?康縣一中2020-2021學(xué)年高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．（5分）設(shè)集合A＝{1，2，4}，B＝{2，6}，則A∪B等于（　?。?br /> A．{2} B．{1，2，4，6} C．{1，2，4} D．{2，6}
2．（5分）設(shè)集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2，3}，B＝{2，4}，則圖中陰影部分所表示的集合是（　?。?br />
A．{4} B．{2，4} C．{4，5} D．{1，3，4}
3．（5分）若f（x）＝2x，則f（﹣2）＝（　?。?br /> A．4 B．2 C． D．
4．（5分）下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（　?。?br /> A．y＝2x2﹣3 B．y＝x3 C．y＝x2，x∈[0，1] D．y＝x
5．（5分）函數(shù)的定義域是（　?。?br /> A．R B．{x|x≥0} C．{x|x＞0} D．{x|x≠0}
6．（5分）下列四組函數(shù)中，表示同一個函數(shù)的是（　　）
A．
B．
C．
D．
7．（5分）函數(shù)f（x）＝2x+x的零點所在的區(qū)間為（　?。?br /> A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（1，2）
8．（5分）設(shè)a＝20.5，b＝0.52，c＝，則a，b，c的大小關(guān)系是（　?。?br /> A．a(chǎn)＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．b＜a＜c
9．（5分）已知函數(shù)f（x）對任意x，y∈R都有f（x+y）＝f（x）+f（y），且f（2）＝4，則f（﹣1）＝（　　）
A．﹣2 B．1 C．0.5 D．2
10．（5分）已知函數(shù)y＝f（x）是R上的減函數(shù)，若f（a）≥f（﹣2），則a的取值范圍是（　?。?br /> A．a(chǎn)≤2 B．a(chǎn)≥﹣2 C．a(chǎn)≥2 D．a(chǎn)≤﹣2
11．（5分）設(shè)函數(shù)f（x）＝，則滿足f（x）≤2的x的取值范圍是（　?。?br /> A．[﹣1，2] B．[0，2] C．[1，+∞） D．[0，+∞）
12．（5分）定義集合A、B的一種運算：A*B＝{x|x＝x1+x2，x1∈A，x2∈B}，若A＝{1，2，3}，B＝{1，2}，則A*B中的所有元素之和為（　?。?br /> A．21 B．18 C．14 D．9
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13．（5分）函數(shù)f（x）＝ax（a＞0且a≠1）的圖象恒過點　 　．
14．（5分）函數(shù)的定義域是　 ?。?br /> 15．（5分）如圖，函數(shù)f（x）的圖象是曲線OAB，其中點O，A，B的坐標(biāo)分別為（0，0），（1，2），（3，1），則f（）的值等于　 　．

16．（5分）若函數(shù)f（x）同時滿足：①對于定義域上的任意x，恒有f（x）+f（﹣x）＝0；②對于定義域上的任意x1，x2，當(dāng)x1≠x2時，恒有，則稱函數(shù)f（x）為“理想函數(shù)”．給出下列四個函數(shù)中：
（1）f（x）＝
（2）f（x）＝x2
（3）f（x）＝
（4）f（x）＝，
能被稱為“理想函數(shù)”的有　 ?。ㄌ钕鄳?yīng)的序號）．
三、解答題：本大題共6小題，共計70分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．（10分）計算：
（1）；
（2）（lg5）2+lg2×lg50．

18．（12分）設(shè)全集為實數(shù)集R，A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，C＝{x|x＜a}．
（1）求?R（A∪B）及（?RA）∩B；
（2）如果A∩C≠?，求a的取值范圍．



19．（12分）已知函數(shù)f（x）＝|x﹣1|．
（1）用分段函數(shù)的形式表示該函數(shù)；
（2）在右邊所給的坐標(biāo)第中畫出該函數(shù)的圖象；
（3）寫出該函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)區(qū)間（不要求證明）．

20．（12分）動物園要建造一面靠墻的2間面積相同的長方形熊貓居室（如圖所示）．如果可供建造圍墻的材料長是30米，那么寬x為多少米時才能使所建造的熊貓居室面積最大？熊貓居室的最大面積是多少平方米？







21．（14分）已知函數(shù)，（x∈R）．
（Ⅰ）求證：不論a為何實數(shù)f（x）在（﹣∞，+∞）上為增函數(shù)；
（Ⅱ）若f（x）為奇函數(shù)，求a的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求f（x）在區(qū)間[1，5）上的最小值．






22．（10分）當(dāng)，時，求函數(shù)的值域．

2020-2021學(xué)年甘肅省隴南市康縣第一中學(xué)高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．【分析】直接利用集合的并集的運算法則求解即可．
【解答】解：∵集合A＝{1，2，4}，B＝{2，6}，
∴A∪B＝{1，2，4}∪{2，6}＝{1，2，4，6}，
故選：B．
【點評】本題是基礎(chǔ)題，考查集合的基本運算，?？碱}型．
2．【分析】由韋恩圖可以看出，陰影部分是B中去掉A那部分所得，由韋恩圖與集合之間的關(guān)系易得出陰影部分為B∩?UA，代入進(jìn)行求解；
【解答】解：集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2，3}，B＝{2，4}，則圖中陰影部分所表示，
為B∩?UA，∵?UA＝{4，5}
∴可得B∩?UA＝{4}，
故選：A．
【點評】本題根據(jù)圖形中陰影部分，讓我們找出它所表示的集合，著重考查了Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系及運算，考查了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于基礎(chǔ)題．
3．【分析】直接把﹣2代入函數(shù)解析式即可得到結(jié)論．
【解答】解：因為f（x）＝2x，
所以f（﹣2）＝2﹣2＝．
故選：D．
【點評】本題主要考察求函數(shù)的值．屬于基礎(chǔ)題目，計算時認(rèn)真細(xì)致即可．
4．【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義可得，只有當(dāng)函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，且以﹣x代替x后，所得到的函數(shù)值不變，這個函數(shù)才是偶函數(shù)，檢驗各個選項中的函數(shù)是否滿足這兩個條件．
【解答】解：根據(jù)偶函數(shù)的定義可得，只有當(dāng)函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，且以﹣x代替x后，所得到的函數(shù)值不變，
這個函數(shù)才是偶函數(shù)．
經(jīng)檢驗只有A中的函數(shù)滿足條件，
故選：A．
【點評】本題主要考查偶函數(shù)的定義以及判斷方法，屬于基礎(chǔ)題．
5．【分析】轉(zhuǎn)化函數(shù)的不等式為分式形式，分母被開方數(shù)大于0，求解即可得到函數(shù)的定義域．
【解答】解：函數(shù)＝，要使函數(shù)有意義，必須x＞0，
所以函數(shù)的定義域為：{x|x＞0}．
故選：C．
【點評】本題考查函數(shù)的定義域的求法，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查計算能力．
6．【分析】表示同一個函數(shù)要從三方面來判斷，一是定義域，二是對應(yīng)法則，三是值域，B、C、D的定義域都不同，得到只有A所給的兩個函數(shù)是同一函數(shù)．
【解答】解：A是同一函數(shù)，
B的定義域不同，f（x）定義域是R，g（x）的定義域是{x|x＞0}，
C的定義域不同，g（x）定義域是R，f（x）的定義域是{x|x≠1}，
D的定義域不同，g（x）定義域是R，f（x）的定義域是{x|x≠0}，
故選：A．
【點評】本題考查同一函數(shù)的概念，從三個方面考查函數(shù)，這是函數(shù)的三要素，是一個基礎(chǔ)題，這種題目可以作為選擇和填空出現(xiàn)．
7．【分析】將選項中區(qū)間的兩端點值分別代入f（x）中驗證，若函數(shù)的兩個值異號，由零點存在定理即可判斷零點必在此區(qū)間．
【解答】解：當(dāng)x＝0時，f（0）＝20+0＝1＞0，
當(dāng)x＝﹣1時，f（﹣1）＝＜0，
由于f（0）?f（﹣1）＜0，且f（x）的圖象在[﹣1，0]上連續(xù)，
根據(jù)零點存在性定理，f（x）在（﹣1，0）上必有零點，
故選：B．
【點評】本題主要考查了函數(shù)的零點及零點存在性定理，關(guān)鍵是將區(qū)間的端點值逐個代入函數(shù)的解析式中，看函數(shù)的兩個值是否異號，若異號，則函數(shù)在此開區(qū)間內(nèi)至少有一個零點．
8．【分析】b＝0.52＜1，a＞1，比較a與c時把c化為以2為底的指數(shù)式，然后根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可比較．
【解答】解：∵b＝0.52＝0.2520＝1，，
∴b＜a＜c．
故選：D．
【點評】本題考查了有理指數(shù)冪的化簡求值及不等關(guān)系與不等式，解答此題的關(guān)鍵往往是以0、1等特殊值為媒介，或是化為同底的指數(shù)式或?qū)?shù)式進(jìn)行大小比較，是基礎(chǔ)題．
9．【分析】令 x＝y(tǒng)＝0，求出f（0）的值，令x＝y(tǒng)＝1，據(jù)f（2）＝4，求出f（1），再由 0＝1+（﹣1），求f（﹣1）．
【解答】解：因為函數(shù)f（x）對任意x，y∈R都有 f（x+y）＝f（x）+f（y），
所以f（0+0）＝f（0）+f（0），即f（0）＝0
又f（1）+f（1）＝f（1+1）＝f（2）＝4∴f（1）＝2
∴f（﹣1）+f（1）＝f（﹣1+1）＝f（0）＝0
∴f（﹣1）＝﹣2；
故選：A．
【點評】依據(jù)函數(shù)特征，給自變量取特殊值，體現(xiàn)特殊值的解題思想．
10．【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性，將不等式轉(zhuǎn)化為具體不等式，即可確定a的取值范圍．
【解答】解：∵函數(shù)y＝f（x）是R上的減函數(shù)，f（a）≥f（﹣2），
∴a≤﹣2
∴a的取值范圍是a≤﹣2
故選：D．
【點評】本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查解不等式，屬于基礎(chǔ)題．
11．【分析】分類討論：①當(dāng)x≤1時；②當(dāng)x＞1時，再按照指數(shù)不等式和對數(shù)不等式求解，最后求出它們的并集即可．
【解答】解：當(dāng)x≤1時，21﹣x≤2的可變形為1﹣x≤1，x≥0，
∴0≤x≤1．
當(dāng)x＞1時，1﹣log2x≤2的可變形為x≥，
∴x≥1，
故答案為[0，+∞）．
故選：D．
【點評】本題主要考查不等式的轉(zhuǎn)化與求解，應(yīng)該轉(zhuǎn)化特定的不等式類型求解．
12．【分析】根據(jù)新定義A*B＝{x|x＝x1+x2，x1∈A，x2∈B}，把集合A與集合B中的元素分別代入再求和即可求出答案．
【解答】解：∵A*B＝{x|x＝x1+x2，x1∈A，x2∈B}，A＝{1，2，3}，B＝{1，2}，
∴A*B＝{2，3，4，5}，
∴A*B中的所有元素之和為：2+3+4+5＝14，
故選：C．
【點評】本題考查了元素與集合關(guān)系的判斷，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是根據(jù)新定義求解．
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13．【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點，函數(shù)f（x）＝ax（a＞0且a≠1）的圖象恒過點（0，1）．
【解答】解：由指數(shù)函數(shù)的定義和性質(zhì)可得，函數(shù)f（x）＝ax（a＞0且a≠1）的圖象恒過點（0，1），
故答案為 （0，1）．
【點評】本題主要考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點，屬于基礎(chǔ)題．
14．【分析】根據(jù)對數(shù)及根式有意義的條件可得4x﹣3＞0，log5（4x﹣3）≥0，解不等式可得．
【解答】解：由已知，
根據(jù)對數(shù)及根式有意義的條件可得：
，
即
解得{x|x≥1}
∴函數(shù)的定義域是[1，+∞）
故答案為：[1，+∞）
【點評】本題是函數(shù)定義域最基本的考查，建立使函數(shù)有意義的不等式之后，關(guān)鍵是要準(zhǔn)確解不等式，屬于基礎(chǔ)試題．
15．【分析】首先根據(jù)圖形求出f（3）的值，由圖形可知f（3）＝1，然后根據(jù)圖形判斷出f（1）的值．
【解答】解：∵f（3）＝1，
∴＝1，
∴f（）＝f（1）＝2．
故答案為2．
【點評】本題主要考查函數(shù)的值的知識點和函數(shù)的圖象與圖象變化的知識點，解答本題的關(guān)鍵是熟練運用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行解題，本題難度不大．
16．【分析】先理解已知兩條性質(zhì)反映的函數(shù)性質(zhì)，①f（x）為奇函數(shù)，②f（x）為定義域上的單調(diào)減函數(shù)，由此意義判斷題干所給四個函數(shù)是否同時具備兩個性質(zhì)即可
【解答】解：依題意，性質(zhì)①反映函數(shù)f（x）為定義域上的奇函數(shù)，性質(zhì)②反映函數(shù)f（x）為定義域上的單調(diào)減函數(shù)，
（1）f（x）＝ 為定義域上的奇函數(shù)，但不是定義域上的單調(diào)減函數(shù)，其單調(diào)區(qū)間為（﹣∞，0），（0，+∞），故排除（1）；
（2）f（x）＝x2 為定義域上的偶函數(shù)，排除（2）；
（3）f（x）＝＝1﹣，定義域為R，由于y＝2x+1在R上為增函數(shù)，故函數(shù)f（x）為R上的增函數(shù)，排除（3）；
（4）f（x）＝的圖象如圖：顯然此函數(shù)為奇函數(shù)，且在定義域上為減函數(shù)，故（4）為理想函數(shù)
故答案為 （4）

【點評】本題主要考查了抽象表達(dá)式反映的函數(shù)性質(zhì)，對新定義函數(shù)的理解能力，奇函數(shù)的定義，函數(shù)單調(diào)性的定義，基本初等函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性及其判斷方法，復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的判斷方法
三、解答題：本大題共6小題，共計74分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．【分析】（1）直接利用有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)求解即可．
（2）利用對數(shù)的運算性質(zhì)展開lg50，化為平方和公式，即可求解．
【解答】解：（1）＝＝．
（2）（lg5）2+lg2×lg50
＝（lg5）2+lg2×lg（25×2）
＝（lg5）2+lg2×（2lg5+lg2）
＝（lg5）2+2lg2×lg5+（lg2）2
＝（lg2+lg5）2
＝1
【點評】本題考查指數(shù)與對數(shù)的運算性質(zhì)，考查計算能力．
18．【分析】（1）由全集為實數(shù)集R，A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，知A∪B＝{x|2＜x＜10}，?RA＝{x|x＜3，或x≥7}，由此能求出?R（A∪B）及（?RA）∩B．
（2）由A＝{x|3≤x＜7}，C＝{x|x＜a}，利用A∩C≠?，能求出a的取值范圍．
【解答】解：（1）∵全集為實數(shù)集R，A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，
∴A∪B＝{x|2＜x＜10}，
?RA＝{x|x＜3，或x≥7}
∴?R（A∪B）＝{x|x≤2或x≥10}；
（?RA）∩B＝{x|2＜x＜3或7≤x＜10}；
（2）∵A＝{x|3≤x＜7}，C＝{x|x＜a}．A∩C≠?，
∴a＞3．
【點評】本題考查集合的交、并、補集的混合運算，是基礎(chǔ)題．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．
19．【分析】（1）根據(jù)絕對值的意義，分當(dāng)x≥1時，當(dāng)x＜1時兩種情況求解，最后再寫成分段函數(shù)的形式，
（2）每一段都是一次函數(shù)，圖象是一條直線，在定義域內(nèi)任取兩點作圖即可．
（3）根據(jù)圖象，定義域即看橫軸覆蓋部分，值域即看縱軸覆蓋部分，奇偶性，看是否關(guān)于原點對稱或關(guān)于縱軸對稱．單調(diào)增區(qū)間看上升趨勢，單調(diào)減區(qū)間看下降趨勢．
【解答】解：（1）
（2）
（3）定義域為R，值域為{y|y≥0}，圖象即不關(guān)于原點對稱也不關(guān)于y軸對稱，所以f（x）是非奇非偶函數(shù)，
單調(diào)增區(qū)間[1，+∞），單調(diào)減區(qū)間（﹣∞，1）
【點評】本題主要考查絕對值函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，研究其圖象和性質(zhì)．還考查了數(shù)形結(jié)合的思想與方法．
20．【分析】設(shè)熊貓居室的總面積為y平方米，x和（30﹣3x）就是養(yǎng)雞場的長或?qū)挘缓笥妹娣e做等量關(guān)系可列方程求解．
解法1：配方后得y＝﹣3（x﹣5）2+75，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得y取得最大值；
解法2：將原函數(shù)式化成：，再結(jié)合基本不等式求出y取得最大值．
【解答】解：設(shè)熊貓居室的總面積為y平方米，由題意得：y＝x（30﹣3x）（0＜x＜10）．…（6分）
解法1：y＝﹣3（x﹣5）2+75，因為5∈（0，10），而當(dāng)x＝5時，y取得最大值75． （10分）
所以當(dāng)熊貓居室的寬為5米時，它的面積最大，最大值為75平方米． …（12分）
解法2：＝75，
當(dāng)且僅當(dāng)3x＝30﹣3x，即x＝5時，y取得最大值75． …（10分）
所以當(dāng)熊貓居室的寬為5米時，它的面積最大，最大值為75平方米． …（12分）
【點評】點評：考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用、基本不等式等知識，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列出方程，再求解．
21．【分析】（I）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義進(jìn)行判定，任取x1＜x2，然后判定f（x1）﹣f（x2）的符號，從而得到結(jié)論；
（II）根據(jù)奇函數(shù)的定義建立等式關(guān)系，解之即可求出a的值；
（III）根據(jù)函數(shù)在R上單調(diào)遞增，求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，5）上的最小值即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）的定義域為R，任取x1＜x2，
則＝．
∵x1＜x2，
∴．
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．
所以不論a為何實數(shù)f（x）總為增函數(shù)．（4分）
（Ⅱ）∵f（x）在x∈R上為奇函數(shù)，
∴f（0）＝0，即．
解得 ．（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，
由（Ⅰ） 知，f（x）為增函數(shù)，
∴f（x）在區(qū)間[1，5）上的最小值為f（1）．
∵，
∴f（x）在區(qū)間[1，5）上的最小值為．（12分）
【點評】本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，以及函數(shù)的最值，屬于中檔題．
22．【分析】由條件可得log2x≥2，令t＝log2x≥2，則函數(shù)y＝（t﹣3）（t﹣1）在[2，+∞）上是增函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的值域．
【解答】解：由可得 ≥1，故有x≥4，log2x≥2．
函數(shù)＝（log2x﹣3）（log2x﹣1）．
令t＝log2x≥2，則函數(shù)y＝（t﹣3）（t﹣1）在[2，+∞）上是增函數(shù)，
故當(dāng)t＝2時，函數(shù)y＝（t﹣3）（t﹣1）取得最小值為﹣1，
故函數(shù)的值域為[﹣1，+∞）．
【點評】本題主要考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布
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