課時分層作業(yè)(二十五)　直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．已知雙曲線－＝1的右焦點為F，過點F作一條直線與其中一條漸近線垂直，垂足為A，O為坐標原點，則S△OAF＝(　　)A．3　　　　　　　　 B．3C．2   D．D　[雙曲線－＝1的右焦點為F(3,0)，F到漸近線x＋2y＝0的距離FA＝＝．則AO＝＝＝2．則S△OAF＝FA·OA＝××2＝．]2．直線y＝x－3與拋物線y2＝4x交于A、B兩點，過兩點向拋物線的準線作垂線，垂足分別為P、Q，則梯形APQB的面積為(　　)A．48   B．56C．64   D．72A　[由消去y得，x2－10x＋9＝0，∴x＝1或9，∴或∴|AP|＝10，|BQ|＝2或|BQ|＝10，|AP|＝2，∴|PQ|＝8，梯形APQB的面積為48，故選A．]3．過橢圓x2＋2y2＝4的左焦點F作傾斜角為的弦AB，則弦AB的長為(　　)A．   B．C．   D．B　[橢圓的方程可化為＋＝1，∴F(－，0)．又∵直線AB的斜率為，∴直線AB的方程為y＝x＋．由得7x2＋12x＋8＝0．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－，x1·x2＝，∴|AB|＝＝．]4．已知拋物線C：y2＝8x的焦點為F，準線與x軸的交點為K，點A在C上且|AK|＝|AF|，則△AFK的面積為(　　)A．4   B．8C．16   D．32B　[因為拋物線C：y2＝8x的焦點為F(2,0)，準線為x＝－2，所以K(－2,0)，設(shè)A(x0，y0)，如圖所示，過點A向準線作垂線，垂足為B，則B(－2，y0)．因為|AK|＝|AF|，又|AF|＝|AB|＝x0－(－2)＝x0＋2，所以由|BK|2＝|AK|2－|AB|2，得y＝(x0＋2)2，即8x0＝(x0＋2)2，解得x0＝2，y0＝±4，所以S△AFK的面積為|KF|·|y0|＝×4×4＝8．]5．如果AB是橢圓＋＝1的任意一條與x軸不垂直的弦，O為橢圓的中心，e為橢圓的離心率，M為AB的中點，則kAB·kOM的值為(　　)A．e－1   B．1－eC．e2－1   D．1－e2C　[設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，中點M(x0，y0)，由點差法，＋＝1，＋＝1，作差得＝，所以kAB·kOM＝·＝＝＝e2－1．]二、填空題6．直線y＝kx＋2與拋物線y2＝8x有且只有一個公共點，則k＝        ．0或1　[當k＝0時，直線與拋物線有唯一交點，當k≠0時，聯(lián)立方程消y得：k2x2＋4(k－2)x＋4＝0，由題意Δ＝16(k－2)2－16k2＝0，∴k＝1．]7．若點O和點F分別為橢圓＋＝1的中心和左焦點，點P為橢圓上的任意一點，則·的最大值為        ．6　[由＋＝1可得F(－1,0)．設(shè)P(x，y)，－2≤x≤2，則·＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，當且僅當x＝2時，·取得最大值6．]8．設(shè)雙曲線的一個焦點為F，虛軸的一個端點為B，如果直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為        ．　[設(shè)雙曲線方程為－＝1(a＞0，b>0)，如圖所示，雙曲線的一條漸近線方程為y＝x，而kBF＝－．∴·＝－1，整理得b2＝ac．∴c2－a2－ac＝0．兩邊同除以a2，得e2－e－1＝0，解得e＝或e＝(舍去)．]三、解答題9．已知拋物線y2＝－x與直線y＝k(x＋1)相交于A，B兩點．(1)求證：OA⊥OB；(2)當△OAB的面積等于時，求k的值．[解]　(1)如圖所示，由消去x得，ky2＋y－k＝0．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根與系數(shù)的關(guān)系得y1·y2＝－1，y1＋y2＝－．∵A，B在拋物線y2＝－x上，∴y＝－x1，y＝－x2，∴y·y＝x1x2．∵kOA·kOB＝·＝＝＝－1，∴OA⊥OB．(2)設(shè)直線與x軸交于點N，顯然k≠0．令y＝0，得x＝－1，即N(－1,0)．∵S△OAB＝S△OAN＋S△OBN＝|ON||y1|＋|ON||y2|＝|ON|·|y1－y2|，∴S△OAB＝·1·＝．∵S△OAB＝，∴＝，解得k＝±．10．已知橢圓C：＋＝1(a＞b>0)，離心率是，原點與C和直線x＝1的交點圍成的三角形面積是．若直線l過點，且與橢圓C相交于A，B兩點(A，B不是頂點)，D是橢圓C的右頂點，求證∠ADB是定值．[證明]　由題意可知：e＝＝＝，所以a2＝b2，由直線x＝1與橢圓相交，交點P(1，y)(y＞0)，由題意可知：×1×2y＝，解得y＝，將P代入橢圓方程：＋＝1，解得b2＝3，a2＝4，所以橢圓方程為＋＝1，即4y2＋3x2－12＝0．所以D點坐標為(2,0)，當直線l的斜率不存在時，A，B，∴·＝0，∴∠ADB＝．當直線l的斜率存在時，設(shè)直線l：x＝my＋，由得(196＋147m2)y2＋84my－576＝0，∵l與C有兩個交點A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴Δ＞0，且y1y2＝，y1＋y2＝，∴x1＋x2＝＋，x1x2＝＋，∵＝(x1－2，y1)，＝(x2－2，y2)，·＝x1x2－2(x1＋x2)＋y1y2＋4，∴＋＝＝0，∴∠ADB＝．綜上，∠ADB＝．11．(多選題)已知拋物線x2＝2py(p＞0)的焦點為F，過點F的直線l交拋物線于A，B兩點，以線段AB為直徑的圓交x軸于M，N兩點，設(shè)線段AB的中點為Q．若拋物線C上存在一點E(t,2)到焦點F的距離等于3．則下列說法正確的是(　　)A．拋物線的方程是x2＝2yB．拋物線的準線是y＝－1C．sin∠QMN的最小值是D．線段AB的最小值是6BC　[拋物線C：x2＝2py(p＞0)的焦點為F，得拋物線的準線方程為y＝－，點E(t,2)到焦點F的距離等于3，可得2＋＝3，解得p＝2，則拋物線C的方程為x2＝4y，所以A不正確；拋物線的準線方程：y＝－1，所以B正確；由題知直線l的斜率存在，F(0,1)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線l的方程為y＝kx＋1，由消去y得x2－4kx－4＝0，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，所以y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝4k2＋2，所以AB的中點Q的坐標為(2k,2k2＋1)，|AB|＝y1＋y2＋p＝4k2＋2＋2＝4k2＋4，所以圓Q的半徑為r＝2k2＋2，在等腰△QMN中，sin∠QMN＝＝＝1－≥1－＝，當且僅當k＝0時取等號．所以sin∠QMN的最小值為．所以C正確；線段AB的最小值是：y1＋y2＋2＝4k2＋4≥4．所以D不正確．]12．點P為拋物線y2＝2px上任一點，F為焦點，則以PF為直徑的圓與y軸(　　)A．相交　　　　　　　 B．相切C．相離   D．位置由F確定B　[如圖，拋物線的焦點為F，M為PF的中點，準線是l：x＝－．作PH⊥l于H，交y軸于Q，那么|PF|＝|PH|，且|QH|＝|OF|＝，作MN⊥y軸于N，則MN是梯形PQOF的中位線，即|MN|＝(|OF|＋|PQ|)＝|PH|＝|PF|，故以PF為直徑的圓與y軸相切．]13．(一題兩空)橢圓＋＝1(a＞b＞0)第一象限上一點與中心、右焦點構(gòu)成一個正三角形，則此橢圓的離心率e＝        ，當此三角形的面積是4，則b2＝        ．－1　8　[如圖，由△OPF為正三角形，可得P，代入橢圓方程，可得＋＝1，又b2＝a2－c2，得(a2－c2)c2＋3a2c2＝4a2(a2－c2)，解得e＝＝－1，若S△OPF＝×c×c＝4，則c＝4，a2＝＝＝16＋8，則b2＝a2－c2＝8．]14．已知F為拋物線C：y2＝4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點，直線l2與C交于D，E兩點，則|AB|＋|DE|的最小值為        ．16　[因為F為y2＝4x的焦點，所以F(1,0)．由題意直線l1，l2的斜率均存在，且不為0，設(shè)l1的斜率為k，則l2的斜率為－，故直線l1，l2的方程分別為y＝k(x－1)，y＝－·(x－1)．由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝，x1x2＝1，所以|AB|＝·|x1－x2|＝·＝·＝．同理可得|DE|＝4(1＋k2)．所以|AB|＋|DE|＝＋4(1＋k2)＝4＝8＋4≥8＋4×2＝16，當且僅當k2＝，即k＝±1時，取得等號．]15．已知拋物線C：y2＝3x的焦點為F，斜率為的直線l與C的交點為A，B，與x軸的交點為P．(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；(2)若＝3，求|AB|．[解]　(1)設(shè)直線l：y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由題設(shè)得F，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋，由題設(shè)可得x1＋x2＝．由可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，則x1＋x2＝－．從而－＝，得t＝－．所以l的方程為y＝x－．(2)由＝3可得y1＝－3y2．由可得y2－2y＋2t＝0．所以y1＋y2＝2．從而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3．代入C的方程得x1＝3，x2＝．故|AB|＝．  

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2.8 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

版本： 人教B版 (2019)

年級： 選擇性必修 第一冊

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