?2021-2022學年福建省泉州市南安市、德化縣八年級（上）期末數(shù)學試卷
一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（4分）9的平方根是（　?。?br /> A． B．81 C．±3 D．3
2．（4分）下列各數(shù)：﹣2，，0，π，﹣，其中無理數(shù)的個數(shù)是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（4分）下列運算正確的是（　?。?br /> A．a(chǎn)2?a3＝a6 B．（a3）4＝a12
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．a(chǎn)8÷a2＝a4
4．（4分）空氣是混合物，為直觀介紹空氣各成分的百分比，最適合用的統(tǒng)計圖是（　?。?br /> A．折線圖 B．條形圖 C．直方圖 D．扇形圖
5．（4分）估計+1的值，應在（　?。?br /> A．1和2之間 B．2和3之間 C．3和4之間 D．4和5之間
6．（4分）如圖，已知∠ABC＝∠DCB，下列所給條件不能證明△ABC≌△DCB的是（　?。?br />
A．∠A＝∠D B．AB＝DC C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝BD
7．（4分）下列選項中，可以用來說明命題“若|a|＞3，則a＞3”是假命題的反例是（　?。?br /> A．a(chǎn)＝﹣4 B．a(chǎn)＝﹣3 C．a(chǎn)＝﹣2 D．a(chǎn)＝4
8．（4分）如圖，一架2.5m長的梯子，斜立在一豎直的墻上，這時梯子的底部距墻底端0.7m，如果梯子的頂端沿墻下滑0.4m，那么梯子的底部將平滑（　?。?br />
A．0.9m B．1.5m C．0.5m D．0.8m
9．（4分）如圖：D為△ABC內(nèi)一點，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若BD＝1，BC＝3，則AC的長為（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2
10．（4分）若實數(shù)a、b滿足a2+b2＝1，則ab+a+3b的最小值為（　?。?br /> A．﹣3 B．﹣2 C．1 D．3
二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分．
11．（4分）計算：＝　 　．
12．（4分）“新冠肺炎”的英語“Novelcoronaviruspneumonia”中，字母“o”出現(xiàn)的頻率是 　 ?。?br /> 13．（4分）已知x2+4x+k是完全平方式，則k＝　 ?。?br /> 14．（4分）若am＝2，an＝5，則am+n等于　 ?。?br /> 15．（4分）如圖，過邊長為3的等邊△ABC的邊AB上一點P，作PE⊥AC于E，Q為BC延長線上一點，當PA＝CQ時，連接PQ交AC邊于D，則DE的長為　 ?。?br />
16．（4分）如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC交BC于E，BD⊥AE交AE延長線于D，DM⊥AC交AC的延長線于M，連接CD，以下四個結論：①∠ADC＝45°；②BD＝AE；③AC+CE＝AB；④AC+AB＜2AM．其中正確的結論有 　 ?。?br />
三、解答題：本題共9小題，共86分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．（8分）計算：（2x2y3）?（5xy2）÷（10x2y4）．
18．（8分）把下列多項式分解因式：
（1）x2﹣1；
（2）4x2﹣8x+4．
19．（8分）先化簡，再求值：[（x﹣y）2+（x﹣y）（x+y）]÷x，其中x＝3，y＝2．
20．（8分）已知：如圖，點B，E，C，F(xiàn)在同一直線上，AB∥DE，且AB＝DE，BE＝CF．
求證：△ABC≌△DEF．

21．（8分）如圖，∠AOB＝90°，點C在OA邊上，OA＝36cm，OB＝12cm，點P從點A出發(fā)，沿著AO方向勻速運動，點Q同時從點B出發(fā)，以相同的速度沿BC方向勻速運動，P、Q兩點恰好在C點相遇，求BC的長度？

22．（10分）十九的大召開引起了廣大中學生的廣泛關注，中學生主要通過看電視、上網(wǎng)查看、看報紙、聽廣播及其他形式學習和了解十九大精神．某校為了了解學生獲取十九大知識的渠道，隨機調(diào)查了若干名學生，根據(jù)調(diào)查結果繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計圖表如下：
了解方式
頻數(shù)
頻率
看電視
18
0.3
上網(wǎng)
a
0.4
聽廣播
6
m
看報紙
b
0.15
其他
3
n
（1）本次調(diào)查的人數(shù)是　 　；
（2）a＝　 　，b＝　 　，m＝　 　，n＝　 　；
（3）補全條形圖；
（4）若該校有2000名學生，請你估計該校通過看電視和上網(wǎng)獲取十九大知識的共有多少人？

23．（10分）如圖，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＞AC．
（1）在線段BC上找一點P，使得PA＝PB（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）在（1）的基礎上，若CP：PB＝3：5，AB＝，求△ABC的面積．

24．（12分）幾何計算中，常利用面積法構造方程來求線段的長，請利用這種方法解決下列問題：
（1）如圖①，△ABC中，AB＝13，AC＝5，BC＝12，求AB邊上的高；
（2）在一張正方形紙張的四個角剪去四個相同的小正方形，得到如圖②所示的圖形，再將它分割成三塊拼成如圖③所示的長方形，已知m、n滿足：m2+n2﹣8m﹣18n+97＝0，求剪去的小正方形的邊長．


25．（14分）如圖（1），△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，點D是AC的中點，點E在CD上（點E不與點D和點C重合），AG⊥BE于點G，交BD于點F，連結DG．
（1）求證：△ADF≌△BDE；
（2）設GF＝a，GE＝b，GD＝c，證明：a+b＝；
（3）如圖（2），延長AG交BC于點M，若點M是BC中點，點N是AB的中點，請證明點N、F、C三點共線．



2021-2022學年福建省泉州市南安市、德化縣八年級（上）期末數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（4分）9的平方根是（　?。?br /> A． B．81 C．±3 D．3
【分析】根據(jù)平方根的定義即可解答．
【解答】解：9的平方根是±3，
故選：C．
2．（4分）下列各數(shù)：﹣2，，0，π，﹣，其中無理數(shù)的個數(shù)是（　?。?br /> A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)．理解無理數(shù)的概念，一定要同時理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分數(shù)的統(tǒng)稱．即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)．
【解答】解：﹣2，0，都是整數(shù)，屬于有理數(shù)．
無理數(shù)有、π共2個．
故選：B．
3．（4分）下列運算正確的是（　?。?br /> A．a(chǎn)2?a3＝a6 B．（a3）4＝a12
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．a(chǎn)8÷a2＝a4
【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法的運算法則，冪的乘方的運算法則，完全平方公式，同底數(shù)冪的除法的運算法則，可得答案．
【解答】解：A、a2?a3＝a5，原計算錯誤，故此選項不符合題意；
B、（a3）4＝a12，原計算正確，故此選項符合題意；
C、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，原計算錯誤，故此選項不符合題意；
D、a8÷a2＝a6，原計算錯誤，故此選項不符合題意．
故選：B．
4．（4分）空氣是混合物，為直觀介紹空氣各成分的百分比，最適合用的統(tǒng)計圖是（　?。?br /> A．折線圖 B．條形圖 C．直方圖 D．扇形圖
【分析】扇形統(tǒng)計圖表示的是部分在總體中所占的百分比，但一般不能直接從圖中得到具體的數(shù)據(jù)；
折線統(tǒng)計圖表示的是事物的變化情況；
條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目的具體數(shù)目；
頻數(shù)分布直方圖，清楚顯示在各個不同區(qū)間內(nèi)取值，各組頻數(shù)分布情況，易于顯示各組之間頻數(shù)的差別．
【解答】解：由分析可知，要求直觀反映空氣的組成情況，即各部分在總體中所占的百分比，結合統(tǒng)計圖各自的特點，應選擇扇形統(tǒng)計圖．
故選：D．
5．（4分）估計+1的值，應在（　?。?br /> A．1和2之間 B．2和3之間 C．3和4之間 D．4和5之間
【分析】根據(jù)≈2.236，可得答案．
【解答】解：∵≈2.236，
∴+1≈3.236，
故選：C．
6．（4分）如圖，已知∠ABC＝∠DCB，下列所給條件不能證明△ABC≌△DCB的是（　?。?br />
A．∠A＝∠D B．AB＝DC C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝BD
【分析】根據(jù)題目所給條件∠ABC＝∠DCB，再加上公共邊BC＝BC，然后再結合判定定理分別進行分析即可．
【解答】解：A、添加∠A＝∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此選項不合題意；
B、添加AB＝DC可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此選項不合題意；
C、添加∠ACB＝∠DBC可利用ASA定理判定△ABC≌△DCB，故此選項不合題意；
D、添加AC＝BD不能判定△ABC≌△DCB，故此選項符合題意；
故選：D．
7．（4分）下列選項中，可以用來說明命題“若|a|＞3，則a＞3”是假命題的反例是（　?。?br /> A．a(chǎn)＝﹣4 B．a(chǎn)＝﹣3 C．a(chǎn)＝﹣2 D．a(chǎn)＝4
【分析】根據(jù)絕對值的意義、有理數(shù)的大小比較法則解答．
【解答】解：當a＝﹣4時，|a|＝4＞3，而﹣4＜﹣3，
∴“|a|＞3，則a＞3”是假命題，
故選：A．
8．（4分）如圖，一架2.5m長的梯子，斜立在一豎直的墻上，這時梯子的底部距墻底端0.7m，如果梯子的頂端沿墻下滑0.4m，那么梯子的底部將平滑（　　）

A．0.9m B．1.5m C．0.5m D．0.8m
【分析】先根據(jù)梯子的頂端下滑了0.4米求出A′C的長，再根據(jù)勾股定理求出B′C的長，進而可得出結論．
【解答】解：∵梯子的頂端下滑了0.4米，
∴A′C＝2m，
∵在Rt△A′B′C中，A′B′＝2.5m，A′C＝2m，
∴B′C＝＝＝1.5m，
∴BB′＝B′C﹣BC＝1.5﹣0.7＝0.8m．
故選：D．
9．（4分）如圖：D為△ABC內(nèi)一點，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若BD＝1，BC＝3，則AC的長為（　?。?br />
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】延長BD交AC于E，如圖，利用CD平分∠ACB，BD⊥CD先判斷△BCE為等腰三角形得到DE＝BD＝1，CE＝CB＝3，再證明EA＝EB＝2，然后計算AE+CE即可．
【解答】解：延長BD交AC于E，如圖，
∵CD平分∠ACB，BD⊥CD，
∴△BCE為等腰三角形，
∴DE＝BD＝1，CE＝CB＝3，
∵∠A＝∠ABD，
∴EA＝EB＝2，
∴AC＝AE+CE＝2+3＝5．
故選：A．

10．（4分）若實數(shù)a、b滿足a2+b2＝1，則ab+a+3b的最小值為（　?。?br /> A．﹣3 B．﹣2 C．1 D．3
【分析】由a2+b2＝1，可得a2≤1，b2≤1，﹣1≤a≤1，﹣1≤b≤1，然后通過因式分解的應用將原式變形為（b+1）（a+3）﹣3，從而分析其最值．
【解答】解：∵a2+b2＝1，
∴a2≤1，b2≤1，
∴﹣1≤a≤1，﹣1≤b≤1，
∴ab+a+3b
＝a（b+1）+3（b+1）﹣3
＝（b+1）（a+3）﹣3，
又∵a+3＞0，b+1≥0，
∴當b+1＝0，即b＝﹣1時，原式有最小值為﹣3，
故選：A．
二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分．
11．（4分）計算：＝　2?。?br /> 【分析】根據(jù)立方根的定義即可求解．
【解答】解：∵23＝8
∴＝2
故答案為：2．
12．（4分）“新冠肺炎”的英語“Novelcoronaviruspneumonia”中，字母“o”出現(xiàn)的頻率是 　?。?br /> 【分析】根據(jù)頻率的定義求解即可．
【解答】解：“新冠肺炎”的英語單詞“Novelcoronavirus”中共有25個字母，O出現(xiàn)了4次，
∴字母“o”出現(xiàn)的頻率是，
故答案為：．
13．（4分）已知x2+4x+k是完全平方式，則k＝　4?。?br /> 【分析】利用完全平方公式的結構特征判斷即可得到k的值．
【解答】解：∵x2+4x+k是完全平方式，
∴k＝4，
故答案為：4．
14．（4分）若am＝2，an＝5，則am+n等于　10?。?br /> 【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則把所求代數(shù)式化為已知的形式，再把已知代入求解即可．
【解答】解：∵am＝2，an＝5，
∴am+n＝aman＝2×5＝10．
故答案為：10
15．（4分）如圖，過邊長為3的等邊△ABC的邊AB上一點P，作PE⊥AC于E，Q為BC延長線上一點，當PA＝CQ時，連接PQ交AC邊于D，則DE的長為　?。?br />
【分析】過P作PF∥BC交AC于F，得出等邊三角形APF，推出AP＝PF＝QC，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出EF＝AE，證△PFD≌△QCD，推出FD＝CD，推出DE＝AC即可．
【解答】解：過P作PF∥BC交AC于F，

∵PF∥BC，△ABC是等邊三角形，
∴∠PFD＝∠QCD，∠APF＝∠B＝60°，∠AFP＝∠ACB＝60°，∠A＝60°，
∴△APF是等邊三角形，
∴AP＝PF＝AF，
∵PE⊥AC，
∴AE＝EF，
∵AP＝PF，AP＝CQ，
∴PF＝CQ，
在△PFD和△QCD中
，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD＝CD，
∵AE＝EF，
∴EF+FD＝AE+CD，
∴AE+CD＝DE＝AC，
∵AC＝3，
∴DE＝，
故答案為．
16．（4分）如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC交BC于E，BD⊥AE交AE延長線于D，DM⊥AC交AC的延長線于M，連接CD，以下四個結論：①∠ADC＝45°；②BD＝AE；③AC+CE＝AB；④AC+AB＜2AM．其中正確的結論有 　①②?。?br />
【分析】作∠ACN＝∠BCD，EF⊥AB，DH⊥AB，垂足為F、H，證明△ACN≌△BCD（ASA），由全等三角形的性質(zhì)得出CN＝CD，AN＝BD，可判斷①正確；由直角三角形的性質(zhì)可判斷②；由等腰直角三角形的性質(zhì)可判斷③；證明△AMD≌△AHD（AAS），得出AM＝AH，可判斷④．
【解答】解：作∠ACN＝∠BCD，EF⊥AB，DH⊥AB，垂足為F、H，

∵∠ACE＝∠ADB＝90°，∠AEC＝∠BED，
∴∠CAN＝∠CBD，
又∠ACN＝∠BCD，AC＝BC，
∴△ACN≌△BCD（ASA），
∴CN＝CD，AN＝BD，
又∠DCN＝∠ECA＝90°，
∴△DCN為等腰直角三角形，
∴∠ADC＝45°；
即①正確．
∵∠CND＝45°，∠CAE＝22.5°，
∴∠ACN＝22.5°，
∴AN＝CN，
∴CN為Rt△ACE的中線，
∴；
即②正確．
∵AE平分∠CAB，EF⊥AB，EC⊥AC，
∴EC＝EF，AC＝AF，
又△BEF為等腰直角三角形，
∴BF＝EF，
∴AB＝AF+FB＝AC+CE；
即③錯誤．
∵∠CAE＝∠BAE，∠AMD＝∠AHD，AD＝AD，
∴△AMD≌△AHD（AAS），
∴AM＝AH，
又△CMD≌△BHD，
∴CM＝BH，
∴AC+AB＝AC+BH+AH＝AC+CM+AM＝2AM．
即④錯誤．
故答案為：①②．
三、解答題：本題共9小題，共86分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．（8分）計算：（2x2y3）?（5xy2）÷（10x2y4）．
【分析】根據(jù)單項式乘單項式和單項式除以單項式的法則化簡即可．
【解答】解：（2x2y3）?（5xy2）÷（10x2y4）
＝10x3y5÷（10x2y4）
＝xy．
18．（8分）把下列多項式分解因式：
（1）x2﹣1；
（2）4x2﹣8x+4．
【分析】（1）原式利用平方差公式分解即可；
（2）原式提取4，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝（x+1）（x﹣1）；
（2）原式＝4（x2﹣2x+1）
＝4（x﹣1）2．
19．（8分）先化簡，再求值：[（x﹣y）2+（x﹣y）（x+y）]÷x，其中x＝3，y＝2．
【分析】先利用完全平方公式和平方差公式計算括號內(nèi)的乘方和乘法，然后合并同類項進行化簡，再算括號外面的除法，最后代入求值．
【解答】解：原式＝（x2﹣2xy+y2+x2﹣y2）÷x
＝（2x2﹣2xy）÷x
＝2x﹣2y，
當x＝3，y＝2時，
原式＝2×3﹣2×2＝6﹣4＝2．
20．（8分）已知：如圖，點B，E，C，F(xiàn)在同一直線上，AB∥DE，且AB＝DE，BE＝CF．
求證：△ABC≌△DEF．

【分析】直接利用全等三角形的判定方法得出答案．
【解答】證明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF
∵BE＝FC，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
21．（8分）如圖，∠AOB＝90°，點C在OA邊上，OA＝36cm，OB＝12cm，點P從點A出發(fā)，沿著AO方向勻速運動，點Q同時從點B出發(fā)，以相同的速度沿BC方向勻速運動，P、Q兩點恰好在C點相遇，求BC的長度？

【分析】由題意知：BC＝AC，設BC＝xcm，則OC＝（36﹣x） cm．在 Rt△BOC中，由勾股定理列出方程，解方程即可．
【解答】解：∵點P、Q同時出發(fā)，且速度相同，
∴BC＝CA，
設BC＝xcm，則CA＝xcm，
∵OA＝36cm
∴OC＝（36﹣x）cm，
∵∠AOB＝90°
∴OB2+OC2＝BC2，
∴122+（36﹣x）2＝x2，
解得：x＝20，
∴BC＝20cm．
22．（10分）十九的大召開引起了廣大中學生的廣泛關注，中學生主要通過看電視、上網(wǎng)查看、看報紙、聽廣播及其他形式學習和了解十九大精神．某校為了了解學生獲取十九大知識的渠道，隨機調(diào)查了若干名學生，根據(jù)調(diào)查結果繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計圖表如下：
了解方式
頻數(shù)
頻率
看電視
18
0.3
上網(wǎng)
a
0.4
聽廣播
6
m
看報紙
b
0.15
其他
3
n
（1）本次調(diào)查的人數(shù)是　60??；
（2）a＝　24　，b＝　9　，m＝　0.1　，n＝　0.05　；
（3）補全條形圖；
（4）若該校有2000名學生，請你估計該校通過看電視和上網(wǎng)獲取十九大知識的共有多少人？

【分析】（1）用看電視的人數(shù)除以其頻率可得總?cè)藬?shù)；
（2）根據(jù)“頻率＝頻數(shù)÷總?cè)藬?shù)”可得；
（3）根據(jù)以上所求結果求解可得；
（4）總?cè)藬?shù)乘以樣本中看電視、上網(wǎng)的頻率和可得．
【解答】解：（1）本次調(diào)查的人數(shù)是18÷0.3＝60人，
故答案為：60；

（2）a＝60×0.4＝24、b＝60×0.15＝9、m＝6÷60＝0.1、n＝3÷60＝0.05，
故答案為：24、9、0.1、0.05；

（3）補全圖形如下：


（4）估計該校通過看電視和上網(wǎng)獲取十九大知識的共有2000×（0.3+0.4）＝1400（人）．
23．（10分）如圖，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＞AC．
（1）在線段BC上找一點P，使得PA＝PB（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）在（1）的基礎上，若CP：PB＝3：5，AB＝，求△ABC的面積．

【分析】（1）作AB的垂直平分線即可在線段BC上找一點P，使得PA＝PB；
（2）在（1）的基礎上，根據(jù)CP：PB＝3：5，AB＝，利用勾股定理即可求△ABC的面積．
【解答】解：（1）如圖：點P為所求作的點．

（2）∵CP：PB＝3：5
∴設CP＝3x（x＞0），
∴PB＝5x，
∴PA＝PB＝5x，BC＝8x，
∵∠C＝90°，
∴，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴，
解得x＝，
∴AC＝1，BC＝2，
∴．
24．（12分）幾何計算中，常利用面積法構造方程來求線段的長，請利用這種方法解決下列問題：
（1）如圖①，△ABC中，AB＝13，AC＝5，BC＝12，求AB邊上的高；
（2）在一張正方形紙張的四個角剪去四個相同的小正方形，得到如圖②所示的圖形，再將它分割成三塊拼成如圖③所示的長方形，已知m、n滿足：m2+n2﹣8m﹣18n+97＝0，求剪去的小正方形的邊長．


【分析】（1）先利用勾股定理的逆定理證明△ABC是直角三角形，然后再利用等面積法進行計算即可解答；
（2）利用拆項配成兩個完全平方式，然后求出m，n的值，再利用等面積法進行計算即可解答．
【解答】解：（1）∵AC2+BC2＝52+122＝169，AB2＝132＝169，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形
過點C作CD⊥AB于點D，

∵，
∴，
答：AB邊上的高為；
（2）∵m2+n2﹣8m﹣18n+97＝0，
∴（m﹣4）2+（n﹣9）2＝0，
∵（m﹣4）2≥0，（n﹣9）2≥0，
∴m﹣4＝0，n﹣9＝0，
∴m＝4，n＝9，
設剪去的小正方形的邊長x，
∴（m+2x）2﹣4x2＝mn，
∴（4+2x）2﹣4x2＝4×9，
解得：，
答：剪去的小正方形的邊長為．
25．（14分）如圖（1），△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，點D是AC的中點，點E在CD上（點E不與點D和點C重合），AG⊥BE于點G，交BD于點F，連結DG．
（1）求證：△ADF≌△BDE；
（2）設GF＝a，GE＝b，GD＝c，證明：a+b＝；
（3）如圖（2），延長AG交BC于點M，若點M是BC中點，點N是AB的中點，請證明點N、F、C三點共線．


【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠ADF＝∠BDE＝90°，∠BAC＝∠BCA＝45°，AD＝BD，由AF⊥BE得∠1+∠2＝90°，由∠BDE＝90°得∠3+∠2＝90°，則∠1＝∠3，根據(jù)ASA即可得到結論；
（2）過點D作DH⊥DG交AF點H，如圖，證明△DHF≌△DGE（ASA），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得DH＝DG，GE＝HF，則△DHG是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，則即；
（3）連結NF，CF，如圖，根據(jù)中點的定義得，，由AB＝BC得BN＝BM，證明△BFN≌△BFM（SAS），可得∠BFN＝∠BFM，再證△ADF≌△CDF（SSS），可得∠AFD＝∠CFD，由對頂角∠BFM＝∠AFD得∠BFM＝∠AFD＝∠CFD，則∠NFM＝∠AFC，由∠AFC+∠CFM＝180°得∠NFM+∠CFM＝180°，即N、F、C三點共線．
【解答】（1）證明：∵AB＝BC，點D是AC的中點，

∴∠ADF＝∠BDE＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，
∵∠ABC＝90°，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°，
∴∠BAC＝∠ABD，
∴AD＝BD，
∵AF⊥BE，
∴∠1+∠2＝90°，
∵∠BDE＝90°，
∴∠3+∠2＝90°，
∴∠1＝∠3，
在△ADF和△BDE中，
，
∴△ADF≌△BDE（ASA）；
（2）證明：（法一）過點D作DH⊥DG交AF點H，如圖，

∴∠5+∠BDG＝90°，
∵∠6+∠BDG＝90°，
∴∠5＝∠6，
∵△ADF≌△BDE，
∴∠4＝∠2，DF＝DE，
∴△DHF≌△DGE（ASA），
∴DH＝DG，GE＝HF，
又∵DH⊥DG，
∴△DHG是等腰直角三角形，
∴，
∴即；
（法二）過點D作DH⊥DG交BE的延長線于點H，如圖，

則∠6+∠EDH＝90°，
∵∠6+∠FDG＝90°，
∴∠FDG＝∠EDH，
∵△ADF≌△BDE，
∴∠4＝∠2，DF＝DE，
∴∠DFG＝∠DEH，
∴△FDG≌△EDH（ASA），
∴DH＝DG，GF＝EH，
∴△DHG是等腰直角三角形，
∴，
∵GF＝EH，
∴即；
（3）證明：連結NF，CF，如圖，

∵點N是AB的中點，點M是BC的中點，
∴，，
∵AB＝BC，
∴BN＝BM，
∵AB＝BC，點D是AC的中點，
∴∠ABD＝∠CBD，
又∵BF＝BF，
∴△BFN≌△BFM（SAS），
∴∠BFN＝∠BFM，
∴BD垂直平分AC，
∴AF＝CF，
又∵AD＝CD，DF＝DF，
∴△ADF≌△CDF（SSS），
∴∠AFD＝∠CFD，
∵∠BFM＝∠AFD，
∴∠BFM＝∠AFD＝∠CFD，
∴∠NFM＝∠AFC，
∵∠AFC+∠CFM＝180°，
∴∠NFM+∠CFM＝180°，
∴N、F、C三點共線．


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