?考點24圖形的變換
考點總結(jié)
一、平移
1、定義
把一個圖形整體沿某一方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同，圖形的這種移動叫做平移變換，簡稱平移。
2、性質(zhì)
（1）平移不改變圖形的大小和形狀，但圖形上的每個點都沿同一方向進(jìn)行了移動
（2）連接各組對應(yīng)點的線段平行（或在同一直線上）且相等。
二、軸對稱
1、定義
把一個圖形沿著某條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這條直線成軸對稱，該直線叫做對稱軸。
2、性質(zhì)
（1）關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形是全等形。
（2）如果兩個圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是對應(yīng)點連線的垂直平分線。
（3）兩個圖形關(guān)于某直線對稱，如果它們的對應(yīng)線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上。
3、判定
如果兩個圖形的對應(yīng)點連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱。
4、軸對稱圖形
把一個圖形沿著某條直線折疊，如果直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸。
三、旋轉(zhuǎn)
1、定義
把一個圖形繞某一點O轉(zhuǎn)動一個角度的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)，其中O叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角叫做旋轉(zhuǎn)角。
2、性質(zhì)
（1）對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等。
（2）對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角。
四、中心對稱
1、定義
把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠和原來的圖形互相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心。
2、性質(zhì)
（1）關(guān)于中心對稱的兩個圖形是全等形。
（2）關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分。
（3）關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對應(yīng)線段平行（或在同一直線上）且相等。
3、判定
如果兩個圖形的對應(yīng)點連線都經(jīng)過某一點，并且被這一點平分，那么這兩個圖形關(guān)于這一點對稱。
4、中心對稱圖形
把一個圖形繞某一個點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠和原來的圖形互相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個店就是它的對稱中心。
五、坐標(biāo)系中對稱點的特征
1、關(guān)于原點對稱的點的特征
兩個點關(guān)于原點對稱時，它們的坐標(biāo)的符號相反，即點P（x，y）關(guān)于原點的對稱點為P′（-x，-y）
2、關(guān)于x軸對稱的點的特征
兩個點關(guān)于x軸對稱時，它們的坐標(biāo)中，x相等，y的符號相反，即點P（x，y）關(guān)于x軸的對稱點為P′（x，-y）
3、關(guān)于y軸對稱的點的特征
兩個點關(guān)于y軸對稱時，它們的坐標(biāo)中，y相等，x的符號相反，即點P（x，y）關(guān)于y軸的對稱點為P′（-x，y）

真題演練
一．選擇題（共10小題）
1．（2021?宿遷）如圖，折疊矩形紙片ABCD，使點B落在點D處，折痕為MN，已知AB＝8，AD＝4，則MN的長是（　?。?br />
A．535 B．25 C．735 D．45
【分析】由折疊的性質(zhì)可得BM＝MD，BN＝DN，∠DMN＝∠BMN，可證四邊形BMDN是菱形，在Rt△ADM中，利用勾股定理可求BM的長，由菱形的面積公式可求解．
【解答】解：如圖，連接BD，BN，

∵折疊矩形紙片ABCD，使點B落在點D處，
∴BM＝MD，BN＝DN，∠DMN＝∠BMN，
∵AB∥CD，
∴∠BMN＝∠DNM，
∴∠DMN＝∠DNM，
∴DM＝DN，
∴DN＝DM＝BM＝BN，
∴四邊形BMDN是菱形，
∵AD2+AM2＝DM2，
∴16+AM2＝（8﹣AM）2，
∴AM＝3，
∴DM＝BM＝5，
∵AB＝8，AD＝4，
∴BD=AD2+AB2=64+16=45，
∵S菱形BMDN=12×BD×MN＝BM×AD，
∴45×MN＝2×5×4，
∴MN＝25，
故選：B．
2．（2021?鹽城）北京2022年冬奧會會徽如圖所示，組成會徽的四個圖案中是軸對稱圖形的是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解．
【解答】解：A．不是軸對稱圖形，故本選項不合題意；
B．不是軸對稱圖形，故本選項不合題意；
C．不是軸對稱圖形，故本選項不合題意；
D．是軸對稱圖形，故本選項符合題意．
故選：D．
3．（2021?連云港）如圖，將矩形紙片ABCD沿EF折疊后，點D、C分別落在點D1、C1的位置，ED1的延長線交BC于點G，若∠EFG＝64°，則∠EGB等于（　　）

A．128° B．130° C．132° D．136°
【分析】在矩形ABCD中，AD∥BC，則∠DEF＝∠EFG＝64°，∠EGB＝∠DEG，又由折疊可知，∠GEF＝∠DEF，可求出∠DEG的度數(shù)，進(jìn)而得到∠EGB的度數(shù)．
【解答】解：如圖，在矩形ABCD中，
AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFG＝64°，∠EGB＝∠DEG，
由折疊可知∠GEF＝∠DEF＝64°，
∴∠DEG＝128°，
∴∠EGB＝∠DEG＝128°，
故選：A．
4．（2021?徐州）下列圖形，是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．
【解答】解：A．不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；
B．是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；
C．不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；
D．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項符合題意．
故選：D．
5．（2021?常州）觀察如圖所示臉譜圖案，下列說法正確的是（　?。?br />
A．它是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形
B．它是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形
C．它既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形
D．它既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形
【分析】把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心．如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形．據(jù)此判斷即可．
【解答】解：該圖是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形．
故選：A．
6．（2021?無錫）下列圖形中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念，對各選項分析判斷即可得解．
【解答】解：A．既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故本選項符合題意；
B．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；
C．不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項不合題意；
D．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不合題意．
故選：A．
7．（2021?宿遷）對稱美是美的一種重要形式，它能給與人們一種圓滿、協(xié)調(diào)和平的美感，下列圖形屬于中心對稱圖形的是（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】根據(jù)中心對稱圖形的定義即可作出判斷．
【解答】解：A、是中心對稱圖形，故選項符合題意；
B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故選項不符合題意；
C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故選項不符合題意；
D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故選項不符合題意．
故選：A．
8．（2021?蘇州）如圖，在方格紙中，將Rt△AOB繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到Rt△A′O′B，則下列四個圖形中正確的是（　?。?br />
A． B．
C． D．
【分析】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)過程中圖形形狀和大小都不發(fā)生變化，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)判斷即可．
【解答】解：A選項是原圖形的對稱圖形，故A不正確；
B選項是Rt△AOB繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到Rt△A′O′B，故B正確；
C選項旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點錯誤，即形狀發(fā)生了改變，故C不正確；
D選項是按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，故D不正確；
故選：B．
9．（2021?連云港）如圖，△ABC中，BD⊥AB，BD、AC相交于點D，AD=47AC，AB＝2，∠ABC＝150°，則△DBC的面積是（　?。?br />
A．3314 B．9314 C．337 D．637
【分析】過點C作BD的垂線，交BD的延長線于點E，可得△ABD∽△CED，可得ADCD=ABCE=BDDE，由AD=47AC，AB＝2，可求出CE的長，又∠ABC＝150°，∠ABD＝90°，則∠CBD＝60°，解直角△BCE，可分別求出BE和BD的長，進(jìn)而可求出△BCD的面積．
【解答】解：如圖，過點C作BD的垂線，交BD的延長線于點E，

則∠E＝90°，
∵BD⊥AB，CE⊥BD，
∴AB∥CE，∠ABD＝90°，
∴△ABD∽△CED，
∴ADCD=ABCE=BDDE，
∵AD=47AC，
∴ADCD=43，
∴ABCE=2CE=43=BDDE，則CE=32，
∵∠ABC＝150°，∠ABD＝90°，
∴∠CBE＝60°，
∴BE=33CE=32，
∴BD=47BE=237，
∴S△BCD=12?BD?CE=12×32×237=3314．
故選：A．
10．（2021?儀征市一模）如圖，點E是正方形ABCD邊BC的中點，連接AE，將△ABE沿AE翻折，得到△AFE，延長EF，交AD的延長線于點M，交CD于點N．下列結(jié)論：①sin∠AME=45；②AD＝3DM；③BE+DN＝EN；④AM＝EM．其中正確的結(jié)論是（　?。?br />
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系以及翻折變換的性質(zhì)，逐項進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：連接AN，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，
由翻折得，
AB＝AF，∠ABE＝∠AFE＝90°，BE＝FE，
在Rt△AFN和△ADN中，
∵AF＝AD，AN＝AN，
∴Rt△AFN≌△ADN（HL），
∴DN＝FN，
∴EN＝EF+FN＝BE+DN，因此③正確；
由AD∥BC得，∠DAE＝∠AEB，
∵∠AEB＝∠AEM，
∴∠DAE＝∠AEM，
∴AM＝EM，因此④正確；
過點M作MH⊥AE于H，
∵AM＝EM，
∴AH＝EH，∠AMH＝∠EMH，
設(shè)BE＝a，則EF＝a，AB＝AD＝2a，
在Rt△ABE中，
AE=AB2+BE2=5a，
∴AH＝HE=52a，
∵∠MAH+∠AMH＝90°，∠BAE+∠MAH＝90°，
∴∠BAE＝∠AMH，
∴sin∠BAE=BEAE=sin∠AMH=AHAM，
即a5a=5a2AM，
∴AM=52a，
∴DM=52a﹣2a=12a，
∵AD＝2a，
∴AD＝4DM，因此②不正確；
在Rt△AMF中，
sin∠AME=AFAM=2a52a=45，因此①正確；
綜上所述，正確的有①③④，
故選：C．

二．填空題（共5小題）
11．（2021?鎮(zhèn)江）如圖，點A，B，C，O在網(wǎng)格中小正方形的頂點處，直線l經(jīng)過點C，O，將△ABC沿l平移得到△MNO，M是A的對應(yīng)點，再將這兩個三角形沿l翻折，P，Q分別是A，M的對應(yīng)點．已知網(wǎng)格中每個小正方形的邊長都等于1，則PQ的長為 　10?。?br />
【分析】連接PQ，AM，根據(jù)PQ＝AM即可解答．
【解答】解：連接PQ，AM，

由圖形變換可知：PQ＝AM，
由勾股定理得：AM=12+32=10，
∴PQ=10．
故答案為：10．
12．（2021?常州）中國古代數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中，給出了證明三角形面積公式的出入相補(bǔ)法．如圖所示，在△ABC中，分別取AB、AC的中點D、E，連接DE，過點A作AF⊥DE，垂足為F，將△ABC分割后拼接成矩形BCHG．若DE＝3，AF＝2，則△ABC的面積是 　12　．

【分析】根據(jù)圖形的拼剪，求出BC以及BC邊上的高即可解決問題．
【解答】解：由題意，BG＝CH＝AF＝2，DG＝DF，EF＝EH，
∴DG+EH＝DE＝3，
∴BC＝GH＝3+3＝6，
∴△ABC的邊BC上的高為4，
∴S△ABC=12×6×4＝12，
解法二：證明△ABC的面積＝矩形BCHG的面積，可得結(jié)論．
故答案為：12．
13．（2021?無錫）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝22，AC＝6，點E在線段AC上，且AE＝1，D是線段BC上的一點，連接DE，將四邊形ABDE沿直線DE翻折，得到四邊形FGDE，當(dāng)點G恰好落在線段AC上時，AF＝　263?。?br />
【分析】由折疊的性質(zhì)可得AB＝FG＝22，AE＝EF＝1，∠BAC＝∠EFG＝90°，在Rt△EFG中，由勾股定理可求EG＝3，由銳角三角函數(shù)可求EH，HF的長，在Rt△AHF中，由勾股定理可求AF．
【解答】解：如圖，過點F作FH⊥AC于H，

∵將四邊形ABDE沿直線DE翻折，得到四邊形FGDE，
∴AB＝FG＝22，AE＝EF＝1，∠BAC＝∠EFG＝90°，
∴EG=EF2+FG2=1+8=3，
∵sin∠FEG=HFEF=FGEG，
∴HF1=223，
∴HF=223，
∵cos∠FEG=EHEF=EFEG，
∴EH1=13，
∴EH=13，
∴AH＝AE+EH=43，
∴AF=AH2+HF2=169+89=263，
故答案為：263．
14．（2021?鎮(zhèn)江）如圖，等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，cos∠ABC=13，點P在邊AC上運動（可與點A，C重合），將線段BP繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)120°，得到線段DP，連接BD，則BD長的最大值為 　93　．

【分析】由旋轉(zhuǎn)知△BPD是頂角為120°的等腰三角形，可求得BD=3BP，當(dāng)BP最大時，BD取最大值，即點P與點A重合時，BP＝BA最大，求出AB的長即可解決問題．
【解答】解：∵將線段BP繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)120°，得到線段DP，
∴BP＝PD，
∴△BPD是等腰三角形，
∴∠PBD＝30°，
過點P作PH⊥BD于點H，

∴BH＝DH，
∵cos30°=BHBP=32，
∴BH=32BP，
∴BD=3BP，
∴當(dāng)BP最大時，BD取最大值，即點P與點A重合時，BP＝BA最大，
過點A作AG⊥BC于點G，
∵AB＝AC，AG⊥BC，
∴BG=12BC＝3，
∵cos∠ABC=13，
∴BGAB=13，
∴AB＝9，
∴BD最大值為：3BP＝93．
故答案為：93．
15．（2021?南京）如圖，將?ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到?AB′C′D′的位置，使點B′落在BC上，B′C′與CD交于點E．若AB＝3，BC＝4，BB′＝1，則CE的長為 　98?。?br />
【分析】解法一：過點A作AM⊥BC于點M，過點B作BN⊥AB′于點N，過點E作EG⊥BC，交BC的延長線于點G．BM＝B′M=12，由勾股定理可得，AM=AB2?BM2=352，由等面積法可得，BN=356，由勾股定理可得，AN=AB2?BN2=32?(356)2=176，由題可得，△AMB∽△EGC，△ANB∽△B′GE，則AMBM=EGCG=35，ANBN=B′GEG=1735，設(shè)CG＝a，則EG=35a，B′G＝3+a，則3+a35a=1735，解得a=316．最后由勾股定理可得，EC=CG2+EG2=(316)2+(31635)2=98．
解法二：連接DD′，結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求得△BAB′∽△DAD′，利用AA定理求得△CEB′∽△C′ED，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解．
【解答】解：法一、如圖，過點A作AM⊥BC于點M，過點B作BN⊥AB′于點N，過點E作EG⊥BC，交BC的延長線于點G．

由旋轉(zhuǎn)可知，AB＝AB′＝3，∠ABB′＝∠AB′C′，
∴∠ABB′＝∠AB′B＝∠AB′C′，
∵BB′＝1，AM⊥BB′，
∴BM＝B′M=12，
∴AM=AB2?BM2=352，
∵S△ABB′=12?AM?BB′=12?BN?AB′，
∴12×352×1=12?BN×3，則BN=356，
∴AN=AB2?BN2=32?(356)2=176，
∵AB∥DC，
∴∠ECG＝∠ABC，
∵∠AMB＝∠EGC＝90°，
∴△AMB∽△EGC，
∴AMBM=EGCG=35212=35，
設(shè)CG＝a，則EG=35a，
∵∠ABB′+∠AB′B+∠BAB′＝180°，
∠AB′B+∠AB′C′+∠C′B′C＝180°，
又∵∠ABB′＝∠AB′B＝∠AB′C′，
∴∠BAB′＝∠C′B′C，
∵∠ANB＝∠EGC＝90°，
∴△ANB∽△B′GE，
∴ANBN=B′GEG=176356=1735，
∵BC＝4，BB′＝1，
∴B′C＝3，B′G＝3+a，
∴3+a35a=1735，解得a=316．
∴CG=316，EG=31635，
∴EC=CG2+EG2=(316)2+(31635)2=98．
故答案為：98．
法二、如圖，連接DD'，
由旋轉(zhuǎn)可知，∠BAB′＝∠DAD′，AB′＝AB＝3，AD′＝AD＝4，
∴△BAB′∽△DAD′，
∴AB：BB′＝AD：DD′＝3：1，∠AD′D＝∠AB′B＝∠B，
∴DD′=43，
又∵∠AD′C′＝∠AB′C′＝∠B，∠AD′D＝∠B＝∠AB′B，
∴∠AD′C′＝∠AD′D，即點D′，D，C′在同一條直線上，
∴DC′=53，
又∠C′＝∠ECB′，∠DEC′＝∠B′EC，
∴△CEB′∽△C'ED，
∴B′E：DE＝CE：C′E＝B′C：DC′，即B′E：DE＝CE：C′E＝3：53，
設(shè)CE＝x，B'E＝y(tǒng)，
∴x：（4﹣y）＝y(tǒng)：（3﹣x）＝3：53，
∴x=98．
故答案為：98．
法三、構(gòu)造相似，如圖，延長B′C到點G，使B′G＝B′E，連接EG，

∴∠B′EG＝∠B′GE，
由旋轉(zhuǎn)可知，AB＝AB′，
∴∠B＝∠AB′B＝∠AB′C′，
∴∠BAB′＝∠EB′G，
∴∠B＝∠G，
又AB∥CD，
∴∠ECG＝∠B＝∠G，
∴△ABB′∽△B′EG∽△ECG，
∴ABBB′=B′EEG=ECCG=31，
設(shè)CG＝m，
∴EC＝3m，
∴B′G＝3+m，
∴3+m3m=3，
解得m=38，
∴3m=98．
故答案為：98．
解法四：如圖，過點C作CF∥C′D′，交B′C′于點F，

∵AB＝AB′，
∴∠B＝∠AB′B，
由∵∠AB′C′＝∠B，
由三角形內(nèi)角和可知，∠FB′C＝∠BAB′，
∵AB′∥FC，
∴∠B′CF＝∠AB′B，
由∵AB＝3，BB′＝1，BC＝4，
∴AB＝B′C，
∴△ABB′≌△B′CF，
∴FC＝B′B＝1，
由旋轉(zhuǎn)可知，△ABB′∽△ADD′，
∴ABAD=BB′DD′，
∴DD′=43
∴C′D=53，
又由CF∥C′D，
∴△C′DE∽△FCE，
∴C′DFC=DEEC，
∴C′D+FCFC=DE+ECEC，
∴53+11=CDEC，
∴EC=98．
故答案為：98．

三．解答題（共3小題）
16．（2021?淮安）如圖，方格紙上每個小正方形的邊長均為1個單位長度，△ABC的頂點A、B、C都在格點上（兩條網(wǎng)格線的交點叫格點）．請僅用無刻度的直尺按下列要求畫圖，并保留畫圖痕跡（不要求寫畫法）．
（1）將△ABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，點B的對應(yīng)點為B1，點C的對應(yīng)點為C1，畫出△AB1C1；
（2）連接CC1，△ACC1的面積為 　52?。?br /> （3）在線段CC1上畫一點D，使得△ACD的面積是△ACC1面積的15．

【分析】（1）將A、B、C三點分別繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°畫出依次連接即可；
（2）勾股定理求出AC，由面積公式即可得到答案；
（3）利用相似構(gòu)造△CFD∽△C1ED即可．
【解答】解：（1）如圖：
圖中△AB1C1即為要求所作三角形；

（2）∵AC=12+22=5，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知AC＝AC1，∠CAC1＝90°，
∴△ACC1的面積為12×AC×AC1=52，
故答案為：52；

（3）連接EF交CC1于D，即為所求點D，理由如下：
∵CF∥C1E，
∴△CFD∽△C1ED，
∴CDC1D=CFC1E=14，
∴CD=15CC1，
∴△ACD的面積＝△ACC1面積的15．

17．（2021?常州）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于A、A′兩點，若在y軸上存在點T，使得∠ATA′＝90°，且TA＝TA′，則稱A、A′兩點互相關(guān)聯(lián)，把其中一個點叫做另一個點的關(guān)聯(lián)點．已知點M（﹣2，0）、N（﹣1，0），點Q（m，n）在一次函數(shù)y＝﹣2x+1的圖象上．
（1）①如圖，在點B（2，0）、C（0，﹣1）、D（﹣2，﹣2）中，點M的關(guān)聯(lián)點是 　B?。ㄌ睢癇”、“C”或“D”）；
②若在線段MN上存在點P（1，1）的關(guān)聯(lián)點P′，則點P′的坐標(biāo)是 ?。ī?，0）　；
（2）若在線段MN上存在點Q的關(guān)聯(lián)點Q′，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）分別以點E（4，2）、Q為圓心，1為半徑作⊙E、⊙Q．若對⊙E上的任意一點G，在⊙Q上總存在點G′，使得G、G′兩點互相關(guān)聯(lián)，請直接寫出點Q的坐標(biāo)．

【分析】（1）①根據(jù)關(guān)聯(lián)點的定義判斷即可．
②構(gòu)造等腰直角三角形PTM，可得結(jié)論．
（2）如圖2﹣1中，當(dāng)M，Q是互相關(guān)聯(lián)點，設(shè)Q（m，﹣2m+1），△MTQ是等腰直角三角形，如圖2﹣2中，當(dāng)N，Q是互相關(guān)聯(lián)點，△NOQ是等腰直角三角形，如圖2﹣3中，當(dāng)N，Q是互相關(guān)聯(lián)點，△NTQ是等腰直角三角形，如圖2﹣4中，當(dāng)M，Q是互相關(guān)聯(lián)點，△MTQ是等腰直角三角形，分別求出四種特殊位置的m的值可得結(jié)論．
（3）由題意，當(dāng)點Q，點E是互為關(guān)聯(lián)點時，滿足條件，過點Q作QH⊥y軸于H，過點E作EG⊥OH于G．設(shè)Q（t，﹣2t+1）．分兩種情形，構(gòu)造全等三角形，利用全等三角形的性質(zhì)構(gòu)建方程解決問題即可．
【解答】解：（1）如圖1中，

①如圖1中，取點T（0，2），連接MT，BT，
∵M(jìn)（﹣2，0），B（2，0），
∴OT＝OM＝OB＝2，
∴△TBM是等腰直角三角形，
∴在點B（2，0）、C（0，﹣1）、D（﹣2，﹣2）中，點M的關(guān)聯(lián)點是點B，
故答案為：B．
②取點T（0，﹣1），連接MT，PT，則△MTP是等腰直角三角形，
∴線段MN上存在點P（1，1）的關(guān)聯(lián)點P′，則點P′的坐標(biāo)是 （﹣2，0），
故答案為：（﹣2，0）．

（2）如圖2﹣1中，當(dāng)M，Q是互相關(guān)聯(lián)點，設(shè)Q（m，﹣2m+1），△MTQ是等腰直角三角形，

過點Q作QH⊥y軸于H，
∵∠QHT＝∠MOT＝∠MTQ＝90°，
∴∠MTO+∠QTH＝90°，∠QTH+∠TQH＝90°，
∴∠MTO＝∠TQH，
∵TM＝TQ，
∴△MOT≌△THQ（AAS），
∴QH＝TO＝﹣m，TH＝OM＝2，
∴﹣2m+1＝2﹣m，
∴m＝﹣1．

如圖2﹣2中，當(dāng)N，Q是互相關(guān)聯(lián)點，△NOQ是等腰直角三角形，此時m＝0，

觀察圖象可知，當(dāng)﹣1≤m≤0時，在線段MN上存在點Q的關(guān)聯(lián)點Q′，

如圖2﹣3中，當(dāng)N，Q是互相關(guān)聯(lián)點，△NTQ是等腰直角三角形，設(shè)Q（m，﹣2m+1），

過點Q作QH⊥y軸于H，同法可證△NOT≌△THQ（AAS），
∴QH＝TO＝m，TH＝ON＝1，
∴1﹣2m+1＝m，
∴m=23．

如圖2﹣4中，當(dāng)M，Q是互相關(guān)聯(lián)點，△MTQ是等腰直角三角形，同法可得m＝1，

觀察圖象可知，當(dāng)23≤m≤1時，在線段MN上存在點Q的關(guān)聯(lián)點Q′，
解法二：在MN上任取一點Q'，然后作出Q‘的兩個關(guān)聯(lián)點Q1和Q2，其中Q1在第二象限，Q2在第四象限，則可以求出Q'的坐標(biāo)是分別是（m﹣1，0）、（1﹣3m，0），再根據(jù)﹣2≤x≤﹣1可以求出m的取值范圍．
綜上所述，滿足條件的m的值為﹣1≤m≤0或23≤m≤1．
（3）如圖3﹣1中，由題意，當(dāng)點Q，點E是互為關(guān)聯(lián)點時，滿足條件，過點Q作QH⊥y軸于H，過點E作EG⊥OH于G．設(shè)Q（t，﹣2t+1）．

∵∠QHT＝∠EGT＝∠QTE＝90°，
∴∠QTH+∠ETG＝90°，∠ETG+∠GET＝90°，
∴∠HTQ＝∠GET，
∵TQ＝TE，
∴△THQ≌△EGT（AAS），
∴QH＝TG＝﹣t，TH＝EG＝4，
∵OH＝﹣2t+1，OG＝2，
∴﹣2t+1﹣4＝2+t，
∴t=?53，
∴Q（?53，133）．

如圖3﹣2中，由題意，當(dāng)點Q，點E是互為關(guān)聯(lián)點時，滿足條件，過點Q作QH⊥y軸于H，過點E作EG⊥OH于G．設(shè)Q（t，﹣2t+1）．

∵∠QHT＝∠EGT＝∠QTE＝90°，
∴∠QTH+∠ETG＝90°，∠ETG+∠GET＝90°，
∴∠HTQ＝∠GET，
∵TQ＝TE，
∴△THQ≌△EGT（AAS），
∴QH＝TG＝t，TH＝EG＝4，
∵OH＝2t﹣1，OG＝2，
∴2t﹣1﹣4＝t﹣2，
∴t＝3，
∴Q（3，﹣5）．
綜上所述，滿足條件的點Q的坐標(biāo)為（?53，133）或（3，﹣5）．
18．（2021?徐州）如圖，將一張長方形紙片ABCD沿EF折疊，使 C、A兩點重合，點D落在點G處．已知AB＝4，BC＝8．
（1）求證：△AEF是等腰三角形；
（2）求線段FD的長．

【分析】（1）由折疊性質(zhì)可知∠AEF＝∠CEF，由AD∥BC可得∠AFE＝∠CEF，所以∠AEF＝∠AFE，由等角對等邊即可得證；
（2）由折疊性質(zhì)并結(jié)合（1）中結(jié)論可設(shè)CE＝AE＝AF＝x，則BE＝8﹣x，在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理AB2+BE2＝AE2建立方程，即42+（8﹣x）2＝x2，解得x＝5，則FD＝AD﹣AF＝BC﹣AF＝3．
【解答】（1）證明：由折疊性質(zhì)可知，∠AEF＝∠CEF，
由矩形性質(zhì)可得AD∥BC，
∴∠AFE＝∠CEF，
∴∠AEF＝∠AFE．
∴AE＝AF，
故△AEF為等腰三角形．
（2）解：由折疊可得AE＝CE，設(shè)CE＝x＝AE，
則BE＝BC﹣CE＝8﹣x，
∵∠B＝90°，
在Rt△ABE中，有AB2+BE2＝AE2，
即42+（8﹣x）2＝x2，解得：x＝5．
由（1）結(jié)論可得AF＝AE＝5，
故FD＝AD﹣AF＝BC﹣AF＝8﹣5＝3．

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