判斷、證明或討論函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)(師生共研)
(2019·高考全國(guó)卷Ⅰ節(jié)選)已知函數(shù)f(x)＝2sin x－xcs x－x，f′(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù)．證明：f′(x)在區(qū)間(0，π)存在唯一零點(diǎn)．
【證明】 設(shè)g(x)＝f′(x)，則g(x)＝cs x＋xsin x－1，g′(x)＝xcs x.
當(dāng)x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))時(shí)，g′(x)>0；當(dāng)x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))時(shí)，g′(x)0，g(π)＝－2，故g(x)在(0，π)存在唯一零點(diǎn)．
所以f′(x)在(0，π)存在唯一零點(diǎn)．
eq \a\vs4\al()
利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)零點(diǎn)或方程根個(gè)數(shù)的常用方法
(1)構(gòu)建函數(shù)g(x)(要求g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，轉(zhuǎn)化確定g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題求解，利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)的單調(diào)性、極值，并確定定義區(qū)間端點(diǎn)值的符號(hào)(或變化趨勢(shì))等，畫(huà)出g(x)的圖象草圖，數(shù)形結(jié)合求解函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
(2)利用零點(diǎn)存在性定理：先用該定理判斷函數(shù)在某區(qū)間上有零點(diǎn)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)及區(qū)間端點(diǎn)值符號(hào)，進(jìn)而判斷函數(shù)在該區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
已知f(x)＝eq \f(1,x)＋eq \f(ex,e)－3，F(xiàn)(x)＝ln x＋eq \f(ex,e)－3x＋2.
(1)判斷f(x)在(0，＋∞)上的單調(diào)性；
(2)判斷函數(shù)F(x)在(0，＋∞)上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
解：(1)f′(x)＝－eq \f(1,x2)＋eq \f(ex,e)＝eq \f(x2ex－e,ex2)，
令f′(x)＞0，解得x＞1，令f′(x)

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