?2020年遼寧省沈陽市蘇家屯區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷
一、選擇題（下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是正確的，請將正確答案涂在答題卡上，每小題2分，共20分）
1．（2分）如果m＝﹣1，那么m的取值范圍是（　　）
A．1＜m＜2 B．2＜m＜3 C．3＜m＜4 D．4＜m＜5
2．（2分）如圖所示的幾何體是由5個(gè)大小相同的小立方塊搭成，它的俯視圖是（　?。?br />
A． B．
C． D．
3．（2分）計(jì)劃今年9月底開工建設(shè)的沈陽地鐵6號線，全長36000米，成為首條進(jìn)入蘇家屯的地鐵線路，在蘇家屯設(shè)高樓村、葵松路、蘇家屯、香楊路、迎春街5個(gè)站點(diǎn)，將數(shù)據(jù)36000用科學(xué)記數(shù)法表示為（　?。?br /> A．0.36×105 B．36×103 C．3.6×104 D．3.6×105
4．（2分）如圖，Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝55°，45°的直三角板DEF的銳角頂點(diǎn)D在斜邊AC上，直角邊DE∥BC，則∠FDC的度數(shù)為（　?。?br />
A．10° B．15° C．20° D．25°
5．（2分）下列事件中，是必然事件的是（　?。?br /> A．射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，命中靶心
B．一個(gè)游戲的中獎(jiǎng)概率是，則做10次這樣的游戲一定會(huì)中獎(jiǎng)
C．雨后見彩虹
D．任意畫一個(gè)三角形，其外角和是360°
6．（2分）下列計(jì)算正確的是（　?。?br /> A．a(chǎn)3+a3＝2a6 B．a(chǎn)4?（a3）2＝a10
C．a(chǎn)6÷a2＝a3 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
7．（2分）如圖，A，B兩景點(diǎn)相距20km，C景點(diǎn)位于A景點(diǎn)北偏東60°方向上，位于B景點(diǎn)北偏西30°方向上，則A，C兩景點(diǎn)相距（　?。?br />
A．10km B．10km C．10km D．km
8．（2分）新型冠狀病毒疫情期間，根據(jù)某地2月1日至5日這5天確診病例增加數(shù)目得到一組數(shù)據(jù)：3，5，3，0，7，下列說法正確的是（　?。?br /> A．眾數(shù)是2 B．平均數(shù)是3.5
C．中位數(shù)是3 D．方差是13
9．（2分）如圖，⊙O是四邊形ABCD的外接圓，連接OB、OD，若四邊形ABOD是平行四邊形，則∠ABO的度數(shù)是（　?。?br />
A．50° B．55° C．60° D．65°
10．（2分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，對稱軸為直線x＝2，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)（﹣1，0），則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（　?。?br /> ①當(dāng)x＜﹣1或x＞5時(shí)，y＞0；
②a+b+c＞0；
③當(dāng)x＞2時(shí)，y隨x的增大而增大；
④abc＞0．

A．3 B．2 C．1 D．0
二.填空題（請將正確答案寫在答題卡上，每小題3分，共18分）
11．（3分）分解因式：a3﹣2a2+a＝　 ?。?br /> 12．（3分）關(guān)于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣2x﹣4+a2＝0有一個(gè)根是0，則a的值為　 ?。?br /> 13．（3分）如圖，△ABC與△DEF位似，位似中心為點(diǎn)O，且BC：EF＝3：2，則S△ABC：S△DEF＝　 ?。?br />
14．（3分）將拋物線y＝3（x﹣2）2+1向左平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，則所得拋物線的表達(dá)式為　 ?。?br /> 15．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，1），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，9），點(diǎn)C到直線AB的距離為4，且△ABC是直角三角形，則滿足條件的點(diǎn)C有　 　個(gè)．
16．（3分）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，連接AE、EF、AF，且∠EAF＝45°，下列結(jié)論：
①△ABE≌△ADF；
②∠AEB＝∠AEF；
③正方形ABCD的周長＝2△CEF的周長；
④S△ABE+S△ADF＝S△CEF，其中正確的是　 ?。ㄖ惶顚懶蛱枺?br />
三、解答題（第17題6分，第18、19小題各8分，共22分）
17．（6分）先化簡，再求值：﹣÷，其中x＝tan60°+（﹣）﹣2．
18．（8分）為了慶祝防控新冠肺炎疫情的勝利，某校舉行班級抗擊疫情優(yōu)秀歌曲歌詠比賽，歌曲有：《逆行英雄》，《中國一定強(qiáng)》，《愛的承諾》（分別用字母A，B，C，依次表示這三首歌曲），比賽時(shí)，將A，B，C，這三個(gè)字母分別寫在3張無差別不透明的卡片正面上，洗勻后正面向下放在桌面上，九年一班班長先從中隨機(jī)抽取一張卡片，放回后洗勻，再由九年二班班長從中隨機(jī)抽取一張卡片，進(jìn)行歌詠比賽．
（1）九年一班抽中歌曲《中國一定強(qiáng)》的概率是　 ?。?br /> （2）試用畫樹狀圖或列表的方法表示所有可能的結(jié)果，并求出九年一班和九年二班抽中相同歌曲的概率．
19．（8分）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，CD＝CB，過點(diǎn)C作∠DCB的平分線CE交AB于點(diǎn)E，連接DE，過點(diǎn)D作DF∥AB，且交CE于F點(diǎn)，連接BF．
（1）求證：四邊形DEBF是菱形；
（2）若AB＝5，BC＝13，求tan∠AED的值．

四、（每小題8分，共16分）
20．（8分）為豐富學(xué)生的文體生活，某校計(jì)劃開設(shè)五門選修課程：聲樂、足球、舞蹈、書法、演講．要求每名學(xué)生必須選修且只能選修一門課程，為保證計(jì)劃的有效實(shí)施，學(xué)校隨機(jī)對部分學(xué)生進(jìn)行了一次調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制成如圖不完整的統(tǒng)計(jì)圖．請根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖解答下列問題．
（1）本次接受問卷調(diào)查的學(xué)生有　 　名；
（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
（3）扇形統(tǒng)計(jì)圖中選修“演講”課程所對應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù)為　 ?。?br /> （4）該校有800名學(xué)生，請你估計(jì)選修“足球”課程的學(xué)生有多少名．

21．（8分）某物業(yè)公司計(jì)劃對所管理的小區(qū)3000m2區(qū)域進(jìn)行綠化，經(jīng)投標(biāo)由甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)來完成，甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)每天共完成綠化面積150m2，甲隊(duì)完成600m2區(qū)域的綠化面積與乙隊(duì)完成300m2區(qū)域的綠化面積所用的天數(shù)相同．
（1）求甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)每天各能完成多少面積的綠化？
（2）若甲隊(duì)每天綠化費(fèi)用是0.6萬元，乙隊(duì)每天綠化費(fèi)用是0.2萬元，該物業(yè)公司要使這次綠化總費(fèi)用不超過17萬元，則至少安排乙工程隊(duì)綠化多少天？
五、（本題10分)
22．（10分）如圖，在⊙O中，AB為⊙O的直徑，過O點(diǎn)作OC⊥AB且交⊙O于C點(diǎn)，延長AB到D，過點(diǎn)D作⊙O的切線DE，切點(diǎn)為E，連接CE交AB于F點(diǎn)．
（1）求證：DE＝DF；
（2）若⊙O的半徑為2，求CF×CE的值；
（3）若⊙O的半徑為2，∠D＝30°，則陰影部分的面積　 　．

六、（本題10分）
23．（10分）如圖，過原點(diǎn)的直線y1＝mx（m≠0）與反比例函數(shù)y2＝（k＜0）的圖象交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在第二象限，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為﹣1，點(diǎn)D在x軸負(fù)半軸上，連接AD交反比例函數(shù)圖象于另一點(diǎn)E，AC為∠BAD的平分線，過點(diǎn)B作AC的垂線，垂足為C，連接CE，若AD＝2DE，△AEC的面積為．
（1）根據(jù)圖象回答：當(dāng)x取何值時(shí)，y1＜y2；
（2）求△AOD的面積；
（3）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，k），在y軸的軸上是否存在一點(diǎn)M，使得△OMP是直角三角形，若存在，請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

七、（本題12分）
24．（12分）已知，把45°的直三角板的直角頂點(diǎn)E放在邊長為6的正方形ABCD的一邊BC上，直三角板的一條直角邊經(jīng)過點(diǎn)D，以DE為一邊作矩形DEFG，且GF過點(diǎn)A，得到圖1．
（1）求矩形DEFG的面積；
（2）若把正方形ABCD沿著對角線AC剪掉一半得到等腰直角三角形ABC，把45°的直三角板的一個(gè)45°角的頂點(diǎn)與等腰直角三角形ABC的直角頂點(diǎn)B重合，直三角板夾這個(gè)45°角的兩邊分別交CA和CA的延長線于點(diǎn)H、P，得到圖2．猜想：CH、PA、HP之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）若把邊長為6的正方形ABCD沿著對角線AC剪掉一半得到等腰直角三角形ABC，點(diǎn)M是Rt△ABC內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接MA、MB、MC，設(shè)MA+MB+MC＝y(tǒng)，直接寫出y2的最小值．
八、（本題12分）
25．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+2x+c與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B（3，0）、C（﹣1，0）兩點(diǎn)．
（1）求直線AB和拋物線的表達(dá)式；
（2）當(dāng)點(diǎn)F為直線AB上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合），過點(diǎn)F作FP∥x軸交直線AB于點(diǎn)P；過點(diǎn)F作FR∥y軸交直線AB于點(diǎn)R，求PR的最大值；
（3）把射線BA繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到射線BM，點(diǎn)E在射線BM運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)B重合），以BC、BE為鄰邊作平行四邊形BCDE，點(diǎn)H為DE邊上動(dòng)點(diǎn)，連接CH，請直接寫出CH+HE的最小值．


2020年遼寧省沈陽市蘇家屯區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是正確的，請將正確答案涂在答題卡上，每小題2分，共20分）
1．（2分）如果m＝﹣1，那么m的取值范圍是（　　）
A．1＜m＜2 B．2＜m＜3 C．3＜m＜4 D．4＜m＜5
【分析】首先確定的取值范圍，然后可得﹣1的取值范圍．
【解答】解：∵3＜＜4，
∴2＜﹣1＜3，
∵m＝﹣1，
∴2＜m＜3，
故選：B．
【點(diǎn)評】此題主要考查了估算無理數(shù)的大小，關(guān)鍵是掌握估算無理數(shù)大小要用逼近法．
2．（2分）如圖所示的幾何體是由5個(gè)大小相同的小立方塊搭成，它的俯視圖是（　?。?br />
A． B．
C． D．
【分析】找到從上面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在俯視圖中．
【解答】解：從上面看共有3列兩層，從左到右第一列底層是一個(gè)正方形，第二列是兩個(gè)正方形，第三列上層是一個(gè)正方形．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查了三視圖的知識(shí)，俯視圖是從物體的上面看得到的視圖．
3．（2分）計(jì)劃今年9月底開工建設(shè)的沈陽地鐵6號線，全長36000米，成為首條進(jìn)入蘇家屯的地鐵線路，在蘇家屯設(shè)高樓村、葵松路、蘇家屯、香楊路、迎春街5個(gè)站點(diǎn)，將數(shù)據(jù)36000用科學(xué)記數(shù)法表示為（　?。?br /> A．0.36×105 B．36×103 C．3.6×104 D．3.6×105
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值≥10時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時(shí)，n是負(fù)數(shù)．
【解答】解：36000＝3.6×104，
故選：C．
【點(diǎn)評】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．
4．（2分）如圖，Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝55°，45°的直三角板DEF的銳角頂點(diǎn)D在斜邊AC上，直角邊DE∥BC，則∠FDC的度數(shù)為（　?。?br />
A．10° B．15° C．20° D．25°
【分析】根據(jù)∠CDF＝∠EDF﹣∠EDC，求出∠EDC即可解決問題．
【解答】解：∵∠B＝90°，∠A＝55°，
∴∠C＝35°，
∵DE∥BC，
∴∠C＝∠EDC＝35°，
∵∠EDF＝45°，
∴∠CDF＝∠EDF﹣∠EDC＝45°﹣35°＝10°，
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考常考題型．
5．（2分）下列事件中，是必然事件的是（　?。?br /> A．射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，命中靶心
B．一個(gè)游戲的中獎(jiǎng)概率是，則做10次這樣的游戲一定會(huì)中獎(jiǎng)
C．雨后見彩虹
D．任意畫一個(gè)三角形，其外角和是360°
【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷．
【解答】解：A、射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，命中靶心是隨機(jī)事件，不符合題意；
B、一個(gè)游戲的中獎(jiǎng)概率是，則做10次這樣的游戲不一定會(huì)中獎(jiǎng)是隨機(jī)事件，不符合題意；
C、雨后見彩虹是隨機(jī)事件，不符合題意；
D、任意畫一個(gè)三角形，其外角和是360°是必然事件，符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念，必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．
6．（2分）下列計(jì)算正確的是（　?。?br /> A．a(chǎn)3+a3＝2a6 B．a(chǎn)4?（a3）2＝a10
C．a(chǎn)6÷a2＝a3 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
【分析】各項(xiàng)計(jì)算得到結(jié)果，即可作出判斷．
【解答】解：A、原式＝2a3，不符合題意；
B、原式＝a4?a6＝a10，符合題意；
C、原式＝a4，不符合題意；
D、原式＝a2﹣2ab+b2，不符合題意．
故選：B．
【點(diǎn)評】此題考查了整式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則及完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．
7．（2分）如圖，A，B兩景點(diǎn)相距20km，C景點(diǎn)位于A景點(diǎn)北偏東60°方向上，位于B景點(diǎn)北偏西30°方向上，則A，C兩景點(diǎn)相距（　?。?br />
A．10km B．10km C．10km D．km
【分析】根據(jù)題意可得，∠CAB＝30°，∠CBA＝60°，所以∠ACB＝90°，根據(jù)AB＝20km，和特殊角三角函數(shù)即可求出A，C兩景點(diǎn)距離．
【解答】解：根據(jù)題意可知：
∠CAB＝30°，∠CBA＝60°，
∴∠ACB＝60°+30°＝90°，AB＝20km，
∴AC＝AB×cos30°＝20×＝10（km）．
∴A，C兩景點(diǎn)相距10km．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題，解決本題的關(guān)鍵是掌握方向角定義．
8．（2分）新型冠狀病毒疫情期間，根據(jù)某地2月1日至5日這5天確診病例增加數(shù)目得到一組數(shù)據(jù)：3，5，3，0，7，下列說法正確的是（　　）
A．眾數(shù)是2 B．平均數(shù)是3.5
C．中位數(shù)是3 D．方差是13
【分析】將數(shù)據(jù)重新排列，再根據(jù)眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)及方差的定義求解可得．
【解答】解：將數(shù)據(jù)重新排列為0、3、3、5、7，
則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是3，平均數(shù)為＝3.6，中位數(shù)為3，方差為×[（0﹣3.6）2+2×（3﹣3.6）2+（5﹣3.6）2+（7﹣3.6）2]＝5.44，
故選：C．
【點(diǎn)評】本題主要考查方差，解題的關(guān)鍵是掌握眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)及方差的定義．
9．（2分）如圖，⊙O是四邊形ABCD的外接圓，連接OB、OD，若四邊形ABOD是平行四邊形，則∠ABO的度數(shù)是（　　）

A．50° B．55° C．60° D．65°
【分析】由四邊形ABOD是平行四邊形，推出∠A＝∠BOD，由∠BOD＝2∠C，∠A+∠C＝180°，推出∠C＝60°，∠A＝∠BOD＝120°即可解決問題．
【解答】解：∵四邊形ABOD是平行四邊形，
∴∠A＝∠BOD，
∵∠BOD＝2∠C，∠A+∠C＝180°，
∴∠C＝60°，∠A＝∠BOD＝120°，
∵AD∥OB，
∴∠ABO+∠DAB＝180°，
∴∠ABO＝60°，
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查圓周角定理，平行四邊形的性質(zhì)，圓心角，弧，弦之間的關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．
10．（2分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，對稱軸為直線x＝2，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)（﹣1，0），則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（　?。?br /> ①當(dāng)x＜﹣1或x＞5時(shí)，y＞0；
②a+b+c＞0；
③當(dāng)x＞2時(shí)，y隨x的增大而增大；
④abc＞0．

A．3 B．2 C．1 D．0
【分析】由拋物線的對稱軸結(jié)合拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，可求出另一交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)進(jìn)而結(jié)合圖形分析得出答案．
【解答】解：①根據(jù)函數(shù)的對稱性，拋物線與x軸的另外一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，0），
從圖象上看，x＜﹣1或x＞5時(shí)，y＞0，故①正確，符合題意；
②從圖象看，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝a+b+c＜0，故②錯(cuò)誤，不符合題意；
③從圖象看x＞2時(shí)，y隨x的增大而增大，故③正確，符合題意；
④從圖象看，a＞0，b＜0，c＜0，故abc＞0，故④正確，符合題意；
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系以及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，逐一分析四個(gè)結(jié)論的正誤是解題的關(guān)鍵．
二.填空題（請將正確答案寫在答題卡上，每小題3分，共18分）
11．（3分）分解因式：a3﹣2a2+a＝　a（a﹣1）2?。?br /> 【分析】此多項(xiàng)式有公因式，應(yīng)先提取公因式a，再對余下的多項(xiàng)式進(jìn)行觀察，有3項(xiàng)，可利用完全平方公式繼續(xù)分解．
【解答】解：a3﹣2a2+a
＝a（a2﹣2a+1）
＝a（a﹣1）2．
故答案為：a（a﹣1）2．
【點(diǎn)評】本題考查了提公因式法與公式法分解因式，要求靈活使用各種方法對多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，一般來說，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考慮運(yùn)用公式法分解．
12．（3分）關(guān)于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣2x﹣4+a2＝0有一個(gè)根是0，則a的值為　﹣2　．
【分析】把x＝0代入方程（a﹣2）x2﹣2x﹣4+a2＝0得﹣4+a2＝0，再解關(guān)于a的方程，然后利用一元二次方程的定義得到a﹣2≠0，從而確定a的值．
【解答】解：把x＝0代入方程（a﹣2）x2﹣2x﹣4+a2＝0得﹣4+a2＝0，解得a＝2或a＝﹣2，
因?yàn)閍﹣2≠0，
所以a的值為﹣2．
故答案為﹣2．
【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．
13．（3分）如圖，△ABC與△DEF位似，位似中心為點(diǎn)O，且BC：EF＝3：2，則S△ABC：S△DEF＝　9：4?。?br />
【分析】根據(jù)位似圖形的概念得到△ABC∽△DEF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可．
【解答】解：∵△ABC與△DEF位似，
∴△ABC∽△DEF，
∵BC：EF＝3：2，
∴＝（）2＝，
故答案為：9：4．
【點(diǎn)評】本題考查的是位似變換的概念、相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．
14．（3分）將拋物線y＝3（x﹣2）2+1向左平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，則所得拋物線的表達(dá)式為　y＝3x2?。?br /> 【分析】直接利用拋物線平移規(guī)律：上加下減，左加右減進(jìn)而得出平移后的解析式．
【解答】解：∵將拋物線y＝3（x﹣2）2+1向左平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，
∴平移后的拋物線的解析式為：y＝3（x﹣2+2）2+1﹣1，即y＝3x2．
故答案為y＝3x2．
【點(diǎn)評】此題主要考查了二次函數(shù)圖象的平移變換，正確掌握平移規(guī)律是解題關(guān)鍵．
15．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，1），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，9），點(diǎn)C到直線AB的距離為4，且△ABC是直角三角形，則滿足條件的點(diǎn)C有　6　個(gè)．
【分析】當(dāng)∠A＝90°時(shí)，滿足條件的C點(diǎn)2個(gè)；當(dāng)∠B＝90°時(shí)，滿足條件的C點(diǎn)2個(gè)；當(dāng)∠C＝90°時(shí)，滿足條件的C點(diǎn)2個(gè)．所以共有6個(gè)．
【解答】解：∵點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)坐標(biāo)相等，
∴AB∥y軸，
∵點(diǎn)C到直線AB的距離為4，
∴點(diǎn)C在平行于AB的兩條直線上．
∴過點(diǎn)A的垂線與那兩條直線有2個(gè)交點(diǎn)，過點(diǎn)B的垂線與那兩條直線有2個(gè)交點(diǎn)，以AB為直徑的圓與那兩條直線有2個(gè)交點(diǎn)．
∴滿足條件的C點(diǎn)共6個(gè)．
故答案為：6．
【點(diǎn)評】本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．用到的知識(shí)點(diǎn)為：到一條直線距離為某個(gè)定值的直線有兩條．△ABC是直角三角形，它的任意一個(gè)頂點(diǎn)都有可能為直角頂點(diǎn)．
16．（3分）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，連接AE、EF、AF，且∠EAF＝45°，下列結(jié)論：
①△ABE≌△ADF；
②∠AEB＝∠AEF；
③正方形ABCD的周長＝2△CEF的周長；
④S△ABE+S△ADF＝S△CEF，其中正確的是?、冖邸。ㄖ惶顚懶蛱枺?br />
【分析】①E、F不分別是BC和CD的中點(diǎn)時(shí)，BE≠DF，則△ABE和△ADF的三邊全部對應(yīng)相等，由此得出判斷；
②延長CD至G，使得DG＝BE，證明△ABE≌△ADG和△AEF≌△AGF，便可判斷正誤；
③通過周長公式計(jì)算，再由BE+DF＝EF，得出判斷；
④證明S△ABE+S△ADF＝S△AGF，再由三角形的底與高的數(shù)量關(guān)系得S△AGF＞S△CEF，進(jìn)而得出判斷．
【解答】解：①當(dāng)E、F不分別是BC和CD的中點(diǎn)時(shí)，BE≠DF，則△ABE≌△ADF不成立，故①錯(cuò)誤；
②延長CD至G，使得DG＝BE，如圖1，
∵AB＝AD，∠ABE＝∠ADG＝90°，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴∠BAE＝∠DAG，∠AEB＝∠G，AE＝AG，
∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝45°，
∴∠EAF＝∠FAG，
∵AF＝AF，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴∠AEF＝∠G，
∴∠AEB＝∠AEF，
故②正確；

③∵△AEF≌△AGF，
∴EF＝GF＝DG+DF＝BE+DF，
∴△CEF的周長＝CE+CF+EF＝CE+CF+BE+DF＝BC+CD＝2BC，
∵正方形ABCD的周長＝4BC，
∴正方形ABCD的周長＝2△CEF的周長，
故③正確；
④∵△ABE≌△ADG，
∴S△ABE＝S△ADG，
∴S△ABE+S△ADF＝S△AGF，
∵GF＝EF＞CF，AD≥CE，
∴，即S△AGF＞S△CEF，
∴S△ABE+S△ADF≠S△CEF，
故④錯(cuò)誤；
故答案為：②③．
【點(diǎn)評】本題是正方形的一個(gè)綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形的面積和周長計(jì)算，關(guān)鍵是證明三角形全等．
三、解答題（第17題6分，第18、19小題各8分，共22分）
17．（6分）先化簡，再求值：﹣÷，其中x＝tan60°+（﹣）﹣2．
【分析】先把除法變成乘法，算乘法，算減法，最后代入求出即可．
【解答】解：﹣÷
＝﹣?
＝﹣
＝
＝，
當(dāng)x＝tan60°+（﹣）﹣2＝+4時(shí)，原式＝＝．
【點(diǎn)評】本題考查了分式的混合運(yùn)算和求值，特殊角的三角函數(shù)值，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算等知識(shí)點(diǎn)，能正確根據(jù)分式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡是解此題的關(guān)鍵．
18．（8分）為了慶祝防控新冠肺炎疫情的勝利，某校舉行班級抗擊疫情優(yōu)秀歌曲歌詠比賽，歌曲有：《逆行英雄》，《中國一定強(qiáng)》，《愛的承諾》（分別用字母A，B，C，依次表示這三首歌曲），比賽時(shí)，將A，B，C，這三個(gè)字母分別寫在3張無差別不透明的卡片正面上，洗勻后正面向下放在桌面上，九年一班班長先從中隨機(jī)抽取一張卡片，放回后洗勻，再由九年二班班長從中隨機(jī)抽取一張卡片，進(jìn)行歌詠比賽．
（1）九年一班抽中歌曲《中國一定強(qiáng)》的概率是　??；
（2）試用畫樹狀圖或列表的方法表示所有可能的結(jié)果，并求出九年一班和九年二班抽中相同歌曲的概率．
【分析】（1）直接根據(jù)概率公式計(jì)算可得；
（2）畫樹狀圖得出所有等可能結(jié)果，再從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，利用概率公式計(jì)算可得．
【解答】解：（1）因?yàn)橛蠥，B，C3種等可能結(jié)果，
所以九年一班抽中歌曲《中國一定強(qiáng)》的概率＝；
故答案為：；
（2）畫樹狀圖如圖所示：

共有9種可能，其中九年一班和九年二班抽中相同歌曲有3種（A，A），（B，B），（C，C），
∴九年一班和九年二班抽中相同歌曲的概率＝＝．
【點(diǎn)評】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后利用概率公式計(jì)算事件A或事件B的概率．
19．（8分）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，CD＝CB，過點(diǎn)C作∠DCB的平分線CE交AB于點(diǎn)E，連接DE，過點(diǎn)D作DF∥AB，且交CE于F點(diǎn)，連接BF．
（1）求證：四邊形DEBF是菱形；
（2）若AB＝5，BC＝13，求tan∠AED的值．

【分析】（1）證明△CDE≌△CBE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到ED＝EB，∠DEC＝∠BEC，根據(jù)平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定定理得到DE＝DF，根據(jù)菱形的判定定理證明；
（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到∠BGD＝90°，DG＝AB＝5，AD＝BG，根據(jù)勾股定理求出GC，求出AD，根據(jù)勾股定理列方程求出AE，根據(jù)正切的定義計(jì)算，得到答案．
【解答】（1）證明：∵CE平分∠DCB，
∴∠DCE＝∠BCE，
在△CDE和△CBE中，
，
∴△CDE≌△CBE（SAS），
∴ED＝EB，∠DEC＝∠BEC，
∵DF∥AB，
∴∠DFE＝∠BEC，
∴∠DFE＝∠DEC，
∴DE＝DF，
∴DF＝BE，又DF∥AB，DE＝DF，
∴四邊形DEBF為菱形；
（2）解：∵AD∥BC，AB∥DF，
∴四邊形ABGD為平行四邊形，
∵∠A＝90°，
∴四邊形ABGD為矩形，
∴∠BGD＝90°，DG＝AB＝5，AD＝BG，
在Rt△DGC中，GC＝＝12，
∴AD＝BG＝BC﹣GC＝13﹣12＝1，
設(shè)AE＝x，則DE＝BE＝5﹣x，
在Rt△ADE中，DE2＝AE2+AD2，即（5﹣x）2＝x2+12，
解得，x＝，
∴tan∠AED＝＝．

【點(diǎn)評】本題考查的是菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義，掌握菱形的判定定理、全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
四、（每小題8分，共16分）
20．（8分）為豐富學(xué)生的文體生活，某校計(jì)劃開設(shè)五門選修課程：聲樂、足球、舞蹈、書法、演講．要求每名學(xué)生必須選修且只能選修一門課程，為保證計(jì)劃的有效實(shí)施，學(xué)校隨機(jī)對部分學(xué)生進(jìn)行了一次調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制成如圖不完整的統(tǒng)計(jì)圖．請根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖解答下列問題．
（1）本次接受問卷調(diào)查的學(xué)生有　100　名；
（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
（3）扇形統(tǒng)計(jì)圖中選修“演講”課程所對應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù)為　18°??；
（4）該校有800名學(xué)生，請你估計(jì)選修“足球”課程的學(xué)生有多少名．

【分析】（1）根據(jù)舞蹈的人數(shù)和所占的百分比即可求出本次接受問卷調(diào)查的學(xué)生數(shù)；
（2）用總?cè)藬?shù)減去其它課程的人數(shù)，求出喜歡書法的人數(shù)，從而補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖；
（3）用360°乘以選修“演講”的人數(shù)所占的百分比即可；
（4）用該校的總?cè)藬?shù)乘以選修“足球”人數(shù)所占的百分比即可得出答案．
【解答】解：（1）本次接受問卷調(diào)查的學(xué)生有：35÷35%＝100（名）；
故答案為：100；

（2）喜歡書法的人數(shù)有：100﹣9﹣21﹣35﹣5＝30（人），
補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖如下：


（3）扇形統(tǒng)計(jì)圖中選修“演講”課程所對應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù)為：360°×＝18°；
故答案為：18°；

（4）根據(jù)題意得：
800×＝168（名），
答：估計(jì)選修“足球”課程的學(xué)生有168名．
【點(diǎn)評】本題考查的是條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖的綜合運(yùn)用．讀懂統(tǒng)計(jì)圖，從不同的統(tǒng)計(jì)圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵．條形統(tǒng)計(jì)圖能清楚地表示出每個(gè)項(xiàng)目的數(shù)據(jù)；扇形統(tǒng)計(jì)圖直接反映部分占總體的百分比大小．
21．（8分）某物業(yè)公司計(jì)劃對所管理的小區(qū)3000m2區(qū)域進(jìn)行綠化，經(jīng)投標(biāo)由甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)來完成，甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)每天共完成綠化面積150m2，甲隊(duì)完成600m2區(qū)域的綠化面積與乙隊(duì)完成300m2區(qū)域的綠化面積所用的天數(shù)相同．
（1）求甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)每天各能完成多少面積的綠化？
（2）若甲隊(duì)每天綠化費(fèi)用是0.6萬元，乙隊(duì)每天綠化費(fèi)用是0.2萬元，該物業(yè)公司要使這次綠化總費(fèi)用不超過17萬元，則至少安排乙工程隊(duì)綠化多少天？
【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合甲隊(duì)完成600m2與乙隊(duì)完成300m2區(qū)域的綠化面積所用的天數(shù)相同，得出等式即可；
（2）根據(jù)要使這次綠化總費(fèi)用不超過17萬元，得出不等式進(jìn)而求出答案．
【解答】解：（1）設(shè)乙工程隊(duì)每天能完成xm2的綠化的面積，則甲工程隊(duì)每天能完成（150﹣x）m2的綠化的面積，
根據(jù)題意可得：＝，
解得：x＝50，
經(jīng)檢驗(yàn)得：x＝50是所列方程的解，
150﹣x＝150﹣50＝100，
答：乙工程隊(duì)每天能完成50m2的綠化的面積，甲工程隊(duì)每天能完成100m2的綠化的面積；

（2）設(shè)安排乙工程隊(duì)綠化y天，
根據(jù)題意可得：×0.6+0.2y≤17，
解得：y≥10，
答：至少安排乙工程隊(duì)綠化10天．
【點(diǎn)評】此題主要考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，正確得出等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．
五、（本題10分)
22．（10分）如圖，在⊙O中，AB為⊙O的直徑，過O點(diǎn)作OC⊥AB且交⊙O于C點(diǎn)，延長AB到D，過點(diǎn)D作⊙O的切線DE，切點(diǎn)為E，連接CE交AB于F點(diǎn)．
（1）求證：DE＝DF；
（2）若⊙O的半徑為2，求CF×CE的值；
（3）若⊙O的半徑為2，∠D＝30°，則陰影部分的面積　2﹣π　．

【分析】（1）欲證明DE＝DF，只要證明∠DEF＝∠EFD即可．
（2）延長CO交⊙O于H，連接EH．證明△COF∽△CEH，推出＝，可得CE?CF＝CO?CH解決問題．
（3）根據(jù)S陰＝S△EDO﹣S扇形OEB，只要求出DE，∠EOB即可解決問題．
【解答】（1）證明：連接OE．
∵DE是⊙O的切線，
∴DE⊥OE，
∴∠OED＝90°，
∴∠DEF+∠OEC＝90°，
∵OC⊥AB，
∴∠COB＝90°，
∴∠C+∠OFC＝90°，
∵OE＝OC，
∴∠OEC＝∠C，
∵∠OFC＝∠DFE，
∴∠DEF＝∠EFD，
∴DE＝DF．

（2）解：延長CO交⊙O于H，連接EH．
∵CH為直徑，
∴∠CEH＝90°，
∵OC⊥AB，
∴∠COF＝90°，
∴∠COF＝∠CEH，
∵∠C＝∠C，
∴△COF∽△CEH，
∴＝，
∴CE?CF＝CO?CH＝2×4＝8．

（3）解：∵∠OED＝90°，∠D＝30°，OE＝3，
∴OD＝2OE＝4，∠EOB＝60°，DE＝＝＝2，
∴S陰＝S△EDO﹣S扇形OEB＝?OE?DE﹣＝×2×2﹣π＝2﹣π．
故答案為2﹣π．

【點(diǎn)評】本題屬于圓綜合題，考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，扇形的面積公式，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造特殊三角形解決問題，屬于中考常考題型．
六、（本題10分）
23．（10分）如圖，過原點(diǎn)的直線y1＝mx（m≠0）與反比例函數(shù)y2＝（k＜0）的圖象交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在第二象限，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為﹣1，點(diǎn)D在x軸負(fù)半軸上，連接AD交反比例函數(shù)圖象于另一點(diǎn)E，AC為∠BAD的平分線，過點(diǎn)B作AC的垂線，垂足為C，連接CE，若AD＝2DE，△AEC的面積為．
（1）根據(jù)圖象回答：當(dāng)x取何值時(shí)，y1＜y2；
（2）求△AOD的面積；
（3）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，k），在y軸的軸上是否存在一點(diǎn)M，使得△OMP是直角三角形，若存在，請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

【分析】（1）根據(jù)題意得到點(diǎn)A，點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對稱，求得點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1，于是得到當(dāng)x取﹣1＜x＜0或x＞1時(shí)，y1＜y2；
（2）連接OC，OE，求得OA＝OB，得到∠OAC＝∠OCA，根據(jù)角平分線的定義得到∠OAC＝∠DAC，推出AD∥OC，求得S△AEO＝S△ACE＝，于是得到結(jié)論；
（3）作EF⊥x軸于F，作AH⊥x軸于H，則EF∥AH，求得DF＝FH，根據(jù)三角形中位線定理得到EF＝AH，求得y＝﹣，得到A（﹣1，2），于是得到P（﹣2，﹣2），根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解答】解：（1）∵直線y1＝mx（m≠0）與反比例函數(shù)y2＝（k＜0）的圖象交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為﹣1，
∴點(diǎn)A，點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對稱，
∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1，
∴當(dāng)x取﹣1＜x＜0或x＞1時(shí)，y1＜y2；
（2）連接OC，OE，
由圖象知，點(diǎn)A，點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對稱，
∴OA＝OB，
∵AC⊥CB，
∴∠ACB＝90°，
∴OC＝AB＝AO，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC為∠BAD的平分線，
∴∠OAC＝∠DAC，
∴∠OCA＝∠DAC，
∴AD∥OC，
∴S△AEO＝S△ACE＝，
∵AD＝2DE，
∴AE＝DE，
∴S△AOD＝2S△AOE＝3；
（3）作EF⊥x軸于F，作AH⊥x軸于H，
則EF∥AH，
∵AD＝2DE，
∴DE＝EA，
∵EF∥AH，
∴＝＝1，
∴DF＝FH，
∴EF是△DHA的中位線，
∴EF＝AH，
∵S△OEF＝S△OAH＝﹣，
∴OF?EF＝OH?HA，
∴OH＝OF，
∴OH＝HF，
∴DF＝FH＝HO＝DO，
∴S△OAH＝S△ADO＝3＝1，
∴﹣＝1，
∴k＝﹣2，
∴y＝﹣，
∵點(diǎn)A在y＝﹣的圖象上，
∴把x＝﹣1代入得，y＝2，
∴A（﹣1，2），
∵點(diǎn)A在直線y＝mx上，
∴m＝﹣2，
∴P（﹣2，﹣2），
在y軸上找到一點(diǎn)M，使得△OMP是直角三角形，
當(dāng)∠OMP＝90°時(shí)，PM⊥y軸，
則OM＝2，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0．﹣2）；
當(dāng)∠OPM＝90°時(shí)，過P作PG⊥y軸于G，則△OPM是等腰直角三角形，
∴OM＝2PG＝4，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0．﹣4）；
綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0．﹣2）或（0，﹣4）．

【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)的綜合題，三角形的中位線定理，反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，直角三角形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．
七、（本題12分）
24．（12分）已知，把45°的直三角板的直角頂點(diǎn)E放在邊長為6的正方形ABCD的一邊BC上，直三角板的一條直角邊經(jīng)過點(diǎn)D，以DE為一邊作矩形DEFG，且GF過點(diǎn)A，得到圖1．
（1）求矩形DEFG的面積；
（2）若把正方形ABCD沿著對角線AC剪掉一半得到等腰直角三角形ABC，把45°的直三角板的一個(gè)45°角的頂點(diǎn)與等腰直角三角形ABC的直角頂點(diǎn)B重合，直三角板夾這個(gè)45°角的兩邊分別交CA和CA的延長線于點(diǎn)H、P，得到圖2．猜想：CH、PA、HP之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）若把邊長為6的正方形ABCD沿著對角線AC剪掉一半得到等腰直角三角形ABC，點(diǎn)M是Rt△ABC內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接MA、MB、MC，設(shè)MA+MB+MC＝y(tǒng)，直接寫出y2的最小值．
【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠ADC＝∠DCE＝90°，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到∠AGD＝∠GDE＝90°，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和矩形的面積公式即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到BK＝BP，∠PBA＝∠KBC，∠BCK＝∠BAP＝180°﹣45°＝135°，由勾股定理得到CH2+PA2＝KH2，求得∠PBA+∠ABE＝45°，等量代換得到∠KBC+∠ABE＝45°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到HK＝HP，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；
（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到MC＝KN，BM＝BK，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到MK＝BM，于是得到MA+MB+MC＝AM+MK+KN，當(dāng)A，M，K，N四點(diǎn)共線時(shí)，AN就是所求的MA+MB+MC的最小值，過N作NQ⊥AB交AB的延長線于Q，求得AQ＝AB+BQ＝6+3，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．
【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝∠DCE＝90°，
∵四邊形DEFG是矩形，
∴∠AGD＝∠GDE＝90°，
∴∠DCE＝∠AGD＝90°，∠ADC＝∠GDE＝90°，
∴∠ADC﹣∠ADE＝∠GDE﹣∠ADE，
∴∠EDC＝∠ADG，
∵∠EDC＝∠ADG，∠DCE＝∠AGD＝90°，
∴△ECD∽△AGD，
∴＝，
∴DG?DE＝DC?DA＝6×6＝36，
∴矩形DEFG的面積＝DG?DE＝36；
（2）CH2+PA2＝HP2，
證明：把△BAP繞著點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△BCK，連接KH，
由旋轉(zhuǎn)得△BAP≌△BCK，
∴BK＝BP，∠PBA＝∠KBC，∠BCK＝∠BAP＝180°﹣45°＝135°，
∴∠HCK＝∠BCK﹣∠BCA＝135°﹣45°＝90°，
∴由勾股定理得，CH2+PA2＝KH2，
∵∠PBE＝45°，
∴∠PBA+∠ABE＝45°，
∵∠PBA＝∠KBC，
∴∠KBC+∠ABE＝45°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠HBK＝45°，
∵∠PBE＝45°，
∴∠HBK＝∠PBE＝45°，
∵BK＝BP，∠HBK＝∠PBE，BH＝BH，
∴△BHP≌△BHK（SAS），
∴HK＝HP，
∵CH2+PA2＝HK2，
∴CH2+PA2＝HP2；
（3）把△BMC繞著點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△BKN，連接MK，BN，NC，
由旋轉(zhuǎn)得，△BMC≌△BKN，
∴MC＝KN，BM＝BK，
∵BM＝BK，∠MBK＝60°，
∴△BKM是等邊三角形，
∴MK＝BM，
∴MA+MB+MC＝AM+MK+KN，
當(dāng)A，M，K，N四點(diǎn)共線時(shí)，AN就是所求的MA+MB+MC的最小值，
過N作NQ⊥AB交AB的延長線于Q，
∵∠NBQ＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∠BQN＝90°，
∴QN＝BN?sin30°＝6×＝3，BQ＝BN?cos30°＝6×＝3，
∴AQ＝AB+BQ＝6+3，
在Rt△AQN中，由勾股定理得，AN2＝AQ2+QN2＝（6+3）2+32＝72+36，
∴y2的最小值為72+36．


【點(diǎn)評】本題考查了四邊形的綜合題，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
八、（本題12分）
25．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+2x+c與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B（3，0）、C（﹣1，0）兩點(diǎn)．
（1）求直線AB和拋物線的表達(dá)式；
（2）當(dāng)點(diǎn)F為直線AB上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合），過點(diǎn)F作FP∥x軸交直線AB于點(diǎn)P；過點(diǎn)F作FR∥y軸交直線AB于點(diǎn)R，求PR的最大值；
（3）把射線BA繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到射線BM，點(diǎn)E在射線BM運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)B重合），以BC、BE為鄰邊作平行四邊形BCDE，點(diǎn)H為DE邊上動(dòng)點(diǎn)，連接CH，請直接寫出CH+HE的最小值．

【分析】（1）將點(diǎn)B，C坐標(biāo)代入拋物線解析式中，即可求出a，c，進(jìn)而求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式；
（2）先判斷出∠OBA＝∠OAB＝45°，進(jìn)而判斷出∠FPR＝∠FRP＝45°，得出∠PFR＝90°，PF＝FR，進(jìn)而得出PR＝FR，再設(shè)點(diǎn)R（t，﹣t+3），得出點(diǎn)F（t，﹣t2+2t+3），進(jìn)而得出PR＝FR＝﹣（t﹣）2+，即可得出結(jié)論；
（3）先判斷出∠DEG＝∠CBE＝45°，進(jìn)而判斷出HG＝HE，即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+2x+c經(jīng)過點(diǎn)B（3，0）、C（﹣1，0），
∴，
∴，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3，
令0＝0，則y＝3，
∴A（0，3），
∴設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+b（k≠0），
∵直線AB經(jīng)過點(diǎn)A（0，3）、B（3，0），
∴，
∴，
∴直線AB的解析式為y＝﹣x+3；

（2）∵A（0，3），B（3，0），
∴OA＝OB＝3，
∵∠AOB＝90°，
∴∠OBA＝∠OAB＝45°，
∵FP∥x軸，F(xiàn)R∥y軸，
∴∠FPR＝∠OBA＝45°，∠FRP＝∠OAB＝45°，
∴∠FPR＝∠FRP＝45°，
∴∠PFR＝90°，PF＝FR，
根據(jù)勾股定理得，PR＝FR，
∵點(diǎn)R在直線AB上，
∴設(shè)點(diǎn)R（t，﹣t+3），
∵FR∥y軸，
∴點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為t，
∵點(diǎn)F在拋物線y＝﹣x2+2x+3上，
∴點(diǎn)F（t，﹣t2+2t+3），
∴PR＝FR＝[（﹣t2+2t+3）﹣（﹣t+3）]＝﹣（t﹣）2+，
∵a＝﹣＜0，拋物線的開口向下，二次函數(shù)有最大值，
當(dāng)t＝時(shí)，PR有最大值，PR的最大值為；

（3）如圖，過點(diǎn)C作CG⊥BM于G，交DE于點(diǎn)H，

∵把射線BA繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到射線BM，
∴∠ABM＝90°，
∵∠OBA＝45°，
∴∠CBE＝∠ABM﹣∠OBA＝45°，
∵DE∥CB，
∴∠DEG＝∠CBE＝45°，
在Rt△HGE中，HG＝HE?sin45°＝HE，
根據(jù)垂線段最短得，（CH+HE）最?。紺G，
∴CH+HE＝CG＝CB?sin45°＝2，
即CH+HE的最小值為2．
【點(diǎn)評】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，二次函數(shù)的極值，判斷出PR＝FR是解本題的關(guān)鍵．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布
日期：2020/6/19 16:00:52；用戶：西安萬向思維數(shù)學(xué)；郵箱：xianwanxiang005@xyh.com；學(xué)號：24602080

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