2.直線和平面所成的角(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的______所成的______叫做這條直線和這個平面所成的角，一條直線垂直于平面，則它們所成的角是______；一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，則它們所成的角是____________．(2)范圍：________．
3．平面與平面垂直(1)二面角的有關(guān)概念：①二面角：從一條直線出發(fā)的__________所組成的圖形叫做二面角；②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一點，以該點為垂足，在兩個半平面內(nèi)分別作________的兩條射線，這兩條射線所構(gòu)成的角叫做二面角的平面角．
(2)平面和平面垂直的定義：兩個平面相交，如果所成的二面角是____________，就說這兩個平面互相垂直．
1．(基礎(chǔ)知識：面面垂直性質(zhì))下列命題中不正確的是(　　)A．如果平面α⊥平面β，且直線l∥平面α，則直線l⊥平面βB．如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面βC．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面βD．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ
2．(基本方法：線面垂直性質(zhì))已知直線a，b和平面α，且a⊥b，a⊥α，則b與α的位置關(guān)系為(　　)A．b?αB．b∥αC．b?α或b∥αD．b與α相交
3．(基本方法：判斷線面垂直)設m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則m⊥β的一個充分條件是(　　)A．α⊥β且m?αB．m∥n且n⊥βC．α⊥β且m∥αD．m⊥n且n∥β
4．(基本應用：空間垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化與認識)如圖所示，在三棱錐V-ABC中，∠VAB＝∠VAC＝∠ABC＝90°，則構(gòu)成三棱錐的四個三角形中，直角三角形的個數(shù)為________________________．
5．(基本應用：與射影結(jié)合)在三棱錐P-ABC中，點P在平面ABC中的射影為點O.若PA＝PB＝PC，則點O是△ABC的________________________心．答案：外
[典例剖析][典例]　(1)(2021·河南商丘模擬)如圖所示，PA⊥圓O所在的平面，AB是圓O的直徑，C是圓O上的一點，E、F分別是A在PB、PC上的射影，給出下列結(jié)論：
題型一　線面垂直的判定與性質(zhì)　
①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正確命題的序號是__________．
解析：由PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，可得PA⊥BC，又AB是圓O的直徑，C是圓O上一點，則有BC⊥AC，又PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，又AF?平面PAC，所以BC⊥AF，故③正確；因為AF⊥PC，PC∩BC＝C，所以AF⊥平面PBC，又PB?平面PBC，所以AF⊥PB，故①正確；因為AE⊥PB，AF⊥PB，AE∩AF＝A，所以PB⊥平面AEF，又EF?平面AEF，所以PB⊥EF，故②正確；由于AF⊥平面PBC，AF∩AE＝A，所以AE不與平面PBC垂直，故④錯誤．綜上可知正確命題的序號為①②③.
(2)(2020·新高考山東卷節(jié)選)如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD.設平面PAD與平面PBC的交線為l.
證明：因為PD⊥底面ABCD，所以PD⊥AD.又底面ABCD為正方形，所以AD⊥DC，所以AD⊥平面PDC.因為AD∥BC，AD?平面PBC，BC?平面PBC，所以AD∥平面PBC.由已知得l∥AD，因此l⊥平面PDC.
證明：①在四棱錐P-ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD?底面ABCD，∴PA⊥CD.又∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.∵AE?平面PAC，∴CD⊥AE.②由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中點，∴AE⊥PC.
由①知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.∵PD?平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，AB?底面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD.∵PD?平面PAD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.
方法總結(jié)證明直線與平面垂直的常用方法(1)利用線面垂直的判定定理：在平面內(nèi)找兩條相交直線與該直線垂直．(2)利用“兩平行線中的一條與平面垂直，則另一條也與這個平面垂直”．(3)利用“一條直線垂直于兩個平行平面中的一個，則與另一個也垂直”．(4)利用面面垂直的性質(zhì)定理：在平面內(nèi)找與兩平面交線垂直的直線．　　
又SE∩DE＝E，∴AB⊥平面SDE.又SD?平面SDE，∴AB⊥SD.在△SAC中，∵SA＝SC，D為AC的中點，∴SD⊥AC.又AC∩AB＝A，∴SD⊥平面ABC.(2)∵AB＝BC，∴BD⊥AC，由(1)可知，SD⊥平面ABC，又BD?平面ABC，∴SD⊥BD.又SD∩AC＝D，∴BD⊥平面SAC.
1．(2020·高考全國卷Ⅰ)如圖，D為圓錐的頂點，O是圓錐底面的圓心，△ABC是底面的內(nèi)接正三角形，P為DO上一點，∠APC＝90°.
題型二　平面與平面垂直的判定與性質(zhì)　
2．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F(xiàn)分別為AD，PB的中點．
證明：(1)在△PAD中，PA＝PD，E是AD的中點，∴PE⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PE?平面PAD，∴PE⊥平面ABCD.又BC?平面ABCD，∴PE⊥BC.
(2)∵底面ABCD為矩形，∴AD⊥CD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD?平面ABCD，∴CD⊥平面PAD.又PA?平面PAD，∴CD⊥PA.又PA⊥PD，CD、PD?平面PCD，CD∩PD＝D，∴PA⊥平面PCD.又PA?平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCD.
方法總結(jié)1．證明面面垂直的兩種常用方法：(1)用面面垂直的判定定理，即先證明其中一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線；(2)用面面垂直的定義，即證明兩個平面所成的二面角是直二面角，把證明面面垂直的問題轉(zhuǎn)化為證明平面角為直角的問題．
2．已知兩個平面垂直時，過其中一個平面內(nèi)的一點作交線的垂線，則由面面垂直的性質(zhì)定理可得此直線垂直于另一個平面，于是面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，由此得出結(jié)論：兩個相交平面同時垂直于第三個平面，則它們的交線也垂直于第三個平面．3．應用面面垂直時，其性質(zhì)定理的條件必須具備，缺一不可．　　
[典例剖析]類型 1　探索條件(開放性問題)[例1]　如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且邊長為a的菱形，側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若G為AD的中點．
題型三　空間垂直關(guān)系的探索與轉(zhuǎn)化　
(1)求證：BG⊥平面PAD；(2)求證：AD⊥PB；(3)若E為BC邊的中點，能否在棱PC上找到一點F，使平面DEF⊥平面ABCD？并證明你的結(jié)論．
解析：(1)證明：在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G為AD的中點，所以BG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BG⊥平面PAD.
(3)當F為PC的中點時，滿足平面DEF⊥平面ABCD.證明：取PC的中點F，連接DE，EF，DF.在△PBC中，F(xiàn)E∥PB，在菱形ABCD中，GB∥DE.而FE?平面DEF，DE?平面DEF，EF∩DE＝E，PB?平面PGB，GB?平面PGB，PB∩GB＝B，所以平面DEF∥平面PGB.因為BG⊥平面PAD，PG?平面PAD，所以BG⊥PG.
又因為PG⊥AD，AD∩BG＝G，所以PG⊥平面ABCD.又PG?平面PGB，所以平面PGB⊥平面ABCD，所以平面DEF⊥平面ABCD.
類型 2　探索結(jié)論(創(chuàng)新問題)[例2]　如圖所示，一張A4紙的長、寬分別為2a，2a，A，B，C，D分別是其四條邊的中點．現(xiàn)將其沿圖中虛線折起，使得P1，P2，P3，P4四點重合為一點P，從而得到一個多面體．下列關(guān)于該多面體的命題，正確的是________．(寫出所有正確命題的序號)
①該多面體是三棱錐；②平面BAD⊥平面BCD；③平面BAC⊥平面ACD；④該多面體外接球的表面積為5πa2.
方法總結(jié)探索垂直關(guān)系，常采用逆向思維一般假設存在線線垂直，所利用的關(guān)系常有：(1)等腰三角形的高、中線與底邊垂直．(2)矩形的相鄰邊垂直．(3)直徑所對的圓周角的兩邊垂直．(4)菱形的對角線垂直．
A．BM＝EN，且直線BM，EN是相交直線B．BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線C．BM＝EN，且直線BM，EN是異面直線D．BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線
解析：如圖，取CD的中點F，DF的中點G，連接EF，F(xiàn)N，MG，GB.∵△ECD是正三角形，∴EF⊥CD.∵平面ECD⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD.∴EF⊥FN.
2．(2020·高考全國卷Ⅰ)日晷是中國古代用來測定時間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測定時間．把地球看成一個球(球心記為O)，地球上一點A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角，點A處的水平面是指過點A且與OA垂直的平面，在點A處放置一個日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點A處的緯度為北緯40°，則晷針與點A處的水平面所成角為(　　)
A．20° B．40°C．50° D．90°
解析：如圖所示，⊙O為赤道平面，⊙O1為A點處的日晷的晷面所在的平面，由點A處的緯度為北緯40°可知∠OAO1＝40°，又點A處的水平面與OA垂直，晷針AC與⊙O1所在的面垂直，則晷針AC與水平面所成角為40°.
解析：(1)證明：因為M，N分別為BC，B1C1的中點，所以MN∥CC1.又由已知得AA1∥CC1，故AA1∥MN.因為△A1B1C1是正三角形，所以B1C1⊥A1N.又B1C1⊥MN，故B1C1⊥平面A1AMN，所以平面A1AMN⊥平面EB1C1F.

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