考點(diǎn)03分式及二次根式考點(diǎn)總結(jié)一、分式 1、分式的概念一般地，用A、B表示兩個(gè)整式，A÷B就可以表示成的形式，如果B中含有字母，式子就叫做分式。其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。分式和整式通稱(chēng)為有理式。2、分式的性質(zhì)（1）分式的基本性質(zhì)：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一個(gè)不等于零的整式，分式的值不變。（2）分式的變號(hào)法則：分式的分子、分母與分式本身的符號(hào)，改變其中任何兩個(gè)，分式的值不變。3、分式的運(yùn)算法則二、二次根式1、二次根式的定義式子叫做二次根式，二次根式必須滿(mǎn)足：含有二次根號(hào)“”；被開(kāi)方數(shù)a必須是非負(fù)數(shù)。2、最簡(jiǎn)二次根式若二次根式滿(mǎn)足：被開(kāi)方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式，這樣的二次根式叫做最簡(jiǎn)二次根式。化二次根式為最簡(jiǎn)二次根式的方法和步驟：（1）如果被開(kāi)方數(shù)是分?jǐn)?shù)（包括小數(shù)）或分式，先利用商的算數(shù)平方根的性質(zhì)把它寫(xiě)成分式的形式，然后利用分母有理化進(jìn)行化簡(jiǎn)。（2）如果被開(kāi)方數(shù)是整數(shù)或整式，先將他們分解因數(shù)或因式，然后把能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式開(kāi)出來(lái)。3、同類(lèi)二次根式幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式以后，如果被開(kāi)方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式叫做同類(lèi)二次根式。4、二次根式的性質(zhì)（1）（2）（3）（4）5、二次根式混合運(yùn)算二次根式的混合運(yùn)算與實(shí)數(shù)中的運(yùn)算順序一樣，先乘方，再乘除，最后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里的（或先去括號(hào)）。 真題演練一．選擇題（共10小題）1．（2021?泰州）（﹣3）0等于（　?。?/span>A．0 B．1 C．3 D．﹣3【分析】直接利用零指數(shù)冪：a0＝1（a≠0），化簡(jiǎn)進(jìn)而得出答案．【解答】解：（﹣3）0＝1．故選：B．2．（2021?蘇州）已知兩個(gè)不等于0的實(shí)數(shù)a、b滿(mǎn)足a+b＝0，則等于（　?。?/span>A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【分析】方法一：先把所求式子通分，然后將分子變形，再根據(jù)兩個(gè)不等于0的實(shí)數(shù)a、b滿(mǎn)足a+b＝0，可以得到ab≠0，再將a+b＝0代入化簡(jiǎn)后的式子即可解答本題．方法二：根據(jù)a+b＝0，得到a＝﹣b，然后代入所求式子，即可得到所求式子的值．【解答】解：方法一： ，∵兩個(gè)不等于0的實(shí)數(shù)a、b滿(mǎn)足a+b＝0，∴ab≠0，當(dāng)a+b＝0時(shí)，原式2，故選：A．方法二：∵兩個(gè)不等于0的實(shí)數(shù)a、b滿(mǎn)足a+b＝0，∴a＝﹣b，∴ ＝﹣1+（﹣1）＝﹣2，故選：A．3．（2021?揚(yáng)州）不論x取何值，下列代數(shù)式的值不可能為0的是（　?。?/span>A．x+1 B．x2﹣1 C． D．（x+1）2【分析】分別找到各式為0時(shí)的x值，即可判斷．【解答】解：A、當(dāng)x＝﹣1時(shí)，x+1＝0，故不合題意；B、當(dāng)x＝±1時(shí)，x2﹣1＝0，故不合題意；C、分子是1，而1≠0，則0，故符合題意；D、當(dāng)x＝﹣1時(shí)，（x+1）2＝0，故不合題意；故選：C．4．（2021?泰州）下列各組二次根式中，化簡(jiǎn)后是同類(lèi)二次根式的是（　?。?/span>A．與 B．與 C．與 D．與【分析】一般地，把幾個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，如果它們的被開(kāi)方數(shù)相同，就把這幾個(gè)二次根式叫做同類(lèi)二次根式．先將各選項(xiàng)進(jìn)行化簡(jiǎn)，再根據(jù)被開(kāi)方數(shù)是否相同進(jìn)行判斷即可．【解答】解：A、2和不是同類(lèi)二次根式，本選項(xiàng)不合題意；B、2與不是同類(lèi)二次根式，本選項(xiàng)不合題意；C、與不是同類(lèi)二次根式，本選項(xiàng)不合題意；D、5，3是同類(lèi)二次根式，本選項(xiàng)符合題意．故選：D．5．（2021?蘇州）計(jì)算（）2的結(jié)果是（　?。?/span>A． B．3 C．2 D．9【分析】按照二次根式的性質(zhì)求解．【解答】解：（）2＝3．故選：B．6．（2020?南通）下列運(yùn)算，結(jié)果正確的是（　?。?/span>A． B．33 C．3 D．2【分析】分別根據(jù)同類(lèi)二次根式的概念、二次根式的乘除運(yùn)算法則計(jì)算可得．【解答】解：A．與不是同類(lèi)二次根式，不能合并，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B．3與不是同類(lèi)二次根式，不能合并，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C．，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D．2，此選項(xiàng)計(jì)算正確；故選：D．7．（2020?泰州）下列等式成立的是（　?。?/span>A．3+47 B． C．2 D．3【分析】根據(jù)二次根式的加、乘、除法法則及二次根式的性質(zhì)逐一判斷即可得．【解答】解：A．3與4不是同類(lèi)二次根式，不能合并，此選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤；B．，此選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤；C．3，此選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤；D．3，此選項(xiàng)計(jì)算正確；故選：D．8．（2020?無(wú)錫）下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（　?。?/span>A．cos60° B．a2?a3＝a5 C． D．2（x﹣2y）＝2x﹣2y【分析】分別根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，同底數(shù)冪的乘法法則，二次根式的除法法則以及去括號(hào)法則逐一判斷即可．【解答】解：A．cos60°，故本選項(xiàng)不合題意；B．a2?a3＝a5，故本選項(xiàng)不合題意；C.，故本選項(xiàng)不合題意；D.2（x﹣2y）＝2x﹣4y，故本選項(xiàng)符合題意．故選：D．9．（2021?姑蘇區(qū)一模）化簡(jiǎn)（1）的結(jié)果是（　　）A．a﹣1 B． C． D．【分析】根據(jù)分式的減法和除法可以解答本題．【解答】解：（1） ，故選：D．10．（2021?蘇州模擬）計(jì)算的結(jié)果是（　?。?/span>A．x﹣1 B． C． D．【分析】根據(jù)分式的減法和乘法可以解答本題．【解答】解：＝[]?（x﹣3）＝（）?（x﹣3）＝1 ，故選：C．二．填空題（共5小題）11．（2021?鎮(zhèn)江）使有意義的x的取值范圍是 　x≥7　．【分析】直接利用二次根式被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)，進(jìn)而得出答案．【解答】解：使有意義，則x﹣7≥0，解得：x≥7．故答案為：x≥7．12．（2021?徐州）若有意義，則x的取值范圍是 　x≥1　．【分析】根據(jù)二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)列出不等式x﹣1≥0，解不等式即可求得x的取值范圍．【解答】解：根據(jù)題意得x﹣1≥0，解得x≥1．故答案為：x≥1．13．（2021?宿遷）若代數(shù)式有意義，則x的取值范圍是 　x≥﹣2　．【分析】由題意得：x+2≥0，解不等式即可得出答案．【解答】解：由題意得：x+2≥0，解得x≥﹣2，所以x的取值范圍是x≥﹣2．故答案為：x≥﹣2．14．（2021?南京）若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是 　x≥0　．【分析】直接利用二次根式的定義分析得出答案．【解答】解：依題意有5x≥0，解得：x≥0．故答案為：x≥0．15．（2021?南京）計(jì)算的結(jié)果是 　　．【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)分別化簡(jiǎn)，再合并得出答案．【解答】解：＝2＝2＝2．故答案為：．三．解答題（共5小題）16．（2021?淮安）先化簡(jiǎn)，再求值：（1），其中a＝﹣4．【分析】根據(jù)分式的加法和除法可以化簡(jiǎn)題目中的式子，然后將a的值代入化簡(jiǎn)后的式子即可解答本題．【解答】解：（1） ＝a+1，當(dāng)a＝﹣4時(shí)，原式＝﹣4+1＝﹣3．17．（2021?鎮(zhèn)江）（1）計(jì)算：（1）0﹣2sin45°；（2）化簡(jiǎn)：（x2﹣1）÷（1）﹣x．【分析】（1）根據(jù)零指數(shù)冪的意義、特殊角的銳角三角函數(shù)值即可求出答案．（2）根據(jù)分式的加減運(yùn)算以及乘除運(yùn)算法則即可求出答案．【解答】解：（1）原式＝1﹣21．（2）原式＝（x+1）（x﹣1）x＝（x+1）（x﹣1）?x＝x（x+1）﹣x＝x（x+1﹣1）＝x2．18．（2021?徐州）計(jì)算：（1）|﹣2|﹣20210（）﹣1；（2）（1）．【分析】（1）先分別化簡(jiǎn)絕對(duì)值，零指數(shù)冪，立方根，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，然后再計(jì)算；（2）分式的混合運(yùn)算，先算小括號(hào)里面的，然后算括號(hào)外面的．【解答】解：（1）原式＝2﹣1+2﹣2＝1；（2）原式 ．19．（2021?無(wú)錫）計(jì)算：（1）||﹣（﹣2）3+sin30°；（2）．【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值的意義，乘方的意義以及特殊角的銳角三角函數(shù)的值即可求出答案．（2）根據(jù)分式的加減運(yùn)算法則即可求出答案．【解答】解：（1）原式8＝1+8＝9．（2）原式 ．20．（2021?鹽城）先化簡(jiǎn)，再求值：（1）?，其中m＝2．【分析】先將括號(hào)內(nèi)兩式通分化簡(jiǎn)，括號(hào)外分子因式分解，然后約分代入m的值求解．【解答】解：原式＝（）?，?，＝m+1，∵m＝2，∴m+1＝2+1＝3．

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