解直角三角形及其應(yīng)用是近幾年各地中考命題的熱點(diǎn)之一，考查內(nèi)容不僅有傳統(tǒng)的計(jì)算距離、高度、角度的應(yīng)用題，還有要求同學(xué)們根據(jù)題中給出的信息構(gòu)建三角函數(shù)的基本圖形，建立數(shù)學(xué)模型，將某些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，把數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)問(wèn)題來(lái)求解．運(yùn)用銳角三角函數(shù)知識(shí)解決與實(shí)際生活、生產(chǎn)相關(guān)的應(yīng)用題是近年來(lái)中考的熱點(diǎn)題型．
構(gòu)造一個(gè)直角三角形解實(shí)際問(wèn)題
1．【2017·臺(tái)州】如圖是一輛小汽車(chē)與墻平行停放的平面示意圖，汽車(chē)靠墻一側(cè)OB與墻MN平行且距離為0..8米，已知小汽車(chē)車(chē)門(mén)寬AO為1..2米，當(dāng)車(chē)門(mén)打開(kāi)角度∠AOB為40°時(shí)，車(chē)門(mén)是否會(huì)碰到墻？請(qǐng)說(shuō)明理由．(參考數(shù)據(jù)：sin 40°≈，cs 40°≈，tan 40°≈)
(第1題)
2．【2017·鄂州】如圖，小明想要測(cè)量學(xué)校食堂和食堂正前方一棵樹(shù)的高度，他從食堂樓底M處出發(fā)，向前走3米到達(dá)A處，測(cè)得樹(shù)頂端E的仰角為30°，他又繼續(xù)走下臺(tái)階到達(dá)C處，測(cè)得樹(shù)的頂端E的仰角是60°，再繼續(xù)向前走到大樹(shù)底D處，測(cè)得食堂樓頂N的仰角為45°..已知A點(diǎn)離地面的高度AB＝2米，∠BCA＝30°，且B，C，D三點(diǎn)在同一直線上．
(1)求樹(shù)DE的高度；
(2)求食堂MN的高度．
(第2題)
構(gòu)造形如“”的兩個(gè)直角三角形解實(shí)際問(wèn)題
3．【2016·資陽(yáng)】如圖，“中國(guó)海監(jiān)50”正在南海海域A處巡邏，島礁B上的中國(guó)海軍發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A在點(diǎn)B的正西方向上，島礁C上的中國(guó)海軍發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A在點(diǎn)C的南偏東30°方向上，已知點(diǎn)C在點(diǎn)B的北偏西60°方向上，且B，C兩地相距120海里．
(1)求出此時(shí)點(diǎn)A到島礁C的距離；
(2)若“中國(guó)海監(jiān)50”從A處沿AC方向向島礁C駛?cè)?，?dāng)?shù)竭_(dá)點(diǎn)A′時(shí)，測(cè)得點(diǎn)B在A′的南偏東75°的方向上，求此時(shí)“中國(guó)海監(jiān)50”的航行距離．(注：結(jié)果保留根號(hào))
(第3題)
4．【2016·黔東南州】黔東南州某校吳老師組織九(1)班同學(xué)開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)，帶領(lǐng)同學(xué)們測(cè)量學(xué)校附近一電線桿的高．如圖，已知電線桿直立于地面上，某天在太陽(yáng)光的照射下，電線桿的影子(折線BCD)恰好落在水平地面和斜坡上，在D處測(cè)得電線桿頂端A的仰角為30°，在C處測(cè)得電線桿頂端A的仰角為45°，斜坡與地面成60°角，CD＝4 m，請(qǐng)你根據(jù)這些數(shù)據(jù)求電線桿的高(AB)．(結(jié)果精確到1 m，參考數(shù)據(jù)：eq \r(2)≈1..4，eq \r(3)≈1..7)
(第4題)
5．【中考·安徽】如圖，防洪大堤的橫斷面是梯形ABCD，其中AD∥BC，坡角α＝60°..汛期來(lái)臨前對(duì)其進(jìn)行了加固，改造后的背水面坡角β＝45°..若原坡長(zhǎng)AB＝20 m，求改造后的坡長(zhǎng)AE(結(jié)果保留根號(hào))．
(第5題)
構(gòu)造形如“”的兩個(gè)直角三角形解實(shí)際問(wèn)題
6．【2016·深圳】某興趣小組借助無(wú)人飛機(jī)航拍校園．如圖，無(wú)人飛機(jī)從A處水平飛行至B處需8 s，在地面C處同一方向上分別測(cè)得A處的仰角為75°，B處的仰角為30°..已知無(wú)人飛機(jī)的飛行速度為4 m/s，求這架無(wú)人飛機(jī)的飛行高度．(結(jié)果保留根號(hào))．
(第6題)
[來(lái)源:學(xué)|科|網(wǎng)Z|X|X|K]
7．【2017·紹興】如圖，學(xué)校的實(shí)驗(yàn)樓對(duì)面是一幢教學(xué)樓，小敏在實(shí)驗(yàn)樓的窗口C測(cè)得教學(xué)樓頂部D的仰角為18°，教學(xué)樓底部B的俯角為20°，量得實(shí)驗(yàn)樓與教學(xué)樓之間的距離AB＝30 m..
(1)求∠BCD的度數(shù)．
(2)求教學(xué)樓的高BD..(結(jié)果精確到0..1 m，參考數(shù)據(jù)：tan 20°≈，tan 18°≈)
(第7題)
構(gòu)造形如“”的兩個(gè)直角三角形解實(shí)際問(wèn)題
8．【2017·濰坊】如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組要測(cè)量一棟五層居民樓CD的高度．該樓底層為車(chē)庫(kù)，高2..5 m；上面五層居住，每層高度相等．測(cè)角儀支架離地1..5 m，在A處測(cè)得五樓頂部點(diǎn)D的仰角為60°，在B處測(cè)得四樓頂部點(diǎn)E的仰角為30°，AB＝14 m．求居民樓的高度．(精確到0..1 m，參考數(shù)據(jù)：eq \r(3)≈)
(第8題)
答案
1．解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AC⊥OB，垂足為點(diǎn)C，
(第1題)
在Rt△ACO中，∵∠AOC＝40°，AO＝1..2米，
∴AC＝AO·sin ∠AOC≈×1..2＝(米)．
∵汽車(chē)靠墻一側(cè)OB與墻MN平行且距離為0..8米，
∴車(chē)門(mén)不會(huì)碰到墻．
2．解：(1)設(shè)DE＝x..∵AB＝DF＝2，
∴EF＝DE－DF＝x－2..
∵∠EAF＝30°，
∴AF＝eq \f(EF,tan ∠EAF)＝eq \f(x－2,\f(\r(3),3))＝eq \r(3)(x－2)．
又∵CD＝eq \f(DE,tan ∠DCE)＝eq \f(x,\r(3))＝eq \f(\r(3),3)x，BC＝eq \f(AB,tan ∠ACB)＝eq \f(2,\f(\r(3),3))＝2eq \r(3)，
∴BD＝BC＋CD＝2eq \r(3)＋eq \f(\r(3),3)x..
由AF＝BD可得eq \r(3)(x－2)＝2eq \r(3)＋eq \f(\r(3),3)x，
解得x＝6..
∴樹(shù)DE的高度為6米；
(第2題)
(2)如圖，延長(zhǎng)NM交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，則AM＝BP＝3..
由(1)知CD＝eq \f(\r(3),3)x＝eq \f(\r(3),3)×6＝2eq \r(3)，BC＝2eq \r(3)，
∴PD＝BP＋BC＋CD＝3＋2eq \r(3)＋2eq \r(3)＝3＋4eq \r(3)..
∵∠NDP＝45°，
∴NP＝PD＝3＋4eq \r(3)..
∵M(jìn)P＝AB＝2，
∴NM＝NP－MP＝3＋4eq \r(3)－2＝1＋4eq \r(3)，
∴食堂MN的高度為(1＋4eq \r(3))米．
3．解：(1)如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥BA交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，
(第3題)
由題意可得：∠CBD＝30°，BC＝120海里，
則DC＝60海里，
故cs 30°＝eq \f(DC,AC)＝eq \f(60,AC)＝eq \f(\r(3),2)，
則AC＝40eq \r(3)海里．
答：點(diǎn)A到島礁C的距離為40eq \r(3)海里．
(2)如圖所示：過(guò)點(diǎn)A′作A′N(xiāo)⊥BC于點(diǎn)N，A′E⊥AD于點(diǎn)E，
可得∠A′BE＝90°－75°＝15°，則∠A′BC＝30°－∠A′BE＝15°..
∴∠A′BE＝∠A′BC，即BA′平分∠CBA..
∴A′N(xiāo)＝A′E，又易得∠AA′E＝30°，∠A′CN＝30°，
設(shè)AA′＝x，則A′E＝eq \f(\r(3),2)x，
故CA′＝2A′N(xiāo)＝2A′E＝2×eq \f(\r(3),2)x＝eq \r(3)x，
∵eq \r(3)x＋x＝40eq \r(3)，∴x＝20(3－eq \r(3))海里．
答：此時(shí)“中國(guó)海監(jiān)50”的航行距離為20(3－eq \r(3))海里．
4．解：延長(zhǎng)AD交BC的延長(zhǎng)線于G，作DH⊥BG于H，如圖所示．則∠G＝30°..
(第4題)
在Rt△DHC中，∠DCH＝60°，CD＝4，
則CH＝CD·cs∠DCH＝4×cs 60°＝2，
DH＝CD·sin∠DCH＝4×sin 60°＝2eq \r(3)，
∵DH⊥BG，∠G＝30°，
∴HG＝eq \f(DH,tan G)＝eq \f(2\r(3),tan 30°)＝6，
∴CG＝CH＋HG＝2＋6＝8，
設(shè)AB＝x m，
∵AB⊥BG，∠G＝30°，∠BCA＝45°，
∴BC＝x，BG＝eq \f(AB,tan G)＝eq \f(x,tan 30°)＝eq \r(3)x，
∵BG－BC＝CG，
∴eq \r(3)x－x＝8，
解得：x≈11..
答：電線桿的高約為11 m..
5．解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F..
在Rt△ABF中，∠ABF＝α＝60°，
∴AF＝AB·sin 60°＝20×eq \f(\r(3),2)＝10eq \r(3)(m)．
在Rt△AEF中，β＝45°，∴AF＝EF，
∴AE＝eq \r(AF2＋EF2)＝eq \r(（10\r(3)）2＋（10\r(3)）2)＝10eq \r(6)(m)．
答：改造后的坡長(zhǎng)AE為10eq \r(6) m..
(第5題)
(第6題)
6．解：如圖，作AD⊥BC于D，BH⊥水平線于H，
由題意得：∠ACH＝75°，∠BCH＝30°，AB∥CH，
∴∠ABC＝30°，∠ACB＝45°，
∵AB＝4×8＝32(m)，
∴CD＝AD＝AB·sin 30°＝16 m，BD＝AB·cs30°＝16eq \r(3) m，
∴BC＝CD＋BD＝(16＋16eq \r(3))m，
則BH＝BC·sin 30°＝(8＋8eq \r(3))m..
答：這架無(wú)人飛機(jī)的飛行高度為(8＋8eq \r(3)) m..
7．解：(1)如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥BD于點(diǎn)E，則有∠DCE＝18°，∠BCE＝20°，
(第7題)
∴∠BCD＝∠DCE＋∠BCE＝18°＋20°＝38°..
(2)由題意得，CE＝AB＝30 m，
在Rt△CBE中，BE＝CE·tan 20°，
在Rt△CDE中，DE＝CE·tan 18°，
∴教學(xué)樓的高BD＝BE＋DE＝CE·tan 20°＋CE·tan 18°≈20..4(m)．
答：教學(xué)樓的高約為20..4 m..
8．解：設(shè)每層樓高為x m，
由題意得MC′＝MC－CC′＝2..5－1..5＝1(m)，
則DC′＝(5x＋1)m，EC′＝(4x＋1)m..
在Rt△DC′A′中，∠DA′C′＝60°，
∴C′A′＝eq \f(DC′,tan 60°)＝eq \f(\r(3),3)(5x＋1)m..
在Rt△EC′B′中，∠EB′C′＝30°，
∴C′B′＝eq \f(EC′,tan 30°)＝eq \r(3)(4x＋1)m..
∵A′B′＝C′B′－C′A′＝AB，
∴eq \r(3)(4x＋1)－eq \f(\r(3),3)(5x＋1)＝14..
解得x≈
∴DC＝DC′＋CC′＝5x＋1＋1..5≈18..4(m)．
答：居民樓的高度約為18..4 m..

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