專訓5　利用三角函數(shù)解判斷說理問題名師點金：利用三角函數(shù)解答實際中的“判斷說理”問題：關鍵是將實際問題抽象成數(shù)學問題，建立解直角三角形的數(shù)學模型，運用解直角三角形的知識來解決實際問題．  航行路線問題1．如圖，某貨船以24海里/時的速度將一批重要物資從A處運往正東方向的M處，在點A處測得某島C在北偏東60°的方向上．該貨船航行30分鐘后到達B處，此時再測得該島在北偏東30°的方向上，已知在C島周圍9海里的區(qū)域內有暗礁．若繼續(xù)向正東方向航行，該貨船有無觸礁危險？試說明理由．(第1題) [來源:Z|xx|k..Com]  [來源:Zxxk..Com]    工程規(guī)劃問題2．A，B兩市相距150千米，分別從A，B處測得國家級風景區(qū)中心C處的方位角如圖所示，風景區(qū)區(qū)域是以C為圓心、45千米為半徑的圓，tan α＝1..627，tan β＝1..373..為了開發(fā)旅游，有關部門設計修建連接A，B兩市的筆直高速公路．問連接A，B兩市的筆直高速公路會穿過風景區(qū)嗎？請說明理由．(第2題) [來源:Zxxk..Com]            攔截問題3．【中考·荊門】如圖，在一次軍事演習中，藍方在一條東西走向的公路上的A處朝正南方向撤退，紅方在公路上的B處沿南偏西60°方向前進實施攔截，紅方行駛1 000米到達C處后，因前方無法通行，紅方決定調整方向，再朝南偏西45°方向前進了相同的距離，剛好在D處成功攔截藍方，求攔截點D處到公路的距離．(結果不取近似值)(第3題) [來源:學?？?。網Z。X。X。K]              臺風影響問題4．如圖所示，在某海濱城市O附近海面有一股強臺風，據監(jiān)測，當前臺風中心位于該城市的南偏東20°方向200 km的海面P處，并以20 km/h的速度向北偏西65°的PQ方向移動，臺風侵襲的范圍是一個圓形區(qū)域，當前半徑為60 km，且圓的半徑以10 km/h的速度不斷擴大．(1)當臺風中心移動4 h時，受臺風侵襲的圓形區(qū)域半徑增大到________km；當臺風中心移動t h時，受臺風侵襲的圓形區(qū)域半徑增大到________km..(2)當臺風中心移動到與城市O距離最近時，這股臺風是否會侵襲這座海濱城市？請說明理由．(參考數(shù)據：≈1..41，≈1..73)(第4題)                    答案1．解：若繼續(xù)向正東方向航行，該貨船無觸礁危險．理由如下：如圖，過點C作CD⊥AM于點D..依題意，知AB＝24×＝12(海里)，∠CAB＝90°－60°＝30°，∠CBD＝90°－30°＝60°..在Rt△DBC中，tan ∠CBD＝tan 60°＝，∴BD＝CD..在Rt△ADC中，tan ∠CAD＝tan 30°＝，∴AD＝CD..又∵AD＝AB＋BD，∴CD＝12＋CD，解得CD＝6海里．∵6＞9，∴若繼續(xù)向正東方向航行，該貨船無觸礁危險．點撥：將這道航海問題抽象成數(shù)學問題，建立解直角三角形的數(shù)學模型．該貨船有無觸礁危險取決于島C到航線AB的距離與9海里的大小關系，因此解決本題的關鍵在于求島C到航線AB的距離．(第1題)　　(第2題) [來源:Z§xx§k..Com]2．解：不會穿過風景區(qū)．理由如下：如圖，過C作CD⊥AB于點D，根據題意得：∠ACD＝α，∠BCD＝β，則在Rt△ACD中，AD＝CD·tan α，在Rt△BCD中，BD＝CD·tan β..∵AD＋DB＝AB，∴CD·tan α＋CD·tan β＝AB，∴CD＝＝＝＝50(千米)．∵50＞45，∴連接A，B兩市的筆直高速公路不會穿過風景區(qū)．3．解：如圖，過B作AB的垂線，過C作AB的平行線，兩線交于點E；過C作AB的垂線，過D作AB的平行線，兩線交于點F，則∠E＝∠F＝90°，攔截點D處到公路的距離DA＝BE＋CF..在Rt△BCE中，∵∠E＝90°，∠CBE＝60°，∴∠BCE＝30°，∴BE＝BC＝×1 000＝500(米)；在Rt△CDF中，∵∠F＝90°，∠DCF＝45°，CD＝1 000米，∴CF＝CD＝500(米)．∴DA＝BE＋CF＝(500＋500)米，即攔截點D處到公路的距離是(500＋500)米．(第3題)　　(第4題)  4．解：(1)100；(60＋10t)(2)不會，理由如下：過點O作OH⊥PQ于點H，如圖．在Rt△POH中，∠OHP＝90°，∠OPH＝65°－20°＝45°，OP＝200 km，∴OH＝PH＝OP·sin ∠OPH＝200×sin 45°＝100≈141(km)．設經過x h時，臺風中心從P移動到H..∵臺風中心移動速度為20 km/h，∴20x＝100，∴x＝5..此時，受臺風侵襲的圓形區(qū)域半徑應為60＋10×5≈130..5(km)．臺風中心在整個移動過程中與城市O的最近距離OH≈141 km，而臺風中心從P移動到H時受侵襲的圓形區(qū)域半徑約為130..5 km，130..5 km＜141 km，因此，當臺風中心移動到與城市O距離最近時，這股臺風不會侵襲這座海濱城市． 

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