乙每天加工x個機器零件，則
，
解方程得
經(jīng)檢驗，是原方程的解，這時
答：甲每天加工個機器零件，乙每天加工個機器零件
（2）設(shè)乙加工m天，則
≤，
解得m≥
∵m取整數(shù)，
∴m最小值為（或m≥）
答：乙至少加工天
【點睛】
本題是分式方程與不等式的實際應(yīng)用題，題目數(shù)量關(guān)系清晰，難度不大．
10．（2021·黑龍江·哈爾濱市蕭紅中學(xué)三模）某服裝店老板到廠家選購、兩種品牌的兒童服裝，每套品牌服裝進價比品牌服裝每套進價多25元，若用2000元購進種服裝的數(shù)量是用750元購進種服裝數(shù)量的2倍．
（1）求品牌服裝每套進價為多少元？
（2）若品牌服裝每套售價為140元，品牌服裝每套售價為105元，服裝店老板決定，購進品牌服裝的數(shù)量比購進品牌服裝的數(shù)量的2倍還少10套，兩種服裝全部售出后，要使總的獲利超過2000元，則最少購進品牌的服裝多少套？
【答案】（1）每套品牌服裝100元；（2）至少購進品牌的服裝24套
【分析】
（1）首先設(shè)A品牌服裝每套進價為元，則B品牌服裝每套進價為（-25）元，根據(jù)關(guān)鍵語句“用2000元購進A種服裝數(shù)量是用750元購進B種服裝數(shù)量的2倍．”列出方程，解方程即可；
（2）首先設(shè)購進A品牌的服裝套，則購進B品牌服裝套，根據(jù)“兩種服裝全部售出后，要使總的獲利超過2000元”可得不等式，再解不等式即可．
【詳解】
（1）設(shè)品牌服裝每套進價為元，
，
解分式方程得：，
檢驗：當(dāng)時，．
所以，是原分式方程的解．
答：每套品牌服裝100元．
（2）設(shè)購進品牌的服裝套，B品牌的進價：元，
，
解不等式得：，
∵為整數(shù)，
∴最小取24．
答：至少購進品牌的服裝24套．
【點睛】
本題考查了分式方程的應(yīng)用和一元一次不等式的應(yīng)用，能找到等量關(guān)系與不等關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．
三練拔高
11．（2021·河南·安陽正一中學(xué)九年級期中）為提升青少年的身體素質(zhì)，我市在全市中小學(xué)推行“陽光體育”活動，某中學(xué)為滿足學(xué)生的需求，準備再購買一些籃球和足球．如果分別用800元購買籃球和足球，購買籃球的個數(shù)比足球的個數(shù)少2個，已知足球的單價為籃球單價的．
（1）求籃球、足球的單價分別為多少元？
（2）學(xué)校計劃購買籃球、足球共60個，總費用不多于5200元，并且要求籃球數(shù)量不能低于15個，那么應(yīng)如何安排購買方案才能使費用最少，最少費用應(yīng)為多少？
【答案】（1）籃球每個100元，足球每個80元；（2）當(dāng)籃球購買15個，足球購買45個時，費用最少，最少為5100元．
【分析】
（1）根據(jù)題意，可以列出相應(yīng)的分式方程，從而可以得到籃球、足球的單價，注意分式方程要檢驗；
（2）根據(jù)題意和一次函數(shù)的性質(zhì)，可以求得如何安排購買方案才能使費用最少，最少費用應(yīng)為多少．
【詳解】
解：（1）設(shè)籃球每個x元，足球每個x元，
由題意得：，
解得：x=100，
經(jīng)檢驗：x=100是原方程的解且符合題意，
則足球的單價為：x＝×100＝80（元），
答：籃球每個100元，足球每個80元；
（2）足球m個，總費用為w元，則籃球（60-m）個，
由題意得， w=80m+100（60-m）=-20m+6000，
再由題意可得，，
解得，40≤m≤45，
由w=-20m+6000，
∵-20＜0，
∴w隨m的增大而減小，
∴當(dāng)m=45時，w取得最小值，此時w=5100元，其中60-m=15，
答：當(dāng)籃球購買15個，足球購買45個時，費用最少，最少為5100元．
【點睛】
本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的分式方程，利用一次函數(shù)的性質(zhì)和不等式組的性質(zhì)解答．
12．（2021·四川德陽·中考真題）今年，“廣漢三星堆”又有新的文物出土，景區(qū)游客大幅度增長．為了應(yīng)對暑期旅游旺季，方便更多的游客在園區(qū)內(nèi)休息，景區(qū)管理委員會決定向某公司采購一批戶外休閑椅．經(jīng)了解，該公司出售弧形椅和條形椅兩種類型的休閑椅，已知條形椅的單價是弧形椅單價的0.75倍，用8000元購買弧形椅的數(shù)量比用4800元購買條形椅的數(shù)量多10張．
（1）弧形椅和條形椅的單價分別是多少元？
（2）已知一張弧形椅可坐5人，一張條形椅可坐3人，景區(qū)計劃共購進300張休閑椅，并保證至少增加1200個座位．請問：應(yīng)如何安排購買方案最節(jié)省費用？最低費用是多少元？
【答案】（1）弧形椅的單價為160元，條形椅的單價為120元；（2）購進150張弧形椅，150張條形椅最節(jié)省費用，最低費用是42000元
【分析】
（1）設(shè)弧形椅的單價為x元，則條形椅的單價為0.75x元，根據(jù)“用8000元購買弧形椅的數(shù)量比用4800元購買條形椅的數(shù)量多10張”列分式方程解答即可；
（2）設(shè)購進弧形椅m張，則購進條形椅（300-m）張，根據(jù)“一張弧形椅可坐5人，一張條形椅可坐3人，景區(qū)計劃共購進300張休閑椅，并保證至少增加1200個座位”列不等式求出m的取值范圍；設(shè)購買休閑椅所需的費用為W元，根據(jù)題意求出W與m的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)解答即可．
【詳解】
解：（1）設(shè)弧形椅的單價為x元，則條形椅的單價為0.75x元，根據(jù)題意得：
，
解得x=160，
經(jīng)檢驗，x=160是原方程的解，且符合題意，
∴0.75x=120，
答：弧形椅的單價為160元，條形椅的單價為120元；
（2）設(shè)購進弧形椅m張，則購進條形椅（300-m）張，由題意得：
5m+3（300-m）≥1200，
解得m≥150；
設(shè)購買休閑椅所需的費用為W元，
則W=160m+120（300-m），
即W=40m+36000，
∵40＞0，
∴W隨m的增大而增大，
∴當(dāng)m=150時，W有最小值，W最小=40×150+36000=42000，
300-m=300-150=150；
答：購進150張弧形椅，150張條形椅最節(jié)省費用，最低費用是42000元．
【點睛】
此題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，由圖象得出正確信息是解題關(guān)鍵，學(xué)會利用不等式確定自變量取值范圍，學(xué)會利用一次函數(shù)性質(zhì)解決最值問題，屬于中考常考題型．
13．（2021·四川內(nèi)江·中考真題）為迎接“五一”小長假購物高潮，某品牌專賣店準備購進甲、乙兩種襯衫，其中甲、乙兩種襯衫的進價和售價如下表：
襯衫價格
甲
乙
進價（元件）


售價（元件）
260
180
若用3000元購進甲種襯衫的數(shù)量與用2700元購進乙種襯衫的數(shù)量相同．
（1）求甲、乙兩種襯衫每件的進價；
（2）要使購進的甲、乙兩種襯衫共300件的總利潤不少于34000元，且不超過34700元，問該專賣店有幾種進貨方案；
（3）在（2）的條件下，專賣店準備對甲種襯衫進行優(yōu)惠促銷活動，決定對甲種襯衫每件優(yōu)惠元出售，乙種襯衫售價不變，那么該專賣店要獲得最大利潤應(yīng)如何進貨？
【答案】（1）甲種襯衫每件進價100元，乙種襯衫每件進價90元；（2）共有11種進貨方案；（3）當(dāng)時，應(yīng)購進甲種襯衫110件，乙種襯衫190件；當(dāng)時，所有方案獲利都一樣；當(dāng)時，購進甲種襯衫100件，乙種襯衫200件．
【分析】
（1）依據(jù)用3000元購進甲種襯衫的數(shù)量與用2700元購進乙種襯衫的數(shù)量相同列方程解答；
（2）根據(jù)題意列不等式組解答；
（3）設(shè)總利潤為，表示出w與x的函數(shù)解析式，再分三種情況：①當(dāng)時，②當(dāng)時，③當(dāng)時，分別求出利潤的最大值即可得到答案．
【詳解】
解：（1）依題意得：，
整理，得：，
解得：，
經(jīng)檢驗，是原方程的根，
答：甲種襯衫每件進價100元，乙種襯衫每件進價90元；
（2）設(shè)購進甲種襯衫件，乙種襯衫件，
根據(jù)題意得：，
解得：，
為整數(shù)，，
答：共有11種進貨方案；
（3）設(shè)總利潤為，則
，
①當(dāng)時，，隨的增大而增大，
當(dāng)時，最大，
此時應(yīng)購進甲種襯衫110件，乙種襯衫190件；
②當(dāng)時，，，
（2）中所有方案獲利都一樣；
③當(dāng)時，，隨的增大而減小，
當(dāng)時，最大，
此時應(yīng)購進甲種襯衫100件，乙種襯衫200件．
綜上：當(dāng)時，應(yīng)購進甲種襯衫110件，乙種襯衫190件；當(dāng)時，（2）中所有方案獲利都一樣；當(dāng)時，購進甲種襯衫100件，乙種襯衫200件．
【點睛】
此題考查分式方程的實際應(yīng)用，不等式組的實際應(yīng)用，一次函數(shù)的性質(zhì)，正確理解題意熟練應(yīng)用各知識點解決問題是解題的關(guān)鍵．
14．（2021·黑龍江牡丹江·模擬預(yù)測）某中學(xué)初三學(xué)生在開學(xué)前去商場購進A，B兩款書包獎勵班級表現(xiàn)優(yōu)秀的學(xué)生，購買A款書包共花費6000元，購買B款書包共花費3200元，且購買A款書包數(shù)量是購買B款書包數(shù)量的3倍，已知購買一個B款書包比購買一個A款書包多花30元．
（1）求購買一個A款書包、一個B款書包各需多少元？
（2）為了調(diào)動學(xué)生的積極性，學(xué)校在開學(xué)后再次購進了A，B兩款書包，每款書包不少于14個，總花費恰好為2268元，且在購買時商場對兩款書包的銷售單價進行了調(diào)整，A款書包銷售單價比第一次購買時提高了8%，B款書包按第一次購買時銷售單價的九折出售．求此次A款書包有幾種購買方案？
（3）在（2）的條件下，商場這次銷售兩款書包，單價調(diào)整后利潤比調(diào)整前減少72元，直接寫出兩款書包的購買方案．
【答案】（1）購買一個A款書包需要50元，購買一個B款書包需要80元；（2）此次A款書包有3種購買方案；（3）購買18個A款書包，18個B款書包．
【分析】
（1）設(shè)購買一個A款書包需要x元，則購買一個B款書包需要元，利用數(shù)量＝總價÷單價，結(jié)合用6000元購買A款書包的數(shù)量是用3200元購買B款書包數(shù)量的3倍，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)購買m個B款書包，則購買個A款書包，根據(jù)購買的每款書包不少于14個，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式組，解之即可得出m的取值范圍，再結(jié)合為整數(shù)，即可得出m的值，進而可得出此次A款書包購買方案的個數(shù)；
（3）利用減少的利潤＝銷售每個B款書包減少的利潤×銷售數(shù)量－銷售每個A款書包增加的利潤×銷售數(shù)量，即可得出關(guān)于m的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．
【詳解】
解：（1）設(shè)購買一個A款書包需要x元，則購買一個B款書包需要元，
依題意得：，
解得：，
經(jīng)檢驗，是原方程的解，且符合題意，
∴（元）．
答：購買一個A款書包需要50元，購買一個B款書包需要80元；
（2）設(shè)購買m個B款書包，則購買個A款書包，
依題意得：，
解得：．
又∵為整數(shù)，
∴m為3的倍數(shù)，
∴m可以取15，18，21，
∴此次A款書包有3種購買方案；
（3）依題意得：，
解得：m＝18，
∴（個）．
答：購買18個A款書包，18個B款書包．
【點睛】
本題考查了分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用以及一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組；（3）找準等量關(guān)系，正確列出一元一次方程．

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