§4　正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的概念及其性質(zhì)4.1　單位圓與任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)定義 4.2　單位圓與正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的基本性質(zhì)學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1.了解單位圓與正弦、余弦函數(shù)的關(guān)系．2．掌握任意角的正弦、余弦函數(shù)定義．(重點(diǎn))3．掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在各個象限內(nèi)的符號．(重點(diǎn))1.通過正弦、余弦函數(shù)定義的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．2．通過正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在各個象限內(nèi)的符號判斷，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng).1．任意角的正弦、余弦函數(shù)(1)單位圓的定義：在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為圓心，以單位長為半徑的圓，稱為單位圓．(2)如圖所示，設(shè)α是任意角，其頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸正半軸重合，終邊與單位圓O交于點(diǎn)P. 正弦函數(shù)sin α余弦函數(shù)cos α定義點(diǎn)P的縱坐標(biāo)v叫作角α的正弦函數(shù)，記作v＝sin_α點(diǎn)P的橫坐標(biāo)u叫作角α的余弦函數(shù)，記作u＝cos_α在各象限的符號思考：1.已知Q是角α終邊上除原點(diǎn)外的一點(diǎn)，如何求sin α與cos α？提示：sin α＝，cos α＝.2．正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)正弦函數(shù)y＝sin x余弦函數(shù)y＝cos x定義域R值域最大值與最小值當(dāng)x＝2kπ＋，k∈Z時(shí)，ymax＝1；當(dāng)x＝2kπ－，k∈Z時(shí)，ymin＝－1當(dāng)x＝2kπ，k∈Z時(shí)，ymax＝1；當(dāng)x＝π，k∈Z時(shí)，ymin＝－1周期性周期函數(shù)，T＝2π單調(diào)性在，k∈Z上是增加的；在，k∈Z上是減少的在，k∈Z上是增加的；在，k∈Z上是減少的思考：2.為什么y＝sin x，x∈R是周期函數(shù)？提示：因?yàn)?/span>x∈R，x＋2π與x終邊相同，所以sin＝sin x，根據(jù)周期函數(shù)的定義可知，y＝sin x，x∈R是周期函數(shù)．1．設(shè)已知角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)，則sinα的值為(　　)A．－　　　　　　 B．－C． D．B　[由于x＝－，y＝－，由正弦函數(shù)的定義知，sin α＝y＝－，故選B．]2．當(dāng)α為第二象限角時(shí)，－的值是(　　)A．1 B．0C．2 D．－2C　[∵α為第二象限角，∴sin α>0，cos α<0.∴－＝－＝2.]3．點(diǎn)P(sin 2 020°，cos 2 020°)位于第________象限．三　[∵2 020°＝5×360°＋220°，∴2 020°是第三象限角，∴sin 2 020°<0，cos 2 020°＜0，∴點(diǎn)P位于第三象限．]4．已知sin x＝2m＋3，且x∈，求m的取值范圍．[解]　∵x∈，∴結(jié)合單位圓知sin x∈，即－ ≤2m＋3≤ .∴－ ≤m≤－.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)定義【例1】　已知角α的終邊過點(diǎn)P，求2sin α＋cos α的值．[解]　r＝＝5|a|.①若a>0，則r＝5a，角α在第二象限，sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，∴2sin α＋cos α＝－＝1.②若a<0，則r＝－5a，角α在第四象限，sin α＝＝－，cos α＝＝，∴2sin α＋cos α＝－＋＝－1.已知角α終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)求三角函數(shù)值的方法1．在角α的終邊上任選一點(diǎn)P(x，y)，求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離為r，則sinα＝，cos α＝.2．當(dāng)角α的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)以參數(shù)形式給出時(shí)，要根據(jù)問題的實(shí)際情況對參數(shù)進(jìn)行分類討論．1．已知角α的終邊在直線y＝x上，求sin α，cos α的值．[解]　因?yàn)榻?/span>α的終邊在直線y＝x上，所以可設(shè)P(a，a)(a≠0)為角α終邊上任意一點(diǎn)，則r＝＝2|a|(a≠0)．若a>0，則α為第一象限角，r＝2a，所以sin α＝＝，cos α＝ ＝ .若a<0，則α為第三象限角，r＝－2a，所以sin α＝ ＝－，cos α＝－＝－.正弦、余弦函數(shù)值符號的判斷【例2】　(1)若α是第二象限角，則點(diǎn)P(sin α，cos α)在(　　)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限(2)判斷下列各式的符號．①sin 145°cos(－210°)；②sin 3·cos 4.(1)D　[(1)∵α為第二象限角，∴sinα＞0，cosα＜0，∴點(diǎn)P在第四象限，故選D．](2)[解]　①∵145°是第二象限角，∴sin 145°＞0，∵－210°＝－360°＋150°，∴－210°是第二象限角，∴cos (－210°)＜0，∴sin 145°cos(－210°)＜0.②∵＜3＜π，π＜4＜，∴sin 3＞0，cos 4＜0，∴sin 3·cos 4<0.對于已知角α，判斷α的相應(yīng)三角函數(shù)值的符號問題，常依據(jù)三角函數(shù)的定義，或利用口訣“一全正、二正弦、三正切、四余弦”來處理.2．若三角形的兩內(nèi)角A，B滿足sin Acos B<0，則此三角形為(　　)A．銳角三角形 B．鈍角三角形C．直角三角形 D．以上三種情況都有可能B　[由題意知，A，B∈(0，π)，∴sin A＞0，cos B＜0，∴B為鈍角．故選B．]單位圓與正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的基本性質(zhì)【例3】　已知函數(shù)f(x)＝.求(1)函數(shù)f(x)的定義域；(2)函數(shù)f(x)的值域；(3)函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間．[解]　(1)要使函數(shù)f(x)有意義，則sin x≥ .如圖所示，畫出單位圓，作直線y＝，交單位圓于P1，P2兩點(diǎn)，在[0,2π)范圍內(nèi)，sin＝sin＝，則點(diǎn)P1，P2分別在，的終邊上，又sin x≥ ，結(jié)合圖形可知，圖中陰影部分(包括邊界)即滿足sin x≥ 的角α的終邊所在的范圍，即當(dāng)x∈[0,2π)時(shí)， ≤x≤ ，故函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?/span>.(2)由≤sin x≤1，得f(x)的值域?yàn)?/span>.(3)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.1．在單位圓中畫出適合下列條件的角α的終邊的范圍，并由此寫出角α的集合：(1)sin α≥ ；(2)cos α≤－.[解]　(1) 作直線y＝交單位圓于A、B兩點(diǎn)，連結(jié)OA、OB，則OA與OB圍成的區(qū)域即為角α的終邊的范圍，故滿足條件的角α的集合為.(2)作直線x＝－交單位圓于C、D兩點(diǎn)，連結(jié)OC、OD，則OC與OD圍成的區(qū)域(圖中陰影部分)即為角α終邊的范圍．故滿足條件的角α的集合為.2．使sin x≤cos x成立的x的一個取值區(qū)間是(　　)A．　　　　 B．C． D．[0，π]A　[如圖所示，在直角坐標(biāo)系中作出單位圓及直線y＝x，要使sin x≤cos x，由三角函數(shù)線的定義知角x的終邊應(yīng)落在直線y＝x上或者該直線的下方，故選A．]利用單位圓解三角不等式的一般步驟第一步：找出不等式對應(yīng)方程的根；第二步：找出滿足不等式的角的終邊所在區(qū)域；第三步：結(jié)合單位圓寫出不等式的解集.1．三角函數(shù)的定義是以后學(xué)習(xí)一切三角函數(shù)知識的基礎(chǔ)，要充分理解其內(nèi)涵，把握住三角函數(shù)值只與角的終邊所在位置有關(guān)，與所選取的點(diǎn)在終邊上的位置無關(guān)這一關(guān)鍵點(diǎn)．2．正弦、余弦函數(shù)值在各個象限的符號可簡記為：一均正、二正弦、三均負(fù)、四余弦．1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)終邊相同的角的同名三角函數(shù)值相等 ． (　　)(2)若α是第二象限角，且P(x，y)是其終邊上的一點(diǎn)，則cos α＝．  (　　)(3)若sin α＞0，則α是第一、二象限角． (　　)(4)函數(shù)y＝sin x在上是單調(diào)遞增函數(shù)． (　　)(5)函數(shù)y＝cos x在[0，π]上的值域是[0,1]． (　　)[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×2．設(shè)已知角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)，則cos α的值為(　　)A．－　　　　　 B．－C． D．A　[由于x＝－，由余弦函數(shù)的定義知，cos α＝x＝－，故選A．]3．已知角θ的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的正半軸，若P是角θ終邊上一點(diǎn)，且sin θ＝－，則y＝____________.－8　[∵sin θ＝＝－，∴y<0，且y2＝64，∴y＝－8.]4．確定下列各式的符號．(1)sin 100°·cos 200°；(2)sin·cos π.[解]　(1)∵100°是第二象限角，∴sin 100°>0，∵200°是第三象限角，∴cos 200°<0，∴sin 100°·cos 200°<0.(2)∵－π＝－4π＋π，即－π與π終邊相同，而π為第三象限角，∴－π也為第三象限角，∴sin<0.又∵π＝4π－，即π與－終邊相同，而－為第四象限角，∴π為第四象限角，∴cos π>0，∴sin·cos π<0.  

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4.1 單位圓與任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)定義

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