平方差公式、完全平方公式都是乘法公式。下面多項式的乘法可以用哪一個乘法公式進行計算？(1)(3x+5)(3x-5)； (2)(3x-5)(3x-5).
把3x看作a，把5看作b，則(3x+5)(3x-5)可看作(a+b)(a-b)，可用平方差公式計算.
(3x-5)(3x-5)=(3x-5)2可看作(a-b)2，可用完全平方公式計算.
你能說出平方差公式和完全平方公式嗎？
(a+b)(a-b)=
注意：乘法公式中的a與b既可以是數(shù)，又可以是單項式和多項式.
有些多項式乘法看起來比較復(fù)雜，但是從整體上進行分析，就能發(fā)現(xiàn)計算的技巧。例如，在多項式乘法(3x+5)(3x-5)中，插入一個因式9x2-25，變成多項式的連乘式(3x+5)(9x2-25)(3x-5)，又如把(3x+5)(3x-5)看作一個整體，進行平方，變成多項式乘法的乘方運算[(3x+5)(3x-5)]2.這種看起來比較復(fù)雜的運算，其實都可以用乘法公式進行簡算，你會計算嗎？
（2）(x+y+1)(x+y-1)
（1）(x+1)(x2+1)(x-1)
根據(jù)題目特征，靈活運用乘法公式，往往給我們的解題帶來方便！
= x4-1
解：原式=(x+1)(x-1)(x2+1)
= （x2-1)(x2 +1 )
遇到多項式的乘法時，我們要先觀察式子的特征，看能否運用乘法公式，以達到簡化運算的目的
注意：要把（x+y）看著一個整體，那么（x+y）就相當(dāng)于平方差公式中的a，1就相當(dāng)于平方差公式中的b
= (x+y)2-1 = x2+2xy+y2-1
解：原式= [(x+y）+1] [（x+y）-1]
例1：用乘法公式計算下列各題
(2)(a-b+c)(a+b-c)
1、要根據(jù)具體情況靈活運乘法公式、 冪的運算性質(zhì)（正用與逆用） 2、式子變形添括號時注意符號的變化。
計算： (a+b+c)2.
= [(a+b)+c]2
= (a+b)2+2(a+b)c+c2
= a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2
= a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
解：(a+b+c)2
例2、一個正方形花圃的邊長增加到原來2倍還多1m，它的面積就增加到原來的4倍還多21m2 ,求這個正方形花圃原來的邊長.
解 ：設(shè)正方形花圃原來的邊長為 x m. 由數(shù)量關(guān)系 得： （2x +1）2= 4x 2+21 化簡得: 4x 2+4x +1= 4x 2 +21 即 4x = 20 解得 x = 5.答: 這個正方形花圃原來的邊長為 5 m.
一個正方形的邊長增加2cm，它的面積就增加16cm2，求這個正方形原來的邊長.
答：這個正方形原來的邊長為3cm.
解 設(shè)正方形原來的邊長為x cm.
列方程，得 (x +2)2 = x2+16 ，
x2+4x+4= x2+16
1.計算(x+2y-1)(x-2y+1)的變形正確的是( ) A.[x-(2y+1)]2 B.[x+(2y+1)]2 C.[x-(2y-1)][x+(2y-1)] D.[(x-2y)+1][(x-2y)-1]
2.下列各式中,計算結(jié)果正確的是( )A.(a+b)(-a-b)=a2-b2 B.(a2-b3)(a2+b3)=a4-b6C.(-2a-b)(-2a+b)=-2a2-b2 D.(a2-3b)(a2+3b)=a4-3b2
3.已知x＝y(tǒng)+4,則代數(shù)式x2-2xy+y2-25的值為__________.
4.如圖,邊長為m+4的正方形紙片剪出一個邊長為m的正方形之后,剩余部分可剪拼成一個長方形,若拼成的長方形一邊長為4,則另一邊長為__________.
5、已知x2-4x-1=0，求代數(shù)式(2x-3)2-(x+y)(x-y)-y2的值.
解：原式=4x2-12x+9-x2+y2-y2=3x2-12x+9=3(x2-4x+3). 因為x2-4x-1=0，所以x2-4x＝1. 所以原式＝3×(1+3)=12.
6.一個正方形的一邊增加3 cm，另一邊減少3 cm，所得到的長方形與這個正方形的每一邊減少1 cm所得到的正方形的面積相等，求原來正方形的面積.
解：設(shè)原來正方形的邊長為x cm，根據(jù)題意，得 (x-3)(x+3)=(x-1)2. 解得x=5. 所以x2=25. 答：原來正方形的面積是25 cm2.
7. 若(a+2b)2-(a-2b)2=24，則ab的值為 （ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 12
解析：化簡(a+2b)2-(a-2b)2=8ab，所以ab=3.
8. 已知：a-b=8，ab=-15，則a2+b2的值為（ ） A. 24 B. 34 C. 23 D. -30
解析：∵ a-b=8，∴ (a-b)2=64. 即a2+b2-2ab=64. ∴ a2+b2=2ab+64=2× (-15)+64=34.
(a+b)2= a2+2ab+b2 ① (a-b)2= a2-2ab+b 2 ②
9. 按要求將完全平方公式變形，并填空：
(1)把①中的2ab移項得，(a+b)2-2ab= 。
(2)把②中的-2ab移項得，(a-b)2+2ab= 。
(3)①+②得，(a+b)2+(a-b)2= 。
(4)①-②得，(a+b)2-(a-b)2= 。
10. 根據(jù)第9題的變形解答下面各題：
(1)已知a+b=4，a-b=6，直接寫出ab的值 ；
答案：(1) 34； (2) 7.

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2.2.3 運用乘法公式進行計算

版本： 湘教版

年級： 七年級下冊

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