專題05 扇形面積的計算一．選擇題1．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，分別以點A、C為圓心，AD、CB為半徑畫弧，交AB于點E，交CD于點F，則圖中陰影部分的面積是（　?。?/span>A．4﹣2π B．8﹣ C．8﹣2π D．8﹣4π解：∵矩形ABCD，∴AD＝CB＝2，∴S陰影＝S矩形﹣S半圓＝2×4﹣π×22＝8﹣2π，故選：C．2．如圖所示，⊙O是以坐標(biāo)原點O為圓心，4為半徑的圓，點P的坐標(biāo)為（，），弦AB經(jīng)過點P，則圖中陰影部分面積的最小值等于（　?。?/span>A．2π﹣4 B．4π﹣8 C． D．解：由題意當(dāng)OP⊥AB時，陰影部分的面積最小，∵P（，），∴OP＝2，∵OA＝OB＝4，∴PA＝PB＝2，∴tan∠AOP＝tan∠BOP＝，∴∠AOP＝∠BOP＝60°，∴∠AOB＝120°，∴S陰＝S扇形OAB﹣S△AOB＝﹣?4?2＝，故選：D．3．如圖，點C是以AB為直徑的半圓O的三等分點，AC＝2，則圖中陰影部分的面積是（　　）A． B．﹣2 C． D．﹣解：連接OC，∵點C是以AB為直徑的半圓O的三等分點，∴∠ACB＝90°，∠AOC＝60°，∠COB＝120°，∴∠ABC＝30°，∵AC＝2，∴AB＝2AO＝4，BC＝2，∴OC＝OB＝2，∴陰影部分的面積＝S扇形﹣S△OBC＝﹣×2×1＝π﹣，故選：A．4．運用圖形變化的方法研究下列問題：如圖，AB是⊙O的直徑，CD、EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，AB＝10，CD＝6，EF＝8．則圖中陰影部分的面積是（　　）A．π B．10π C．24+4π D．24+5π解：作直徑CG，連接OD、OE、OF、DG．∵CG是圓的直徑，∴∠CDG＝90°，則DG＝＝＝8，又∵EF＝8，∴DG＝EF，∴＝，∴S扇形ODG＝S扇形OEF，∵AB∥CD∥EF，∴S△OCD＝S△ACD，S△OEF＝S△AEF，∴S陰影＝S扇形OCD+S扇形OEF＝S扇形OCD+S扇形ODG＝S半圓＝π×52＝π．故選：A．5．如圖，在等邊△ABC中，AB＝2，以點A為圓心，AB為半徑畫，使得∠BAD＝105°，過點C作CE⊥AD，則圖中陰影部分的面積為（　?。?/span>A．π﹣2 B．π﹣1 C．2π﹣2 D．2π+1解：∵等邊△ABC中，∠BAD＝105°，∴∠CAE＝105°﹣60°＝45°，∵CE⊥AD，AC＝AB＝2，∴AE＝CE＝2，∴S△ACE＝2，S扇形ACD＝＝π，∴陰影部分的面積為S扇形ACD﹣S△ACE＝π﹣2，故選：A．6．如圖，⊙O的直徑AB＝2，C是弧AB的中點，AE，BE分別平分∠BAC和∠ABC，以E為圓心，AE為半徑作扇形EAB，π取3，則陰影部分的面積為（　?。?/span>A．﹣4 B．7﹣4 C．6﹣ D．解：∵⊙O的直徑AB＝2，∴∠C＝90°，∵C是弧AB的中點，∴，∴AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∵AE，BE分別平分∠BAC和∠ABC，∴∠EAB＝∠EBA＝22.5°，∴∠AEB＝180°﹣（∠BAC+∠CBA）＝135°，連接EO，∵∠EAB＝∠EBA，∴EA＝EB，∵OA＝OB，∴EO⊥AB，∴EO為Rt△ABC內(nèi)切圓半徑，∴S△ABC＝（AB+AC+BC）?EO＝AC?BC，∴EO＝﹣1，∴AE2＝AO2+EO2＝12+（﹣1）2＝4﹣2，∴扇形EAB的面積＝＝（2﹣），△ABE的面積＝AB?EO＝﹣1，∴弓形AB的面積＝扇形EAB的面積﹣△ABE的面積＝，∴陰影部分的面積＝⊙O的面積﹣弓形AB的面積＝﹣（﹣）＝﹣4，故選：A．7．如圖，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，點C為OA的中點，CE⊥OA交弧AB于點E，以點O為圓心，OC的長為半徑作弧CD交OB于點D，若OA＝2，則陰影部分的面積為（　?。?/span>A． B． C．+ D．解：連接OE、AE，∵點C為OA的中點，∴∠CEO＝30°，∠EOC＝60°，∴△AEO為等邊三角形，∴S扇形AOE＝＝π，∴S陰影＝S扇形AOB﹣S扇形COD﹣（S扇形AOE﹣S△COE）＝﹣﹣（π﹣×1×）＝π﹣π+＝+．故選：C．8．如圖，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，＝，點D在OB上，點E在OB的延長線上，當(dāng)正方形CDEF的邊長為2時，則陰影部分的面積為（　?。?/span>A．2π﹣4 B．4π﹣8 C．2π﹣8 D．4π﹣4解：連接OC，如圖所示：∵在扇形AOB中∠AOB＝90°，＝，∴∠COD＝45°，∴OD＝CD，∴OC＝＝4，∴陰影部分的面積＝扇形BOC的面積﹣△ODC的面積＝﹣×（2）2＝2π﹣4．故選：A．9．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，分別以AC的長為半徑作圓，將Rt△ABC截去兩個扇形，則余下陰影部分的面積為（　?。?/span>cm2．A．π B．24﹣π C．24﹣π D．24﹣π解：∵Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，∴AC＝＝10cm，△ABC的面積是：AB?BC＝×8×6＝24cm2．∴S陰影部分＝×6×8﹣cm2故陰影部分的面積是：24﹣πcm2．故選：D．10．如圖，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝2，點D為AB的中點，以點D為圓心作圓心角為90°的扇形DEF，點C恰在弧EF上，則圖中陰影部分的面積為（　?。?/span>A． B． C． D．解：連接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC．∵CA＝CB，∠ACB＝90°，點D為AB的中點，∴DC＝AB＝1，四邊形DMCN是正方形，DM＝．則扇形FDE的面積是：＝．∵CA＝CB，∠ACB＝90°，點D為AB的中點，∴CD平分∠BCA，又∵DM⊥BC，DN⊥AC，∴DM＝DN，∵∠GDH＝∠MDN＝90°，∴∠GDM＝∠HDN，則在△DMG和△DNH中，，∴△DMG≌△DNH（ASA），∴S四邊形DGCH＝S四邊形DMCN＝．則陰影部分的面積是：﹣．故選：D．二．填空題11．如圖，正方形ABCD中，AB＝2，將線段CD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE，線段BD繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BF，連接EF，則圖中陰影部分的面積是　   　．解：過F作FM⊥BE于M，則∠FME＝∠FMB＝90°，∵四邊形ABCD是正方形，AB＝2，∴∠DCB＝90°，DC＝BC＝AB＝2，∠DBC＝45°，由勾股定理得：BD＝2，∵將線段CD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE，線段BD繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BF，∴∠DCE＝90°，BF＝BD＝2，∠FBE＝90°﹣45°＝45°，∴BM＝FM＝2，ME＝2，∴陰影部分的面積S＝S△BCD+S△BFE+S扇形DCE﹣S扇形DBF＝++﹣＝6﹣π，故答案為：6﹣π．12．如圖，⊙O的半徑是4，圓周角∠C＝60°，點E時直徑AB延長線上一點，且∠DEB＝30°，則圖中陰影部分的面積為　   　．解：連接OD，∵∠C＝60°，∴∠AOD＝2∠C＝120°，∴∠DOB＝60°，∵∠DEB＝30°，∴∠ODE＝90°，∵OD＝4，∴OE＝2OD＝8，DE＝OD＝4，∴陰影部分的面積是S＝S△ODE﹣S扇形DOB＝﹣＝8﹣，故答案為：8﹣．13．如圖，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，將Rt△ABC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到Rt△A′B′C，則邊AB掃過的面積（圖中陰影部分）是　   　．解：∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC＝10，∴邊AB掃過的面積＝﹣＝9π，故答案為：9π．14．如圖，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，將Rt△AOB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°后得Rt△FOE，將線段EF繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得線段ED，分別以O，E為圓心，OA、ED長為半徑畫弧AF和弧DF，連接AD，則圖中陰影部分面積是　   　．解：作DH⊥AE于H，∵∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，∴AB＝＝，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，OE＝OB＝2，DE＝EF＝AB＝，△DHE≌△BOA，∴DH＝OB＝2，陰影部分面積＝△ADE的面積+△EOF的面積+扇形AOF的面積﹣扇形DEF的面積＝×5×2+×2×3+﹣＝8﹣π，故答案為：8﹣π．15．如圖，在邊長為6的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，以點D為圓心，菱形的高DF為半徑畫弧，交AD于點E，交CD于點G，則圖中陰影部分的面積是　   　．解：∵四邊形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，∴AD＝AB＝6，∠ADC＝180°﹣60°＝120°，∵DF是菱形的高，∴DF⊥AB，∴DF＝AD?sin60°＝6×＝3，∴圖中陰影部分的面積＝菱形ABCD的面積﹣扇形DEFG的面積＝6×3﹣＝18﹣9π．故答案為：18﹣9π．16．如圖，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，扇形AEF的半徑為2，圓心角為60°，則陰影部分的面積是　   　．解：∵四邊形ABCD是菱形，∴∠B＝∠D＝60°，AB＝AD＝DC＝BC＝2，∴∠BCD＝∠DAB＝120°，∴∠1＝∠2＝60°，∴△ABC、△ADC都是等邊三角形，∴AC＝AD＝2，∵AB＝2，∴△ADC的高為，AC＝2，∵扇形BEF的半徑為1，圓心角為60°，∴∠4+∠5＝60°，∠3+∠5＝60°，∴∠3＝∠4，設(shè)AF、DC相交于HG，設(shè)BC、AE相交于點G，在△ADH和△ACG中，，∴△ADH≌△ACG（ASA），∴四邊形AGCH的面積等于△ADC的面積，∴圖中陰影部分的面積是：S扇形AEF﹣S△ACD＝﹣×2×＝﹣，故答案為：﹣． 三．解答題17．如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，AC是直徑，∠A＝30°，BC＝2，點D是AB的中點，連接DO并延長交⊙O于點P，過點P作PF⊥AC于點F．（1）求劣弧PC的長；（結(jié)果保留π）（2）求陰影部分的面積．（結(jié)果保留π）．解：（1）∵點D是AB的中點，PD經(jīng)過圓心，∴PD⊥AB，∵∠A＝30°，∴∠POC＝∠AOD＝60°，OA＝2OD，∵PF⊥AC，∴∠OPF＝30°，∴OF＝OP，∵OA＝OC，AD＝BD，∴BC＝2OD，∴OA＝BC＝2，∴⊙O的半徑為2，∴劣弧PC的長＝＝＝π；（2）∵OF＝OP，∴OF＝1，∴PF＝＝，∴S陰影＝S扇形﹣S△OPF＝﹣×1×＝π﹣．  18．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以直角邊BC為直徑的⊙O交斜邊AB于點D．點E為邊AC的中點，連接DE并延長交BC的延長線于點F．（1）求證：直線DE⊙O的切線；（2）若∠B＝30°，AC＝4，求陰影部分的面積．（1）證明：連接OD、CD，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，又∵BC是⊙O的直徑，∴∠BDC＝90°，∴△ACD是直角三角形，又∵點E是斜邊AC的中點，∴EC＝ED，∴∠ECD＝∠EDC又∵∠ECD+∠OCD＝∠ACB＝90度，∴∠EDC+∠ODC＝∠ODE＝90°，∴直線DE是⊙O的切線；（2）解：由（1）已證：∠ODF＝90°，∴∠B＝30°，∴∠DOF＝60°，∴∠F＝30°，在Rt△ABC中，AC＝4，∴BC＝＝＝4，∴，在Rt△ODF中，，∴陰影部分的面積為：＝．     19．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，連接AC，BC．（1）求證：∠A＝∠BCD；（2）若CD＝4，∠B＝60°，求扇形OAC（陰影部分）的面積． （1）證明：∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，∴＝，∴∠A＝∠BCD；（2）解：∵OC＝OB，∠B＝60°，∴△BOC為等邊三角形，∴∠BOC＝60°，∴∠AOC＝120°，∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，∴CE＝CD＝2，在Rt△COE中，OC＝＝4，∴扇形OAC（陰影部分）的面積＝＝π．   20．如圖，已知AB，CD是⊙O的兩條直徑，AE∥CD交⊙O于點E，連結(jié)BE交CD于點F．（1）求證：弧BD＝弧ED；（2）若⊙O的半徑為6，AE＝6，求圖中陰影部分的面積．（1）證明：∵AB，CD是⊙O的兩條直徑，∴∠AOC＝∠BOD，∴＝，∵AE∥CD，∴＝，∴＝；（2）解：連接OE，作OH⊥AE于H，則AH＝HE＝AE＝3，cos∠OAH＝＝，∴∠OAH＝30°，∴OH＝OA＝3，∠AOH＝60°，∴∠AOE＝120°，∴圖中陰影部分的面積＝﹣×6×3＝12π﹣9．     

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