課時(shí)跟蹤檢測(cè)（四十四）  空間向量及其運(yùn)算和空間位置關(guān)系[素養(yǎng)落實(shí)練]1．已知點(diǎn)A(－3,0，－4)，點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為B，則|AB|等于(　　)A．12　　　　　　　　 B．9C．25  D．10解析：選D　點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0,4)，故|AB|＝＝10.2．已知a＝(2,1，－3)，b＝(－1,2,3)，c＝(7,6，λ)，若a，b，c三向量共面，則λ＝(　　)A．9  B．－9C．－3  D．3解析：選B　由題意知c＝xa＋yb，即(7,6，λ)＝x(2,1，－3)＋y(－1,2,3)，∴解得λ＝－9.3．在空間四邊形ABCD中，·＋·＋·＝(　　)A．－1　　　　　　B．0　　　　　　C．1　　　　　　D．不確定解析：選B　如圖，令＝a，＝b，＝c，則·＋·＋·＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0.4．已知a＝(1,0,1)，b＝(x,1,2)，且a·b＝3，則向量a與b的夾角為(　　)A.   B.C.   D.解析：選D　∵a·b＝x＋2＝3，∴x＝1，∴b＝(1,1,2)，∴cos〈a，b〉＝＝＝，又∵〈a，b〉∈[0，π]，∴a與b的夾角為，故選D.  5.如圖，在大小為45°的二面角A-EF-D中，四邊形ABFE，CDEF都是邊長(zhǎng)為1的正方形，則B，D兩點(diǎn)間的距離是(　　)A.   B.C．1   D.解析：選D　∵＝＋＋，∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1－＝3－，故||＝.6．已知空間任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，若＝x＋y＋z (x，y，z∈R)，則“x＝2，y＝－3，z＝2”是“P，A，B，C四點(diǎn)共面”的(　　)A．必要不充分條件  B．充分不必要條件C．充要條件  D．既不充分也不必要條件解析：選B　當(dāng)x＝2，y＝－3，z＝2時(shí)，即＝2－3＋2.則－＝2－3(－)＋2(－)，即＝－3＋2，根據(jù)共面向量定理知，P，A，B，C四點(diǎn)共面；反之，當(dāng)P，A，B，C四點(diǎn)共面時(shí)，根據(jù)共面向量定理，設(shè)＝m＋n (m，n∈R)，即－＝m(－)＋n(－)，即＝(1－m－n)＋m＋n，即x＝1－m－n，y＝m，z＝n，這組數(shù)顯然不止2，－3,2一組解．故“x＝2，y＝－3，z＝2”是“P，A，B，C四點(diǎn)共面”的充分不必要條件．7．已知O(0,0,0)，A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)·取最小值時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)是________．解析：由題意，設(shè)＝λ，即＝(λ，λ，2λ)，則＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，∴·＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝62－，當(dāng)λ＝時(shí)有最小值，此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)為.答案：8．已知V為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)，且VA＝VB＝VC＝VD，＝，＝，＝.則VA與平面PMN的位置關(guān)系是________．  解析：如圖，設(shè)＝a，＝b，＝c，則＝a＋c－b，由題意知＝b－c，＝－＝a－b＋c.因此＝＋，∴，，共面．又∵VA?平面PMN，∴VA∥平面PMN.答案：平行9．如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，將它沿對(duì)角線AC折起，使AB與CD成60°角，求B，D間的距離．解：∵∠ACD＝90°，∴·＝0.同理·＝0.∵AB與CD成60°角，∴〈，〉＝60°或120°.又∵＝＋＋，∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝3＋2×1×1×cos〈，〉．當(dāng)〈，〉＝60°時(shí)，2＝4；當(dāng)〈，〉＝120°時(shí)，2＝2.∴||＝2或，即B，D間的距離為2或.10.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，四邊形BDEF是平行四邊形，BD與AC交于點(diǎn)G，O為GC的中點(diǎn)，FO＝，且FO⊥平面ABCD.(1)求證：AE∥平面BCF；(2)求證：CF⊥平面AEF.證明：取BC中點(diǎn)H，連接OH，則OH∥BD，又四邊形ABCD為正方形，∴AC⊥BD，∴OH⊥AC，故以O為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz，則A(3,0,0)，C(－1,0,0)，D(1，－2,0)，F(0,0，)，B(1,2,0)．＝(－2，－2,0)，＝(1,0，)，＝(－1，－2，)．(1)設(shè)平面BCF的法向量為n＝(x，y，z)，則即取z＝1，得n＝(－，，1)．又四邊形BDEF為平行四邊形，∴＝＝(－1，－2，)，∴＝＋＝＋＝(－2，－2,0)＋(－1，－2，)＝(－3，－4，)，∴·n＝3－4＋＝0，∴⊥n，又AE?平面BCF，∴AE∥平面BCF.(2) ＝(－3,0，)，∴·＝－3＋3＝0，·＝－3＋3＝0，∴⊥，⊥，即CF⊥AF，CF⊥AE，又AE∩AF＝A，AE，AF?平面AEF，∴CF⊥平面AEF. [梯度拔高練]1．A，B，C，D是空間不共面的四點(diǎn)，且滿足·＝0，·＝0，·＝0，M為BC中點(diǎn)，則△AMD是(　　)A．鈍角三角形  B．銳角三角形C．直角三角形  D．不確定解析：選C　∵M為BC中點(diǎn)，∴＝(＋)，∴·＝(＋)·＝·＋·＝0.∴AM⊥AD，即△AMD為直角三角形．2. (2021·宜昌一診)如圖，正方形ABCD與矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE.則M點(diǎn)的坐標(biāo)為(　　)A．(1,1,1)B.C.D.解析：選C　設(shè)AC與BD相交于O點(diǎn)，連接OE，由AM∥平面BDE，且AM?平面ACEF，平面ACEF∩平面BDE＝OE，∴AM∥EO，又O是正方形ABCD對(duì)角線交點(diǎn)，∴M為線段EF的中點(diǎn)．在空間坐標(biāo)系中，E(0,0,1)，F(，，1)．由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，知點(diǎn)M的坐標(biāo)為.3. (2020·廣東八校聯(lián)考)如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E，F分別是棱BC，DD1上的點(diǎn)，如果B1E⊥平面ABF，則CE與DF的和的值為________．解析：以D1A1，D1C1，D1D分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系(圖略)，設(shè)CE＝x，DF＝y，則易知E(x,1,1)，B1(1,1,0)，F(0,0,1－y)，B(1，1,1)，∴＝(x－1,0,1)，∴＝(1,1，y)．∵B1E⊥平面ABF，∴·＝(1,1，y)·(x－1,0,1)＝0?x＋y＝1.答案：14．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱長(zhǎng)為2，底面邊長(zhǎng)為1，M為BC的中點(diǎn)，＝λ，且AB1⊥MN，則λ的值為________．解析：如圖所示，取B1C1的中點(diǎn)P，連接MP，以M為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸，y軸，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)榈酌孢呴L(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為2，所以A，B1，C，C1，M(0,0,0)，設(shè)N，因?yàn)?/span>＝λ，所以N，所以＝，＝.又因?yàn)?/span>AB1⊥MN，所以·＝0.所以－＋＝0，所以λ＝15.答案：155.在四棱錐P -ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD＝DC，E，F分別是AB，PB的中點(diǎn)．(1)求證：EF⊥CD；(2)在平面PAD內(nèi)是否存在一點(diǎn)G，使GF⊥平面PCB？若存在，求出點(diǎn)G坐標(biāo)；若不存在，試說明理由．解：(1)證明：由題意知，DA，DC，DP兩兩垂直．如圖，以DA，DC，DP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AD＝a，則D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a，0)，E，P(0,0，a)，F.＝，＝(0，a,0)．∵·＝0，∴⊥，從而得EF⊥CD.(2)假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)G，設(shè)G(x,0，z)，則＝，若使GF⊥平面PCB，則由·＝x－，－，z－·(a,0,0)＝a＝0，得x＝；由·＝·(0，－a，a)＝＋a＝0，得z＝0.∴G點(diǎn)坐標(biāo)為，故存在滿足條件的點(diǎn)G，且點(diǎn)G為AD的中點(diǎn)． 

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